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数検準1級（実用数学技能検定 準1級）「数列・関数の極限」の一問一答
📖 数検準1級（実用数学技能検定 準1級）「数列・関数の極限」の全75問と解説（一覧）
数検準1級（実用数学技能検定 準1級）の数列・関数の極限に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。
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問1．lim[n→∞] (2n+1)/(n+3) を求めよ。
- ア．2
- イ．1/3
- ウ．0
- エ．∞
正解：ア．2
解説：分子・分母を n で割ると (2+1/n)/(1+3/n)。n→∞で 1/n→0, 3/n→0 だから (2+0)/(1+0)=2。
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問2．lim[n→∞] (3n²-n)/(n²+2n) を求めよ。
- ア．1
- イ．3
- ウ．0
- エ．∞
正解：イ．3
解説：分子・分母を n² で割ると (3-1/n)/(1+2/n)。n→∞で各項→0 となり (3-0)/(1+0)=3。
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問3．lim[n→∞] (n+1)/(n²+1) を求めよ。
- ア．∞
- イ．1
- ウ．0
- エ．1/2
正解：ウ．0
解説：分子・分母を n² で割ると (1/n+1/n²)/(1+1/n²)。n→∞で分子→0, 分母→1 だから 0/1=0。
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問4．lim[n→∞] (2n²+3)/(n+1) を求めよ。
- ア．1
- イ．2
- ウ．0
- エ．∞
正解：エ．∞
解説：分子・分母を n で割ると (2n+3/n)/(1+1/n)。n→∞で分子→∞, 分母→1 だから極限は ∞（発散）。
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問5．lim[n→∞] (√(n²+n) - n) を求めよ。
- ア．1/2
- イ．0
- ウ．1
- エ．∞
正解：ア．1/2
解説：分子有理化: (√(n²+n)-n)(√(n²+n)+n)/(√(n²+n)+n)=n/(√(n²+n)+n)。n で割ると 1/(√(1+1/n)+1)→1/(1+1)=1/2。
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問6．lim[n→∞] (√(n+1) - √n) を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．1/2
- エ．∞
正解：イ．0
解説：有理化すると (√(n+1)-√n)(√(n+1)+√n)/(√(n+1)+√n)=1/(√(n+1)+√n)。n→∞で分母→∞ だから極限は 0。
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問7．lim[n→∞] (4n²-1)/(2n²+n+1) を求めよ。
- ア．1/2
- イ．4
- ウ．2
- エ．∞
正解：ウ．2
解説：分子・分母を n² で割ると (4-1/n²)/(2+1/n+1/n²)。n→∞で (4-0)/(2+0+0)=4/2=2。
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問8．lim[n→∞] (5n³+2n)/(n³-1) を求めよ。
- ア．∞
- イ．1
- ウ．0
- エ．5
正解：エ．5
解説：分子・分母を n³ で割ると (5+2/n²)/(1-1/n³)。n→∞で各項→0 となり (5+0)/(1-0)=5。
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問9．lim[n→∞] (-n²+3n)/(2n+1) を求めよ。
- ア．-∞
- イ．-1/2
- ウ．0
- エ．∞
正解：ア．-∞
解説：分子・分母を n で割ると (-n+3)/(2+1/n)。n→∞で分子→-∞, 分母→2 だから極限は -∞（負の無限大に発散）。
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問10．lim[n→∞] (1+2+3+…+n)/n² を求めよ。
- ア．1
- イ．1/2
- ウ．0
- エ．∞
正解：イ．1/2
解説：分子は n(n+1)/2。よって式は n(n+1)/(2n²)=(n+1)/(2n)=(1+1/n)/2。n→∞で (1+0)/2=1/2。
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問11．lim[n→∞] (3·2ⁿ+1)/(2ⁿ+5) を求めよ。
- ア．1/5
- イ．1
- ウ．3
- エ．∞
正解：ウ．3
解説：分子・分母を 2ⁿ で割ると (3+1/2ⁿ)/(1+5/2ⁿ)。n→∞で 1/2ⁿ→0 だから (3+0)/(1+0)=3。
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問12．lim[n→∞] (3ⁿ-2ⁿ)/(3ⁿ+2ⁿ) を求めよ。
- ア．∞
- イ．0
- ウ．-1
- エ．1
正解：エ．1
解説：分子・分母を 3ⁿ で割ると (1-(2/3)ⁿ)/(1+(2/3)ⁿ)。|2/3|<1 より (2/3)ⁿ→0 だから (1-0)/(1+0)=1。
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問13．公比 r=1/3 の等比数列について lim[n→∞] rⁿ の値は？
- ア．0
- イ．1
- ウ．1/3
- エ．∞
正解：ア．0
解説：|r|=1/3<1 なので等比数列 rⁿ は 0 に収束する。よって lim[n→∞] (1/3)ⁿ=0。
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問14．公比 r=2 の等比数列 rⁿ の n→∞での極限は？
- ア．2
- イ．∞
- ウ．0
- エ．1
正解：イ．∞
解説：r=2>1 なので rⁿ は限りなく大きくなり ∞ に発散する。よって lim[n→∞] 2ⁿ=∞。
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問15．lim[n→∞] (-1/2)ⁿ を求めよ。
- ア．-1/2
- イ．1
- ウ．0
- エ．振動して極限なし
正解：ウ．0
解説：公比 r=-1/2 で |r|=1/2<1 だから rⁿ は 0 に収束する。符号は振動するが大きさは 0 に近づくため極限は 0。
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問16．等比数列 rⁿ が収束するための公比 r の条件は？
- ア．r>0
- イ．|r|<1
- ウ．0<r<1
- エ．-1<r≤1
正解：エ．-1<r≤1
解説：rⁿ が収束するのは -1<r≤1 のとき。-1<r<1 で 0 に収束、r=1 で 1 に収束。r≤-1 や r>1 では収束しない。
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問17．lim[n→∞] (-1)ⁿ を求めよ。
- ア．極限は存在しない
- イ．0
- ウ．1
- エ．-1
正解：ア．極限は存在しない
解説：(-1)ⁿ は n が偶数で1、奇数で-1 となり振動する。1つの値に近づかないため極限は存在しない（発散）。
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問18．lim[n→∞] (0.9)ⁿ を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．0.9
- エ．∞
正解：イ．0
解説：公比 r=0.9 で |r|=0.9<1 だから等比数列 (0.9)ⁿ は 0 に収束する。よって極限は 0。
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問19．無限等比級数 Σ(1/2)ⁿ (n=1から∞) の和を求めよ。
- ア．2
- イ．1/2
- ウ．1
- エ．発散
正解：ウ．1
解説：初項 a=1/2, 公比 r=1/2。|r|<1 で収束。S=a/(1-r)=(1/2)/(1-1/2)=(1/2)/(1/2)=1。
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問20．無限等比級数 Σ(1/3)ⁿ (n=1から∞) の和を求めよ。
- ア．3/2
- イ．1/3
- ウ．1
- エ．1/2
正解：エ．1/2
解説：初項 a=1/3, 公比 r=1/3 で |r|<1 より収束。S=a/(1-r)=(1/3)/(1-1/3)=(1/3)/(2/3)=1/2。
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問21．無限等比級数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … の和を求めよ。
- ア．2
- イ．1
- ウ．3/2
- エ．発散
正解：ア．2
解説：初項 a=1, 公比 r=1/2 で |r|<1 より収束。S=a/(1-r)=1/(1-1/2)=1/(1/2)=2 となる。
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問22．無限等比級数 Σ(2/3)ⁿ (n=0から∞) の和を求めよ。
- ア．2
- イ．3
- ウ．3/2
- エ．発散
正解：イ．3
解説：n=0 から開始なので初項 a=(2/3)⁰=1, 公比 r=2/3。S=a/(1-r)=1/(1-2/3)=1/(1/3)=3。
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問23．無限等比級数 3 - 1 + 1/3 - 1/9 + … の和を求めよ。
- ア．2
- イ．3
- ウ．9/4
- エ．発散
正解：ウ．9/4
解説：初項 a=3, 公比 r=-1/3。|r|=1/3<1 で収束する。S=a/(1-r)=3/(1-(-1/3))=3/(4/3)=9/4 となる。
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問24．無限等比級数 Σ2ⁿ (n=1から∞) について正しいものは？
- ア．−2に収束する
- イ．正負に振動して発散する
- ウ．2に収束する
- エ．正の無限大に発散する
正解：エ．正の無限大に発散する
解説：Σ2ⁿ（n=1から∞）は初項2、公比2の無限等比級数で、部分和は Sₙ=2(2ⁿ−1) となる。公比の絶対値が1以上なので収束せず、項がすべて正で部分和が限りなく大きくなるから、正の無限大に発散する。和の公式 a/(1−r) は |r|<1 のときだけ使えるので、当てはめて得られる 2/(1−2)=−2 は和ではない。振動して発散するのは公比が −1 以下で項の符号が交互に変わるときで、この級数には当てはまらない。2 は初項の値で、和ではない。
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問25．循環小数 0.333… を無限等比級数とみて分数で表すと？
- ア．1/3
- イ．3/10
- ウ．1/30
- エ．3/100
正解：ア．1/3
解説：0.3+0.03+0.003+… は初項 a=3/10, 公比 r=1/10。S=(3/10)/(1-1/10)=(3/10)/(9/10)=3/9=1/3。
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問26．循環小数 0.272727… を無限等比級数で和を求め分数にすると？
- ア．27/100
- イ．3/11
- ウ．1/4
- エ．3/10
正解：イ．3/11
解説：初項 a=27/100, 公比 r=1/100。S=(27/100)/(1-1/100)=(27/100)/(99/100)=27/99=3/11。
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問27．無限等比級数 a/(1-r) が収束する公比 r の条件は？
- ア．r<1
- イ．|r|≤1
- ウ．|r|<1
- エ．r>0
正解：ウ．|r|<1
解説：無限等比級数が収束するのは初項が0の場合を除き |r|<1 のとき。このとき和は S=a/(1-r) となる。
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問28．無限等比級数 Σ x ⁿ (n=0から∞) が和 1/(1-x) に収束する x の範囲は？
- ア．全ての x
- イ．x<1
- ウ．0<x<1
- エ．-1<x<1
正解：エ．-1<x<1
解説：公比 x の無限等比級数は |x|<1、すなわち -1<x<1 のとき収束し、和は 1/(1-x) となる。
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問29．lim[x→2] (x²-4)/(x-2) を求めよ。
- ア．4
- イ．0
- ウ．2
- エ．∞
正解：ア．4
解説：0/0の不定形。x²-4=(x-2)(x+2) と因数分解し約分すると x+2。x→2 を代入して 2+2=4。
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問30．lim[x→1] (x²-1)/(x-1) を求めよ。
- ア．1
- イ．2
- ウ．0
- エ．∞
正解：イ．2
解説：0/0の不定形。x²-1=(x-1)(x+1) と因数分解し約分して x+1。x→1 を代入して 1+1=2。
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問31．lim[x→3] (x²-9)/(x²-2x-3) を求めよ。
- ア．2
- イ．1
- ウ．3/2
- エ．0
正解：ウ．3/2
解説：分子=(x-3)(x+3), 分母=(x-3)(x+1)。約分して (x+3)/(x+1)。x→3 で (3+3)/(3+1)=6/4=3/2。
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問32．lim[x→0] (√(x+4) - 2)/x を求めよ。
- ア．1
- イ．1/2
- ウ．0
- エ．1/4
正解：エ．1/4
解説：分子有理化: (√(x+4)-2)(√(x+4)+2)/{x(√(x+4)+2)}=x/{x(√(x+4)+2)}=1/(√(x+4)+2)。x→0 で 1/(2+2)=1/4。
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問33．lim[x→∞] (3x+1)/(x-2) を求めよ。
- ア．3
- イ．1
- ウ．0
- エ．∞
正解：ア．3
解説：分子・分母を x で割ると (3+1/x)/(1-2/x)。x→∞で 1/x→0 だから (3+0)/(1-0)=3。
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問34．lim[x→∞] (x²+1)/(2x²-x) を求めよ。
- ア．1
- イ．1/2
- ウ．2
- エ．∞
正解：イ．1/2
解説：分子・分母を x² で割ると (1+1/x²)/(2-1/x)。x→∞で (1+0)/(2-0)=1/2。
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問35．lim[x→-2] (x²+x-2)/(x+2) を求めよ。
- ア．-1
- イ．3
- ウ．-3
- エ．0
正解：ウ．-3
解説：0/0の不定形。分子=(x+2)(x-1) と因数分解し約分して x-1。x→-2 を代入して -2-1=-3。
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問36．lim[x→∞] (2x²-3)/(x³+1) を求めよ。
- ア．1
- イ．2
- ウ．∞
- エ．0
正解：エ．0
解説：分子・分母を x³ で割ると (2/x-3/x³)/(1+1/x³)。x→∞で分子→0, 分母→1 だから 0/1=0。
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問37．lim[x→0] (x²-3x)/x を求めよ。
- ア．-3
- イ．3
- ウ．0
- エ．∞
正解：ア．-3
解説：0/0の不定形。x²-3x=x(x-3) で x を約分して x-3。x→0 を代入して 0-3=-3。
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問38．lim[x→∞] (√(x²+x) - x) を求めよ。
- ア．0
- イ．1/2
- ウ．1
- エ．∞
正解：イ．1/2
解説：有理化: (√(x²+x)-x)(√(x²+x)+x)/(√(x²+x)+x)=x/(√(x²+x)+x)。x で割ると 1/(√(1+1/x)+1)→1/2。
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問39．lim[x→1] (x³-1)/(x-1) を求めよ。
- ア．2
- イ．1
- ウ．3
- エ．0
正解：ウ．3
解説：0/0の不定形。x³-1=(x-1)(x²+x+1) と因数分解し約分して x²+x+1。x→1 で 1+1+1=3。
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問40．lim[x→0] sinx/x を求めよ。
- ア．1/2
- イ．0
- ウ．∞
- エ．1
正解：エ．1
解説：三角関数の極限の基本公式 lim[x→0] sinx/x=1（x はラジアン）。これは数IIIの最重要極限の一つ。
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問41．lim[x→0] sin3x/x を求めよ。
- ア．3
- イ．1
- ウ．1/3
- エ．0
正解：ア．3
解説：sin3x/x=3·(sin3x/3x)。x→0で 3x→0 となり sin3x/3x→1。よって 3·1=3。
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問42．lim[x→0] sin2x/sin5x を求めよ。
- ア．5/2
- イ．2/5
- ウ．1
- エ．0
正解：イ．2/5
解説：(sin2x/2x)·2x ÷ {(sin5x/5x)·5x}=(sin2x/2x)/(sin5x/5x)·(2/5)。x→0で各比→1 だから 2/5。
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問43．lim[x→0] tanx/x を求めよ。
- ア．∞
- イ．0
- ウ．1
- エ．1/2
正解：ウ．1
解説：tanx/x=(sinx/x)·(1/cosx)。x→0で sinx/x→1, cosx→1 だから 1·(1/1)=1。
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問44．lim[x→0] (1-cosx)/x² を求めよ。
- ア．2
- イ．1
- ウ．0
- エ．1/2
正解：エ．1/2
解説：分子分母に(1+cosx)を掛けると (1-cos²x)/{x²(1+cosx)}=sin²x/{x²(1+cosx)}=(sinx/x)²·1/(1+cosx)→1·1/2=1/2。
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問45．lim[x→0] x/sinx を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．∞
- エ．1/2
正解：ア．1
解説：x/sinx は sinx/x の逆数。lim[x→0] sinx/x=1 だから、その逆数の極限も 1/1=1。
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問46．lim[x→0] sin4x/2x を求めよ。
- ア．4
- イ．2
- ウ．1/2
- エ．1
正解：イ．2
解説：sin4x/2x=(sin4x/4x)·(4x/2x)=(sin4x/4x)·2。x→0で sin4x/4x→1 だから 1·2=2。
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問47．lim[n→∞] (1+1/n)ⁿ の値は？
- ア．0
- イ．1
- ウ．e
- エ．∞
正解：ウ．e
解説：これは自然対数の底 e の定義式そのもの。lim[n→∞] (1+1/n)ⁿ=e≒2.718… となり、答えは e。
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問48．lim[x→∞] (1+1/x)^(2x) を求めよ。
- ア．1
- イ．e
- ウ．2e
- エ．e²
正解：エ．e²
解説：(1+1/x)^(2x)={(1+1/x)ˣ}²。x→∞で (1+1/x)ˣ→e だから極限は e²。
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問49．lim[h→0] (eʰ-1)/h を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．e
- エ．∞
正解：ア．1
解説：これは f(x)=eˣ の x=0 における微分係数。f'(x)=eˣ, f'(0)=e⁰=1。よって極限は 1。
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問50．関数 f(x)=1/(x-1) が連続でない（不連続な）点はどこか。
- ア．x=0
- イ．x=1
- ウ．x=-1
- エ．連続な点はない
正解：イ．x=1
解説：分母 x-1=0 すなわち x=1 で関数が定義されず分母が0になるため、x=1 で不連続。それ以外では連続。
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問51．lim[n→∞] n/(n+1) は 1 に収束する。
正解：○（正しい）
解説：n/(n+1)=1/(1+1/n) と変形できる。n→∞で 1/n→0 だから 1/(1+0)=1 に収束する。よって正しい。
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問52．lim[x→0] sinx/x = 1 である。
正解：○（正しい）
解説：三角関数の最重要極限 lim[x→0] sinx/x=1（x はラジアン）が成り立つ。数IIIの基本公式。よって正しい。
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問53．公比 r が |r|<1 のとき、等比数列 rⁿ は n→∞で 0 に収束する。
正解：○（正しい）
解説：|r|<1 のとき rⁿ の絶対値 |r|ⁿ は限りなく小さくなり、rⁿ は 0 に収束する。例 (1/2)ⁿ→0。よって正しい。
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問54．無限等比級数が収束するための条件は、初項が0の場合を除き |r|<1 である。
正解：○（正しい）
解説：公比 r の無限等比級数は |r|<1（または初項0）のとき収束し、和は S=a/(1-r) となる。よって正しい。
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問55．lim[n→∞] (1+1/n)ⁿ = e である。
正解：○（正しい）
解説：これは自然対数の底 e の定義式そのもの。lim[n→∞] (1+1/n)ⁿ=e≒2.718… が成り立つ。よって正しい。
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問56．lim[x→2] (x²-4)/(x-2) = 4 である。
正解：○（正しい）
解説：0/0の不定形。x²-4=(x-2)(x+2) を約分して x+2、x→2 を代入して 2+2=4。よって正しい。
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問57．無限等比級数 1+1/2+1/4+1/8+… の和は 2 である。
正解：○（正しい）
解説：初項 a=1, 公比 r=1/2 で |r|<1 より収束。S=a/(1-r)=1/(1-1/2)=2 となる。よって正しい。
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問58．lim[x→0] tanx/x = 1 である。
正解：○（正しい）
解説：tanx/x=(sinx/x)·(1/cosx)。x→0で sinx/x→1, cosx→1 だから 1。よって正しい。
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問59．数列 (-1)ⁿ は n→∞で振動し、極限は存在しない。
正解：○（正しい）
解説：(-1)ⁿ は n の偶奇で 1 と -1 を交互にとり一定値に近づかず振動する。よって極限は存在せず、記述は正しい。
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問60．lim[x→∞] (3x+1)/(x-2) = 3 である。
正解：○（正しい）
解説：分子分母を x で割ると (3+1/x)/(1-2/x)→(3+0)/(1-0)=3。よって正しい。
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問61．はさみうちの原理は、a≤b≤c で a と c が同じ値に収束するとき b もその値に収束するという原理である。
正解：○（正しい）
解説：はさみうちの原理の内容そのもの。aₙ≤bₙ≤cₙ かつ lim aₙ=lim cₙ=α なら lim bₙ=α。よって正しい。
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問62．関数 f(x)=1/x は x=0 で不連続である。
正解：○（正しい）
解説：x=0 で分母が0になり関数が定義されないため、f(x)=1/x は x=0 で不連続。よって正しい。
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問63．lim[h→0] (eʰ-1)/h = 1 である。
正解：○（正しい）
解説：eˣ の x=0 での微分係数。(eˣ)'=eˣ, x=0 で e⁰=1。よって極限は 1 で正しい。
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問64．公比 r=2 の等比数列 rⁿ は n→∞で 0 に収束する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは r=2>1 なので rⁿ は限りなく大きくなり ∞ に発散する。0 には収束しない。
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問65．無限等比級数 Σ2ⁿ (n=1から∞) は収束し、その和は -2 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは公比 r=2 で |r|≥1 のため発散し、和は存在しない。公式 a/(1-r) は |r|<1 でのみ有効。
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問66．lim[x→0] sin3x/x = 1 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは sin3x/x=3·(sin3x/3x)→3·1=3。値は 3 であり 1 ではない。
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問67．lim[n→∞] (2n+1)/(n+3) = 2/3 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは分子分母を n で割ると (2+1/n)/(1+3/n)→2/1=2。値は 2 であり 2/3 ではない。
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問68．無限等比級数 Σ(1/3)ⁿ (n=1から∞) の和は 1/3 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは初項 a=1/3, 公比 r=1/3 で S=(1/3)/(1-1/3)=(1/3)/(2/3)=1/2。和は 1/2 である。
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問69．lim[x→0] (1-cosx)/x² = 1 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは (1-cosx)/x²=(sinx/x)²·1/(1+cosx)→1·(1/2)=1/2。値は 1/2 である。
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問70．lim[x→1] (x²-1)/(x-1) = 0 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは x²-1=(x-1)(x+1) を約分して x+1、x→1 で 1+1=2。値は 2 である。
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問71．公比 r=-1 の等比数列 rⁿ は 1 に収束する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは r=-1 のとき rⁿ は 1 と -1 を交互にとり振動するため収束しない。極限は存在しない。
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問72．lim[x→∞] (x²+1)/(2x²-x) = 2 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは分子分母を x² で割ると (1+1/x²)/(2-1/x)→1/2。値は 1/2 であり 2 ではない。
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問73．lim[n→∞] (√(n²+n) - n) = 0 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは有理化して n/(√(n²+n)+n)、n で割ると 1/(√(1+1/n)+1)→1/2。値は 1/2 である。
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問74．無限等比級数 Σ x ⁿ (n=0から∞) は全ての実数 x について収束する。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは |x|<1（-1<x<1）のときのみ収束し、和は 1/(1-x) となる。|x|≥1 では発散する。
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問75．lim[x→0] sin2x/sin5x = 5/2 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは (sin2x/2x)/(sin5x/5x)·(2/5)→1·(2/5)=2/5。値は 2/5 であり 5/2 ではない。