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数検準1級（実用数学技能検定 準1級）「確率分布・統計的な推測・複素数と方程式」の一問一答
📖 数検準1級（実用数学技能検定 準1級）「確率分布・統計的な推測・複素数と方程式」の全75問と解説（一覧）
数検準1級（実用数学技能検定 準1級）の確率分布・統計的な推測・複素数と方程式に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。
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問1．確率変数Xの期待値がE(X)=3のとき、E(2X+1)の値を求めよ。
- ア．7
- イ．6
- ウ．5
- エ．9
正解：ア．7
解説：期待値の線形性 E(aX+b)=aE(X)+b が成り立つ。E(2X+1)=2E(X)+1=2×3+1=6+1=7となる。係数2を期待値に掛けて定数1を加える基本問題である。
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問2．確率変数Xの分散がV(X)=4のとき、V(3X)の値を求めよ。
- ア．36
- イ．12
- ウ．16
- エ．9
正解：ア．36
解説：分散の性質 V(aX+b)=a^2V(X) が成り立つ。V(3X)=3^2×V(X)=9×4=36となる。分散は係数の2乗倍になることに注意が必要である。
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問3．確率変数Xの分散がV(X)=5のとき、V(2X+3)の値を求めよ。
- ア．20
- イ．10
- ウ．13
- エ．23
正解：ア．20
解説：V(aX+b)=a^2V(X) より定数項3は分散に影響しない。V(2X+3)=2^2×V(X)=4×5=20となる。定数の加減は分散を変えない点が重要である。
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問4．二項分布B(100,0.2)に従う確率変数Xの平均(期待値)を求めよ。
- ア．20
- イ．25
- ウ．80
- エ．16
正解：ア．20
解説：二項分布B(n,p)の平均はnpである。E(X)=np=100×0.2=20となる。試行回数nと成功確率pの積で平均が求められる基本公式である。
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問5．二項分布B(100,0.2)に従う確率変数Xの分散を求めよ。
- ア．16
- イ．20
- ウ．80
- エ．4
正解：ア．16
解説：二項分布B(n,p)の分散はnp(1-p)である。V(X)=100×0.2×0.8=16となる。1-p=0.8を用いて平均npに(1-p)を掛けて求める。
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問6．確率変数Xの標準偏差がσ(X)=3のとき、分散V(X)の値を求めよ。
- ア．9
- イ．6
- ウ．3
- エ．√3
正解：ア．9
解説：標準偏差は分散の正の平方根であり σ(X)=√V(X) が成り立つ。よってV(X)=σ(X)^2=3^2=9となる。標準偏差を2乗すれば分散が得られる。
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問7．1個のさいころを1回投げ、出る目をXとする。期待値E(X)を求めよ。
- ア．3.5
- イ．3
- ウ．4
- エ．21
正解：ア．3.5
解説：各目1〜6が等しく確率1/6で出る。E(X)=(1+2+3+4+5+6)×(1/6)=21/6=7/2=3.5となる。すべての値と確率の積の総和が期待値である。
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問8．確率変数Xの期待値E(X)=2、E(X^2)=6のとき、分散V(X)を求めよ。
- ア．2
- イ．6
- ウ．10
- エ．4
正解：ア．2
解説：分散の計算公式 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2 を用いる。V(X)=6-2^2=6-4=2となる。2乗の期待値から平均の2乗を引いて求める方法である。
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問9．二項分布B(80,0.25)に従う確率変数Xの平均を求めよ。
- ア．20
- イ．60
- ウ．25
- エ．16
正解：ア．20
解説：平均はnp=80×0.25=20である。0.25は1/4なので80÷4=20と計算してもよい。二項分布の平均公式npを用いた基本計算である。
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問10．二項分布B(80,0.25)に従う確率変数Xの分散を求めよ。
- ア．15
- イ．20
- ウ．60
- エ．5
正解：ア．15
解説：分散はnp(1-p)=80×0.25×0.75=20×0.75=15となる。1-p=0.75を用いる。平均20に(1-p)を掛けて分散を求める手順である。
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問11．確率変数Xの期待値E(X)=10のとき、E(-X+5)の値を求めよ。
- ア．-5
- イ．5
- ウ．15
- エ．-15
正解：ア．-5
解説：E(aX+b)=aE(X)+b より E(-X+5)=-E(X)+5=-10+5=-5となる。係数-1を期待値に掛けてから定数5を加えて計算する。
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問12．確率変数Xの分散V(X)=2のとき、標準偏差σ(2X)を求めよ。
- ア．2√2
- イ．4
- ウ．√2
- エ．8
正解：ア．2√2
解説：V(2X)=2^2×V(X)=4×2=8。標準偏差はσ(2X)=√8=2√2となる。または σ(aX)=|a|σ(X)=2×√2=2√2 と求めてもよい。
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問13．二項分布B(n,p)で平均が6、分散が4.8のとき、確率pの値を求めよ。
- ア．0.2
- イ．0.8
- ウ．0.5
- エ．0.6
正解：ア．0.2
解説：np=6、np(1-p)=4.8である。後者を前者で割ると 1-p=4.8/6=0.8、よってp=0.2となる。平均と分散の比から確率pを逆算する。
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問14．確率変数Xが値0,1,2をそれぞれ確率1/4,1/2,1/4でとる。期待値E(X)を求めよ。
- ア．0.5
- イ．1
- ウ．1.5
- エ．2
正解：イ．1
解説：E(X)=0×(1/4)+1×(1/2)+2×(1/4)=0+1/2+1/2=1となる。各値とその確率の積の総和が期待値であり、対称分布なので中央値1に一致する。
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問15．正規分布N(50,10^2)に従うXを標準化したZ=(X-50)/10で、X=70のときZの値を求めよ。
- ア．1
- イ．2
- ウ．20
- エ．0.5
正解：イ．2
解説：標準化はZ=(X-m)/σで行う。Z=(70-50)/10=20/10=2となる。平均からの偏差を標準偏差で割って標準正規分布の値に変換する。
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問16．標準正規分布N(0,1)において、確率変数Zの平均E(Z)の値を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．0.5
- エ．-1
正解：イ．0
解説：標準正規分布N(0,1)は表記N(平均,分散)より平均0、分散1の正規分布である。よってE(Z)=0となる。標準化された分布の定義に基づく値である。
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問17．正規分布N(60,4^2)に従うXについて、X=68を標準化したZの値を求めよ。
- ア．8
- イ．2
- ウ．0.5
- エ．4
正解：イ．2
解説：Z=(X-m)/σ=(68-60)/4=8/4=2となる。平均m=60、標準偏差σ=4で標準化する。偏差8を標準偏差4で割って2が得られる。
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問18．標準正規分布で P(0≦Z≦1)=0.3413 のとき、P(Z≧1) を求めよ。
- ア．0.3413
- イ．0.1587
- ウ．0.8413
- エ．0.6587
正解：イ．0.1587
解説：P(Z≧0)=0.5である。P(Z≧1)=P(Z≧0)-P(0≦Z≦1)=0.5-0.3413=0.1587となる。全体の半分から区間確率を引いて求める。
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問19．標準正規分布で P(0≦Z≦1.96)=0.475 のとき、P(-1.96≦Z≦1.96) を求めよ。
- ア．0.475
- イ．0.95
- ウ．0.90
- エ．0.975
正解：イ．0.95
解説：分布の対称性より P(-1.96≦Z≦1.96)=2×P(0≦Z≦1.96)=2×0.475=0.95となる。これは95%信頼区間で用いられる重要な値である。
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問20．確率変数Xの期待値E(X)=4、分散V(X)=9のとき、Y=(X-4)/3の分散V(Y)を求めよ。
- ア．3
- イ．1
- ウ．9
- エ．0
正解：イ．1
解説：V(Y)=V((X-4)/3)=(1/3)^2×V(X)=(1/9)×9=1となる。定数-4は分散に影響せず、係数1/3が2乗される。標準化変数の分散は1になる。
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問21．母平均mの母集団から大きさnの標本を抽出するとき、標本平均X̄の期待値E(X̄)はいくらか。
- ア．m/n
- イ．m
- ウ．nm
- エ．m/√n
正解：イ．m
解説：標本平均X̄の期待値は母平均に等しく E(X̄)=m となる。標本平均は母平均の不偏推定量であり、平均的には母平均に一致する。
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問22．母分散σ^2の母集団から大きさnの標本を抽出するとき、標本平均X̄の分散を求めよ。
- ア．σ^2
- イ．σ^2/n
- ウ．nσ^2
- エ．σ/√n
正解：イ．σ^2/n
解説：標本平均の分散はV(X̄)=σ^2/nとなる。標本の大きさnが大きいほど分散は小さくなり、標本平均が母平均に近づき推定が安定する。
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問23．母標準偏差σの母集団から大きさnの標本を抽出するとき、標本平均X̄の標準偏差を求めよ。
- ア．σ/n
- イ．σ/√n
- ウ．σ
- エ．σ^2/n
正解：イ．σ/√n
解説：V(X̄)=σ^2/nより標準偏差はその平方根 σ/√n となる。これは標準誤差と呼ばれ、母平均の信頼区間の幅を決定する重要な量である。
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問24．母標準偏差σ=10の母集団から大きさn=100の標本をとる。標本平均X̄の標準偏差を求めよ。
- ア．10
- イ．1
- ウ．0.1
- エ．100
正解：イ．1
解説：標本平均の標準偏差は σ/√n=10/√100=10/10=1 となる。√100=10で割ることで標準誤差1が得られる。標本が大きいので精度が高い。
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問25．標本平均X̄=50、母標準偏差σ=10、標本n=100のとき、母平均の95%信頼区間の幅(上限-下限)を求めよ。係数は1.96とする。
- ア．1.96
- イ．3.92
- ウ．1
- エ．0.392
正解：イ．3.92
解説：標準誤差σ/√n=10/10=1。信頼区間は50±1.96×1なので、幅は2×1.96×1=3.92となる。両側に1.96倍の標準誤差をとった合計の幅である。
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問26．母平均の信頼区間 X̄±1.96×σ/√n において、信頼度を95%から99%へ高くすると区間の幅はどうなるか。
- ア．狭くなる
- イ．広くなる
- ウ．変わらない
- エ．0になる
正解：イ．広くなる
解説：信頼度を上げると係数が1.96から2.58へ大きくなるため、信頼区間の幅は広くなる。確実性を高めるほど精度(幅の狭さ)は犠牲になる関係がある。
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問27．標本の大きさnを4倍にすると、母平均の信頼区間の幅(σ/√nに比例)はおよそ何倍になるか。
- ア．1/4倍
- イ．2倍
- ウ．1/2倍
- エ．4倍
正解：ウ．1/2倍
解説：幅はσ/√nに比例する。nが4倍になると√nは2倍になり、幅は1/2倍になる。精度を2倍にするには標本数を4倍必要とすることを意味する。
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問28．x^2+1=0 の解を複素数の範囲で求めよ。
- ア．x=±1
- イ．x=i
- ウ．x=±i
- エ．x=±2i
正解：ウ．x=±i
解説：x^2=-1より x=±√(-1)=±i となる。虚数単位iはi^2=-1を満たす数であり、この方程式は実数解をもたず2つの虚数解をもつ。
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問29．2次方程式 x^2-2x+5=0 の解を求めよ。
- ア．x=-1±2i
- イ．x=2±i
- ウ．x=1±2i
- エ．x=1±4i
正解：ウ．x=1±2i
解説：解の公式より x=(2±√(4-20))/2=(2±√(-16))/2=(2±4i)/2=1±2i となる。判別式D=4-20=-16<0なので共役な2つの虚数解をもつ。
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問30．2次方程式 x^2+x+1=0 の2つの解の和を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．-1
- エ．-2
正解：ウ．-1
解説：解と係数の関係より、x^2+bx+cの2解の和は-bである。和=-1/1=-1となる。判別式は負だが解の和は実数-1として求められる。
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問31．2次方程式 x^2-5x+6=0 の2つの解の積を求めよ。
- ア．5
- イ．-6
- ウ．6
- エ．-5
正解：ウ．6
解説：解と係数の関係より2解の積は定数項c=6である。実際に因数分解すると(x-2)(x-3)=0で解はx=2,3、積は2×3=6で一致する。
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問32．2次方程式 x^2-3x+4=0 の2つの解をα、βとするとき、α+βの値を求めよ。
- ア．4
- イ．-3
- ウ．3
- エ．-4
正解：ウ．3
解説：解と係数の関係より α+β=-(-3)/1=3 となる。判別式D=9-16=-7<0で虚数解だが、解の和は実数3として得られる。
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問33．2次方程式 x^2-3x+4=0 の2つの解をα、βとするとき、積αβの値を求めよ。
- ア．3
- イ．-4
- ウ．4
- エ．12
正解：ウ．4
解説：解と係数の関係より積αβ=定数項4である。和α+β=3とともに、対称式α^2+β^2などを計算する際に利用される基本量である。
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問34．2次方程式の2解α、βがα+β=5、αβ=6を満たすとき、α^2+β^2の値を求めよ。
- ア．25
- イ．37
- ウ．13
- エ．11
正解：ウ．13
解説：対称式の変形 α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ を用いる。=5^2-2×6=25-12=13となる。基本対称式の和と積から計算する典型問題である。
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問35．複素数 z=2+3i の共役複素数 z̄ を求めよ。
- ア．-2+3i
- イ．-2-3i
- ウ．2-3i
- エ．2+3i
正解：ウ．2-3i
解説：共役複素数は虚部の符号を変えたもので z̄=2-3i となる。実部2はそのままで虚部3iの符号のみを反転させた複素数である。
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問36．連続型確率変数Xの確率密度関数が、0≦x≦1 で f(x)=2x、それ以外で f(x)=0 であるとき、Xの期待値E(X)を求めよ。
- ア．1/2
- イ．2/3
- ウ．1/3
- エ．1
正解：イ．2/3
解説：連続型確率変数の期待値は E(X)=∫x f(x)dx で求める。E(X)=∫[0→1] x・2x dx=∫[0→1] 2x² dx=[2x³/3][0→1]=2/3。なお f(x)=2x は f(x)≧0 で ∫[0→1] 2x dx=[x²][0→1]=1 となるので確率密度関数の条件を満たす（選択肢の1はこの全確率の値）。1/2 は E(X²)=∫[0→1] x²・2x dx=[x⁴/2][0→1]=1/2 と取り違えた値、1/3 は f(x) を掛けずに ∫[0→1] x² dx=1/3 とした値である。
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問37．(1+i)(1-i)を計算せよ。
- ア．0
- イ．1+i
- ウ．2
- エ．2i
正解：ウ．2
解説：和と差の積の公式より (1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=1+1=2となる。i^2=-1を代入することで実数2が得られる計算である。
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問38．虚数単位iについて、i^4の値を求めよ。
- ア．-1
- イ．i
- ウ．1
- エ．-i
正解：ウ．1
解説：i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1となる。iの累乗はi,−1,−i,1の周期4で循環し、4の倍数乗のときは必ず1になる性質がある。
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問39．虚数単位iについて、i^3の値を求めよ。
- ア．i
- イ．-1
- ウ．1
- エ．-i
正解：エ．-i
解説：i^3=i^2×i=(-1)×i=-iとなる。iの累乗の周期性 i,-1,-i,1 において3番目に当たり、結果は-iである。i^2=-1を用いる。
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問40．(2+i)+(3-4i)を計算せよ。
- ア．5+3i
- イ．5-5i
- ウ．-1+5i
- エ．5-3i
正解：エ．5-3i
解説：複素数の加法は実部どうし虚部どうしを加える。(2+3)+(1-4)i=5+(-3)i=5-3iとなる。成分ごとに足し合わせる計算である。
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問41．(1+2i)(2+i)を計算せよ。
- ア．4+5i
- イ．2+5i
- ウ．5i-2
- エ．5i
正解：エ．5i
解説：展開すると 1×2+1×i+2i×2+2i×i=2+i+4i+2i^2=2+5i-2=5iとなる。i^2=-1を代入し実部が打ち消されて純虚数5iになる。
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問42．3次方程式 x^3-1=0 の実数解を求めよ。
- ア．x=-1
- イ．x=0
- ウ．x=±1
- エ．x=1
正解：エ．x=1
解説：x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0と因数分解できる。x^2+x+1=0は判別式D=1-4=-3<0で虚数解。よって実数解はx=1のみである。
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問43．3次方程式 x^3-8=0 の実数解を求めよ。
- ア．x=8
- イ．x=-2
- ウ．x=4
- エ．x=2
正解：エ．x=2
解説：x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)=0と因数分解できる。x^2+2x+4=0は判別式D=4-16=-12<0で虚数解。よって実数解はx=2である。
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問44．整式 P(x)=x^3-2x^2-x+2 にx=1を代入した値P(1)を求め、x=1が解かどうか判定せよ。
- ア．1
- イ．-2
- ウ．2
- エ．0
正解：エ．0
解説：P(1)=1-2-1+2=0となる。P(1)=0より因数定理から(x-1)を因数にもち、x=1は方程式P(x)=0の解であることがわかる。
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問45．整式 P(x)=x^3+2x^2-x-2 を因数分解せよ。
- ア．(x-2)(x+1)(x-1)
- イ．(x+2)(x-1)^2
- ウ．(x+2)^2(x-1)
- エ．(x+2)(x+1)(x-1)
正解：エ．(x+2)(x+1)(x-1)
解説：x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^2-1)=(x+2)(x+1)(x-1)となる。共通因数(x+2)でくくり、さらにx^2-1を和と差の積に分解する。
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問46．3次方程式 x^3-6x^2+11x-6=0 の3つの解の和を求めよ。
- ア．11
- イ．1
- ウ．-6
- エ．6
正解：エ．6
解説：x^3+ax^2+bx+c=0の解の和は-aである。和=-(-6)=6となる。実際に因数分解すると解は1,2,3で和は1+2+3=6と一致する。
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問47．3次方程式 x^3-6x^2+11x-6=0 の3つの解の積を求めよ。
- ア．-6
- イ．11
- ウ．1
- エ．6
正解：エ．6
解説：x^3+ax^2+bx+c=0の解の積は-cである。積=-(-6)=6となる。解1,2,3の積1×2×3=6と一致し、解と係数の関係が確認できる。
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問48．2次方程式の2解α、βがα+β=4、αβ=1のとき、1/α+1/βの値を求めよ。
- ア．1/4
- イ．5
- ウ．3
- エ．4
正解：エ．4
解説：1/α+1/β=(β+α)/(αβ)=(α+β)/(αβ)=4/1=4となる。通分して分子を解の和、分母を解の積に直すと基本対称式で計算できる。
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問49．二項定理により (x+1)^4 を展開したとき、x^2 の係数を求めよ。
- ア．4
- イ．12
- ウ．1
- エ．6
正解：エ．6
解説：(x+1)^4の一般項はC(4,k)x^(4-k)である。x^2の項はk=2に対応しC(4,2)=(4×3)/(2×1)=6となる。二項係数で係数が決まる。
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問50．二項定理により (1+x)^5 を展開したとき、x^3 の係数を求めよ。
- ア．5
- イ．20
- ウ．15
- エ．10
正解：エ．10
解説：x^3の係数はC(5,3)=C(5,2)=(5×4)/(2×1)=10となる。二項係数C(5,3)を計算すれば求められる。対称性よりC(5,3)=C(5,2)である。
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問51．確率変数Xの期待値はE(X)で表され、定数a,bについてE(aX+b)=aE(X)+bが成り立つ。
正解：○（正しい）
解説：期待値は線形性をもち E(aX+b)=aE(X)+b が常に成立する。これは期待値の最も基本的な性質であり、記述の通り正しい。
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問52．二項分布B(n,p)に従う確率変数の分散はnp(1-p)である。
正解：○（正しい）
解説：二項分布B(n,p)の分散はnp(1-p)、平均はnpである。記述は分散公式と完全に一致しており、正しい内容である。
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問53．確率変数の標準偏差と分散の間には、標準偏差=√分散の関係が成り立つ。
正解：○（正しい）
解説：標準偏差σは分散V(X)の正の平方根、すなわちσ=√V(X)である。記述はこの関係を正しく述べており正しい。
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問54．確率変数Xと定数a,bについて、V(aX+b)=aV(X)+bが常に成り立つ。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは V(aX+b)=a^2V(X) である。定数bは分散に影響せず、係数aは2乗されて分散に掛かる点が異なる。
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問55．二項分布B(n,p)に従う確率変数の平均(期待値)はnpである。
正解：○（正しい）
解説：二項分布B(n,p)の平均はnpである。1回の試行の成功確率pをn回行ったときの成功回数の期待値であり、記述は正しい。
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問56．標準正規分布N(0,1)の平均は1、分散は0である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは標準正規分布N(0,1)の平均は0、分散は1である。表記N(平均,分散)の順序であり、平均と分散を取り違えている。
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問57．正規分布N(m,σ^2)に従うXは、Z=(X-m)/σにより標準正規分布N(0,1)に従うように標準化できる。
正解：○（正しい）
解説：Z=(X-m)/σで標準化するとZは平均0、分散1の標準正規分布N(0,1)に従う。記述は標準化の手順を正しく述べている。
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問58．標本平均X̄の期待値は母平均mに等しく、標本平均は母平均の不偏推定量である。
正解：○（正しい）
解説：E(X̄)=mが成り立ち、標本平均は母平均の不偏推定量である。記述は不偏性を正しく述べており、正しい内容である。
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問59．標本平均X̄の分散は、標本の大きさnが大きくなるほど大きくなる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくはV(X̄)=σ^2/nであり、nが大きくなるほど分散は小さくなる。標本を増やすほど推定精度が上がるという性質である。
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問60．母平均の信頼区間において、信頼度を95%から99%に上げると区間の幅は広くなる。
正解：○（正しい）
解説：信頼度を上げると係数が1.96から2.58へ大きくなるため、信頼区間の幅は広がる。記述はこの関係を正しく述べており正しい。
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問61．母平均の95%信頼区間を求める際、標本平均の両側に標準誤差σ/√nの1.96倍をとる。
正解：○（正しい）
解説：95%信頼区間はX̄±1.96×σ/√nで与えられる。標準正規分布で確率0.95に対応する係数1.96を用いるため、記述は正しい。
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問62．複素数z=a+biの共役複素数はz̄=-a+biである。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは共役複素数z̄=a-biで、虚部の符号のみを反転させる。実部aの符号は変えない点を取り違えている。
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問63．虚数単位iは、i^2=-1を満たすように定義される数である。
正解：○（正しい）
解説：虚数単位iの定義は i^2=-1 である。これにより負の数の平方根を表現でき、複素数の体系が構築される。記述は正しい。
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問64．2次方程式x^2+bx+c=0の2つの解の和は、解と係数の関係より-bである。
正解：○（正しい）
解説：解と係数の関係より、x^2+bx+cの2解の和は-b、積はcである。記述は解の和について正しく述べている。
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問65．2次方程式x^2+bx+c=0の2つの解の積は、解と係数の関係より-cである。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは2解の積はc(定数項そのもの)である。解の和が-bであることと符号を混同しないよう注意が必要である。
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問66．判別式D<0の2次方程式は、異なる2つの実数解をもつ。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくはD<0のとき実数解をもたず、共役な2つの虚数解をもつ。異なる2つの実数解をもつのはD>0のときである。
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問67．因数定理によれば、整式P(x)についてP(a)=0ならばP(x)は(x-a)を因数にもつ。
正解：○（正しい）
解説：因数定理により、P(a)=0であることとP(x)が(x-a)を因数にもつことは同値である。記述はこの定理を正しく述べている。
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問68．実数係数の3次方程式が虚数解α+βi(β≠0)をもつとき、その共役複素数α-βiも解になる。
正解：○（正しい）
解説：実数係数の方程式では、虚数解は必ず共役複素数とペアで現れる。これは共役解の定理として知られ、記述は正しい性質である。
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問69．虚数単位iについて、i^4=1が成り立つ。
正解：○（正しい）
解説：i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1である。iの累乗はi,-1,-i,1の周期4で循環し、4乗で1に戻る。記述は正しい。
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問70．二項定理(a+b)^nの展開における各項の係数は、二項係数C(n,k)で表される。
正解：○（正しい）
解説：二項定理(a+b)^n=ΣC(n,k)a^(n-k)b^kであり、各項の係数は二項係数C(n,k)である。記述はこの定理を正しく述べている。
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問71．数学的帰納法では、n=1での成立を示し、n=kでの成立を仮定してn=k+1での成立を示せば、すべての自然数で成立すると結論できる。
正解：○（正しい）
解説：数学的帰納法は、初項での成立と、n=kでの仮定からn=k+1での成立を導く2段階で全自然数の成立を示す。記述は正しい手順である。
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問72．複素数a+biの絶対値|a+bi|は√(a^2-b^2)で与えられる。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは|a+bi|=√(a^2+b^2)である。実部と虚部の2乗の和の平方根であり、引き算ではなく足し算を用いる。
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問73．3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0の3つの解の和は、解と係数の関係よりaである。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは3解の和は-aである。3次方程式の解と係数の関係では、和=-a、2つずつの積の和=b、3つの積=-cとなる。
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問74．確率変数XとYが独立のとき、和の分散についてV(X+Y)=V(X)+V(Y)が成り立つ。
正解：○（正しい）
解説：独立な確率変数では分散の加法性 V(X+Y)=V(X)+V(Y) が成り立つ。記述はこの独立性の下での性質を正しく述べている。
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問75．確率変数Xの分散は、公式V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2で計算できる。
正解：○（正しい）
解説：分散の計算公式 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2 は常に成り立つ。2乗の期待値から平均の2乗を引いて求める方法で、記述は正しい。