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統計検定 2級 全分野の一問一答
📖 統計検定 2級「全分野」の全300問と解説（一覧）
統計検定 2級の全分野に関する一問一答（全300問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。
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問1．量的データは数値で表されるデータで、離散変数と連続変数に分類される。
正解：○（正しい）
解説：量的データは大小や差に意味がある数値データで、世帯人数のように飛び飛びの値だけを取る離散変数と、身長・時間のように区間内の任意の値を取りうる連続変数に分かれる。背番号のように数値でも分類を表すだけのものは量的データではない。
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問2．質的データはカテゴリで表されるデータで、名義尺度と順序尺度に分類される。
正解：○（正しい）
解説：質的（カテゴリカル）データは分類そのものを表し、順序のない名義尺度（血液型・性別）と、順序に意味はあるが間隔が等しいとは言えない順序尺度（成績A/B/C・満足度5段階）に分かれる。量的データの間隔尺度・比率尺度と違い、平均などの計算に意味がない。
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問3．中心傾向の代表的指標は平均値・中央値・最頻値の3つである。
正解：○（正しい）
解説：平均（算術平均）・中央値（メディアン）・最頻値（モード）。データ特性により使い分ける。
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問4．外れ値の影響を受けにくい中心傾向指標は中央値である。
正解：○（正しい）
解説：平均は全データの値をそのまま合計するため、極端な1点があるだけで大きく動く。中央値は順位だけで決まり、外れ値がどれほど大きくても順位が変わらない限り値は動かないので頑健。年収のように右へ裾が長い分布では中央値のほうが実感に近い。
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問5．ばらつきの代表的指標は分散・標準偏差・範囲・四分位範囲である。
正解：○（正しい）
解説：分散は偏差（各値−平均）の2乗平均、標準偏差はその正の平方根で元データと同じ単位。範囲=最大−最小は両端の1点だけで決まるため外れ値に極端に弱く、四分位範囲IQR=Q3−Q1は中央50%の幅なので外れ値の影響を受けにくい。
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問6．標準偏差は分散の正の平方根である。
正解：○（正しい）
解説：分散は偏差を2乗しているため単位が元データの2乗になり解釈しづらい。平方根を取った標準偏差は元データと同じ単位に戻るので「平均から平均的にどれだけ離れているか」として直接読める。SD=√Var、逆に Var=SD²。
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問7．分散の単位はデータの単位の2乗になる。
正解：○（正しい）
解説：偏差を2乗して平均するため、身長(cm)の分散は cm² という面積の単位になり実務的に解釈できない。そこで平方根を取り単位を元に戻した標準偏差(cm)が報告に使われる。
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問8．変動係数（CV）は標準偏差÷平均で計算され、単位なしの相対的ばらつき指標である。
正解：○（正しい）
解説：CV=σ/μ は分子分母で単位が約分されて無次元になるため、身長(cm)と体重(kg)のように単位もスケールも異なる量のばらつきを同じ土俵で比較できる。ただし平均が0付近では分母が0に近づき値が不安定になる。
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問9．箱ひげ図は最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値の5数要約を可視化する。
正解：○（正しい）
解説：最小値・Q1・中央値・Q3・最大値の5数要約を1本の図で表す。箱の長さがIQR=Q3−Q1で中央50%の広がりを示す。外れ値を点で描く流儀（Q1−1.5IQR未満・Q3+1.5IQRを超える値を外れ値とする）では、外れ値がある側のひげの端は外れ値を除いた最小値・最大値になり、データ全体の最小値・最大値は外れ値の点として図に現れる（外れ値が無い側はひげの端がそのまま最小値・最大値）。複数群の分布を横に並べて比較しやすい。
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問10．ヒストグラムは量的データの分布を区間（階級）ごとの度数で表すグラフである。
正解：○（正しい）
解説：量的データを階級（ビン）に区切り、各階級の度数を柱の高さで表す。階級幅を変えると同じデータでも山の数や滑らかさの見え方が変わるため、幅の選び方が結論に影響する。左右対称か、どちらに裾が長いか、山が1つかを読み取る。
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問11．散布図は2変数の関係を点で可視化するグラフである。
正解：○（正しい）
解説：2つの量的変数の組を座標平面上の点として打つ図。右肩上がりなら正、右肩下がりなら負の相関で、直線からのばらつきが小さいほど相関が強い。相関係数だけでは見えない曲線関係や外れ値の存在も発見できる。
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問12．ピアソンの積率相関係数 r は -1 ≦ r ≦ 1 の範囲を取る。
正解：○（正しい）
解説：r は共分散を両変数の標準偏差で割って正規化した無次元量なので、必ず −1〜1 に収まる。r=±1 は全点が完全に1直線上に並ぶ場合、r=0 は直線的な関係がない場合。ただし r=0 でも曲線的な関係はありうる。
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問13．相関係数の絶対値が1に近いほど線形関係が強い。
正解：○（正しい）
解説：|r|=0.7以上で強い相関、0.4-0.7で中程度、0.4未満で弱い相関の目安。
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問14．相関関係は因果関係を意味しない。
正解：○（正しい）
解説：2変数が一緒に動いていても、第三の変数（交絡因子）が両方を動かしている、因果の向きが逆、偶然の偽相関、という可能性が残る。アイスの売上と水難事故が相関するのは気温という交絡因子のため。因果を主張するにはランダム化などの設計上の裏づけが要る。
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問15．単回帰分析は1つの説明変数で目的変数を予測する手法である。
正解：○（正しい）
解説：y = ax + b の形で、1つの説明変数 x から目的変数 y を直線で予測するモデル。説明変数が2つ以上になると重回帰分析になる。傾き a は「x が1単位増えたとき y が平均何単位変わるか」を表す。
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問16．最小二乗法は予測値と実測値の差（残差）の2乗和を最小化する手法である。
正解：○（正しい）
解説：残差 y−ŷ は正負が混在するため単純な和では打ち消し合って0になってしまう。2乗して符号を消したうえで Σ(y−ŷ)² を最小にする a, b を選ぶのが最小二乗法で、微分して解けば解が一意に定まる。絶対値和を最小化する最小絶対偏差法とは別物。
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問17．決定係数 R² は回帰モデルの説明力を示す指標で 0 ≦ R² ≦ 1 の値を取る。
正解：○（正しい）
解説：R² は「回帰で説明できた変動 ÷ 全変動」という比率なので必ず0〜1に収まる。1に近いほど当てはまりがよく、0なら平均で予測するのと変わらない。単回帰では R²=r²（相関係数の2乗）が成り立つ。
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問18．分割表は2つのカテゴリ変数の度数を表形式で表したものである。
正解：○（正しい）
解説：2つのカテゴリ変数を行と列に取り、該当する組合せの度数を集計した表（クロス集計表）。行合計×列合計÷総計で期待度数を求め、実測度数とのずれからカイ二乗独立性検定を行う、その入力となる基本形式。
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問19．ヒストグラムの形状から分布が左に偏る（右に裾が長い）と歪度は正となる。
正解：○（正しい）
解説：右へ長く裾を引く分布では、少数の大きな値が平均を右へ引っ張るため 平均>中央値>最頻値 の順に並び、歪度は正になる。年収や滞在時間のように下限が0で上限のないデータで典型的。左に裾が長ければ歪度は負。
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問20．時系列データは時間順に並んだデータで、トレンド・季節変動・不規則変動から成る。
正解：○（正しい）
解説：時系列は、長期的な傾向（トレンド）、1年など一定周期で繰り返す季節変動、それ以外の不規則変動に分解して捉えるのが基本。観測値どうしが時間的に相関するため、独立標本を前提とした手法をそのまま当てはめられない点が特徴。
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問21．移動平均はノイズを平滑化し時系列のトレンドを抽出する手法である。
正解：○（正しい）
解説：直近k期の平均を1期ずつずらして計算すると、不規則変動が平均化されて互いに打ち消し合い、トレンドが見えやすくなる。kを大きくするほど滑らかになるが、変化への反応が遅れ、系列の両端でデータが欠ける。
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問22．観察研究は介入を行わずに対象を観察するだけの研究設計である。
正解：○（正しい）
解説：研究者が処置を割り付けず、現に起きている状態を観察・記録する設計（コホート研究・症例対照研究など）。倫理的・現実的に介入できない場面でも使える一方、群間に交絡因子の偏りが残るため因果の証明力は実験研究に劣る。
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問23．実験研究はランダム化と対照群により因果関係を検証する研究設計である。
正解：○（正しい）
解説：処置をランダムに割り付けると、測定していない交絡因子まで含めて群間の条件が確率的に揃うため、結果の差を処置の効果と解釈できる。これに対照群を組み合わせたRCT（無作為化比較試験）が因果推論で最も信頼される設計。
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問24．フィッシャーの3原則は反復・無作為化・局所管理である。
正解：○（正しい）
解説：実験計画の基本原則。R.A.Fisherが農業実験で提唱し、現代統計学の基礎に。
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問25．単純無作為抽出は母集団から等確率で標本を選ぶ抽出法である。
正解：○（正しい）
解説：Simple Random Sampling。理論的に最も簡明だが、大規模母集団では非効率なこともある。
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問26．層化抽出は母集団を層に分け各層から無作為抽出する手法である。
正解：○（正しい）
解説：あらかじめ母集団を性別・年齢層など性質の近い層に分け、各層から無作為抽出する。層内のばらつきが小さいほど推定量の分散は単純無作為抽出より小さくなり、同じ標本サイズでも精度が上がる。層ごとの結果も確実に得られる。
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問27．クラスター抽出は母集団をクラスター（集団）に分けて一部のクラスターを丸ごと抽出する手法である。
正解：○（正しい）
解説：学校や市区町村などのまとまり（クラスター）を抽出単位とし、選ばれたクラスターは丸ごと調査する。名簿作成や移動のコストを大きく減らせる反面、同じクラスター内の対象は互いに似通っているため、同じ標本サイズなら精度は単純無作為抽出より落ちる。
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問28．量的データには名義尺度と順序尺度が含まれる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。尺度は質的データ＝名義尺度・順序尺度、量的データ＝間隔尺度・比率尺度の4つに整理される。名義・順序は質的データ側であり、量的データに含まれるのは間隔尺度と比率尺度。
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問29．平均値は外れ値の影響を受けにくい中心傾向指標である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。平均は全データの値を足し上げるため、極端な値が1つあるだけで大きく動く。順位だけで決まる中央値のほうが外れ値に頑健で、右へ裾の長い所得データなどでは中央値が代表値として使われる。
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問30．分散は標準偏差の平方根である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。関係が逆で、標準偏差＝分散の正の平方根（SD=√Var）、言い換えれば分散＝標準偏差の2乗（Var=SD²）。分散の単位は元データの2乗、標準偏差は元データと同じ単位になる。
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問31．変動係数の単位はデータの単位と同じである。
正解：×（誤り）
解説：誤り。変動係数（CV=σ/μ）は単位なしの無次元量。異なる単位のデータも比較可能。
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問32．箱ひげ図は4数要約（最小・中央値・第3四分位・最大）を表す。
正解：×（誤り）
解説：誤り。箱ひげ図が表すのは最小値・第1四分位数Q1・中央値・第3四分位数Q3・最大値の5数要約。設問の組合せはQ1が抜けており、これでは箱の下端が定まらない。
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問33．相関係数 r は -∞ から +∞ の範囲を取る。
正解：×（誤り）
解説：誤り。相関係数は共分散を両者の標準偏差で割って標準化した無次元量なので、必ず −1 ≦ r ≦ 1 に収まる。範囲が固定されているからこそ、単位の異なるデータ間でも相関の強さを比較できる。
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問34．相関関係があれば必ず因果関係があると言える。
正解：×（誤り）
解説：誤り。相関は2変数が一緒に動くことを示すだけで、交絡因子による見かけの相関、因果の向きが逆、偶然の一致という可能性が残る。因果を主張するにはランダム化比較試験などの設計上の裏づけが必要。
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問35．最小二乗法は残差の絶対値の和を最小化する手法である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。最小二乗法が最小化するのは残差の2乗和 Σ(y−ŷ)²。絶対値の和を最小化するのは最小絶対偏差（LAD）法で、外れ値に強い代わりに解が解析的には求まらない。
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問36．決定係数 R² は -1 から 1 の値を取る。
正解：×（誤り）
解説：誤り。R² は全変動のうち回帰で説明できた割合なので 0 ≦ R² ≦ 1。−1〜1 の範囲を取るのは相関係数 r のほうで、単回帰では R²=r² の関係にある。
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問37．単回帰分析では2つ以上の説明変数で目的変数を予測する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。説明変数が1つなら単回帰、2つ以上なら重回帰。単回帰は y=ax+b の直線で表せるのに対し、重回帰は y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+… という形になる。
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問38．ヒストグラムは質的データの度数を表すグラフである。
正解：×（誤り）
解説：誤り。ヒストグラムは『量的データ』の度数分布グラフ。質的データは棒グラフが適切。
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問39．散布図は3変数以上の関係を可視化するグラフである。
正解：×（誤り）
解説：誤り。散布図は『2変数』の関係を可視化。3D散布図やマトリクスで多変数対応も可能。
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問40．分割表は1つの変数の度数だけを表す表である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。1変数の度数だけを並べたものは度数分布表。分割表（クロス集計表）は2つ以上のカテゴリ変数を行と列に取り、その組合せごとの度数を示す表で、独立性検定の入力になる。
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問41．観察研究は因果関係を最も強く証明できる研究設計である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。観察研究は処置を割り付けないため群間に交絡因子の偏りが残り、因果の証明力は限定的。因果関係を最も強く示せるのは、ランダム化と対照群を備えた実験研究（RCT）。
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問42．フィッシャーの3原則は反復・観察・予測である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。実験計画法におけるフィッシャーの3原則は反復・無作為化・局所管理。反復により誤差の大きさを見積もり、無作為化により偏りを防ぎ、局所管理（ブロック化）により系統的な変動を取り除く。
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問43．単純無作為抽出は母集団から等確率で標本を選ばない抽出法である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。単純無作為抽出は母集団のどの個体も等しい確率で選ばれる方法であり、この等確率性が標本の代表性と推定量の不偏性を保証している。等確率でない抽出では重みづけによる補正が必要になる。
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問44．層化抽出は母集団全体から無作為に抽出する手法である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。母集団全体からそのまま無作為に選ぶのは単純無作為抽出。層化抽出は先に層（性別・年齢層など）へ分け、各層から抽出することで層の構成比を標本に確実に反映させ、推定精度を高める方法。
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問45．時系列データに季節変動は含まれない。
正解：×（誤り）
解説：誤り。時系列データはトレンド・季節変動・不規則変動に分解して捉えるのが基本であり、季節変動はその主要な成分。ビールの売上や電力需要のように1年周期で繰り返す動きが典型例。
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問46．移動平均の項数（期間）を長くするほど、系列は短期的な細かい変動により敏感になる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。項数を長くするほど多くの値を平均するため平滑化が強まり、短期的な変動は目立たなくなる。その代わり変化への反応は遅れる。
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問47．平均と中央値が一致するのは左に偏った分布である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。平均と中央値が一致するのは左右対称な分布（正規分布など）。左右どちらかに裾が長い分布では、裾のある側へ平均が引っ張られて中央値とずれる。
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問48．ピアソン相関係数は順序尺度データに適用できる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。ピアソンの積率相関係数は間隔尺度・比率尺度の量的データが前提で、値の差の大きさを利用して計算する。順序尺度には順位に変換して求めるスピアマンの順位相関係数などを使う。
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問49．変動係数は平均が0でも計算可能である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。CV=σ/μ は平均を分母に置くため、μ=0では計算できず、0に近い場合も値が極端に不安定になる。CVは原点0に意味があり正の値を取る比率尺度のデータで使う指標。
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問50．範囲（レンジ）は最大値・最小値の差で外れ値に強い指標である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。範囲は外れ値に『非常に敏感』。外れ値1つで大きく変動する。IQRが外れ値に強い。
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問51．クラスター抽出は層化抽出より一般的に推定精度が高い。
正解：×（誤り）
解説：誤り。逆。クラスター抽出は層化抽出より推定精度が『低い』ことが多い。コスト削減との trade-off。
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問52．カテゴリカルデータの平均値を計算するのは正しい統計処理である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。名義尺度は分類のラベルにすぎず、便宜的に数値コードを振っても大小や間隔に意味がないため平均は解釈できない。カテゴリカルデータは最頻値・度数分布・割合で記述する。
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問53．箱ひげ図のひげの長さはIQRに固定される。
正解：×（誤り）
解説：誤り。ひげの長さはデータにより異なる（通常 Q1-1.5IQR、Q3+1.5IQR 等を上限）。
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問54．以下のうち量的データの『連続変数』に該当するものはどれか。
- ア．血液型
- イ．性別
- ウ．身長
- エ．好きな色
正解：ウ．身長
解説：身長は測定精度を上げればいくらでも細かい値を取りうる連続変数。血液型・性別・好きな色はいずれも分類を表す質的（名義尺度）データで、大小関係も間隔も定義できないため量的データにはあたらない。
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問55．中心傾向の指標として『外れ値の影響を最も受けにくい』ものはどれか。
- ア．平均値
- イ．幾何平均
- ウ．最頻値
- エ．中央値
正解：エ．中央値
解説：中央値は順位で決まるため、外れ値がどれほど極端でも順位が変わらない限り値は動かない。平均と幾何平均は外れ値の値そのものを取り込むので影響を受ける。最頻値も外れ値には強いが、連続データでは値が一意に定まりにくく代表値として不安定。
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問56．データ {2, 4, 6, 8, 10} を母集団とみなしたときの母標準偏差として正しいものはどれか。
- ア．√8 ≈ 2.83
- イ．√4 ≈ 2
- ウ．√10 ≈ 3.16
- エ．√16 = 4
正解：ア．√8 ≈ 2.83
解説：平均=6・偏差平方和=40・分散(n)=8・SD=√8≈2.83。n-1で除する不偏分散だと10、SD=√10≈3.16。設問はnで除する母分散基準。
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問57．ばらつきの指標として『単位なし・異なるスケール比較に有用』なものはどれか。
- ア．分散
- イ．変動係数（CV）
- ウ．標準偏差
- エ．範囲
正解：イ．変動係数（CV）
解説：CV=σ/μ は単位が約分されて無次元になるため、単位やスケールの異なるデータ同士でばらつきを比較できる。分散・標準偏差・範囲はいずれも元データの単位を引きずるので、cmとkgのような比較には使えない。
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問58．箱ひげ図が表す5数要約として正しい組合せはどれか。
- ア．平均・中央値・最頻値・分散・標準偏差
- イ．平均±SD・平均±2SD
- ウ．最小・Q1・中央値・Q3・最大
- エ．最小・25%・50%・75%・最大の度数
正解：ウ．最小・Q1・中央値・Q3・最大
解説：5数要約は最小値・Q1・中央値・Q3・最大値。箱の両端がQ1とQ3、箱の中の線が中央値、ひげの先が最小値と最大値にあたる。平均や標準偏差は箱ひげ図には直接現れない点で他の選択肢と区別できる。
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問59．ピアソンの積率相関係数 r の取りうる範囲として正しいのはどれか。
- ア．0 ≦ r ≦ 1
- イ．-100 ≦ r ≦ 100
- ウ．-∞ < r < ∞
- エ．-1 ≦ r ≦ 1
正解：エ．-1 ≦ r ≦ 1
解説：相関係数は共分散を σx·σy で割って標準化した無次元量なので、必ず −1 ≦ r ≦ 1 に収まる。r=1 は全点が右上がりの直線上、r=−1 は右下がりの直線上、r=0 は直線的な関係がないことを示す。
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問60．相関係数 r = 0.85 の場合の解釈として最も適切なものはどれか。
- ア．強い正の相関
- イ．強い負の相関
- ウ．相関なし
- エ．完全な正の相関
正解：ア．強い正の相関
解説：|r|=0.85は強い正の相関。0.7以上で強い相関、0.4-0.7で中程度、1.0が完全。
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問61．単回帰分析 y = ax + b で最小化する量として正しいものはどれか。
- ア．Σ|y - ŷ|（残差の絶対値の和）
- イ．Σ(y - ŷ)²（残差の2乗和）
- ウ．Σ(y - ŷ)³（残差の3乗和）
- エ．Σ(y/ŷ)（残差の比の和）
正解：イ．Σ(y - ŷ)²（残差の2乗和）
解説：残差は正負が混在するため単純な和では打ち消し合ってしまう。2乗して符号を消した Σ(y−ŷ)² を最小化すれば、微分により解が一意に求まる。絶対値和の最小化は最小絶対偏差法という別の手法で、3乗和や比の和は用いない。
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問62．決定係数 R² の意味として最も適切なものはどれか。
- ア．説明変数の数
- イ．回帰モデルの予測誤差の絶対値
- ウ．回帰モデルが目的変数の変動をどれだけ説明できるか
- エ．データ数
正解：ウ．回帰モデルが目的変数の変動をどれだけ説明できるか
解説：R²は目的変数の変動のうち回帰モデルで説明できる割合。0≦R²≦1で1が完全説明。
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問63．R² = 0.7 のモデルの解釈として正しいものはどれか。
- ア．説明変数が目的変数を100%説明している
- イ．相関係数が0.7である
- ウ．残差が0.7である
- エ．目的変数の変動の70%を説明変数で説明できる
正解：エ．目的変数の変動の70%を説明変数で説明できる
解説：R²=0.7なら『目的変数の変動の70%を説明できる』モデル。残り30%は他の要因や誤差。
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問64．相関関係と因果関係の関係として正しいのはどれか。
- ア．相関≠因果（相関は因果を意味しない）
- イ．因果関係があっても相関があるとは限らない
- ウ．相関があれば必ず因果がある
- エ．相関と因果は同じ概念
正解：ア．相関≠因果（相関は因果を意味しない）
解説：相関≠因果。第三変数（交絡因子）や偶然の可能性あり。因果証明にはRCT等が必要。
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問65．散布図で点が右肩上がりに分布している場合の解釈として正しいのはどれか。
- ア．強い負の相関
- イ．正の相関
- ウ．相関なし
- エ．因果関係あり
正解：イ．正の相関
解説：x が増えると y も増える傾向なので正の相関。相関の強さは点が直線からどれだけばらついているかで判断し、右肩上がりというだけでは「強い」とは言えない。また散布図から因果関係の有無までは判断できない。
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問66．フィッシャーの3原則として正しい組合せはどれか。
- ア．設計・実装・評価
- イ．観察・予測・計算
- ウ．反復・無作為化・局所管理
- エ．平均・分散・標準偏差
正解：ウ．反復・無作為化・局所管理
解説：R.A.Fisherの実験計画3原則：反復（Replication）・無作為化（Randomization）・局所管理（Local Control）。
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問67．母集団を年齢層に分けて各層から無作為抽出する手法として正しいのはどれか。
- ア．単純無作為抽出
- イ．系統抽出
- ウ．クラスター抽出
- エ．層化抽出
正解：エ．層化抽出
解説：層化抽出（Stratified Sampling）。層内均一性を活かして推定精度向上。
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問68．観察研究と実験研究の主な違いとして正しいのはどれか。
- ア．実験研究は介入あり、観察研究は介入なし
- イ．実験研究は介入なし、観察研究は介入あり
- ウ．両者とも介入あり
- エ．両者とも介入なし
正解：ア．実験研究は介入あり、観察研究は介入なし
解説：実験研究は介入あり（ランダム化等）、観察研究は介入なし。因果証明力は実験研究>観察研究。
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問69．時系列データの主な成分として該当しないものはどれか。
- ア．トレンド
- イ．因果関係
- ウ．不規則変動
- エ．季節変動
正解：イ．因果関係
解説：時系列データの成分はトレンド・季節変動・周期変動・不規則変動。因果関係は時系列特有の成分ではない。
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問70．分割表（クロス集計表）で検定する代表的な手法はどれか。
- ア．t検定
- イ．F検定
- ウ．カイ二乗検定
- エ．ANOVA
正解：ウ．カイ二乗検定
解説：分割表のカテゴリ変数間の独立性は『カイ二乗検定』。適合度検定にもカイ二乗が使われる。
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問71．順序尺度データに適用すべき相関係数はどれか。
- ア．ピアソン相関係数
- イ．共分散
- ウ．ケンドール tau のみ
- エ．スピアマン順位相関係数
正解：エ．スピアマン順位相関係数
解説：順序尺度にはスピアマンの順位相関係数。ピアソンは量的データ（間隔・比率尺度）用。
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問72．歪度（skewness）が正の値の分布の特徴として正しいのはどれか。
- ア．右に裾が長い（右に外れ値）
- イ．完全対称
- ウ．左に裾が長い
- エ．常に正規分布
正解：ア．右に裾が長い（右に外れ値）
解説：歪度が正とは右側へ長く裾を引く分布のことで、少数の大きな値が平均を右へ引っ張るため 平均>中央値>最頻値 となる。所得分布が代表例。左に裾が長ければ歪度は負、左右対称なら0。
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問73．単回帰分析で得られる回帰直線の傾き a の意味として正しいのはどれか.
- ア．x が平均値のときの y の予測値
- イ．x が1単位増えたときの y の予測値の変化量
- ウ．x と y の直線関係の程度を表す相関係数
- エ．y の標準偏差を x の標準偏差で割った値
正解：イ．x が1単位増えたときの y の予測値の変化量
解説：回帰直線 y＝ax＋b で x を x＋1 にすると予測値は a(x＋1)＋b−(ax＋b)＝a だけ変わるので、傾き a は x が1単位増えたときの y の予測値の変化量を表す。単位は y の単位÷x の単位。最小二乗法の a は x と y の共分散を x の分散で割った値で、a＝r×（y の標準偏差÷x の標準偏差）となる。相関係数 r と一致するのは2つの標準偏差が等しいときだけ、標準偏差の比と一致するのは r＝1 のときだけである。x が平均値のときの予測値は y の平均値（回帰直線は平均の点を通る）で、b は x＝0 のときの予測値。
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問74．ヒストグラムの階級幅を狭くするとどうなるか。
- ア．より粗い分布が見える
- イ．分布形状が変わらない
- ウ．より細かい分布が見えるがノイズも増える
- エ．必ず正規分布に近づく
正解：ウ．より細かい分布が見えるがノイズも増える
解説：階級幅を狭くすると細かい分布が見えるが、データ数が少ないとノイズ（ガタつき）も増える。階級幅の選び方が重要。
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問75．クラスター抽出と層化抽出の比較として正しいのはどれか。
- ア．両者は同義
- イ．両者とも精度・コスト同じ
- ウ．クラスターは精度高・層化はコスト効率良
- エ．層化は精度高・クラスターはコスト効率良
正解：エ．層化は精度高・クラスターはコスト効率良
解説：層化抽出=層内均一で精度高。クラスター抽出=コスト効率良いが推定精度はやや低い（クラスター内相関のため）。
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問76．事象 A の確率 P(A) は 0 ≦ P(A) ≦ 1 の範囲を取る。
正解：○（正しい）
解説：確率の公理の1つ。確率は全体を1としたときの割合として定義されるため、負にはならず1を超えることもない。P=0は起こらない事象、P=1は必ず起こる事象、その間の値が起こりやすさを表す。
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問77．全事象の確率は 1 である。
正解：○（正しい）
解説：標本空間Ω（起こりうる結果すべて）のうちどれかは必ず起こるので P(Ω)=1。ここから余事象の確率 P(Aᶜ)=1−P(A) も導かれる。
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問78．排反事象 A, B では P(A∪B) = P(A) + P(B) が成立する。
正解：○（正しい）
解説：一般の加法定理は P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)。排反なら A∩B=∅ で第3項が0になるため単純な和になる。排反でない場合に引き算をしないと、重なり部分を二重に数えてしまう。
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問79．独立事象 A, B では P(A∩B) = P(A) × P(B) が成立する。
正解：○（正しい）
解説：独立の定義そのもの。P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=P(A) と書き換えれば、Bが起きたかどうかでAの確率が変わらないことを意味する。「同時に起こらない」排反とは別概念で、確率が正なら排反な2事象はむしろ独立にならない。
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問80．条件付き確率 P(A|B) は B が起きた条件下で A が起きる確率である。
正解：○（正しい）
解説：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。標本空間をBが起きた場合に絞り直し、その中でAも起きる割合を測る。P(B)で割るのは、絞った後の全体を1とみなすため。P(B)>0であることが前提となる。
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問81．ベイズの定理は P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B) で表される。
正解：○（正しい）
解説：事前確率 P(A) と尤度 P(B|A) から事後確率 P(A|B) を計算。ベイズ統計の核心。
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問82．二項分布 B(n, p) は独立な n 回の試行で成功確率 p の事象が起きる回数の分布である。
正解：○（正しい）
解説：Binomial Distribution。期待値 np、分散 np(1-p)。コイン投げ・成功失敗等。
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問83．二項分布 B(n, p) の期待値は np である。
正解：○（正しい）
解説：1回の試行の成功回数（成功1・失敗0）の期待値はp。期待値は和について常に線形なので、n回分を足して E[X]=np となる（独立性は不要）。
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問84．二項分布 B(n, p) の分散は np(1-p) である。
正解：○（正しい）
解説：1回の試行の分散は p(1−p) で、n回の試行は互いに独立だから分散も加算でき Var[X]=np(1−p)=npq。p=0.5のとき最大となり、pが0や1に近づくほど小さくなる。標準偏差は √(np(1−p))。
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問85．正規分布 N(μ, σ²) は平均 μ・分散 σ² の左右対称な釣鐘型分布である。
正解：○（正しい）
解説：Normal Distribution（ガウス分布）。自然界・社会で頻繁に現れる中心極限定理の帰結。
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問86．標準正規分布 N(0, 1) は平均 0・分散 1 の正規分布である。
正解：○（正しい）
解説：Standard Normal Distribution。z = (X-μ)/σ で標準化。表で確率値を求められる。
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問87．正規分布で平均±1σの範囲には全データの約68%が含まれる。
正解：○（正しい）
解説：68-95-99.7ルール。±1σ=68%、±2σ=95%、±3σ=99.7%。
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問88．正規分布で平均±2σの範囲には全データの約95%が含まれる。
正解：○（正しい）
解説：正規分布では ±1σ に約68%、±2σ に約95.4%、±3σ に約99.7% が入る（68-95-99.7則）。ちょうど95%になるのは ±1.96σ だが、実務では覚えやすい ±2σ を目安として使う。
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問89．ポアソン分布は単位時間/単位空間あたりの稀な事象の発生回数の分布である。
正解：○（正しい）
解説：Poisson Distribution。期待値=分散=λ（パラメータ）。事故件数・電話着信数等。
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問90．ポアソン分布の期待値と分散は等しく、両者ともパラメータ λ である。
正解：○（正しい）
解説：ポアソン分布は二項分布で n→∞、p→0、np=λ 一定とした極限。Var=np(1−p) において p→0 なら (1−p)→1 となるため、分散は np=λ に収束し期待値と一致する。実データで分散が平均より大きい場合は過分散を疑う。
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問91．指数分布は次の事象が起きるまでの待ち時間の分布である。
正解：○（正しい）
解説：Exponential Distribution。期待値 1/λ。ポアソン過程の到着間隔。無記憶性（メモリレス）。
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問92．指数分布は無記憶性（メモリレス性）を持つ。
正解：○（正しい）
解説：P(X>s+t | X>s) = P(X>t)。すでにs時間待ったという情報が、その先さらにt時間待つ確率を変えない。故障率が一定の機器の寿命やポアソン過程の到着間隔がこれに従う。連続分布でこの性質を持つのは指数分布だけ。
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問93．離散一様分布は有限個の値が等確率で取られる分布である。
正解：○（正しい）
解説：N個の値がいずれも確率 1/N で現れる分布。公正なサイコロ（1〜6が各1/6）が典型例。値が等間隔に並んでいれば期待値は (min+max)/2 になる。
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問94．連続一様分布は区間 [a, b] 上で等密度の確率分布である。
正解：○（正しい）
解説：U(a,b)。期待値=(a+b)/2、分散=(b-a)²/12。確率密度関数 f(x) = 1/(b-a)。
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問95．確率変数 X の期待値 E[X] は X の取りうる値の確率加重平均である。
正解：○（正しい）
解説：取りうる値をその確率で重みづけて足し合わせた値。離散なら E[X]=Σx·P(X=x)、連続なら E[X]=∫x·f(x)dx。試行を長期間繰り返したときの1回あたりの平均値に対応する。
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問96．確率変数 X の分散 Var[X] は E[(X - E[X])²] で計算される。
正解：○（正しい）
解説：平均からのずれ（偏差）の2乗の期待値。展開すると Var[X]=E[X²]−(E[X])² となり、計算にはこちらが便利。2乗しているため必ず0以上で、0になるのは値が1点に集中する場合のみ。
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問97．独立な確率変数 X, Y では Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y] が成立する。
正解：○（正しい）
解説：一般には Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]+2Cov(X,Y)。独立なら Cov(X,Y)=0 となるため単純な和になる。逆に正の相関があれば、和の分散は各分散の合計より大きくなる。
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問98．共分散 Cov(X, Y) は X と Y の同時変動を表す指標である。
正解：○（正しい）
解説：Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]。正の共分散=同方向、負=逆方向、0=無相関。
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問99．相関係数は共分散を両者の標準偏差で割って正規化した指標である。
正解：○（正しい）
解説：ρ=Cov(X,Y)/(σx·σy)。共分散は単位が「Xの単位×Yの単位」となり大きさをそのままでは解釈できないため、各標準偏差で割って無次元化する。これにより値が −1〜1 に収まり、強さを比較できるようになる。
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問100．事象 A と B が独立なら P(A|B) = P(A) が成立する。
正解：○（正しい）
解説：P(A|B)=P(A∩B)/P(B) に独立の定義 P(A∩B)=P(A)P(B) を代入すると P(A) になる。「Bが起きたと分かってもAの起こりやすさが変わらない」というのが独立の直感的な意味。
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問101．二項分布で n が大きい場合、正規分布で近似可能である（中心極限定理）。
正解：○（正しい）
解説：二項分布は独立なベルヌーイ試行の和なので、中心極限定理により n が大きいと正規分布 N(np, np(1−p)) に近づく。目安は np≥5 かつ n(1−p)≥5。p が0や1に極端に近いと分布が端で切れて非対称になり、この目安を満たさない。
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問102．ポアソン分布は λ が大きい場合、正規分布で近似可能である。
正解：○（正しい）
解説：Po(λ) は独立な Po(λ/k) の和とみなせるため、λ が大きいと中心極限定理により N(λ, λ) に近づく。目安は λ≥20 程度。λ が小さいうちは0で切れた右に裾の長い形のままなので近似できない。
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問103．確率 P(A) は -1 ≦ P(A) ≦ 1 の範囲を取る。
正解：×（誤り）
解説：誤り。確率は 0 ≦ P(A) ≦ 1。全体を1としたときの割合として定義されるため、負の確率は存在せず、1を超えることもない。
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問104．排反事象 A, B では P(A∩B) ≠ 0 が成立する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。排反とは同時には起こらないこと、すなわち A∩B=∅ で P(A∩B)=0 が定義。だからこそ加法定理の重なり部分が消えて P(A∪B)=P(A)+P(B) と単純な和になる。
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問105．独立事象 A, B では P(A∪B) = P(A) × P(B) が成立する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。独立の定義は積事象について P(A∩B)=P(A)×P(B)。和事象は加法定理 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) に従い、独立なら P(A)+P(B)−P(A)P(B) となる。
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問106．条件付き確率 P(A|B) は P(A∩B) × P(B) で計算される。
正解：×（誤り）
解説：誤り。P(A|B)=P(A∩B)/P(B) で割り算。Bが起きた場合に条件を絞り、その中での割合に直すため P(B) で割る。掛ける形にすると乗法定理 P(A∩B)=P(A|B)×P(B) のほうになる。
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問107．ベイズの定理は P(A|B) = P(A) + P(B) で表される。
正解：×（誤り）
解説：誤り。ベイズの定理は P(A|B) = P(B|A)×P(A)/P(B)。加算ではない。
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問108．二項分布 B(n, p) の期待値は n + p である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。E[X]=np という積。1回あたりの成功期待値 p を n 回分足すためで、単位で見ても「回数×確率」で回数の次元になる。n+p では確率と回数を足すことになり意味をなさない。
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問109．二項分布 B(n, p) の分散は np である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。Var[X]=np(1−p)。1試行の分散 p(1−p) を n 倍したもの。np は期待値の式であり、両者が一致するのは p→0 の極限（ポアソン近似）のときに限られる。
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問110．正規分布は左右非対称な歪んだ分布である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正規分布は平均μを中心とした左右対称な釣鐘型で、平均・中央値・最頻値がすべて一致し歪度は0。左右非対称なのは指数分布やカイ二乗分布など。
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問111．標準正規分布 N(0, 1) の標準偏差は 0 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。標準正規分布 N(0,1) は平均0・分散1・標準偏差1。標準偏差が0では値が1点に集中してばらつきがなくなり、分布として意味をなさない。
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問112．正規分布で平均±1σの範囲には全データの約95%が含まれる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。±1σ は約68%。約95%は ±2σ（正確には ±1.96σ）、±3σ で約99.7% となる（68-95-99.7則）。
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問113．ポアソン分布の期待値と分散は異なる値を取る。
正解：×（誤り）
解説：誤り。ポアソン分布では E[X]=Var[X]=λ が成り立つ。二項分布で p→0 の極限を取ると Var=np(1−p)→np=λ となるため。実データで分散が平均を大きく上回る場合は過分散といい、負の二項分布などを検討する。
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問114．指数分布は記憶性を持つ。
正解：×（誤り）
解説：誤り。指数分布は無記憶性を持ち、P(X>s+t | X>s)=P(X>t)。すでに待った時間の長さは、その先の待ち時間の分布に影響しない。
-
問115．離散一様分布の確率は値ごとに異なる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。離散一様分布はN個の値がすべて等確率 1/N。値ごとに確率が異なるのは二項分布やポアソン分布など他の離散分布の特徴。
-
問116．連続一様分布 U(a, b) の期待値は a × b である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。連続一様分布 U(a,b) の期待値は区間の中点 (a+b)/2。左右対称な分布なので中央値も同じ値になる。ちなみに分散は (b−a)²/12。
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問117．確率変数 X の分散は X の取りうる値の和である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。分散は平均からのずれ（偏差）の2乗の期待値 E[(X−E[X])²] であり、値そのものの和ではない。散らばりの大きさを表す量なので、全員が同じ値なら0になる。
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問118．独立な X, Y では Var[X + Y] = Var[X] × Var[Y] が成立する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。独立なら Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y] と加算になる。一般式 Var[X]+Var[Y]+2Cov(X,Y) において、独立のとき共分散が0になるため和だけが残る。
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問119．共分散 Cov(X, Y) = 0 ならば X と Y は必ず独立である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。Cov=0 は『無相関』だが必ずしも独立とは限らない（非線形関係の可能性）。
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問120．赤玉と白玉が入った袋から5個の玉を1個ずつ元に戻さずに取り出すとき、取り出した中の赤玉の個数は二項分布に従う。
正解：×（誤り）
解説：誤り。元に戻さない（非復元）抽出では、取り出すたびに袋の中の構成が変わり各回の試行が独立でないため、赤玉の個数は超幾何分布に従う。二項分布になるのは毎回元に戻す（復元）抽出の場合（出題範囲表「確率分布：超幾何分布」）。
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問121．二項分布は連続確率分布である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。二項分布は n 回中の成功回数という 0,1,…,n の整数値しか取らない離散分布。連続分布は正規分布や指数分布のように実数値を取るものを指す。
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問122．ポアソン分布は連続確率分布である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。ポアソン分布は単位時間・単位面積あたりの発生回数という非負整数を取る離散分布。連続的な待ち時間の側を表すのが指数分布で、両者は表裏の関係にある。
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問123．正規分布は離散確率分布である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正規分布は実数全体で定義される連続分布で、確率は密度関数の面積（積分）として与えられる。連続分布では特定の1点ちょうどを取る確率は0になる。
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問124．中心極限定理は標本平均が二項分布に従うという定理である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。中心極限定理は、元の分布の形によらず標本平均（や和）の分布が標本サイズを大きくすると正規分布に近づくという定理。二項分布が正規分布で近似できるのは、この定理の一例にすぎない。
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問125．ベイズの定理では事後確率は事前確率に等しい。
正解：×（誤り）
解説：誤り。事後確率は事前確率に尤度比を掛けて更新される。両者は等しくない（データから更新）。
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問126．全事象の確率は 0 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。全事象（標本空間Ω）の確率は1。確率が0になるのは空事象∅で、こちらは決して起こらない事象を表す。
-
問127．排反事象は同時に起こりうる事象である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。排反（互いに排他的）とは同時には起こらないこと、A∩B=∅ を指す。サイコロで「1が出る」と「2が出る」は排反だが、「偶数が出る」と「4以下が出る」は2が該当するため排反ではない。
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問128．独立性は条件付き確率が0であることを意味する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。独立は P(A|B)=P(A)、つまりBの情報を得てもAの確率が変わらないこと。条件付き確率が0になるのはBが起きたときAが起こりえない場合で、これは独立どころか強い従属関係（排反）にあたる。
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問129．確率の取りうる範囲として正しいのはどれか。
- ア．0 ≦ P ≦ 1
- イ．-1 ≦ P ≦ 1
- ウ．0 ≦ P ≦ 100
- エ．-∞ < P < ∞
正解：ア．0 ≦ P ≦ 1
解説：確率は全体を1としたときの割合として定義されるため 0 ≦ P ≦ 1。負にはならず1も超えない。100%という表記は同じ値を百分率で書いただけで、確率そのものの定義域は0〜1のまま。
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問130．排反事象の定義として正しいのはどれか。
- ア．P(A∪B) = 0
- イ．P(A∩B) = 0
- ウ．P(A) = P(B)
- エ．P(A|B) = P(A)
正解：イ．P(A∩B) = 0
解説：排反（互いに排他的）とは2つの事象が同時に起こらないこと、すなわち A∩B=∅ なので P(A∩B)=0。P(A|B)=P(A) は独立の条件であって排反ではない。確率が正であれば、排反な2事象はむしろ独立にならない点に注意。
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問131．独立事象の定義として正しいのはどれか。
- ア．P(A∪B) = P(A)×P(B)
- イ．P(A) + P(B) = 1
- ウ．P(A∩B) = P(A)×P(B)
- エ．P(A) = P(B)
正解：ウ．P(A∩B) = P(A)×P(B)
解説：独立性 = P(A∩B) = P(A)×P(B)。同値定義として P(A|B) = P(A) も。
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問132．ベイズの定理の正しい式はどれか。
- ア．P(A|B) = P(A) + P(B)
- イ．P(A|B) = P(B|A)×P(B)
- ウ．P(A|B) = P(A)/P(B)
- エ．P(A|B) = P(B|A)×P(A)/P(B)
正解：エ．P(A|B) = P(B|A)×P(A)/P(B)
解説：P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)。乗法定理 P(A∩B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) の両辺を P(B) で割れば導ける。事前確率 P(A) に尤度 P(B|A) を掛け、P(B) で正規化して事後確率へ更新する形になっている。
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問133．二項分布 B(n, p) の期待値 E[X] として正しいのはどれか。
- ア．np
- イ．n+p
- ウ．n/p
- エ．n²p
正解：ア．np
解説：1回の試行の成功回数の期待値は p。期待値は和について線形なので、n回分を足して E[X]=np となる。単位で見ても「回数×確率」で回数の次元になり、n+p や n/p では次元が合わない。
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問134．二項分布 B(n, p) の分散 Var[X] として正しいのはどれか。
- ア．np
- イ．np(1-p)
- ウ．n²p
- エ．n+p
正解：イ．np(1-p)
解説：1試行の分散は p(1−p) で、n回の試行は独立だから分散を加算でき np(1−p)=npq となる。np は期待値の式なので混同しやすい。p=0.5 のとき分散は最大になる。
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問135．正規分布で平均±1σの範囲に含まれる確率として最も近いのはどれか。
- ア．50%
- イ．95%
- ウ．68%
- エ．99.7%
正解：ウ．68%
解説：68-95-99.7ルール：±1σ=68%、±2σ=95%、±3σ=99.7%。
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問136．正規分布で平均±2σの範囲に含まれる確率として最も近いのはどれか。
- ア．68%
- イ．75%
- ウ．99%
- エ．95%
正解：エ．95%
解説：正規分布の68-95-99.7則より ±1σ≈68%、±2σ≈95.4%、±3σ≈99.7%。したがって最も近いのは95%。なお、ちょうど95%となるのは ±1.96σ で、信頼区間の計算で使う値。
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問137．標準正規分布 N(0, 1) のパラメータとして正しいのはどれか。
- ア．平均0・標準偏差1
- イ．平均1・標準偏差0
- ウ．平均1・標準偏差1
- エ．平均0・標準偏差0
正解：ア．平均0・標準偏差1
解説：標準正規分布は平均0・分散1（したがって標準偏差も1）。任意の正規分布は z=(X−μ)/σ と標準化すれば N(0,1) に変換でき、1つの数表だけで確率を読み取れるようになる。
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問138．ポアソン分布のパラメータ λ について正しいのはどれか。
- ア．E[X]=1/λ、Var[X]=1/λ²
- イ．E[X]=λ、Var[X]=λ
- ウ．E[X]=λ、Var[X]=λ²
- エ．E[X]=λ、Var[X]=√λ
正解：イ．E[X]=λ、Var[X]=λ
解説：ポアソン分布 P(X=k)=e^{−λ}λ^k/k!（k=0,1,2,…）は、期待値と分散がともに λ になる（E[X]=Var[X]=λ）。二項分布 B(n,p) で n→∞・p→0・np=λ とした極限で、分散 np(1−p) も np=λ に近づくことから確かめられる。標準偏差は √λ なので、分散を √λ とするのは標準偏差との取り違え。期待値 1/λ・分散 1/λ² は、発生率（故障率）が一定で λ の指数分布の値で、ポアソン分布の値ではない。
根拠： NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods 1.3.6.6.19 Poisson Distribution Probability Mass Function p(x;λ)=e^{−λ}λ^x/x!、Mean λ、Standard Deviation √λ ／ NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods 1.3.6.6.7 Exponential Distribution scale parameter β（often referred to as λ which equals 1/β）、Mean μ+β（μ=0のとき β＝1/λ）、Standard Deviation β、constant failure rate（hazard function は一定）
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問139．指数分布の主要な性質として正しいのはどれか。
- ア．記憶性（過去依存）
- イ．必ず正規分布
- ウ．無記憶性（メモリレス）
- エ．必ず離散分布
正解：ウ．無記憶性（メモリレス）
解説：指数分布は『無記憶性』：P(X>s+t|X>s) = P(X>t)。ポアソン過程の到着間隔。
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問140．連続一様分布 U(0, 10) の期待値として正しいのはどれか.
- ア．0
- イ．2.5
- ウ．10
- エ．5
正解：エ．5
解説：連続一様分布 U(a,b) の期待値は区間の中点 (a+b)/2 なので (0+10)/2=5。左右対称な分布なので中央値も5になる。ちなみに分散は (b−a)²/12=100/12≈8.33。
-
問141．独立な X, Y について Var[X + Y] として正しいのはどれか。
- ア．Var[X] + Var[Y]
- イ．Var[X] × Var[Y]
- ウ．Var[X] - Var[Y]
- エ．2×Var[X]×Var[Y]
正解：ア．Var[X] + Var[Y]
解説：一般式は Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]+2Cov(X,Y)。独立なら Cov(X,Y)=0 となるため単純な和になる。なお差の場合も Var[X−Y]=Var[X]+Var[Y] と足し算になる点に注意。
-
問142．共分散 Cov(X, Y) と相関係数 ρ の関係として正しいのはどれか。
- ア．ρ = Cov(X, Y)
- イ．ρ = Cov(X, Y) / (σx × σy)
- ウ．ρ = Cov(X, Y) × σx × σy
- エ．ρ = Cov(X, Y) + σx + σy
正解：イ．ρ = Cov(X, Y) / (σx × σy)
解説：相関係数 ρ = Cov(X,Y) / (σx·σy)。共分散を標準偏差で正規化して単位なしに。
-
問143．サイコロを投げ続けるとき、初めて1の目が出るまでに投げる回数X（1の目が出た回も数える）の期待値はいくらか。
- ア．3.5
- イ．30
- ウ．6
- エ．36
正解：ウ．6
解説：Xは成功確率 p=1/6 の幾何分布に従い、期待値は 1/p=6 回。30 は分散 (1−p)/p²、3.5 はサイコロの目の期待値、36 は 1/p² で、いずれも期待値ではない（出題範囲表「確率分布：幾何分布」）。
-
問144．二項分布 B(10, 0.5) の分散として正しいのはどれか。
- ア．1.5
- イ．10
- ウ．5
- エ．2.5
正解：エ．2.5
解説：Var=np(1−p)=10×0.5×0.5=2.5。期待値 np=10×0.5=5 と混同しないこと。標準偏差は √2.5≈1.58。p=0.5 のとき、同じ n でも分散は最大になる。
-
問145．ポアソン分布 Po(λ=4) の標準偏差として正しいのはどれか。
- ア．2
- イ．4
- ウ．8
- エ．16
正解：ア．2
解説：ポアソン分布は Var=λ なので SD=√λ=√4=2。期待値も4だが、標準偏差はその平方根である点に注意。λ=4 は分散が4という意味であり、標準偏差が4ではない。
-
問146．確率変数 X が一様分布 U(0, 1) に従う場合、E[X²] として正しいのはどれか.
- ア．1/2
- イ．1/3
- ウ．1/4
- エ．1
正解：イ．1/3
解説：E[X²] = ∫₀¹ x²·1 dx = 1/3。 Var[X] = E[X²]-(E[X])² = 1/3 - 1/4 = 1/12 も導出できる。
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問147．二項分布が正規分布で近似可能となる条件として正しいのはどれか。
- ア．n が小さい
- イ．p が0または1に近い
- ウ．np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5
- エ．常に近似可能
正解：ウ．np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5
解説：二項分布は独立試行の和なので、中心極限定理により n が大きければ正規分布 N(np, np(1−p)) に近づく。ただし成功回数は0以上n以下でしか動けないため、n が小さかったり p が0や1に近かったりすると分布が端で切れて左右非対称になり、対称な正規分布では近似できない。np と n(1−p) がともに5以上あれば平均±2σ程度の範囲が0とnの内側に収まり、近似が実用的になる。これが「常に近似可能」ではない理由。
-
問148．ベイズ統計学で『データから更新する』対象として正しいのはどれか。
- ア．事前確率（prior）
- イ．正規化定数
- ウ．尤度（likelihood）
- エ．事後確率（posterior）
正解：エ．事後確率（posterior）
解説：ベイズの定理はデータを観測する前の事前確率に尤度を掛け、観測後の事後確率へと更新する枠組み。更新されて得られる結果が事後確率であり、事前確率と尤度は入力側、正規化定数は全体を1に揃えるための分母にすぎない。
-
問149．Cov(X, Y) = 0 のとき X, Y について言えることとして正しいのはどれか。
- ア．無相関だが独立とは限らない
- イ．必ず独立
- ウ．必ず従属
- エ．正規分布に従う
正解：ア．無相関だが独立とは限らない
解説：Cov=0は『無相関』だが、独立性とは異なる概念（非線形依存の可能性）。正規分布同時独立な場合は両者一致。
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問150．事象 A の余事象 A^c について正しいのはどれか。
- ア．P(A^c) = P(A)
- イ．P(A^c) = 1 - P(A)
- ウ．P(A^c) = 0
- エ．P(A^c) = -P(A)
正解：イ．P(A^c) = 1 - P(A)
解説：余事象の確率：P(A^c) = 1 - P(A)。全事象の確率1から事象Aの確率を引く。
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問151．仮説検定では帰無仮説 H₀ と対立仮説 H₁ の対立構造で検証する。
正解：○（正しい）
解説：Null vs Alternative Hypothesis。H₀を棄却するか否かで判定。
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問152．帰無仮説 H₀ は『差がない・効果がない』等の仮定で、棄却を目指す側になる。
正解：○（正しい）
解説：検定は「差がない」という保守的な仮定H₀を置き、それが正しいとすると観測されたデータは極めて起こりにくい、という背理法的な流れで対立仮説H₁を支持する。H₀を棄却できなければ「差があるとは言えない」に留まり、「差がない」と証明したことにはならない。
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問153．p値は帰無仮説が正しいと仮定したときに、観測されたデータ以上に極端な結果が得られる確率である。
正解：○（正しい）
解説：H₀が正しいと仮定した世界で、実際に観測された値以上に極端な結果が出る確率。小さいほど「H₀のもとではめったに起きないことが起きた」となりH₀への反証が強くなる。H₀が正しい確率でも対立仮説が正しい確率でもない点に注意。
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問154．有意水準 α 未満の p値で帰無仮説を棄却する。
正解：○（正しい）
解説：αは第1種の過誤を許容する上限として事前に決めておく値で、p<αなら「H₀のもとでの珍しさ」が許容範囲を超えたと判断してH₀を棄却する。p≥αのときは棄却しないだけで、H₀が正しいと証明されたわけではない。
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問155．第1種の過誤は帰無仮説が正しいのに棄却してしまうことである。
正解：○（正しい）
解説：H₀が正しいのに棄却してしまう誤り（偽陽性）で、その確率の上限が有意水準α。αを小さくすれば第1種の過誤は減るが、その分H₀を棄却しにくくなり第2種の過誤βが増えるというトレードオフがある。
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問156．第2種の過誤は帰無仮説が間違っているのに棄却しないことである。
正解：○（正しい）
解説：H₀が誤っているのに棄却できない誤り（偽陰性・見逃し）で、その確率がβ。差が小さい、ばらつきが大きい、標本が小さいほど起こりやすい。1−βが検出力であり、標本サイズを増やせばβを下げられる。
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問157．検出力（power）は対立仮説が正しいときに H₀ を正しく棄却する確率である。
正解：○（正しい）
解説：対立仮説が正しいときに正しくH₀を棄却できる確率で 1−β。標本サイズが大きいほど、効果量が大きいほど、ばらつきが小さいほど高くなる。検定を計画する段階で必要な標本サイズを決める根拠になる。
-
問158．両側検定は対立仮説が H₁: μ ≠ μ₀ 等のとき、片側検定は H₁: μ > μ₀ 等のときに使う。
正解：○（正しい）
解説：Two-tailed vs One-tailed Test。事前の方向仮説の有無で使い分け。
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問159．1標本t検定は1つの標本の平均が特定値と異なるか検定する手法である。
正解：○（正しい）
解説：t=(X̄−μ₀)/(s/√n) を計算し、自由度n−1のt分布と比較する。分子が平均のずれ、分母が標準誤差なので、ずれが標準誤差の何個分あるかを測る形。母分散が未知でsを代用するためz分布ではなくt分布を使う。
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問160．2標本t検定は2つの独立群の平均差を検定する手法である。
正解：○（正しい）
解説：H₀: μ₁ = μ₂ vs H₁: μ₁ ≠ μ₂。等分散・不等分散で式が異なる（ウェルチ等）。
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問161．対応のあるt検定は同一個体の前後測定等のペアデータの差を検定する手法である。
正解：○（正しい）
解説：ペアごとに差を取れば個体差が消え、「差の平均が0か」という1標本t検定に帰着する。同一個体で前後を測る場合は、対応のないt検定より個体差の分ばらつきが小さくなるため検出力が高くなる。
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問162．カイ二乗適合度検定は観測度数が期待度数と一致するか検定する。
正解：○（正しい）
解説：Goodness of Fit Test。χ² = Σ(O-E)²/E。自由度はカテゴリ数-1（パラメータ調整あり）。
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問163．カイ二乗独立性検定は分割表の2つのカテゴリ変数が独立か検定する。
正解：○（正しい）
解説：Test of Independence。期待度数 = 行合計×列合計/総計。自由度=(行-1)(列-1)。
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問164．分散分析（ANOVA）は3群以上の平均差を一括検定する手法である。
正解：○（正しい）
解説：F検定を使用。1元配置（要因1つ）、2元配置（要因2つ）等。多重比較問題を回避。
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問165．重回帰分析では、性別のような2値のカテゴリ変数を0と1の値をとるダミー変数にして説明変数に加えることができる。
正解：○（正しい）
解説：正しい。例えば男性=0・女性=1 とすると、その偏回帰係数は他の説明変数を一定にしたときの男女の平均的な差を表す。3つ以上のカテゴリなら「カテゴリ数−1」個のダミー変数を使う（出題範囲表「回帰分析：ダミー変数を用いた回帰」）。
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問166．相関の検定では H₀: ρ = 0（相関なし）を検定する。
正解：○（正しい）
解説：ピアソン相関係数 r から t統計量を計算して検定。t = r√(n-2)/√(1-r²)。
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問167．単回帰分析 y = a + bx で回帰係数 b の検定は『b = 0』を帰無仮説とする。
正解：○（正しい）
解説：傾きbが0なら、xがどれだけ変わってもyの予測値は動かない、つまりxはyの説明に寄与しないことになる。したがってH₀: b=0を棄却できるかが回帰分析の中心的な検定になる。単回帰ではこれは相関係数ρ=0の検定と数学的に同値。
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問168．決定係数 R² は単回帰では相関係数の2乗に等しい。
正解：○（正しい）
解説：単回帰では、回帰で説明できた変動の割合R²が相関係数rの2乗にちょうど一致する。r=0.8ならR²=0.64で、yの変動の64%を説明できたことになる。重回帰では説明変数が複数になるため、単純な2乗の関係ではなくなる。
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問169．残差分析は回帰モデルの妥当性を検証する手法である。
正解：○（正しい）
解説：残差プロット・正規Q-Qプロット等で、残差が等分散・正規分布・独立性を満たすか確認。
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問170．残差の正規性は回帰係数の信頼区間・検定の前提条件である。
正解：○（正しい）
解説：回帰係数のt検定や信頼区間は、係数の推定量が正規分布に従うことを前提に導かれており、その根拠が誤差項（残差）の正規性。正規性が大きく崩れるとp値や区間の妥当性が失われる。残差プロットやQ-Qプロット、シャピロ・ウィルク検定で確認する。
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問171．回帰モデルの多重共線性は説明変数間の強い相関により推定が不安定になる現象である。
正解：○（正しい）
解説：Multicollinearity。VIF (分散拡大係数) > 10 で警戒。重回帰特有の問題。
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問172．重回帰分析は2つ以上の説明変数で目的変数を予測する手法である。
正解：○（正しい）
解説：y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+…+ε の形で複数の説明変数を同時に扱う。各係数は「他の説明変数を一定に保ったときの効果」を表す偏回帰係数であり、その変数だけで単回帰したときの係数とは意味も値も異なる。
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問173．偏回帰係数は他の説明変数を固定した条件での説明変数1単位変化の効果を表す。
正解：○（正しい）
解説：Partial Regression Coefficient。多重共線性があると不安定。
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問174．調整済み決定係数は重回帰で説明変数の数を考慮した R² の補正値である。
正解：○（正しい）
解説：Adjusted R²。説明変数を増やすだけでは上がらないため、モデル比較に有用。
-
問175．回帰係数の有意性検定では各係数について t検定を実施する。
正解：○（正しい）
解説：各説明変数についてH₀: βᵢ=0を立て、推定値を標準誤差で割ったt統計量からp値を求める。「他の変数を統制したうえでこの変数は寄与しているか」を見る検定であり、モデル全体が有意かどうかはF検定で別に判定する。
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問176．95%信頼区間内に0が含まれない係数は5%水準で有意である。
正解：○（正しい）
解説：95%信頼区間に0が入らないことと、有意水準5%でH₀: b=0が棄却されることは同値。信頼区間は「棄却されない値の集合」と読めるため、区間推定と仮説検定は表裏の関係にある。0を含むなら係数が0である可能性を否定できない。
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問177．k個の群（総データ数N）の一元配置分散分析では、群間の自由度は k−1、群内（残差）の自由度は N−k である。
正解：○（正しい）
解説：正しい。全体の自由度 N−1 が、群間 k−1 と群内 N−k に分かれる。F比は「群間平方和/(k−1)」を「群内平方和/(N−k)」で割った値で、自由度 (k−1, N−k) のF分布と比べる（出題範囲表「線形モデル：一元配置実験、F比」）。
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問178．帰無仮説 H₀ は『差がある・効果がある』等の仮定で棄却を目指す側になる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。棄却を目指す側がH₀であるという点は正しいが、H₀の中身が逆。H₀は『差がない・効果がない』という保守的な仮定であり、これを棄却することで『差がある』という対立仮説H₁を支持する構造になっている。
-
問179．p値は帰無仮説が正しい確率である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。p値は『H₀ が正しいと仮定したときに観測データ以上の結果が得られる確率』。H₀正しい確率ではない（よくある誤解）。
-
問180．有意水準 α より大きい p値で帰無仮説を棄却する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。p<αのときにH₀を棄却する。pが小さいほど「H₀のもとではめったに起きない結果」を意味するため反証が強い。p≥αなら棄却せず、『差があるとは言えない』に留まる。
-
問181．2つの正規母集団の母分散が未知で等しいとは限らない場合の母平均の差の検定では、2群の不偏分散をまとめた併合（プールした）分散を用いるt検定を使う。
正解：×（誤り）
解説：誤り。併合分散を用いる2標本t検定は、母分散が未知でも等しいと仮定できる場合の方法。等しいとは限らない場合は、各群の不偏分散をそのまま使い自由度を近似するウェルチの検定を用いる（出題範囲表「仮説検定：母平均の差の検定」）。
-
問182．検出力（power）は β に等しい。
正解：×（誤り）
解説：誤り。検出力は1−βで、第2種の過誤を犯さない確率。βそのものは「差があるのに見逃す確率」なので、これを検出力とすると意味が正反対になる。
-
問183．両側検定と片側検定は同じ意味である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。両側（H₁: μ ≠ μ₀）と片側（H₁: μ > μ₀）は対立仮説の方向性が異なる。
-
問184．1標本t検定では2つの群を比較する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。1標本t検定は『1つの群』の平均が特定値と異なるか検定。2群比較は2標本t検定。
-
問185．対応のあるt検定は独立な2群を比較する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。対応のあるt検定は『ペアデータ（前後測定等）』。独立2群は独立2標本t検定。
-
問186．カイ二乗適合度検定は連続データの分布を検定する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。カイ二乗適合度検定はカテゴリごとの観測度数と期待度数のずれを2乗和で測る手法なので、対象は度数（カテゴリカル）データ。連続データの分布の当てはまりはコルモゴロフ・スミルノフ検定などで調べる。
-
問187．カイ二乗独立性検定の自由度は（行+列-1）である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。自由度は (行−1)(列−1) の積。行合計・列合計が固定されているため最後の1行と1列は残りから決まってしまい、自由に値を決められるセルの個数がこれになる。2×2表なら自由度は1。
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問188．分散分析（ANOVA）は2群比較に使う。
正解：×（誤り）
解説：誤り。2群の平均差の比較はt検定で足りる。ANOVAは3群以上を一括で検定し、総当たりのt検定で第1種の過誤が積み上がる多重比較の問題を避けるために使う手法。
-
問189．相関の検定では H₀: ρ = 1 を検定する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。相関の検定ではH₀: ρ=0（相関がない）を立て、これを棄却できるかを見る。ρ=1は全点が完全に直線上に並ぶという極端な状態で、通常の帰無仮説にはしない。
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問190．単回帰の回帰係数 b = 0 の検定は意味がない。
正解：×（誤り）
解説：誤り。b=0はxがyの説明に寄与しないことを意味するので、これを棄却できるかどうかは回帰分析で最も重要な検定にあたる。単回帰ではρ=0（無相関）の検定と同値になる。
-
問191．単回帰では決定係数と相関係数は無関係である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。単回帰ではR²=r²という明確な関係がある。相関係数の2乗が、yの全変動のうち回帰で説明できた割合を表す。
-
問192．残差が等分散でない場合でも回帰分析の前提は満たされる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。等分散性（ホモスケダスティシティ）は回帰分析の重要な前提。違反するとWLS等の対処が必要。
-
問193．多重共線性があると重回帰の係数推定が安定する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。説明変数どうしが強く相関していると、どちらの変数の寄与か切り分けられず、係数の標準誤差が膨らんで推定が不安定になる。符号が理論と逆転することもある。VIFが10を超えたら警戒する。
-
問194．重回帰分析は1つの説明変数のみ扱う。
正解：×（誤り）
解説：誤り。説明変数が2つ以上なら重回帰、1つなら単回帰。重回帰では各係数が「他の変数を一定に保ったときの効果」を表す偏回帰係数になる点も単回帰と異なる。
-
問195．偏回帰係数は他の説明変数を考慮しない係数である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。偏回帰係数は他の説明変数を一定に保った（統制した）条件でのその変数の効果を表す。そのため同じ変数でも単回帰したときの係数とは値が異なり、他変数との相関が強いほどずれは大きくなる。
-
問196．調整済み決定係数は説明変数を増やすと必ず上がる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。調整済みR²は『説明変数の効果を補正』するため、無関係な変数を加えても上がらない。
-
問197．有意な係数の95%信頼区間には0が含まれる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。有意な係数（5%水準）の95%信頼区間には『0が含まれない』。0を含むと有意でない。
-
問198．大標本ほど検出力は低くなる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。標本サイズが大きいほど標準誤差が小さくなり、同じ大きさの差でも有意と判定しやすくなるため検出力は高くなる。逆に大標本では実質的に意味のない小さな差まで有意になりうるので、効果量の確認が重要。
-
問199．α と β は trade-off 関係でない。
正解：×（誤り）
解説：誤り。α と β は『trade-off』。αを下げると（厳しい基準）βが上がる傾向。
-
問200．カイ二乗検定の期待度数は小さいほど良い。
正解：×（誤り）
解説：誤り。期待度数が小さい（特に5未満）と検定の信頼性が低下。Fisher's exact test等の代替手法を検討。
-
問201．残差プロットでパターンが見られる場合、モデルは適切である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。逆。残差にパターン（傾向）があると『モデルが不適切』のサイン。残差はランダムであるべき。
-
問202．回帰の外れ値は分析結果に影響しない。
正解：×（誤り）
解説：誤り。外れ値は回帰直線・係数を大きく歪める可能性あり。Cook's距離等で検出・対処が必要。
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問203．分散分析後の多重比較は単純なt検定の繰り返しで問題ない。
正解：×（誤り）
解説：誤り。多重比較問題（α上昇）が発生。Tukey法・Bonferroni法等の補正が必要。
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問204．仮説検定で『棄却を目指す側』の仮説として正しいのはどれか。
- ア．帰無仮説 H₀
- イ．対立仮説 H₁
- ウ．両側仮説
- エ．片側仮説
正解：ア．帰無仮説 H₀
解説：検定は『差がない』という保守的な帰無仮説H₀を立て、これを棄却することで対立仮説H₁を支持する背理法的な構造を取る。H₁は支持したい側であって棄却の対象ではない。両側・片側は棄却域の取り方の区別であり、仮説の役割の名称ではない。
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問205．p値の正しい定義として最も適切なものはどれか。
- ア．H₀が正しい確率
- イ．H₀正しいと仮定したときの極端な結果の確率
- ウ．H₁が正しい確率
- エ．検定の精度
正解：イ．H₀正しいと仮定したときの極端な結果の確率
解説：p値=H₀下で観測データ以上に極端な結果が得られる確率。H₀正しい確率ではない（よくある誤解）。
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問206．有意水準 α と検定結果の関係として正しいのはどれか.
- ア．p > α で H₀棄却
- イ．p = α で H₀棄却
- ウ．p < α で H₀棄却
- エ．関係なし
正解：ウ．p < α で H₀棄却
解説：pはH₀のもとでの結果の珍しさを表すので、これが事前に決めたα未満なら「偶然では説明しにくい」としてH₀を棄却する。p≥αなら棄却せず、H₀が正しいと証明されたわけではない。p=αちょうどは通常棄却しない扱いとする。
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問207．第1種の過誤の定義として正しいのはどれか。
- ア．推定値が外れる
- イ．H₀が間違いなのに棄却しない
- ウ．H₁が正しいのに棄却
- エ．H₀が正しいのに棄却
正解：エ．H₀が正しいのに棄却
解説：第1種の過誤（αエラー）は、H₀が正しいのに棄却してしまう誤り＝偽陽性で、その確率の上限が有意水準α。H₀が間違いなのに棄却しないほうは第2種の過誤であり、取り違えやすいので注意。
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問208．第2種の過誤の定義として正しいのはどれか。
- ア．H₀が間違いなのに棄却しない
- イ．H₀が正しいのに棄却
- ウ．H₁が正しいのに棄却
- エ．推定値が高すぎ
正解：ア．H₀が間違いなのに棄却しない
解説：第2種の過誤（βエラー）は、H₀が間違っているのに棄却できない誤り＝見逃し（偽陰性）。差が小さい、ばらつきが大きい、標本が小さいほど起こりやすく、1−βが検出力にあたる。
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問209．検出力（power）の定義として正しいのはどれか。
- ア．α
- イ．1 - β
- ウ．1 - α
- エ．β
正解：イ．1 - β
解説：検出力は対立仮説が正しいときに正しくH₀を棄却できる確率なので、見逃す確率βの余事象1−β。αは第1種の過誤の確率、1−αは信頼度にあたり、いずれも別の概念。
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問210．2群の独立群の平均差を検定する手法として正しいのはどれか。
- ア．1標本t検定
- イ．対応のあるt検定
- ウ．2標本t検定
- エ．カイ二乗検定
正解：ウ．2標本t検定
解説：2標本t検定（Independent t-test）。等分散・不等分散（ウェルチ）で式異なる。
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問211．同一個体の前後測定の差を検定する手法として正しいのはどれか。
- ア．1標本t検定
- イ．2標本t検定
- ウ．ANOVA
- エ．対応のあるt検定
正解：エ．対応のあるt検定
解説：対応のあるt検定（Paired t-test）。差の平均が0かを1標本t検定で検証。
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問212．3群以上の平均差を一括検定する手法として正しいのはどれか。
- ア．ANOVA（分散分析）
- イ．t検定
- ウ．カイ二乗検定
- エ．回帰分析
正解：ア．ANOVA（分散分析）
解説：3群以上をt検定で総当たりすると、検定の回数だけ第1種の過誤が積み上がる（多重比較の問題）。ANOVAは群間分散と群内分散の比Fによって「どこかに差があるか」を一括判定するためこの問題を避けられる。差の所在は事後の多重比較で調べる。
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問213．分割表の2変数の独立性を検定する手法として正しいのはどれか.
- ア．対応のあるt検定
- イ．カイ二乗検定
- ウ．等分散のF検定
- エ．母比率の検定
正解：イ．カイ二乗検定
解説：分割表の2つの属性が独立かどうかは、カイ二乗検定（独立性の検定）で調べる。独立と仮定すると各セルの期待度数は（行の合計×列の合計）÷総数となり、観測度数とのずれ Σ(観測度数-期待度数)²/期待度数 を、自由度（行数-1）×（列数-1）のカイ二乗分布と比べて判定する。対応のあるt検定は対応のある2標本の平均の差、等分散のF検定は2つの母分散の比、母比率の検定は比率が特定の値かどうかを調べる方法で、2変数の独立性は扱わない。
-
問214．単回帰分析で回帰係数 b の有意性検定の帰無仮説として正しいのはどれか.
- ア．b = r
- イ．b = 1
- ウ．b = 0
- エ．b = R²
正解：ウ．b = 0
解説：b=0ならxが変化してもyの予測値が変わらない＝xはyの説明に寄与しない、という意味になるのでこれを帰無仮説に置く。b=1やb=rを帰無仮説にしても「効果があるか」という問いには対応しない。単回帰ではρ=0の検定と同値。
-
問215．単回帰における決定係数 R² と相関係数 r の関係として正しいのはどれか.
- ア．R² = r
- イ．R² = √r
- ウ．R² = |r|
- エ．R² = r²
正解：エ．R² = r²
解説：単回帰では決定係数が相関係数の2乗に一致する。r=0.8ならR²=0.64で、yの変動の64%を回帰で説明できたことになる。rは−1〜1で符号を持つのに対しR²は2乗なので必ず0〜1に収まる点とも整合する。
-
問216．重回帰分析の説明変数の数として正しいのはどれか。
- ア．2つ以上
- イ．1つ
- ウ．制限なし（0個も可）
- エ．負の数
正解：ア．2つ以上
解説：説明変数が2つ以上なら重回帰、1つなら単回帰。0個では予測式が定数（平均）になってしまい回帰として意味をなさず、個数が負になることもない。ただし多すぎる変数は過学習や多重共線性を招く。
-
問217．多重共線性の問題として正しいのはどれか.
- ア．係数推定が安定
- イ．係数推定が不安定（標準誤差増大）
- ウ．R²が0になる
- エ．残差が小さくなる
正解：イ．係数推定が不安定（標準誤差増大）
解説：説明変数どうしが強く相関していると、どちらの変数の寄与か切り分けられず、係数の標準誤差が膨らんで推定値が標本ごとに大きく振れる。符号が理論と逆転することもある。VIFが10を超えたら警戒し、変数の統合や除外を検討する。モデル全体のR²は高いままのことが多い点が厄介。
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問218．残差プロットの理想的な様子として正しいのはどれか.
- ア．明確なパターンあり
- イ．V字型
- ウ．ランダムに散らばる
- エ．正弦曲線型
正解：ウ．ランダムに散らばる
解説：モデルが適切なら残差は情報を含まない誤差だけになるため、予測値に対してランダムに散らばる。V字型や曲線が見えれば非線形性の見落とし、幅が広がっていく形なら不等分散のサインで、変数変換やモデルの見直しが必要になる。
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問219．95%信頼区間に0が含まれる回帰係数の意味として正しいのはどれか。
- ア．5%水準で有意
- イ．必ず負の係数
- ウ．必ず正の係数
- エ．5%水準で有意でない
正解：エ．5%水準で有意でない
解説：95%信頼区間は「5%水準で棄却されない値の集合」にあたるので、0が含まれることはH₀: b=0を棄却できない＝5%水準で有意でないことを意味する。区間が0をまたぐため、係数の符号すら確定できない状態にある。
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問220．両側検定と片側検定の使い分けとして正しいのはどれか.
- ア．両側：H₁:μ≠μ₀、片側：H₁:μ>μ₀
- イ．両側：H₁:μ>μ₀、片側：H₁:μ≠μ₀
- ウ．両者とも同じ
- エ．常に両側検定
正解：ア．両側：H₁:μ≠μ₀、片側：H₁:μ>μ₀
解説：両側 H₁: μ ≠ μ₀（方向問わず差あり）、片側 H₁: μ > μ₀ または μ < μ₀（方向あり）。
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問221．カイ二乗適合度検定の自由度として正しいのはどれか（k カテゴリの場合、パラメータ推定なし）。
- ア．k
- イ．k - 1
- ウ．k + 1
- エ．k²
正解：イ．k - 1
解説：k個のカテゴリの度数は合計が総数に固定されているため、最後の1つは残りから決まってしまう。自由に動けるのはk−1個なので自由度はk−1。分布のパラメータを標本から推定した場合は、その個数分さらに引く。
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問222．多重比較問題への対処法として正しいのはどれか。
- ア．単純なt検定繰返し
- イ．ANOVAをスキップ
- ウ．Bonferroni補正・Tukey法
- エ．検定をやめる
正解：ウ．Bonferroni補正・Tukey法
解説：多重比較ではα上昇問題発生。Bonferroni・Tukey・Holm等の補正法で対処。
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問223．標本サイズと検出力の関係として正しいのはどれか.
- ア．大標本→検出力低
- イ．小標本→検出力高
- ウ．関係なし
- エ．大標本→検出力高
正解：エ．大標本→検出力高
解説：標本サイズが大きいほど標準誤差 σ/√n が小さくなり、同じ大きさの差でも検定統計量が大きくなって有意と判定しやすくなるため検出力は上がる。検定の計画では、検出したい効果量から必要な標本サイズを逆算する。
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問224．α と β の関係として正しいのはどれか。
- ア．α上→β下（trade-off）
- イ．α上→β上
- ウ．α=βで一定
- エ．関係なし
正解：ア．α上→β下（trade-off）
解説：α と β は trade-off。αを下げる（厳しい基準）と β が上がる傾向。両者バランスが重要。
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問225．回帰分析の前提条件として該当しないものはどれか。
- ア．線形性
- イ．説明変数が必ず2つ以上
- ウ．残差の正規性
- エ．残差の等分散性
正解：イ．説明変数が必ず2つ以上
解説：前提=線形性・残差の等分散性・残差の正規性・残差の独立性。説明変数の数は前提ではない。
-
問226．母集団は調査対象の全体集合、標本は母集団から抽出された部分集合である。
正解：○（正しい）
解説：Population vs Sample。標本から母集団の性質を推定するのが推測統計学。
-
問227．標本統計量は標本から計算される統計量で、母集団の対応する母数の推定に使われる。
正解：○（正しい）
解説：母集団全体を調べるのは費用・時間の面で困難なため、抽出した標本から計算した統計量（標本平均・標本分散など）で母数（母平均μ・母分散σ²）を推し量る。標本統計量は抽出のたびに値が変わる確率変数であり、そのばらつきを表す分布を標本分布という。
-
問228．標本平均の期待値は母平均に等しい（不偏性）。
正解：○（正しい）
解説：E[X̄]=(1/n)ΣE[Xᵢ]=(1/n)(nμ)=μ。期待値の線形性から導ける。個々の標本平均は母平均からずれるが、抽出を繰り返したときの平均としては母平均に一致するため、系統誤差（バイアス）のない不偏推定量といえる。
-
問229．標本平均の分散は母分散を標本サイズで割った値である。
正解：○（正しい）
解説：各Xᵢは独立で分散σ²だから和の分散はnσ²、これをn²で割って Var[X̄]=σ²/n。標本サイズを増やすほど標本平均のばらつきは小さくなり精度が上がる。ただし標準偏差でみた縮小は1/nではなく1/√nの速さ。
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問230．中心極限定理により、標本サイズが大きいとき標本平均は正規分布に従う。
正解：○（正しい）
解説：X̄ ≈ N(μ, σ²/n) for large n。母集団分布によらず近似的に正規分布。
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問231．不偏分散 s² は (n-1) で除する分散で、母分散の不偏推定量である。
正解：○（正しい）
解説：s² = Σ(xi-x̄)²/(n-1)。n で除した標本分散は偏りあり（過小評価）。
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問232．正規母集団の母分散σ²の信頼区間は、不偏分散をs²として (n−1)s²/σ² が自由度 n−1 のカイ二乗分布に従うことを利用して求める。
正解：○（正しい）
解説：正しい。(n−1)s²/σ² ～ χ²(n−1) なので、カイ二乗分布の上側・下側のパーセント点で挟み、σ²について解くと信頼区間が得られる。カイ二乗分布は左右非対称なので、区間も s² を中心に対称にはならない（出題範囲表「推定：母分散の区間推定」）。
-
問233．点推定は母数を1つの値で推定する手法である。
正解：○（正しい）
解説：Point Estimation。標本平均X̄→母平均μ等。簡明だが推定の精度情報なし。
-
問234．区間推定は母数を信頼区間として推定する手法である。
正解：○（正しい）
解説：点推定は1つの値を示すだけで、それがどの程度当てになるかを伝えられない。区間推定は「95%信頼区間」のように幅で示すことで推定の不確実性まで表現する。標本サイズが大きいほど、また信頼度が低いほど区間は狭くなる。
-
問235．95%信頼区間とは、同じ手順で何度も標本抽出を繰り返したとき、約95%の区間が母数を含むという意味である。
正解：○（正しい）
解説：頻度論では母数は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう。したがって「同じ手順を繰り返せば、作られる区間の約95%が母数を覆う」が正しい解釈になる。「この区間に母数が95%の確率で入る」という言い方はベイズ統計の信用区間の解釈。
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問236．母分散既知の場合の母平均の信頼区間は X̄ ± z(α/2) × σ/√n で計算される。
正解：○（正しい）
解説：母分散σ²が既知なら X̄ は正規分布 N(μ, σ²/n) に従うので、標準化して標準正規分布の分位点zを使える。95%なら z=1.96 で X̄ ± 1.96×σ/√n。σが既知の状況は実務では多くないが、区間推定の理論的な出発点になる。
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問237．母分散未知の場合の母平均の信頼区間は X̄ ± t(α/2, n-1) × s/√n で計算される。
正解：○（正しい）
解説：σが未知のときは標本標準偏差sで代用するが、sにも標本ごとのばらつきがあるためz分布では幅が足りない。その不確実性の分だけ裾を厚くした自由度n−1のt分布を使う。標本が小さいほどzとtの差が大きく、t分布を使う意味が大きくなる。
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問238．t分布は自由度が大きくなるにつれ標準正規分布に近づく。
正解：○（正しい）
解説：自由度が大きい＝標本が大きいほど、σの代用であるsの推定精度が上がって不確実性が減るため、t分布の裾の厚みが解消され標準正規分布に近づく。実用上はn≥30程度でほぼ一致するとされる。
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問239．母比率 p の信頼区間は p̂ ± z(α/2) × √(p̂(1-p̂)/n) で近似計算される。
正解：○（正しい）
解説：二項分布の正規近似を用い、標本比率p̂の標準誤差 √(p̂(1−p̂)/n) にzを掛けて幅を作る。近似が成り立つ目安は np̂≥5 かつ n(1−p̂)≥5 で、比率が0や1に近い場合やnが小さい場合は正確法（クロッパー・ピアソン法など）を使う。
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問240．カイ二乗分布は自由度パラメータを持つ非対称分布で、分散の検定・適合度検定等に使う。
正解：○（正しい）
解説：独立な標準正規変数k個の2乗和が従う分布で、自由度kをパラメータに持つ。2乗和なので必ず0以上となり右に裾の長い非対称形になる。分散の推定・検定や、観測度数と期待度数のずれを測る適合度検定・独立性検定に使う。
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問241．F分布は2つのカイ二乗分布の比の分布で、分散比検定・ANOVA等に使う。
正解：○（正しい）
解説：2つの独立なカイ二乗変数をそれぞれの自由度で割った比が従う分布で、分子・分母2つの自由度をパラメータに持つ。分散の比を評価する形なので、等分散性の検定や、群間分散と群内分散を比べる分散分析（ANOVA）に使われる。
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問242．最尤推定法は与えられたデータが観測される確率（尤度）を最大化するパラメータを選ぶ手法である。
正解：○（正しい）
解説：Maximum Likelihood Estimation。多くの推定問題で使われる基本手法。
-
問243．母比率pの母集団から大きさnの標本を無作為抽出したとき、標本比率p̂の分散は p(1−p)/n である。
正解：○（正しい）
解説：正しい。成功数XはB(n,p)に従い分散 np(1−p)。p̂=X/n なので分散は np(1−p)/n²=p(1−p)/n。標準誤差はその平方根 √(p(1−p)/n) で、母比率の区間推定や検定の基礎になる（出題範囲表「標本分布：標本比率の分布」）。
-
問244．標本サイズが大きいほど信頼区間は狭くなる。
正解：○（正しい）
解説：区間幅は標準誤差 σ/√n に比例するため、nを増やせば幅は1/√nの速さで縮む。裏を返すと精度を2倍にするには標本サイズを4倍にする必要があり、収穫逓減の関係にある。
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問245．信頼度を上げると（90%→99%等）信頼区間は広くなる。
正解：○（正しい）
解説：区間が母数を覆う確率を高めるには、より広く網を張るしかない。95%ならz=1.96、99%ならz=2.58と分位点が大きくなり、その分だけ幅が広がる。信頼度と精度（区間の狭さ）はトレードオフの関係にある。
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問246．不偏推定量は推定量の期待値が母数と等しい性質を持つ。
正解：○（正しい）
解説：E[θ̂]=θ。個々の推定値は真値からずれるが、抽出を繰り返した平均としては真値に一致し、系統的な偏り（バイアス）がない。ばらつきの小ささ（有効性）やn→∞での収束（一致性）とは別の性質。
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問247．有効推定量は不偏推定量の中で分散が最小のものである。
正解：○（正しい）
解説：不偏という条件を満たす推定量は複数ありうるため、その中で分散が最小＝最も安定して真値の近くに集まるものを有効推定量という。不偏推定量の分散にはクラーメル・ラオの下限という理論的な限界があり、それを達成するものが有効推定量。
-
問248．一致推定量は標本サイズを増やすと真の母数に収束する推定量である。
正解：○（正しい）
解説：n→∞のとき θ̂ が θ へ確率収束する性質。標本を増やせばいくらでも真値に近づけるという保証で、有限の標本での偏りの有無（不偏性）とは別概念。nで割る標本分散は不偏ではないが一致推定量ではある。
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問249．十分統計量はデータから母数に関する全情報を保持する統計量である。
正解：○（正しい）
解説：その統計量の値が分かれば、元データを追加で見ても母数についての情報は増えない、という統計量。正規分布の母平均に対しては標本平均が十分統計量で、データを1つの値へ圧縮しても推定に必要な情報が失われない。
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問250．大数の法則により、標本サイズが大きいほど標本平均は母平均に近づく。
正解：○（正しい）
解説：Law of Large Numbers。X̄→μ（n→∞）。中心極限定理と並ぶ統計学の基本定理。
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問251．標準誤差（SE）は標本平均の標準偏差で、σ/√n で計算される。
正解：○（正しい）
解説：標本平均という統計量そのもののばらつきを表す量で SE=σ/√n。データ自体のばらつきσと混同しやすいが、SEはnを増やすほど小さくなる。信頼区間の幅は、このSEに信頼係数（zやt）を掛けて作られる。
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問252．大きさNの有限母集団から大きさnの標本を非復元で無作為抽出するとき、標本平均の分散は σ²/n に (N−n)/(N−1) を掛けた値になる。
正解：○（正しい）
解説：正しい。(N−n)/(N−1) は有限母集団修正と呼ばれ、標本が母集団に占める割合が大きいほど標本平均の分散は小さくなる。n=N（全数調査）なら0になり、Nがnに比べて十分大きければほぼ1で σ²/n と変わらない（出題範囲表「推定：有限母集団」）。
-
問253．標本は母集団より大きい。
正解：×（誤り）
解説：誤り。標本は母集団から抽出した部分集合なので、サイズは必ず母集団以下になる。全数調査でちょうど等しくなることはあっても、上回ることはない。
-
問254．標本平均の期待値は母分散に等しい。
正解：×（誤り）
解説：誤り。E[X̄]=μ で母平均に一致する。母分散σ²に対応する不偏推定量は、n−1で割った不偏分散 s² のほう。
-
問255．標本平均の分散は標本サイズによらず一定である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。Var[X̄]=σ²/n なので標本サイズに反比例して小さくなる。だからこそ標本を増やすと推定精度が上がり、信頼区間も狭くなる。
-
問256．多段抽出法では、第1段で無作為に選んだ集団（例：市区町村）について、その構成員を全員調査する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。選んだ集団の構成員を全員調べるのはクラスター（集落）抽出法。多段抽出法は、第1段で選んだ集団の中からさらに小さな単位（例：世帯・個人）を無作為に選ぶように、段階的に抽出を重ねる方法（JIS Z 8101-2 1.3.9・1.3.10）。
-
問257．不偏分散は n で除する分散である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。不偏分散は『(n-1)』で除する分散。n で除する分散は標本分散（偏りあり）。
-
問258．95%信頼区間は『母数が95%確率で区間内に入る』という意味である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。頻度論的解釈では『同じ手順を繰り返したとき約95%の区間が母数を含む』。母数自体は確率変数ではない。
-
問259．母分散既知の場合の信頼区間にはt分布を使う。
正解：×（誤り）
解説：誤り。母分散σ²が既知なら標準化した統計量は厳密に標準正規分布に従うのでz分布を使う。t分布は、σを標本標準偏差sで代用することによる不確実性を補うために、母分散未知の場合に使う。
-
問260．t分布は自由度に関係なく常に標準正規分布である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。t分布は自由度により形状変化。自由度小で裾が重い、自由度→∞でZ分布に収束。
-
問261．カイ二乗分布は左右対称な分布である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。カイ二乗分布は2乗和の分布なので0以上の値しか取らず、右に裾の長い非対称な形をしている。自由度が大きくなるにつれ左右対称に近づき、正規分布で近似できるようになる。
-
問262．F分布は1つのカイ二乗分布から作られる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。F分布は『2つ』のカイ二乗分布の比から作られる。F = (χ²₁/n₁)/(χ²₂/n₂)。
-
問263．最尤推定法は尤度関数を最小化するパラメータを選ぶ。
正解：×（誤り）
解説：誤り。最尤推定は、観測されたデータが得られる確率（尤度）を最大にするパラメータを選ぶ方法。実際の計算では対数尤度を最大化する（＝負の対数尤度を最小化する）形で解く。
-
問264．標本サイズが大きいほど信頼区間は広くなる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。区間幅は標準誤差 σ/√n に比例するので、nが大きいほど狭くなる。標本を増やすほど母数の位置を絞り込めるという直感どおりの関係。
-
問265．信頼度を上げると信頼区間は狭くなる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。より高い確率で母数を覆うには網を広げる必要があるため、信頼度を上げると区間は広くなる。95%ならz=1.96、99%ならz=2.58と係数が大きくなる。
-
問266．不偏推定量は分散が最小の推定量を意味する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。不偏性は期待値が母数と一致する性質、分散が最小であることは有効性であり、両者は別概念。不偏推定量は複数存在しうるので、その中で分散最小のものを有効推定量と呼ぶ。
-
問267．一致推定量は標本サイズ小でも真値と一致する推定量である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。一致推定量は『標本サイズ→∞で真値に収束』。有限サイズでは厳密一致しない。
-
問268．大数の法則は標本サイズに関係なく標本平均が母平均と一致する法則である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。大数の法則は n→∞ の極限で標本平均が母平均へ収束するという主張であり、有限の標本で一致することは保証しない。小標本では標本平均が母平均から大きくずれることもある。
-
問269．標準誤差は標本サイズに比例する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。SE=σ/√n なので、標本サイズの平方根に反比例して小さくなる。nを4倍にするとSEは1/2倍になる。
-
問270．有意水準 α は第2種の過誤の確率である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。αは第1種の過誤（帰無仮説が正しいのに棄却してしまう）の確率。第2種の過誤（誤った帰無仮説を棄却できない）の確率はβで、1−βが検出力にあたる。
-
問271．点推定は推定の不確実性を区間として表現する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。点推定は母数を1つの値で示す方法で、不確実性の情報を持たない。幅で不確実性を表すのは区間推定。標本平均を母平均の推定値とするのが点推定の代表例。
-
問272．二項分布に従うXについて P(X≤k) を正規分布で近似するとき、連続修正では k を k−0.5 に置き換えて計算する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。整数kの確率は区間 [k−0.5, k+0.5] の面積で近似するので、P(X≤k) は k+0.5 まで、P(X≥k) は k−0.5 からの面積を求める（出題範囲表「標本分布：連続修正」）。
-
問273．母比率の信頼区間にはt分布を使う。
正解：×（誤り）
解説：誤り。母比率の信頼区間は二項分布の正規近似に基づくのでz分布を使う。t分布は正規母集団の母平均について母分散を標本から推定する場面で使うもので、比率の推定には対応しない。
-
問274．最小二乗法は最尤推定法とは別物で常に異なる結果を出す。
正解：×（誤り）
解説：誤り。誤差項が平均0・等分散の正規分布に従うという仮定の下では、尤度を最大化することと残差平方和を最小化することが数学的に同値になり、両者は同じ推定値を与える。
-
問275．十分統計量はデータの一部情報のみ保持する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。十分統計量は母数に関する情報を余すところなく含む統計量で、その値を知ればもとのデータを見ても推定に関する情報は増えない。だからこそデータの圧縮表現として使える。
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問276．標本の選び方に偏りがあっても、標本サイズを十分に大きくすれば推定値の偏りはなくなる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。標本サイズを大きくして小さくできるのは偶然による標本誤差だけで、特定の人が選ばれやすい・回答しにくい人が抜け落ちるといった選び方の偏りは、いくら標本を増やしても残る。偏りは無作為抽出など調査の設計で防ぐ（出題範囲表「偏りの源」「無作為抽出」）。
-
問277．チェビシェフの不等式 P(|X−μ|≥kσ)≤1/k² は、確率変数Xが正規分布に従う場合にしか成り立たない。
正解：×（誤り）
解説：誤り。チェビシェフの不等式は平均と分散が存在すれば分布の形によらず成り立つ。例えば k=2 なら、どんな分布でも平均から2σ以上離れる確率は 1/4 以下といえる（出題範囲表「標本分布：チェビシェフの不等式」）。
-
問278．有効推定量は不偏でなくてもよい。
正解：×（誤り）
解説：誤り。有効推定量は「不偏推定量の中で分散が最小のもの」と定義されるので、不偏性が前提になる。バイアスを許せば分散をさらに小さくできる推定量もあるが、それは有効推定量とは呼ばない。
-
問279．標本平均 X̄ の期待値として正しいのはどれか。
- ア．0
- イ．σ²（母分散）
- ウ．μ（母平均）
- エ．n（標本サイズ）
正解：ウ．μ（母平均）
解説：E[X̄]=(1/n)ΣE[Xᵢ]=(1/n)(nμ)=μ。期待値の線形性から母平均に一致するので、標本平均は母平均の不偏推定量になる。σ²はばらつきを表す母分散、nは標本サイズであって、いずれも期待値ではない。
-
問280．標本平均 X̄ の分散として正しいのはどれか。
- ア．σ²
- イ．n×σ
- ウ．σ²×n
- エ．σ²/n
正解：エ．σ²/n
解説：独立な n 個の和の分散は nσ²、それを n² で割るので Var[X̄]=σ²/n。標本サイズに反比例して小さくなり、その平方根 σ/√n が標準誤差SE。σ²のままだと n を増やしても精度が上がらないことになり、事実と合わない。
-
問281．母分散の不偏推定量 s² の正しい計算式はどれか。
- ア．Σ(xi-x̄)²/(n-1)
- イ．Σ(xi-x̄)²/n
- ウ．Σ(xi-x̄)²/(n+1)
- エ．Σ(xi-x̄)²/n²
正解：ア．Σ(xi-x̄)²/(n-1)
解説：不偏分散は『(n-1)』で除する。自由度補正。n で除する標本分散は過小評価のバイアスあり。
-
問282．中心極限定理の主な内容として正しいのはどれか。
- ア．母集団分布は必ず正規分布
- イ．標本平均が大標本で正規分布に近づく
- ウ．データが多いほど分散が増える
- エ．小標本ほど精度が高い
正解：イ．標本平均が大標本で正規分布に近づく
解説：中心極限定理：母集団分布によらず、標本平均X̄は標本サイズ大でN(μ, σ²/n)に近づく。
-
問283．母分散既知の母平均の95%信頼区間の臨界値 z(0.025) として最も近いのはどれか。
- ア．1.282
- イ．1.645
- ウ．1.96
- エ．2.576
正解：ウ．1.96
解説：z(0.025) ≈ 1.96。95%信頼区間に対応。90%なら1.645、99%なら2.576。
-
問284．母分散未知の場合の母平均の信頼区間に使う分布として正しいのはどれか。
- ア．標準正規分布（z分布）
- イ．F分布
- ウ．カイ二乗分布
- エ．t分布
正解：エ．t分布
解説：母分散が未知でsを代用すると、sのばらつき分だけ不確実性が増すため、裾を厚くした自由度n−1のt分布を使う。σが既知ならz分布。カイ二乗分布は分散、F分布は分散比を扱う分布で、母平均の区間推定には用いない。
-
問285．t分布の特徴として正しいのはどれか。
- ア．自由度大でz分布に収束
- イ．必ずz分布と同じ形
- ウ．左右非対称
- エ．負の値を取らない
正解：ア．自由度大でz分布に収束
解説：t分布は自由度→∞でz分布（標準正規分布）に収束する。自由度が小さいうちはsの推定誤差を吸収するため裾が重く、同じ信頼度でも区間が広くなる。形は0を中心とした左右対称で、負の値も取る。
-
問286．分散の検定・適合度検定で使う分布として正しいのはどれか。
- ア．z分布
- イ．カイ二乗分布
- ウ．t分布
- エ．F分布
正解：イ．カイ二乗分布
解説：カイ二乗分布は標準正規変数の2乗和の分布なので、分散という2乗の量を扱う検定と相性がよい。母分散の検定・信頼区間のほか、観測度数と期待度数のずれを2乗和で測る適合度検定・独立性検定に使う。
-
問287．F分布の用途として正しいのはどれか。
- ア．母平均の検定
- イ．比率の検定
- ウ．分散の比較・ANOVA
- エ．相関の検定
正解：ウ．分散の比較・ANOVA
解説：F分布は分散比検定（F検定）・分散分析（ANOVA）等で使用。2つのカイ二乗分布の比。
-
問288．最尤推定法の説明として正しいのはどれか。
- ア．残差の2乗和を最小化
- イ．共分散を最大化
- ウ．データの平均を計算
- エ．尤度関数を最大化
正解：エ．尤度関数を最大化
解説：最尤推定法（MLE）は与えられたデータが観測される確率（尤度）を最大化するパラメータを選ぶ。
-
問289．95%信頼区間の正しい解釈はどれか。
- ア．同手順で繰返すと約95%の区間が母数を含む
- イ．母数が95%確率で区間内
- ウ．区間幅が95cm以下
- エ．推定値の精度が95%
正解：ア．同手順で繰返すと約95%の区間が母数を含む
解説：頻度論的解釈：同手順で繰返したとき、約95%の区間が母数を含む。母数自体は固定値（確率変数ではない）。
-
問290．信頼区間と標本サイズの関係として正しいのはどれか。
- ア．標本大→区間広
- イ．標本大→区間狭
- ウ．標本大→区間不変
- エ．関係なし
正解：イ．標本大→区間狭
解説：区間幅は標準誤差 σ/√n に比例するため、n が大きいほど狭くなる。ただし縮み方は 1/√n なので、幅を半分にするには標本サイズを4倍にする必要がある。
-
問291．信頼度と信頼区間の関係として正しいのはどれか。
- ア．信頼度大→区間不変
- イ．信頼度大→区間狭
- ウ．信頼度大→区間広
- エ．関係なし
正解：ウ．信頼度大→区間広
解説：母数を覆う確率を高めるには網を広く張るしかないため、信頼度を上げると区間は広がる。95%のz=1.96に対し99%はz=2.58で、約1.3倍の幅になる。精度（狭さ）と信頼度はトレードオフの関係にある。
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問292．不偏推定量の定義として正しいのはどれか。
- ア．推定量の分散が最小になる
- イ．推定量の値が母平均と一致する
- ウ．標本サイズを大きくすると推定量が母数に近づく
- エ．推定量の期待値が母数に一致する
正解：エ．推定量の期待値が母数に一致する
解説：不偏性とは、推定量 θ̂ の期待値が推定したい母数 θ に一致する（E[θ̂]=θ）性質で、平均的に過大にも過小にも評価しないことを表す。この性質をもつ推定量が不偏推定量である。分散が最小になるのは効率性（有効性）、標本サイズを大きくすると母数に近づくのは一致性で、別の性質である。また不偏性は、推定量の1回の値が母平均と一致することではなく期待値についての性質で、推定する母数も母平均に限らない。
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問293．一致推定量の定義として正しいのはどれか。
- ア．標本サイズ→∞で真値に確率収束
- イ．小標本でも真値と一致
- ウ．分散が最小
- エ．計算が速い
正解：ア．標本サイズ→∞で真値に確率収束
解説：一致性は n→∞ で θ̂ が θ へ確率収束する性質で、標本を増やせばいくらでも真値に近づけるという保証。小標本での一致を意味するものではなく、分散最小（有効性）や計算速度とも無関係。
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問294．標準誤差 SE の計算式として正しいのはどれか。
- ア．σ × n
- イ．σ/√n
- ウ．σ²/n
- エ．σ × √n
正解：イ．σ/√n
解説：SEは標本平均のばらつきを表し、Var[X̄]=σ²/n の平方根なので σ/√n。σ²/n は分散のままで単位が合わず、σ×n や σ×√n は n を増やすほど大きくなってしまい、標本を増やすと精度が上がるという事実と矛盾する。
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問295．大数の法則の内容として正しいのはどれか。
- ア．分散→0
- イ．小標本で標本平均→母平均
- ウ．大標本で標本平均→母平均
- エ．母分散→無限大
正解：ウ．大標本で標本平均→母平均
解説：大数の法則は n→∞ の極限で標本平均が母平均へ収束することを述べたもので、小標本では成り立たない。中心極限定理が「どのような分布の形に近づくか」を述べるのに対し、大数の法則は「どこへ収束するか」を述べる。
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問296．母比率の信頼区間に使う分布として正しいのはどれか。
- ア．t分布
- イ．F分布
- ウ．カイ二乗分布
- エ．正規近似（z分布）
正解：エ．正規近似（z分布）
解説：母比率の推定は二項分布の正規近似に基づくためz分布を使い、標準誤差は √(p̂(1−p̂)/n)。近似の目安は np̂≥5 かつ n(1−p̂)≥5。t分布は母平均、カイ二乗分布は分散、F分布は分散比に対応する分布で、比率には使わない。
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問297．区間推定と点推定の違いとして正しいのはどれか。
- ア．点推定は1点・区間推定は範囲で推定
- イ．両者とも1点で推定
- ウ．区間推定は不確実性を表現せず
- エ．点推定はより精度高
正解：ア．点推定は1点・区間推定は範囲で推定
解説：点推定は1点で母数を推定、区間推定は信頼区間として範囲で推定（不確実性を表現）。
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問298．無作為に選んだ400人のうち80人が「はい」と答えた。母比率の95%信頼区間を p̂±（半幅）の形で表すとき、半幅として最も近いものはどれか。
- ア．約0.00078
- イ．約0.039
- ウ．約0.044
- エ．約0.78
正解：イ．約0.039
解説：p̂=80/400=0.2、標準誤差は √(0.2×0.8/400)=0.02 なので半幅は 1.96×0.02≒0.039（区間は約0.161〜0.239）。0.00078 は平方根を取り忘れた値、0.78 は n で割り忘れた値、0.044 は (1−p̂) を掛け忘れた値（出題範囲表「推定：母比率の区間推定」）。
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問299．標本サイズが4倍になったとき、標準誤差はどうなるか。
- ア．4倍
- イ．2倍
- ウ．1/2倍
- エ．1/4倍
正解：ウ．1/2倍
解説：SE=σ/√n なので n が4倍になると分母は √4=2 倍になり、SE は 1/2 倍に減る。精度を2倍にするには標本サイズを4倍必要とするという、調査設計上の重要な目安。
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問300．自由度 n-1 の t 分布の用途として該当しないものはどれか.
- ア．母平均の信頼区間（母分散未知）
- イ．母平均の検定（母分散未知）
- ウ．2標本の平均差の検定
- エ．母分散の信頼区間
正解：エ．母分散の信頼区間
解説：母分散の信頼区間にはカイ二乗分布を使う。t分布は母分散が未知の状況で母平均を扱うための分布であり、1標本の母平均の信頼区間・検定、2標本の平均差の検定はいずれもt分布の守備範囲にあたる。