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統計検定 2級「標本分布と推定」の一問一答
📖 統計検定 2級「標本分布と推定」の全75問と解説（一覧）
統計検定 2級の標本分布と推定に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。
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問1．母集団は調査対象の全体集合、標本は母集団から抽出された部分集合である。
正解：○（正しい）
解説：Population vs Sample。標本から母集団の性質を推定するのが推測統計学。
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問2．標本統計量は標本から計算される統計量で、母集団の対応する母数の推定に使われる。
正解：○（正しい）
解説：標本平均、標本分散等。母平均μ、母分散σ²等の母数を推定。
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問3．標本平均の期待値は母平均に等しい（不偏性）。
正解：○（正しい）
解説：E[X̄] = μ。標本平均は母平均の不偏推定量。
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問4．標本平均の分散は母分散を標本サイズで割った値である。
正解：○（正しい）
解説：Var[X̄] = σ²/n。標本サイズが大きいほど標本平均の精度向上。
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問5．中心極限定理により、標本サイズが大きいとき標本平均は正規分布に従う。
正解：○（正しい）
解説：X̄ ≈ N(μ, σ²/n) for large n。母集団分布によらず近似的に正規分布。
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問6．不偏分散 s² は (n-1) で除する分散で、母分散の不偏推定量である。
正解：○（正しい）
解説：s² = Σ(xi-x̄)²/(n-1)。n で除した標本分散は偏りあり（過小評価）。
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問7．標本分散（n で除する）は母分散の不偏推定量ではない。
正解：○（正しい）
解説：母分散より小さく出るバイアスあり。不偏推定には (n-1) で除する。
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問8．点推定は母数を1つの値で推定する手法である。
正解：○（正しい）
解説：Point Estimation。標本平均X̄→母平均μ等。簡明だが推定の精度情報なし。
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問9．区間推定は母数を信頼区間として推定する手法である。
正解：○（正しい）
解説：Interval Estimation。95%信頼区間等で推定の不確実性を表現。
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問10．95%信頼区間とは、同じ手順で何度も標本抽出を繰り返したとき、約95%の区間が母数を含むという意味である。
正解：○（正しい）
解説：頻度論的解釈。母数が95%確率で区間内、ではない（ベイズ解釈とは異なる）。
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問11．母分散既知の場合の母平均の信頼区間は X̄ ± z(α/2) × σ/√n で計算される。
正解：○（正しい）
解説：z分布利用。95%なら z(0.025) = 1.96。
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問12．母分散未知の場合の母平均の信頼区間は X̄ ± t(α/2, n-1) × s/√n で計算される。
正解：○（正しい）
解説：t分布利用。自由度 n-1。小標本では特に t分布が重要。
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問13．t分布は自由度が大きくなるにつれ標準正規分布に近づく。
正解：○（正しい）
解説：自由度→∞で t→Z（標準正規分布）。n≥30 程度で実用的に正規近似可。
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問14．母比率 p の信頼区間は p̂ ± z(α/2) × √(p̂(1-p̂)/n) で近似計算される。
正解：○（正しい）
解説：正規近似（n大の場合）。np̂ ≥ 5 かつ n(1-p̂) ≥ 5 が目安。
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問15．カイ二乗分布は自由度パラメータを持つ非対称分布で、分散の検定・適合度検定等に使う。
正解：○（正しい）
解説：χ² 分布。自由度 k の正規確率変数の2乗和。
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問16．F分布は2つのカイ二乗分布の比の分布で、分散比検定・ANOVA等に使う。
正解：○（正しい）
解説：F = (χ²₁/n₁) / (χ²₂/n₂)。分散の比較・回帰係数の検定等に登場。
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問17．最尤推定法は与えられたデータが観測される確率（尤度）を最大化するパラメータを選ぶ手法である。
正解：○（正しい）
解説：Maximum Likelihood Estimation。多くの推定問題で使われる基本手法。
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問18．最小二乗法は予測誤差の2乗和を最小化するパラメータを選ぶ手法である。
正解：○（正しい）
解説：Least Squares Method。回帰分析の基本。正規誤差なら最尤推定と一致。
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問19．標本サイズが大きいほど信頼区間は狭くなる。
正解：○（正しい）
解説：1/√n に比例して区間幅縮小。精度は標本サイズの平方根に比例。
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問20．信頼度を上げると（90%→99%等）信頼区間は広くなる。
正解：○（正しい）
解説：高信頼度を保証するには区間を広げる必要。trade-off関係。
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問21．不偏推定量は推定量の期待値が母数と等しい性質を持つ。
正解：○（正しい）
解説：E[θ̂] = θ。系統誤差（バイアス）がない推定量。
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問22．有効推定量は不偏推定量の中で分散が最小のものである。
正解：○（正しい）
解説：Efficient Estimator。クラーメル・ラオ下限を達成する推定量。
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問23．一致推定量は標本サイズを増やすと真の母数に収束する推定量である。
正解：○（正しい）
解説：Consistent Estimator。n→∞で θ̂→θ（確率収束）。
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問24．十分統計量はデータから母数に関する全情報を保持する統計量である。
正解：○（正しい）
解説：Sufficient Statistic。データの圧縮表現として重要。
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問25．大数の法則により、標本サイズが大きいほど標本平均は母平均に近づく。
正解：○（正しい）
解説：Law of Large Numbers。X̄→μ（n→∞）。中心極限定理と並ぶ統計学の基本定理。
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問26．標準誤差（SE）は標本平均の標準偏差で、σ/√n で計算される。
正解：○（正しい）
解説：Standard Error。標本平均X̄の精度を表す。SE→0（n→∞）。
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問27．仮説検定で『有意水準α』は帰無仮説が正しいときに棄却してしまう確率の上限である。
正解：○（正しい）
解説：第1種の過誤の確率。慣例的に α=0.05 や 0.01。
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問28．標本は母集団より大きい。
正解：×（誤り）
解説：誤り。標本は母集団から抽出される『部分』集合。サイズは標本≦母集団。
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問29．標本平均の期待値は母分散に等しい。
正解：×（誤り）
解説：誤り。E[X̄] = μ（母平均）。母分散ではない。
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問30．標本平均の分散は標本サイズによらず一定である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。Var[X̄] = σ²/n。標本サイズ n に依存して減少。
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問31．中心極限定理は母集団分布が必ず正規分布であることを要求する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。中心極限定理は『母集団分布によらず』標本平均が正規分布に近づく定理。
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問32．不偏分散は n で除する分散である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。不偏分散は『(n-1)』で除する分散。n で除する分散は標本分散（偏りあり）。
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問33．95%信頼区間は『母数が95%確率で区間内に入る』という意味である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。頻度論的解釈では『同じ手順を繰り返したとき約95%の区間が母数を含む』。母数自体は確率変数ではない。
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問34．母分散既知の場合の信頼区間にはt分布を使う。
正解：×（誤り）
解説：誤り。母分散既知ならz分布（標準正規分布）を使う。t分布は母分散未知の場合。
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問35．t分布は自由度に関係なく常に標準正規分布である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。t分布は自由度により形状変化。自由度小で裾が重い、自由度→∞でZ分布に収束。
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問36．カイ二乗分布は左右対称な分布である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。カイ二乗分布は『非対称』（右に裾が長い）。自由度大で正規近似可能になる。
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問37．F分布は1つのカイ二乗分布から作られる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。F分布は『2つ』のカイ二乗分布の比から作られる。F = (χ²₁/n₁)/(χ²₂/n₂)。
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問38．最尤推定法は尤度関数を最小化するパラメータを選ぶ。
正解：×（誤り）
解説：誤り。最尤推定は尤度を『最大化』するパラメータを選ぶ。
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問39．標本サイズが大きいほど信頼区間は広くなる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。逆。標本サイズ大で信頼区間は『狭く』なる（精度向上）。
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問40．信頼度を上げると信頼区間は狭くなる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。逆。信頼度を上げると区間幅は『広く』なる（高信頼度を保証するため）。
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問41．不偏推定量は分散が最小の推定量を意味する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。不偏性=期待値が母数と一致。分散最小は『有効性』。両者は別の概念。
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問42．一致推定量は標本サイズ小でも真値と一致する推定量である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。一致推定量は『標本サイズ→∞で真値に収束』。有限サイズでは厳密一致しない。
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問43．大数の法則は標本サイズに関係なく標本平均が母平均と一致する法則である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。大数の法則は『標本サイズ大の極限で』標本平均が母平均に収束する法則。
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問44．標準誤差は標本サイズに比例する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。SE = σ/√n。標本サイズ n の『平方根に反比例』。
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問45．有意水準 α は第2種の過誤の確率である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。α は『第1種の過誤』（帰無仮説を誤って棄却）の確率。第2種はβ。
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問46．点推定は推定の不確実性を区間として表現する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。点推定は『1点』で母数を推定。区間表現は『区間推定』。
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問47．標本分散と不偏分散は同じ値である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。標本分散（n除）と不偏分散（n-1除）は異なる値。不偏分散の方が大きい。
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問48．母比率の信頼区間にはt分布を使う。
正解：×（誤り）
解説：誤り。母比率の信頼区間は『正規近似』（z分布）を使う。標本サイズ大で近似有効。
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問49．最小二乗法は最尤推定法とは別物で常に異なる結果を出す。
正解：×（誤り）
解説：誤り。誤差項が正規分布に従う場合、最小二乗法と最尤推定法は『同じ結果』を出す。
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問50．十分統計量はデータの一部情報のみ保持する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。十分統計量は『母数に関する全情報』を保持。データの圧縮表現として重要。
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問51．信頼区間は必ず母数を含む。
正解：×（誤り）
解説：誤り。95%信頼区間は『約95%の確率』で母数を含む。常に含むとは限らない（5%の区間は外れる）。
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問52．標本平均の分布は標本サイズ小でも必ず正規分布である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。中心極限定理は『大標本』での近似。母集団が正規分布なら小標本でも標本平均は正規分布だが、一般的にはNG。
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問53．有効推定量は不偏でなくてもよい。
正解：×（誤り）
解説：誤り。有効推定量は『不偏推定量の中で』分散最小のもの。不偏性が前提。
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問54．標本平均 X̄ の期待値として正しいのはどれか。
- ア．0
- イ．σ²（母分散）
- ウ．μ（母平均）
- エ．n（標本サイズ）
正解：ウ．μ（母平均）
解説：E[X̄] = μ。標本平均は母平均の不偏推定量。
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問55．標本平均 X̄ の分散として正しいのはどれか。
- ア．σ²
- イ．n×σ
- ウ．σ²×n
- エ．σ²/n
正解：エ．σ²/n
解説：Var[X̄] = σ²/n。標本サイズ n に反比例。SE = σ/√n。
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問56．母分散の不偏推定量 s² の正しい計算式はどれか。
- ア．Σ(xi-x̄)²/(n-1)
- イ．Σ(xi-x̄)²/n
- ウ．Σ(xi-x̄)²/(n+1)
- エ．Σ(xi-x̄)²/n²
正解：ア．Σ(xi-x̄)²/(n-1)
解説：不偏分散は『(n-1)』で除する。自由度補正。n で除する標本分散は過小評価のバイアスあり。
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問57．中心極限定理の主な内容として正しいのはどれか。
- ア．母集団分布は必ず正規分布
- イ．標本平均が大標本で正規分布に近づく
- ウ．データが多いほど分散が増える
- エ．小標本ほど精度が高い
正解：イ．標本平均が大標本で正規分布に近づく
解説：中心極限定理：母集団分布によらず、標本平均X̄は標本サイズ大でN(μ, σ²/n)に近づく。
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問58．母分散既知の母平均の95%信頼区間の臨界値 z(0.025) として最も近いのはどれか。
- ア．1.282
- イ．1.645
- ウ．1.96
- エ．2.576
正解：ウ．1.96
解説：z(0.025) ≈ 1.96。95%信頼区間に対応。90%なら1.645、99%なら2.576。
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問59．母分散未知の場合の母平均の信頼区間に使う分布として正しいのはどれか。
- ア．標準正規分布（z分布）
- イ．F分布
- ウ．カイ二乗分布
- エ．t分布
正解：エ．t分布
解説：母分散未知では『t分布』。自由度 n-1。母分散既知ならz分布。
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問60．t分布の特徴として正しいのはどれか。
- ア．自由度大でz分布に収束
- イ．必ずz分布と同じ形
- ウ．左右非対称
- エ．負の値を取らない
正解：ア．自由度大でz分布に収束
解説：t分布は自由度→∞でz分布（標準正規分布）に収束。小自由度で裾が重い。
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問61．分散の検定・適合度検定で使う分布として正しいのはどれか。
- ア．z分布
- イ．カイ二乗分布
- ウ．t分布
- エ．F分布
正解：イ．カイ二乗分布
解説：カイ二乗分布。χ²検定（適合度・独立性）、分散の信頼区間に使用。
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問62．F分布の用途として正しいのはどれか。
- ア．母平均の検定
- イ．比率の検定
- ウ．分散の比較・ANOVA
- エ．相関の検定
正解：ウ．分散の比較・ANOVA
解説：F分布は分散比検定（F検定）・分散分析（ANOVA）等で使用。2つのカイ二乗分布の比。
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問63．最尤推定法の説明として正しいのはどれか。
- ア．残差の2乗和を最小化
- イ．共分散を最大化
- ウ．データの平均を計算
- エ．尤度関数を最大化
正解：エ．尤度関数を最大化
解説：最尤推定法（MLE）は与えられたデータが観測される確率（尤度）を最大化するパラメータを選ぶ。
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問64．95%信頼区間の正しい解釈はどれか。
- ア．同手順で繰返すと約95%の区間が母数を含む
- イ．母数が95%確率で区間内
- ウ．区間幅が95cm以下
- エ．推定値の精度が95%
正解：ア．同手順で繰返すと約95%の区間が母数を含む
解説：頻度論的解釈：同手順で繰返したとき、約95%の区間が母数を含む。母数自体は固定値（確率変数ではない）。
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問65．信頼区間と標本サイズの関係として正しいのはどれか。
- ア．標本大→区間広
- イ．標本大→区間狭
- ウ．標本大→区間不変
- エ．関係なし
正解：イ．標本大→区間狭
解説：標本サイズ大で信頼区間は『狭く』なる（精度向上）。1/√n に比例して縮小。
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問66．信頼度と信頼区間の関係として正しいのはどれか。
- ア．信頼度大→区間不変
- イ．信頼度大→区間狭
- ウ．信頼度大→区間広
- エ．関係なし
正解：ウ．信頼度大→区間広
解説：信頼度を上げる（90%→99%）と区間は『広く』なる（高信頼度保証のため）。
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問67．不偏推定量の定義として正しいのはどれか。
- ア．分散が最小
- イ．母平均と一致
- ウ．標本サイズ→∞で真値に収束
- エ．E[θ̂] = θ（期待値が母数と一致）
正解：エ．E[θ̂] = θ（期待値が母数と一致）
解説：不偏性 = E[θ̂] = θ。系統誤差（バイアス）がない推定量。
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問68．一致推定量の定義として正しいのはどれか。
- ア．標本サイズ→∞で真値に確率収束
- イ．小標本でも真値と一致
- ウ．分散が最小
- エ．計算が速い
正解：ア．標本サイズ→∞で真値に確率収束
解説：一致性 = 標本サイズ→∞で θ̂ → θ（確率収束）。
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問69．標準誤差 SE の計算式として正しいのはどれか。
- ア．σ × n
- イ．σ/√n
- ウ．σ²/n
- エ．σ × √n
正解：イ．σ/√n
解説：SE = σ/√n。標本平均の標準偏差。標本サイズの平方根に反比例。
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問70．大数の法則の内容として正しいのはどれか。
- ア．分散→0
- イ．小標本で標本平均→母平均
- ウ．大標本で標本平均→母平均
- エ．母分散→無限大
正解：ウ．大標本で標本平均→母平均
解説：大数の法則：n→∞で X̄ → μ（確率収束）。
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問71．母比率の信頼区間に使う分布として正しいのはどれか。
- ア．t分布
- イ．F分布
- ウ．カイ二乗分布
- エ．正規近似（z分布）
正解：エ．正規近似（z分布）
解説：母比率の信頼区間は正規近似（z分布）を使用。標本サイズ大で有効。
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問72．区間推定と点推定の違いとして正しいのはどれか。
- ア．点推定は1点・区間推定は範囲で推定
- イ．両者とも1点で推定
- ウ．区間推定は不確実性を表現せず
- エ．点推定はより精度高
正解：ア．点推定は1点・区間推定は範囲で推定
解説：点推定は1点で母数を推定、区間推定は信頼区間として範囲で推定（不確実性を表現）。
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問73．二項分布 B(n, p) を正規近似する際の条件として正しいのはどれか。
- ア．n が小さい
- イ．np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5
- ウ．p が0または1に近い
- エ．常に近似可能
正解：イ．np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5
解説：np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5 が二項-正規近似の目安。中心極限定理の応用。
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問74．標本サイズが4倍になったとき、標準誤差はどうなるか。
- ア．4倍
- イ．2倍
- ウ．1/2倍
- エ．1/4倍
正解：ウ．1/2倍
解説：SE = σ/√n なので、n が4倍になると SE は 1/√4 = 1/2 倍に減少。
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問75．自由度 n-1 の t 分布の用途として該当しないものはどれか.
- ア．母平均の信頼区間（母分散未知）
- イ．母平均の検定（母分散未知）
- ウ．2標本の平均差の検定
- エ．母分散の信頼区間
正解：エ．母分散の信頼区間
解説：母分散の信頼区間にはカイ二乗分布を使用。t分布は母平均関連で使用。