数検準1級（実用数学技能検定 準1級）「積分法（数III）」の一問一答

数検準1級（実用数学技能検定 準1級）の積分法（数III）に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．∫x⁴ dx を求めよ。

   • ア．x⁵/5+C
   • イ．4x³+C
   • ウ．x⁵+C
   • エ．5x⁵+C

   正解：ア．x⁵/5+C

   解説：べき関数の不定積分 ∫xⁿ dx=x^(n+1)/(n+1)+C（n≠-1）を用いる。n=4 を代入すると ∫x⁴ dx=x⁵/5+C となる。指数を1増やして新指数で割るのが基本。

2. 問2．∫(1/x)dx を求めよ（x≠0）。

   • ア．log x+C
   • イ．log|x|+C
   • ウ．-1/x²+C
   • エ．x⁰+C

   正解：イ．log|x|+C

   解説：∫xⁿ dx の公式は n=-1 では使えない。この場合 ∫(1/x)dx=log|x|+C となる。絶対値を付けるのは x が負でも定義できるようにするためである。

3. 問3．∫eˣ dx を求めよ。

   • ア．eˣ⁺¹/(x+1)+C
   • イ．x·eˣ+C
   • ウ．eˣ+C
   • エ．log|eˣ|+C

   正解：ウ．eˣ+C

   解説：指数関数の積分公式 ∫eˣ dx=eˣ+C を用いる。eˣ は微分しても積分しても形が変わらない関数である。検算すると (eˣ+C)'=eˣ で被積分関数に戻る。

4. 問4．∫sinx dx を求めよ。

   • ア．cosx+C
   • イ．-sinx+C
   • ウ．sinx+C
   • エ．-cosx+C

   正解：エ．-cosx+C

   解説：三角関数の積分公式 ∫sinx dx=-cosx+C を用いる。符号がマイナスになる点に注意。検算すると (-cosx+C)'=sinx となり被積分関数に戻る。

5. 問5．∫cosx dx を求めよ。

   • ア．sinx+C
   • イ．-sinx+C
   • ウ．cosx+C
   • エ．-cosx+C

   正解：ア．sinx+C

   解説：∫cosx dx=sinx+C を用いる。検算すると (sinx+C)'=cosx となり被積分関数に戻る。sin と cos の積分は符号に注意して覚える。

6. 問6．∫(1/cos²x)dx を求めよ。

   • ア．-tanx+C
   • イ．tanx+C
   • ウ．1/tanx+C
   • エ．secx+C

   正解：イ．tanx+C

   解説：(tanx)'=1/cos²x であるから ∫(1/cos²x)dx=tanx+C となる。検算すると (tanx+C)'=1/cos²x で被積分関数に戻る。

7. 問7．∫(1/√x)dx を求めよ（x>0）。

   • ア．√x+C
   • イ．(1/2)√x+C
   • ウ．2√x+C
   • エ．1/(2√x)+C

   正解：ウ．2√x+C

   解説：1/√x=x^(-1/2) と書き直す。∫x^(-1/2)dx=x^(1/2)/(1/2)+C=2√x+C となる。指数を1増やすと 1/2 になり、それで割ると 2 倍になる。

8. 問8．∫e^(2x) dx を求めよ。

   • ア．2e^(2x)+C
   • イ．e^(2x)+C
   • ウ．(1/2)e^(x)+C
   • エ．(1/2)e^(2x)+C

   正解：エ．(1/2)e^(2x)+C

   解説：∫e^(ax) dx=(1/a)e^(ax)+C を用いる。a=2 だから ∫e^(2x)dx=(1/2)e^(2x)+C。検算すると ((1/2)e^(2x))'=(1/2)·2·e^(2x)=e^(2x) で正しい。

9. 問9．∫sin(3x) dx を求めよ。

   • ア．-(1/3)cos(3x)+C
   • イ．(1/3)cos(3x)+C
   • ウ．-3cos(3x)+C
   • エ．-(1/3)sin(3x)+C

   正解：ア．-(1/3)cos(3x)+C

   解説：∫sin(ax)dx=-(1/a)cos(ax)+C を用いる。a=3 だから -(1/3)cos(3x)+C。検算すると (-(1/3)cos(3x))'=-(1/3)·(-3sin(3x))=sin(3x) で正しい。

10. 問10．∫(2x+1)⁵ dx を求めよ。

    • ア．(1/6)(2x+1)⁶+C
    • イ．(1/12)(2x+1)⁶+C
    • ウ．5(2x+1)⁴+C
    • エ．(2x+1)⁶+C

    正解：イ．(1/12)(2x+1)⁶+C

    解説：∫(ax+b)ⁿ dx=(1/a)·(ax+b)^(n+1)/(n+1)+C を用いる。a=2,n=5 だから (1/2)·(2x+1)⁶/6+C=(1/12)(2x+1)⁶+C となる。

11. 問11．∫(1/(x+3))dx を求めよ。

    • ア．-1/(x+3)²+C
    • イ．(1/3)log|x+3|+C
    • ウ．log|x+3|+C
    • エ．log|x|+3+C

    正解：ウ．log|x+3|+C

    解説：∫(1/(ax+b))dx=(1/a)log|ax+b|+C を用いる。a=1,b=3 だから log|x+3|+C。検算すると (log|x+3|)'=1/(x+3) で正しい。

12. 問12．∫(3x²-4x+2)dx を求めよ。

    • ア．3x³-4x²+2x+C
    • イ．x³-4x²+2x+C
    • ウ．6x-4+C
    • エ．x³-2x²+2x+C

    正解：エ．x³-2x²+2x+C

    解説：各項を個別に積分する。∫3x²dx=x³、∫(-4x)dx=-2x²、∫2dx=2x。よって x³-2x²+2x+C となる。べき積分を項ごとに適用する。

13. 問13．∫₀¹ x² dx を求めよ。

    • ア．1/3
    • イ．1/2
    • ウ．1
    • エ．1/4

    正解：ア．1/3

    解説：∫x²dx=x³/3 だから、定積分は [x³/3]₀¹=1³/3-0=1/3 となる。上端と下端を代入して差をとる。

14. 問14．∫₀^π sinx dx を求めよ。

    • ア．0
    • イ．2
    • ウ．1
    • エ．-2

    正解：イ．2

    解説：∫sinx dx=-cosx だから [-cosx]₀^π=-cosπ-(-cos0)=-(-1)+1=1+1=2 となる。cosπ=-1, cos0=1 を用いる。

15. 問15．∫₀^(π/2) cosx dx を求めよ。

    • ア．0
    • イ．π/2
    • ウ．1
    • エ．2

    正解：ウ．1

    解説：∫cosx dx=sinx だから [sinx]₀^(π/2)=sin(π/2)-sin0=1-0=1 となる。sin(π/2)=1, sin0=0 を用いる。

16. 問16．∫₀¹ eˣ dx を求めよ。

    • ア．e
    • イ．e+1
    • ウ．1
    • エ．e-1

    正解：エ．e-1

    解説：∫eˣdx=eˣ だから [eˣ]₀¹=e¹-e⁰=e-1 となる。e⁰=1 を用いる。値は約 1.718 である。

17. 問17．∫₁^e (1/x)dx を求めよ。

    • ア．1
    • イ．0
    • ウ．e
    • エ．e-1

    正解：ア．1

    解説：∫(1/x)dx=log|x| だから [log|x|]₁^e=log e-log 1=1-0=1 となる。log e=1, log 1=0 を用いる。

18. 問18．∫2x(x²+1)³ dx を t=x²+1 とおいて求めよ。

    • ア．(x²+1)⁴+C
    • イ．(x²+1)⁴/4+C
    • ウ．(x²+1)³+C
    • エ．6x²(x²+1)²+C

    正解：イ．(x²+1)⁴/4+C

    解説：t=x²+1, dt=2x dx と置換すると ∫t³dt=t⁴/4+C。t を戻して (x²+1)⁴/4+C となる。検算すると微分で 4(x²+1)³·2x/4=2x(x²+1)³ に戻る。

19. 問19．∫x·e^(x²) dx を求めよ。

    • ア．e^(x²)+C
    • イ．2x e^(x²)+C
    • ウ．(1/2)e^(x²)+C
    • エ．(1/2)x²e^(x²)+C

    正解：ウ．(1/2)e^(x²)+C

    解説：t=x², dt=2x dx より x dx=(1/2)dt。∫(1/2)e^t dt=(1/2)e^t+C=(1/2)e^(x²)+C となる。検算すると ((1/2)e^(x²))'=(1/2)·2x·e^(x²)=x e^(x²)。

20. 問20．∫(2x/(x²+1))dx を求めよ。

    • ア．2log(x²+1)+C
    • イ．1/(x²+1)+C
    • ウ．(1/2)log(x²+1)+C
    • エ．log(x²+1)+C

    正解：エ．log(x²+1)+C

    解説：分子が分母の導関数になっている。∫(f'(x)/f(x))dx=log|f(x)|+C を用いて log(x²+1)+C となる。x²+1>0 なので絶対値は不要。

21. 問21．∫sin³x·cosx dx を求めよ。

    • ア．sin⁴x/4+C
    • イ．cos⁴x/4+C
    • ウ．sin⁴x+C
    • エ．-cos⁴x/4+C

    正解：ア．sin⁴x/4+C

    解説：t=sinx, dt=cosx dx と置換すると ∫t³dt=t⁴/4+C=sin⁴x/4+C。検算すると (sin⁴x/4)'=4sin³x·cosx/4=sin³x cosx で正しい。

22. 問22．∫(logx/x)dx を求めよ（x>0）。

    • ア．logx²+C
    • イ．(logx)²/2+C
    • ウ．(logx)²+C
    • エ．1/x²+C

    正解：イ．(logx)²/2+C

    解説：t=logx, dt=(1/x)dx と置換すると ∫t dt=t²/2+C=(logx)²/2+C。検算すると ((logx)²/2)'=2logx·(1/x)/2=logx/x で正しい。

23. 問23．部分積分により ∫x·eˣ dx を求めよ。

    • ア．(x+1)eˣ+C
    • イ．x eˣ+C
    • ウ．(x-1)eˣ+C
    • エ．(x²/2)eˣ+C

    正解：ウ．(x-1)eˣ+C

    解説：∫f g' dx=fg-∫f'g dx。f=x, g'=eˣ とすると f'=1, g=eˣ。∫x eˣ dx=x eˣ-∫eˣ dx=x eˣ-eˣ+C=(x-1)eˣ+C となる。

24. 問24．部分積分により ∫x·sinx dx を求めよ。

    • ア．x cosx+sinx+C
    • イ．-x cosx-sinx+C
    • ウ．x sinx+cosx+C
    • エ．-x cosx+sinx+C

    正解：エ．-x cosx+sinx+C

    解説：f=x, g'=sinx より f'=1, g=-cosx。∫x sinx dx=-x cosx-∫(-cosx)dx=-x cosx+∫cosx dx=-x cosx+sinx+C となる。

25. 問25．部分積分により ∫logx dx を求めよ（x>0）。

    • ア．x logx-x+C
    • イ．x logx+x+C
    • ウ．1/x+C
    • エ．x logx+C

    正解：ア．x logx-x+C

    解説：logx=1·logx と見て f=logx, g'=1 とする。f'=1/x, g=x。∫logx dx=x logx-∫x·(1/x)dx=x logx-∫1 dx=x logx-x+C となる。

26. 問26．部分積分により ∫x·cosx dx を求めよ。

    • ア．x sinx-cosx+C
    • イ．x sinx+cosx+C
    • ウ．-x sinx+cosx+C
    • エ．x cosx+sinx+C

    正解：イ．x sinx+cosx+C

    解説：f=x, g'=cosx より f'=1, g=sinx。∫x cosx dx=x sinx-∫sinx dx=x sinx-(-cosx)+C=x sinx+cosx+C となる。

27. 問27．∫₀¹ x·eˣ dx を求めよ。

    • ア．0
    • イ．e-1
    • ウ．1
    • エ．e

    正解：ウ．1

    解説：∫x eˣ dx=(x-1)eˣ より [(x-1)eˣ]₀¹=(1-1)e¹-(0-1)e⁰=0-(-1)=1 となる。上端で 0·e、下端で -1·1。

28. 問28．∫₁^e logx dx を求めよ。

    • ア．0
    • イ．e
    • ウ．e-1
    • エ．1

    正解：エ．1

    解説：∫logx dx=x logx-x より [x logx-x]₁^e=(e·1-e)-(1·0-1)=(e-e)-(0-1)=0-(-1)=1 となる。log e=1, log1=0。

29. 問29．曲線 y=x² とx軸および x=0,x=2 で囲まれた部分の面積を求めよ。

    • ア．8/3
    • イ．4
    • ウ．8
    • エ．4/3

    正解：ア．8/3

    解説：y=x²≧0 なので面積は ∫₀²x²dx=[x³/3]₀²=8/3-0=8/3 となる。x軸より上にある曲線の面積は単純に定積分で求まる。

30. 問30．曲線 y=eˣ とx軸および x=0,x=1 で囲まれた部分の面積を求めよ。

    • ア．e
    • イ．e-1
    • ウ．e+1
    • エ．1

    正解：イ．e-1

    解説：y=eˣ>0 なので面積は ∫₀¹eˣdx=[eˣ]₀¹=e-1 となる。約 1.718。区間で曲線がx軸より上にあるので定積分そのものが面積。

31. 問31．曲線 y=sinx とx軸で囲まれた部分（0≦x≦π）の面積を求めよ。

    • ア．1
    • イ．π
    • ウ．2
    • エ．0

    正解：ウ．2

    解説：0≦x≦π で sinx≧0 なので面積は ∫₀^π sinx dx=[-cosx]₀^π=-cosπ+cos0=1+1=2 となる。

32. 問32．2曲線 y=x と y=x² で囲まれた部分の面積を求めよ。

    • ア．1/2
    • イ．1/3
    • ウ．1/12
    • エ．1/6

    正解：エ．1/6

    解説：交点は x=x² より x=0,1。区間で x≧x² だから面積=∫₀¹(x-x²)dx=[x²/2-x³/3]₀¹=1/2-1/3=1/6 となる。

33. 問33．曲線 y=1/x とx軸および x=1,x=e で囲まれた部分の面積を求めよ。

    • ア．1
    • イ．e-1
    • ウ．e
    • エ．1/e

    正解：ア．1

    解説：区間で y=1/x>0 なので面積は ∫₁^e(1/x)dx=[log|x|]₁^e=log e-log1=1-0=1 となる。自然対数の底 e が関わる典型問題。

34. 問34．曲線 y=x²、直線 y=x+2 で囲まれた部分の面積を求めよ。

    • ア．9
    • イ．9/2
    • ウ．27/2
    • エ．3

    正解：イ．9/2

    解説：交点は x²=x+2 より x²-x-2=0、(x-2)(x+1)=0 で x=-1,2。面積=∫₋₁²(x+2-x²)dx は公式 (1/6)(2-(-1))³=(1/6)·27=9/2 となる。

35. 問35．曲線 y=x² を x軸のまわりに回転（0≦x≦1）してできる回転体の体積 V を求めよ。

    • ア．π/3
    • イ．π/4
    • ウ．π/5
    • エ．2π/5

    正解：ウ．π/5

    解説：V=π∫y²dx=π∫₀¹(x²)²dx=π∫₀¹x⁴dx=π[x⁵/5]₀¹=π/5 となる。回転体の体積は半径 y の円の面積 πy² を積分する。

36. 問36．曲線 y=√x（0≦x≦1）の長さ L を表す積分として正しいものはどれか。

    • ア．∫₀¹√(1+4x)dx
    • イ．∫₀¹(1+1/(2√x))dx
    • ウ．∫₀¹√x dx
    • エ．∫₀¹√(1+1/(4x))dx

    正解：エ．∫₀¹√(1+1/(4x))dx

    解説：曲線の長さは L=∫√(1+(dy/dx)²)dx。y=√x より dy/dx=1/(2√x)、(dy/dx)²=1/(4x)。よって L=∫₀¹√(1+1/(4x))dx となる。

37. 問37．媒介変数表示の曲線 x=f(t),y=g(t)（a≦t≦b）の長さ L を表す式はどれか。

    • ア．∫ₐ^b √((dx/dt)²+(dy/dt)²)dt
    • イ．∫ₐ^b ((dx/dt)+(dy/dt))dt
    • ウ．∫ₐ^b √((dx/dt)²-(dy/dt)²)dt
    • エ．∫ₐ^b (dx/dt)(dy/dt)dt

    正解：ア．∫ₐ^b √((dx/dt)²+(dy/dt)²)dt

    解説：媒介変数表示の曲線の長さは L=∫ₐ^b √((dx/dt)²+(dy/dt)²)dt である。各成分の速度の2乗和の平方根を積分する。

38. 問38．F(x)=∫₀^x t² dt とするとき F'(x) を求めよ。

    • ア．x³/3
    • イ．x²
    • ウ．2x
    • エ．x³

    正解：イ．x²

    解説：微分積分学の基本定理 d/dx∫ₐ^x f(t)dt=f(x) より F'(x)=x² となる。積分してから微分すると被積分関数の上端代入に戻る。

39. 問39．∫ₐ^x f(t)dt=x²-3x+2 を満たすとき、f(x) と定数 a の組として正しいものはどれか。

    • ア．f(x)=2x+3, a=-1または-2
    • イ．f(x)=2x-3, a=-1または-2
    • ウ．f(x)=2x-3, a=1または2
    • エ．f(x)=2x+3, a=1または2

    正解：ウ．f(x)=2x-3, a=1または2

    解説：∫ₐ^x f(t)dt を x で微分すると f(x) になるので、両辺を x で微分して f(x)=2x-3 である。また x=a とすると左辺は積分区間の幅が0で値が0になるから、a²-3a+2=0、(a-1)(a-2)=0 より a=1 または a=2 となる。どちらの a でも ∫ₐ^x(2t-3)dt=x²-3x-(a²-3a)=x²-3x+2 となり条件を満たす。f(x)=2x+3 は微分の符号の誤り、a=-1または-2 は a²+3a+2=0 と符号を取り違えて解いたもので、いずれも誤り。

    根拠： 日本数学検定協会「数学検定準1級」検定の内容 検定の内容（高校3年程度）：微分法・積分法 ほか

40. 問40．∫(tanx)dx を求めよ。

    • ア．log|cosx|+C
    • イ．log|sinx|+C
    • ウ．1/cos²x+C
    • エ．-log|cosx|+C

    正解：エ．-log|cosx|+C

    解説：tanx=sinx/cosx。t=cosx, dt=-sinx dx とおくと ∫(-1/t)dt=-log|t|+C=-log|cosx|+C となる。検算すると微分で sinx/cosx=tanx に戻る。

41. 問41．∫sin²x dx を求めよ。

    • ア．x/2-(sin2x)/4+C
    • イ．x/2+(sin2x)/4+C
    • ウ．(sin³x)/3+C
    • エ．-(cos2x)/2+C

    正解：ア．x/2-(sin2x)/4+C

    解説：半角公式 sin²x=(1-cos2x)/2 を用いる。∫(1-cos2x)/2 dx=(1/2)(x-(1/2)sin2x)+C=x/2-(sin2x)/4+C となる。

42. 問42．∫₀² (x²-2x)dx を求めよ。

    • ア．4/3
    • イ．-4/3
    • ウ．-2/3
    • エ．2/3

    正解：イ．-4/3

    解説：∫(x²-2x)dx=x³/3-x² より [x³/3-x²]₀²=(8/3-4)-0=8/3-12/3=-4/3 となる。区間で被積分関数が負の部分があるため値も負。

43. 問43．∫cos³x dx を求めよ。

    • ア．(cos⁴x)/4+C
    • イ．sinx+(sin³x)/3+C
    • ウ．sinx-(sin³x)/3+C
    • エ．-(cos³x)/3+C

    正解：ウ．sinx-(sin³x)/3+C

    解説：cos³x=cosx(1-sin²x)。t=sinx, dt=cosx dx とおくと ∫(1-t²)dt=t-t³/3+C=sinx-(sin³x)/3+C となる。

44. 問44．∫x²eˣ dx を求めよ。

    • ア．(x²-2x)eˣ+C
    • イ．(x²+2x+2)eˣ+C
    • ウ．x²eˣ-2eˣ+C
    • エ．(x²-2x+2)eˣ+C

    正解：エ．(x²-2x+2)eˣ+C

    解説：部分積分を2回。∫x²eˣdx=x²eˣ-∫2x eˣdx=x²eˣ-2(x eˣ-eˣ)+C=x²eˣ-2x eˣ+2eˣ+C=(x²-2x+2)eˣ+C となる。

45. 問45．∫eˣsinx dx を求めよ。

    • ア．(1/2)eˣ(sinx-cosx)+C
    • イ．(1/2)eˣ(sinx+cosx)+C
    • ウ．eˣsinx+C
    • エ．-eˣcosx+C

    正解：ア．(1/2)eˣ(sinx-cosx)+C

    解説：部分積分を2回行い同じ積分が現れることを利用する。結果は ∫eˣsinx dx=(1/2)eˣ(sinx-cosx)+C となる。検算で微分すると eˣsinx に戻る。

46. 問46．∫₀^(π/2) sinx·cosx dx を求めよ。

    • ア．1
    • イ．1/2
    • ウ．1/4
    • エ．0

    正解：イ．1/2

    解説：t=sinx, dt=cosx dx より ∫₀¹t dt=[t²/2]₀¹=1/2。区間は x:0→π/2 で t:0→1 に変わる。よって 1/2 となる。

47. 問47．∫√(2x+1) dx を求めよ。

    • ア．(2/3)(2x+1)^(3/2)+C
    • イ．(1/2)(2x+1)^(3/2)+C
    • ウ．(1/3)(2x+1)^(3/2)+C
    • エ．(2x+1)^(3/2)+C

    正解：ウ．(1/3)(2x+1)^(3/2)+C

    解説：(2x+1)^(1/2) の積分。∫(ax+b)^(1/2)dx=(1/a)·(ax+b)^(3/2)/(3/2)。a=2 より (1/2)·(2/3)(2x+1)^(3/2)=(1/3)(2x+1)^(3/2)+C となる。

48. 問48．曲線 y=x²-1 とx軸で囲まれた部分（-1≦x≦1）の面積を求めよ。

    • ア．2/3
    • イ．2
    • ウ．1/3
    • エ．4/3

    正解：エ．4/3

    解説：区間で x²-1≦0 なので面積=∫₋₁¹(0-(x²-1))dx=∫₋₁¹(1-x²)dx=2∫₀¹(1-x²)dx=2(1-1/3)=4/3 となる。

49. 問49．半径 r の球（円 x²+y²=r² の上半分を x軸回転）の体積 V を求めよ。

    • ア．(4/3)πr³
    • イ．(2/3)πr³
    • ウ．πr³
    • エ．(4/3)πr²

    正解：ア．(4/3)πr³

    解説：V=π∫₋ᵣ^r y²dx=π∫₋ᵣ^r(r²-x²)dx=π[r²x-x³/3]₋ᵣ^r=π·2(r³-r³/3)=π·2·(2/3)r³=(4/3)πr³ となる。球の体積公式に一致。

50. 問50．F(x)=∫₁^x (1/t)dt とするとき F'(x) を求めよ（x>0）。

    • ア．log x
    • イ．1/x
    • ウ．-1/x²
    • エ．x

    正解：イ．1/x

    解説：微分積分学の基本定理 d/dx∫ₐ^x f(t)dt=f(x) より、被積分関数の t に x を代入して F'(x)=1/x となる。

51. 問51．∫(1/(x²+1))dx=log(x²+1)+C である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは ∫(1/(x²+1))dx=arctan x+C（逆正接）である。log(x²+1) を微分すると 2x/(x²+1) となり被積分関数 1/(x²+1) と一致しないため、log(x²+1)+C は誤り。

52. 問52．∫(1/x)dx=log|x|+C である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。n=-1 のときべき積分公式は使えず、∫(1/x)dx=log|x|+C となる。絶対値は x<0 でも定義するために付ける。微分すると 1/x に戻る。

53. 問53．∫eˣ dx=eˣ+C である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。eˣ は微分しても積分しても形が変わらない。∫eˣ dx=eˣ+C であり、検算で (eˣ+C)'=eˣ となり被積分関数に戻る。

54. 問54．∫sinx dx=cosx+C である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは ∫sinx dx=-cosx+C である。符号がマイナスになる。検算すると (-cosx)'=sinx だが (cosx)'=-sinx となり一致しない。

55. 問55．∫cosx dx=sinx+C である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。∫cosx dx=sinx+C であり、検算すると (sinx+C)'=cosx となり被積分関数に戻る。cos の積分は符号がそのまま。

56. 問56．∫(1/cos²x)dx=tanx+C である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。(tanx)'=1/cos²x なので ∫(1/cos²x)dx=tanx+C となる。tan の微分公式の逆向きである。

57. 問57．∫₀^π sinx dx の値は 0 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは [-cosx]₀^π=-cosπ+cos0=1+1=2 である。区間 0〜π で sinx≧0 なので値は正の 2 になる。0 ではない。

58. 問58．奇関数を原点対称な区間 [-a,a] で定積分すると 0 になる。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。奇関数 f(-x)=-f(x) は対称区間で正負が打ち消し合い ∫₋ₐ^a f(x)dx=0 となる。例えば ∫₋₁¹x³dx=0 である。

59. 問59．偶関数では ∫₋ₐ^a f(x)dx=∫₀^a f(x)dx が成り立つ。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは偶関数では ∫₋ₐ^a f(x)dx=2∫₀^a f(x)dx であり、片側の2倍になる。例 ∫₋₁¹x²dx=2∫₀¹x²dx=2/3。係数2が抜けている。

60. 問60．x軸まわりの回転体の体積は V=π∫y²dx で求められる。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。x軸まわりの回転体は半径 y の円板を積み重ねたもので、断面積 πy² を x で積分する。V=π∫y²dx が公式である。

61. 問61．曲線の長さは L=∫√(1+(dy/dx)²)dx で求められる。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。微小区間の弧長は √(dx²+dy²)=√(1+(dy/dx)²)dx なので、これを積分して曲線の長さが得られる。

62. 問62．∫x²dx=x³/3+C である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。べき積分 ∫xⁿdx=x^(n+1)/(n+1)+C で n=2 とすると x³/3+C。検算すると (x³/3)'=x² で被積分関数に戻る。

63. 問63．∫e^(2x)dx=e^(2x)+C である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは ∫e^(2x)dx=(1/2)e^(2x)+C である。係数2で割る必要がある。e^(2x)+C を微分すると 2e^(2x) となり一致しない。

64. 問64．∫logx dx=1/x+C である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。1/x は (logx)' であり積分ではない。正しくは部分積分により ∫logx dx=x logx-x+C である。検算 (x logx-x)'=logx+1-1=logx。

65. 問65．部分積分の公式は ∫f g' dx=fg-∫f' g dx である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。積の微分 (fg)'=f'g+fg' を移項して積分すると得られる。微分しやすい f と積分しやすい g' を選ぶのがコツである。

66. 問66．∫₁^e (1/x)dx=e である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは [log|x|]₁^e=log e-log1=1-0=1 であり値は 1 である。e ではない。log e=1, log1=0 を用いる。

67. 問67．∫tanx dx=log|cosx|+C である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは ∫tanx dx=-log|cosx|+C である。t=cosx 置換で符号がマイナスになる。検算 (-log|cosx|)'=-(−sinx)/cosx=tanx で正しい。

68. 問68．2曲線 y=x, y=x² で囲まれた部分の面積は 1/3 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは交点 x=0,1 で ∫₀¹(x-x²)dx=1/2-1/3=1/6 である。面積は 1/6 であり 1/3 ではない。

69. 問69．∫sin²x dx=(sin³x)/3+C である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは半角公式 sin²x=(1-cos2x)/2 を使い ∫sin²x dx=x/2-(sin2x)/4+C である。(sin³x)/3 を微分すると sin²x cosx となり一致しない。

70. 問70．∫₀¹ x³ dx=1/4 である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。∫x³dx=x⁴/4 より [x⁴/4]₀¹=1/4-0=1/4 となる。べき積分の基本計算である。

71. 問71．定積分 ∫ₐ^b f(x)dx は原始関数 F を用いて F(b)-F(a) で求められる。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。微分積分学の基本定理より、原始関数 F（F'=f）を用いて ∫ₐ^b f(x)dx=F(b)-F(a) となる。上端から下端を引く。

72. 問72．d/dx ∫ₐ^x f(t)dt=f(x) である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。微分積分学の基本定理である。積分の上端 x で微分すると被積分関数 f に x を代入した f(x) になる。定数 a は影響しない。

73. 問73．∫(1/√x)dx=(1/2)√x+C である（x>0）。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは ∫(1/√x)dx=2√x+C である。1/√x=x^(-1/2) を積分すると x^(1/2)/(1/2)=2√x。検算 (2√x)'=1/√x で正しい。

74. 問74．∫(2x/(x²+1))dx=log(x²+1)+C である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。分子が分母の導関数になっているので ∫(f'/f)dx=log|f|+C を適用する。x²+1>0 より log(x²+1)+C となる。

75. 問75．∫₀² x dx の値は 4 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは ∫₀²x dx=[x²/2]₀²=4/2-0=2 である。x²/2 に上端2を代入すると2であり4ではない。底辺2高さ2の三角形の面積2とも一致。