統計検定2級「標本分布と推定」出題ポイント解説

統計検定2級分野3『標本分布と推定』の頻出論点を整理。中心極限定理・点推定・区間推定・最尤推定を体系化して解説します。

※受験料・試験日程・出題範囲は改定される場合があります。最新情報は必ず日本統計学会 統計検定公式情報でご確認ください。

母集団と標本

• 母集団: 調査対象の全体集合（Population）
• 標本: 母集団から抽出された部分集合（Sample）
• 標本統計量から母数を推定するのが推測統計学

標本平均の性質

• E[X̄] = μ（不偏性）
• Var[X̄] = σ²/n
• SE = σ/√n（標準誤差）
• 中心極限定理: 標本サイズ大で X̄ ≈ N(μ, σ²/n)

母分散の推定

• 標本分散 (n除): s²_n = Σ(xi-x̄)²/n → 偏りあり
• 不偏分散 (n-1除): s² = Σ(xi-x̄)²/(n-1) → 不偏推定量
• n-1で除する理由: 自由度補正

大数の法則

n→∞で X̄ → μ（確率収束）

中心極限定理

母集団分布によらず、標本サイズ大で標本平均は N(μ, σ²/n) に近づく。

点推定と区間推定

• 点推定: 母数を1点で推定（例: X̄ → μ）
• 区間推定: 信頼区間で母数を推定（例: 95%CI）

母平均の信頼区間

主要な臨界値

• 90%CI: z(0.05) ≈ 1.645
• 95%CI: z(0.025) ≈ 1.96
• 99%CI: z(0.005) ≈ 2.576

母比率の信頼区間

p̂ ± z(α/2) × √(p̂(1-p̂)/n)

条件: np̂ ≥ 5 かつ n(1-p̂) ≥ 5（正規近似）

主要な確率分布（推定で使用）

• z分布（標準正規分布）: 母分散既知の母平均推定
• t分布: 母分散未知・自由度n-1・n→∞でz分布
• カイ二乗分布: 分散の信頼区間・適合度検定
• F分布: 分散比検定・ANOVA

推定量の評価基準

• 不偏性: E[θ̂] = θ
• 有効性: 不偏推定量の中で分散最小（クラーメル・ラオ下限達成）
• 一致性: n→∞で θ̂ → θ（確率収束）
• 十分性: データから母数の全情報保持

最尤推定法（MLE）

• 尤度関数を最大化するパラメータを選ぶ
• 多くの問題で使われる基本手法
• 誤差正規分布なら最小二乗法と一致

信頼区間の特性

• 標本サイズ大→区間狭（精度向上）
• 信頼度上→区間広（高信頼度保証）
• 区間幅は 1/√n に比例して縮小