統計検定 2級「確率と確率分布」の一問一答

統計検定 2級の確率と確率分布に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．事象 A の確率 P(A) は 0 ≦ P(A) ≦ 1 の範囲を取る。

   正解：○（正しい）

   解説：確率の公理。P=0は不可能、P=1は確実、その間で起きやすさを表す。

2. 問2．全事象の確率は 1 である。

   正解：○（正しい）

   解説：サンプル空間 Ω 全体の確率は P(Ω) = 1（確率の公理の1つ）。

3. 問3．排反事象 A, B では P(A∪B) = P(A) + P(B) が成立する。

   正解：○（正しい）

   解説：A∩B=∅（共通部分なし）の場合の加法定理。

4. 問4．独立事象 A, B では P(A∩B) = P(A) × P(B) が成立する。

   正解：○（正しい）

   解説：独立性の定義。条件付き確率 P(A|B) = P(A) なら独立。

5. 問5．条件付き確率 P(A|B) は B が起きた条件下で A が起きる確率である。

   正解：○（正しい）

   解説：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。ベイズの定理の基礎。

6. 問6．ベイズの定理は P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B) で表される。

   正解：○（正しい）

   解説：事前確率 P(A) と尤度 P(B|A) から事後確率 P(A|B) を計算。ベイズ統計の核心。

7. 問7．二項分布 B(n, p) は独立な n 回の試行で成功確率 p の事象が起きる回数の分布である。

   正解：○（正しい）

   解説：Binomial Distribution。期待値 np、分散 np(1-p)。コイン投げ・成功失敗等。

8. 問8．二項分布 B(n, p) の期待値は np である。

   正解：○（正しい）

   解説：E[X] = np。試行回数×成功確率。

9. 問9．二項分布 B(n, p) の分散は np(1-p) である。

   正解：○（正しい）

   解説：Var[X] = np(1-p) = npq。標準偏差は √(np(1-p))。

10. 問10．正規分布 N(μ, σ²) は平均 μ・分散 σ² の左右対称な釣鐘型分布である。

    正解：○（正しい）

    解説：Normal Distribution（ガウス分布）。自然界・社会で頻繁に現れる中心極限定理の帰結。

11. 問11．標準正規分布 N(0, 1) は平均 0・分散 1 の正規分布である。

    正解：○（正しい）

    解説：Standard Normal Distribution。z = (X-μ)/σ で標準化。表で確率値を求められる。

12. 問12．正規分布で平均±1σの範囲には全データの約68%が含まれる。

    正解：○（正しい）

    解説：68-95-99.7ルール。±1σ=68%、±2σ=95%、±3σ=99.7%。

13. 問13．正規分布で平均±2σの範囲には全データの約95%が含まれる。

    正解：○（正しい）

    解説：厳密には±1.96σで95%だが、±2σでも約95.4%。実用的に95%目安。

14. 問14．ポアソン分布は単位時間/単位空間あたりの稀な事象の発生回数の分布である。

    正解：○（正しい）

    解説：Poisson Distribution。期待値=分散=λ（パラメータ）。事故件数・電話着信数等。

15. 問15．ポアソン分布の期待値と分散は等しく、両者ともパラメータ λ である。

    正解：○（正しい）

    解説：E[X] = Var[X] = λ。ポアソン分布の特徴的性質。

16. 問16．指数分布は次の事象が起きるまでの待ち時間の分布である。

    正解：○（正しい）

    解説：Exponential Distribution。期待値 1/λ。ポアソン過程の到着間隔。無記憶性（メモリレス）。

17. 問17．指数分布は無記憶性（メモリレス性）を持つ。

    正解：○（正しい）

    解説：P(X>s+t|X>s) = P(X>t)。過去の経過時間が将来に影響しない性質。

18. 問18．離散一様分布は有限個の値が等確率で取られる分布である。

    正解：○（正しい）

    解説：サイコロ等。N個の値が確率 1/N で。期待値=(min+max)/2。

19. 問19．連続一様分布は区間 [a, b] 上で等密度の確率分布である。

    正解：○（正しい）

    解説：U(a,b)。期待値=(a+b)/2、分散=(b-a)²/12。確率密度関数 f(x) = 1/(b-a)。

20. 問20．確率変数 X の期待値 E[X] は X の取りうる値の確率加重平均である。

    正解：○（正しい）

    解説：離散：E[X] = Σ x·P(X=x)。連続：E[X] = ∫ x·f(x) dx。

21. 問21．確率変数 X の分散 Var[X] は E[(X - E[X])²] で計算される。

    正解：○（正しい）

    解説：偏差の2乗の期待値。Var[X] = E[X²] - (E[X])² も成立。

22. 問22．独立な確率変数 X, Y では Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y] が成立する。

    正解：○（正しい）

    解説：独立性下で分散の加法定理。共分散 Cov(X,Y)=0 を含む特別ケース。

23. 問23．共分散 Cov(X, Y) は X と Y の同時変動を表す指標である。

    正解：○（正しい）

    解説：Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]。正の共分散=同方向、負=逆方向、0=無相関。

24. 問24．相関係数は共分散を両者の標準偏差で割って正規化した指標である。

    正解：○（正しい）

    解説：ρ = Cov(X,Y) / (σx·σy)。-1≦ρ≦1で単位なし。

25. 問25．事象 A と B が独立なら P(A|B) = P(A) が成立する。

    正解：○（正しい）

    解説：独立性の同値定義。B の発生は A の発生確率に影響しない。

26. 問26．二項分布で n が大きい場合、正規分布で近似可能である（中心極限定理）。

    正解：○（正しい）

    解説：np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5 が目安。B(n,p) ≈ N(np, np(1-p))。

27. 問27．ポアソン分布は λ が大きい場合、正規分布で近似可能である。

    正解：○（正しい）

    解説：λ ≥ 20 程度が目安。Po(λ) ≈ N(λ, λ)。

28. 問28．確率 P(A) は -1 ≦ P(A) ≦ 1 の範囲を取る。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。確率は 0 ≦ P(A) ≦ 1。負の確率はない。

29. 問29．排反事象 A, B では P(A∩B) ≠ 0 が成立する。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。排反事象は P(A∩B) = 0（共通部分なし）が定義。

30. 問30．独立事象 A, B では P(A∪B) = P(A) × P(B) が成立する。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。独立事象は P(A∩B) = P(A)×P(B)。P(A∪B) は加法定理。

31. 問31．条件付き確率 P(A|B) は P(A∩B) × P(B) で計算される。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。P(A|B) = P(A∩B) / P(B)（除算）。乗算ではない。

32. 問32．ベイズの定理は P(A|B) = P(A) + P(B) で表される。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。ベイズの定理は P(A|B) = P(B|A)×P(A)/P(B)。加算ではない。

33. 問33．二項分布 B(n, p) の期待値は n + p である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。E[X] = np（積）。加算ではない。

34. 問34．二項分布 B(n, p) の分散は np である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。Var[X] = np(1-p) = npq。

35. 問35．正規分布は左右非対称な歪んだ分布である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正規分布は『左右対称』な釣鐘型分布。

36. 問36．標準正規分布 N(0, 1) の標準偏差は 0 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。N(0,1) は平均0・分散1・標準偏差『1』。

37. 問37．正規分布で平均±1σの範囲には全データの約95%が含まれる。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。±1σ=約68%、±2σ=約95%、±3σ=約99.7%。

38. 問38．ポアソン分布の期待値と分散は異なる値を取る。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。ポアソン分布では E[X] = Var[X] = λ。両者は等しい。

39. 問39．指数分布は記憶性を持つ。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。指数分布は『無記憶性（メモリレス性）』を持つ。

40. 問40．離散一様分布の確率は値ごとに異なる。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。離散一様分布は『すべての値が等確率（1/N）』。

41. 問41．連続一様分布 U(a, b) の期待値は a × b である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。E[X] = (a+b)/2（算術平均）。積ではない。

42. 問42．確率変数 X の分散は X の取りうる値の和である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。分散は『偏差の2乗の期待値』。値の和ではない。

43. 問43．独立な X, Y では Var[X + Y] = Var[X] × Var[Y] が成立する。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。独立な場合 Var[X+Y] = Var[X] + Var[Y]（加算）。

44. 問44．共分散 Cov(X, Y) = 0 ならば X と Y は必ず独立である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。Cov=0 は『無相関』だが必ずしも独立とは限らない（非線形関係の可能性）。

45. 問45．相関係数の取りうる範囲は 0 ≦ ρ ≦ 1 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。相関係数は -1 ≦ ρ ≦ 1（負の値も取る）。

46. 問46．二項分布は連続確率分布である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。二項分布は『離散』確率分布。試行回数（整数）に対応。

47. 問47．ポアソン分布は連続確率分布である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。ポアソン分布は『離散』確率分布。発生回数（非負整数）に対応。

48. 問48．正規分布は離散確率分布である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正規分布は『連続』確率分布。実数値を取る。

49. 問49．中心極限定理は標本平均が二項分布に従うという定理である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。中心極限定理は『標本平均が正規分布に従う』（標本サイズ大の極限）。

50. 問50．ベイズの定理では事後確率は事前確率に等しい。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。事後確率は事前確率に尤度比を掛けて更新される。両者は等しくない（データから更新）。

51. 問51．全事象の確率は 0 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。全事象（サンプル空間 Ω）の確率は 1。

52. 問52．排反事象は同時に起こりうる事象である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。排反事象は『同時に起こらない』事象（A∩B=∅）。

53. 問53．独立性は条件付き確率が0であることを意味する。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。独立性は P(A|B) = P(A)（条件付き確率=元の確率）。0ではない。

54. 問54．確率の取りうる範囲として正しいのはどれか。

    • ア．0 ≦ P ≦ 1
    • イ．-1 ≦ P ≦ 1
    • ウ．0 ≦ P ≦ 100
    • エ．-∞ < P < ∞

    正解：ア．0 ≦ P ≦ 1

    解説：確率の公理：0 ≦ P(A) ≦ 1。P=0不可能、P=1確実。

55. 問55．排反事象の定義として正しいのはどれか。

    • ア．P(A∪B) = 0
    • イ．P(A∩B) = 0
    • ウ．P(A) = P(B)
    • エ．P(A|B) = P(A)

    正解：イ．P(A∩B) = 0

    解説：排反（互いに排他的）= 共通部分なし、P(A∩B) = 0。

56. 問56．独立事象の定義として正しいのはどれか。

    • ア．P(A∪B) = P(A)×P(B)
    • イ．P(A) + P(B) = 1
    • ウ．P(A∩B) = P(A)×P(B)
    • エ．P(A) = P(B)

    正解：ウ．P(A∩B) = P(A)×P(B)

    解説：独立性 = P(A∩B) = P(A)×P(B)。同値定義として P(A|B) = P(A) も。

57. 問57．ベイズの定理の正しい式はどれか。

    • ア．P(A|B) = P(A) + P(B)
    • イ．P(A|B) = P(B|A)×P(B)
    • ウ．P(A|B) = P(A)/P(B)
    • エ．P(A|B) = P(B|A)×P(A)/P(B)

    正解：エ．P(A|B) = P(B|A)×P(A)/P(B)

    解説：ベイズの定理：事後確率 = 尤度×事前確率÷正規化。ベイズ統計の核心式。

58. 問58．二項分布 B(n, p) の期待値 E[X] として正しいのはどれか。

    • ア．np
    • イ．n+p
    • ウ．n/p
    • エ．n²p

    正解：ア．np

    解説：E[X] = np（試行回数×成功確率）。

59. 問59．二項分布 B(n, p) の分散 Var[X] として正しいのはどれか。

    • ア．np
    • イ．np(1-p)
    • ウ．n²p
    • エ．n+p

    正解：イ．np(1-p)

    解説：Var[X] = np(1-p) = npq。SD = √(np(1-p))。

60. 問60．正規分布で平均±1σの範囲に含まれる確率として最も近いのはどれか。

    • ア．50%
    • イ．95%
    • ウ．68%
    • エ．99.7%

    正解：ウ．68%

    解説：68-95-99.7ルール：±1σ=68%、±2σ=95%、±3σ=99.7%。

61. 問61．正規分布で平均±2σの範囲に含まれる確率として最も近いのはどれか。

    • ア．68%
    • イ．75%
    • ウ．99%
    • エ．95%

    正解：エ．95%

    解説：±2σ≈95.4%。実用上「約95%」と表現。

62. 問62．標準正規分布 N(0, 1) のパラメータとして正しいのはどれか。

    • ア．平均0・標準偏差1
    • イ．平均1・標準偏差0
    • ウ．平均1・標準偏差1
    • エ．平均0・標準偏差0

    正解：ア．平均0・標準偏差1

    解説：標準正規分布は平均=0、分散=標準偏差=1。z = (X-μ)/σ で標準化。

63. 問63．ポアソン分布のパラメータ λ について正しいのはどれか。

    • ア．E[X]=λ、Var[X]=2λ
    • イ．E[X]=λ、Var[X]=λ
    • ウ．E[X]=λ²、Var[X]=λ
    • エ．E[X]=2λ、Var[X]=λ

    正解：イ．E[X]=λ、Var[X]=λ

    解説：ポアソン分布の特徴：E[X] = Var[X] = λ。

64. 問64．指数分布の主要な性質として正しいのはどれか。

    • ア．記憶性（過去依存）
    • イ．必ず正規分布
    • ウ．無記憶性（メモリレス）
    • エ．必ず離散分布

    正解：ウ．無記憶性（メモリレス）

    解説：指数分布は『無記憶性』：P(X>s+t|X>s) = P(X>t)。ポアソン過程の到着間隔。

65. 問65．連続一様分布 U(0, 10) の期待値として正しいのはどれか.

    • ア．0
    • イ．2.5
    • ウ．10
    • エ．5

    正解：エ．5

    解説：U(a,b) の期待値=(a+b)/2 = (0+10)/2 = 5。

66. 問66．独立な X, Y について Var[X + Y] として正しいのはどれか。

    • ア．Var[X] + Var[Y]
    • イ．Var[X] × Var[Y]
    • ウ．Var[X] - Var[Y]
    • エ．2×Var[X]×Var[Y]

    正解：ア．Var[X] + Var[Y]

    解説：独立性下では分散の加法定理：Var[X+Y] = Var[X] + Var[Y]。

67. 問67．共分散 Cov(X, Y) と相関係数 ρ の関係として正しいのはどれか。

    • ア．ρ = Cov(X, Y)
    • イ．ρ = Cov(X, Y) / (σx × σy)
    • ウ．ρ = Cov(X, Y) × σx × σy
    • エ．ρ = Cov(X, Y) + σx + σy

    正解：イ．ρ = Cov(X, Y) / (σx × σy)

    解説：相関係数 ρ = Cov(X,Y) / (σx·σy)。共分散を標準偏差で正規化して単位なしに。

68. 問68．中心極限定理の意味として最も正しいのはどれか。

    • ア．元の分布が必ず正規分布
    • イ．母集団が無限大なら必ず一様分布
    • ウ．標本平均が標本サイズ大で正規分布に従う
    • エ．データが多いと相関がなくなる

    正解：ウ．標本平均が標本サイズ大で正規分布に従う

    解説：中心極限定理：標本平均は標本サイズが大きくなるにつれ正規分布 N(μ, σ²/n) に近づく。

69. 問69．二項分布 B(10, 0.5) の分散として正しいのはどれか。

    • ア．1.5
    • イ．10
    • ウ．5
    • エ．2.5

    正解：エ．2.5

    解説：Var = np(1-p) = 10×0.5×0.5 = 2.5。

70. 問70．ポアソン分布 Po(λ=4) の標準偏差として正しいのはどれか。

    • ア．2
    • イ．4
    • ウ．8
    • エ．16

    正解：ア．2

    解説：Po(λ) では Var=λ なので SD=√λ=√4=2。

71. 問71．確率変数 X が一様分布 U(0, 1) に従う場合、E[X²] として正しいのはどれか.

    • ア．1/2
    • イ．1/3
    • ウ．1/4
    • エ．1

    正解：イ．1/3

    解説：E[X²] = ∫₀¹ x²·1 dx = 1/3。 Var[X] = E[X²]-(E[X])² = 1/3 - 1/4 = 1/12 も導出できる。

72. 問72．二項分布が正規分布で近似可能となる条件として正しいのはどれか。

    • ア．n が小さい
    • イ．p が0または1に近い
    • ウ．np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5
    • エ．常に近似可能

    正解：ウ．np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5

    解説：np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5 が二項-正規近似の目安。中心極限定理の帰結。

73. 問73．ベイズ統計学で『データから更新する』対象として正しいのはどれか。

    • ア．事前確率（prior）
    • イ．正規化定数
    • ウ．尤度（likelihood）
    • エ．事後確率（posterior）

    正解：エ．事後確率（posterior）

    解説：ベイズの定理でデータから更新するのは『事後確率』。事前確率＋尤度→事後確率。

74. 問74．Cov(X, Y) = 0 のとき X, Y について言えることとして正しいのはどれか。

    • ア．無相関だが独立とは限らない
    • イ．必ず独立
    • ウ．必ず従属
    • エ．正規分布に従う

    正解：ア．無相関だが独立とは限らない

    解説：Cov=0は『無相関』だが、独立性とは異なる概念（非線形依存の可能性）。正規分布同時独立な場合は両者一致。

75. 問75．事象 A の余事象 A^c について正しいのはどれか。

    • ア．P(A^c) = P(A)
    • イ．P(A^c) = 1 - P(A)
    • ウ．P(A^c) = 0
    • エ．P(A^c) = -P(A)

    正解：イ．P(A^c) = 1 - P(A)

    解説：余事象の確率：P(A^c) = 1 - P(A)。全事象の確率1から事象Aの確率を引く。