数検準1級（実用数学技能検定 準1級）「複素数平面」の一問一答

数検準1級（実用数学技能検定 準1級）の複素数平面に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．z=3+4i のとき、絶対値 |z| を求めよ。

   • ア．5
   • イ．7
   • ウ．√7
   • エ．25

   正解：ア．5

   解説：複素数 z=a+bi の絶対値は |z|=√(a²+b²)。a=3, b=4 を代入すると |z|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。これは原点から点(3,4)までの距離に等しい。

2. 問2．z=1+i のとき、絶対値 |z| を求めよ。

   • ア．1
   • イ．2
   • ウ．√2
   • エ．√3

   正解：ウ．√2

   解説：|z|=√(a²+b²) に a=1, b=1 を代入すると |z|=√(1²+1²)=√(1+1)=√2。点(1,1)と原点の距離が √2 であることと一致する。

3. 問3．z=-2+2√3 i のとき、絶対値 |z| を求めよ。

   • ア．2
   • イ．4
   • ウ．2√3
   • エ．8

   正解：イ．4

   解説：|z|=√(a²+b²)。a=-2, b=2√3 より |z|=√((-2)²+(2√3)²)=√(4+12)=√16=4。負の実部でも2乗するため符号は影響しない。

4. 問4．z=5-12i のとき、絶対値 |z| を求めよ。

   • ア．7
   • イ．√17
   • ウ．13
   • エ．17

   正解：ウ．13

   解説：|z|=√(a²+b²) に a=5, b=-12 を代入。|z|=√(5²+(-12)²)=√(25+144)=√169=13。これは有名なピタゴラス数 5,12,13 に対応する。

5. 問5．z=3-4i の共役複素数 z̄ を求めよ。

   • ア．-3+4i
   • イ．3+4i
   • ウ．-3-4i
   • エ．4-3i

   正解：イ．3+4i

   解説：共役複素数は虚部の符号を変えたもの。z=a+bi の共役は z̄=a-bi。z=3-4i の共役は 3+4i となる。実軸に関して対称な点を表す。

6. 問6．z=2+5i のとき、z·z̄ の値を求めよ。

   • ア．21
   • イ．-21
   • ウ．4+25i
   • エ．29

   正解：エ．29

   解説：z·z̄=|z|²=a²+b² が成り立つ。a=2, b=5 より z·z̄=2²+5²=4+25=29。実際 (2+5i)(2-5i)=4-25i²=4+25=29 と一致する。

7. 問7．複素数 z=1+i を極形式で表したものを求めよ。

   • ア．√2(cos45°+isin45°)
   • イ．2(cos45°+isin45°)
   • ウ．√2(cos30°+isin30°)
   • エ．(cos45°+isin45°)

   正解：ア．√2(cos45°+isin45°)

   解説：|z|=√(1²+1²)=√2、偏角は実部虚部とも正で arg z=45°。よって z=√2(cos45°+isin45°)。点(1,1)は第1象限で原点と45°方向にある。

8. 問8．複素数 z=√3+i を極形式で表したものを求めよ。

   • ア．2(cos60°+isin60°)
   • イ．2(cos30°+isin30°)
   • ウ．4(cos30°+isin30°)
   • エ．4(cos60°+isin60°)

   正解：イ．2(cos30°+isin30°)

   解説：極形式 z=r(cosθ+isinθ) の r は絶対値、θ は偏角である。|z|=√((√3)²+1²)=√(3+1)=√4=2。cosθ=√3/2、sinθ=1/2 で、点(√3, 1)は第1象限にあるから θ=30°。よって z=2(cos30°+isin30°) となる。係数を4とするのは、(√3)²+1²=4 の平方根をとり忘れて絶対値とした誤り。偏角60°は cosθ=1/2、sinθ=√3/2 となる点(1, √3)の場合で、実部と虚部を取り違えている。

   根拠： 日本数学検定協会「数学検定準1級」検定の内容 検定の内容（高校3年程度）：複素数平面 ほか

9. 問9．複素数 z=-1+√3 i を極形式で表したものを求めよ。

   • ア．2(cos60°+isin60°)
   • イ．2(cos150°+isin150°)
   • ウ．2(cos120°+isin120°)
   • エ．2(cos240°+isin240°)

   正解：ウ．2(cos120°+isin120°)

   解説：|z|=√((-1)²+(√3)²)=√(1+3)=2。点(-1,√3)は第2象限。基準角 tanα=√3/1 で α=60°、よって偏角は 180°-60°=120°。z=2(cos120°+isin120°)。

10. 問10．複素数 z=2i を極形式で表したものを求めよ。

    • ア．2(cos0°+isin0°)
    • イ．2(cos180°+isin180°)
    • ウ．2(cos270°+isin270°)
    • エ．2(cos90°+isin90°)

    正解：エ．2(cos90°+isin90°)

    解説：z=0+2i は虚軸の正の方向にある。|z|=√(0²+2²)=2、偏角は90°。よって z=2(cos90°+isin90°) となる。実部0・虚部正なので偏角は90°。

11. 問11．複素数 z=-3 を極形式で表したものを求めよ。

    • ア．3(cos180°+isin180°)
    • イ．3(cos0°+isin0°)
    • ウ．-3(cos180°+isin180°)
    • エ．3(cos90°+isin90°)

    正解：ア．3(cos180°+isin180°)

    解説：z=-3+0i は実軸の負の方向にある。|z|=√((-3)²+0²)=3、偏角は180°。よって z=3(cos180°+isin180°) となる。cos180°=-1, sin180°=0 で検算一致。

12. 問12．z₁=2(cos20°+isin20°)、z₂=3(cos40°+isin40°) のとき、積 z₁z₂ を極形式で求めよ。

    • ア．5(cos60°+isin60°)
    • イ．6(cos60°+isin60°)
    • ウ．6(cos800°+isin800°)
    • エ．6(cos20°+isin20°)

    正解：イ．6(cos60°+isin60°)

    解説：積では絶対値は積、偏角は和になる。|z₁z₂|=2×3=6、偏角=20°+40°=60°。よって z₁z₂=6(cos60°+isin60°) となる。

13. 問13．z₁=4(cos50°+isin50°)、z₂=2(cos20°+isin20°) のとき、商 z₁/z₂ を極形式で求めよ。

    • ア．2(cos70°+isin70°)
    • イ．8(cos30°+isin30°)
    • ウ．2(cos30°+isin30°)
    • エ．2(cos2.5°+isin2.5°)

    正解：ウ．2(cos30°+isin30°)

    解説：商では絶対値は商、偏角は差になる。|z₁/z₂|=4/2=2、偏角=50°-20°=30°。よって z₁/z₂=2(cos30°+isin30°) となる。

14. 問14．(cos30°+isin30°)³ を計算せよ(ド・モアブルの定理)。

    • ア．1
    • イ．-i
    • ウ．-1
    • エ．i

    正解：エ．i

    解説：ド・モアブルの定理より (cosθ+isinθ)ⁿ=cos nθ+isin nθ。θ=30°, n=3 で偏角は90°。cos90°+isin90°=0+i·1=i となる。

15. 問15．(cos60°+isin60°)⁶ を計算せよ(ド・モアブルの定理)。

    • ア．1
    • イ．-1
    • ウ．i
    • エ．-i

    正解：ア．1

    解説：ド・モアブルより偏角は60°×6=360°。cos360°+isin360°=1+0i=1。一周して実部1に戻る。よって値は1。

16. 問16．(1+i)⁴ を計算せよ。

    • ア．4
    • イ．-4
    • ウ．4i
    • エ．-4i

    正解：イ．-4

    解説：1+i=√2(cos45°+isin45°)。ド・モアブルより (√2)⁴(cos180°+isin180°)=4×(-1+0i)=-4。検算: (1+i)²=2i、(2i)²=4i²=-4 で一致。

17. 問17．(√3+i)⁶ を計算せよ。

    • ア．64
    • イ．64i
    • ウ．-64
    • エ．-64i

    正解：ウ．-64

    解説：√3+i=2(cos30°+isin30°)。ド・モアブルより 2⁶(cos180°+isin180°)=64×(-1)=-64。偏角30°×6=180°、絶対値2⁶=64より -64 となる。

18. 問18．(cos45°+isin45°)⁸ を計算せよ。

    • ア．-1
    • イ．i
    • ウ．8
    • エ．1

    正解：エ．1

    解説：ド・モアブルより偏角は45°×8=360°。cos360°+isin360°=1+0i=1。8乗で偏角がちょうど一周し、値は1になる。

19. 問19．z=1+i に i を掛けると iz はどの点に移るか。

    • ア．-1+i
    • イ．1-i
    • ウ．-1-i
    • エ．i

    正解：ア．-1+i

    解説：i を掛けることは原点を中心に90°回転すること。iz=i(1+i)=i+i²=i-1=-1+i。点(1,1)を90°回転すると(-1,1)になる。

20. 問20．複素数の積 (2+3i)(1-2i) を計算せよ。

    • ア．2-i
    • イ．8+i
    • ウ．8-i
    • エ．-4-i

    正解：ウ．8-i

    解説：分配法則と i²=-1 を用いる。(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=2-i+6=8-i。i²=-1 より -6i²=+6 となることに注意。

21. 問21．商 (1+i)/(1-i) を計算せよ。

    • ア．-i
    • イ．i
    • ウ．1
    • エ．-1

    正解：イ．i

    解説：分母の共役 1+i を分母分子に掛ける。((1+i)(1+i))/((1-i)(1+i))=(1+2i+i²)/(1-i²)=(2i)/2=i。i²=-1 を用いて整理すると i。

22. 問22．1/i を a+bi の形にせよ。

    • ア．i
    • イ．1
    • ウ．-i
    • エ．-1

    正解：ウ．-i

    解説：分母分子に i を掛ける。1/i=i/(i·i)=i/i²=i/(-1)=-i。よって 1/i=-i。i²=-1 を利用する基本変形である。

23. 問23．i⁴ の値を求めよ。

    • ア．1
    • イ．-1
    • ウ．i
    • エ．-i

    正解：ア．1

    解説：i²=-1 より i⁴=(i²)²=(-1)²=1。i の累乗は i,-1,-i,1 を周期4で繰り返す。i⁴ は1である。

24. 問24．i¹⁰¹ の値を求めよ。

    • ア．-i
    • イ．1
    • ウ．i
    • エ．-1

    正解：ウ．i

    解説：i の累乗は周期4。101÷4=25余り1。よって i¹⁰¹=i¹=i となる。指数を4で割った余りで判定する。

25. 問25．z=cos40°+isin40° のとき、z̄ を極形式で表せ。

    • ア．cos40°+isin40°
    • イ．cos(-40°)+isin(-40°)
    • ウ．cos50°+isin50°
    • エ．cos140°+isin140°

    正解：イ．cos(-40°)+isin(-40°)

    解説：共役をとると偏角の符号が変わる。z̄=cos(-40°)+isin(-40°)=cos40°-isin40°。絶対値1は不変で偏角だけ反転する。

26. 問26．2点 A(1+2i)、B(4+6i) 間の距離を求めよ。

    • ア．7
    • イ．5
    • ウ．√7
    • エ．25

    正解：イ．5

    解説：2点間の距離は |B-A|。B-A=(4-1)+(6-2)i=3+4i。|3+4i|=√(3²+4²)=√25=5。距離は5である。

27. 問27．方程式 |z|=3 が表す図形を答えよ。

    • ア．原点中心・半径9の円
    • イ．点(3,0)
    • ウ．原点中心・半径3の円
    • エ．実軸

    正解：ウ．原点中心・半径3の円

    解説：|z| は原点から点 z までの距離。|z|=3 は原点からの距離が3で一定の点の集合、すなわち原点中心・半径3の円を表す。

28. 問28．方程式 |z-2|=1 が表す図形を答えよ。

    • ア．点2を中心とする半径1の円
    • イ．原点中心・半径1の円
    • ウ．点2を中心とする半径2の円
    • エ．実軸に平行な直線

    正解：ア．点2を中心とする半径1の円

    解説：|z-2| は点 z と点2(=2+0i)の距離。|z-2|=1 は点2を中心とする半径1の円を表す。中心が原点から2に移動した円である。

29. 問29．方程式 |z-i|=2 が表す図形を答えよ。

    • ア．原点中心・半径2の円
    • イ．点iを中心とする半径4の円
    • ウ．点iを中心とする半径2の円
    • エ．虚軸

    正解：ウ．点iを中心とする半径2の円

    解説：|z-i| は点 z と点 i(=0+i)の距離。|z-i|=2 は点 i を中心とする半径2の円。中心は虚軸上の点(0,1)である。

30. 問30．方程式 |z-1|=|z-3| が表す図形を答えよ。

    • ア．原点中心の円
    • イ．2点1,3を結ぶ線分の垂直二等分線
    • ウ．実軸
    • エ．点2を中心とする円

    正解：イ．2点1,3を結ぶ線分の垂直二等分線

    解説：点1と点3から等距離にある点の集合は、線分の垂直二等分線。中点は2で実軸に垂直なので、点2を通り実軸に垂直な直線(直線 x=2)となる。

31. 問31．1の3乗根のうち、1以外の解を1つ選べ。

    • ア．1/2+(√3/2)i
    • イ．-1+i
    • ウ．i
    • エ．-1/2+(√3/2)i

    正解：エ．-1/2+(√3/2)i

    解説：z³=1 の解は z=cos(120°k)+isin(120°k)(k=0,1,2)。k=1 で cos120°+isin120°=-1/2+(√3/2)i。これは1以外の虚数解の一つである。

32. 問32．1の4乗根をすべて選べ。

    • ア．1, i, -1, -i
    • イ．1, -1
    • ウ．i, -i
    • エ．1, 2, 3, 4

    正解：ア．1, i, -1, -i

    解説：z⁴=1 の解は z=1,i,-1,-i(偏角0°,90°,180°,270°)。絶対値1で偏角が90°ずつ進む4点で、単位円を4等分する。

33. 問33．z⁶=1 の解は単位円周上に何個あり、どのように並ぶか。

    • ア．6個・90°ずつ
    • イ．6個・60°ずつ等間隔
    • ウ．3個・120°ずつ
    • エ．1個のみ

    正解：イ．6個・60°ずつ等間隔

    解説：1のn乗根は単位円周上を n 等分する点。z⁶=1 では絶対値1・偏角60°ずつの6個の点が正六角形の頂点に並ぶ。

34. 問34．(2-2i) の絶対値 |2-2i| を求めよ。

    • ア．4
    • イ．2
    • ウ．2√2
    • エ．√2

    正解：ウ．2√2

    解説：|z|=√(a²+b²)。a=2, b=-2 より |2-2i|=√(2²+(-2)²)=√(4+4)=√8=2√2。負の虚部も2乗するので符号は無関係。

35. 問35．複素数 z₁=3(cos10°+isin10°)、z₂=2(cos35°+isin35°) の積の絶対値を求めよ。

    • ア．5
    • イ．1
    • ウ．45
    • エ．6

    正解：エ．6

    解説：積の絶対値は絶対値の積。|z₁z₂|=|z₁||z₂|=3×2=6。偏角は和だが絶対値だけ問われているので6となる。

36. 問36．点 z=2+i を原点中心に90°回転した点を求めよ。

    • ア．-1+2i
    • イ．1-2i
    • ウ．1+2i
    • エ．-2-i

    正解：ア．-1+2i

    解説：原点中心90°回転は i を掛ける。i(2+i)=2i+i²=2i-1=-1+2i。点(2,1)を90°回転すると(-1,2)になる。

37. 問37．点 z=4 を原点中心に60°回転した点を極形式で求めよ。

    • ア．4(cos0°+isin0°)
    • イ．4(cos30°+isin30°)
    • ウ．4(cos60°+isin60°)
    • エ．60(cos4°+isin4°)

    正解：ウ．4(cos60°+isin60°)

    解説：回転は cos60°+isin60° を掛ける。z=4 の偏角0°に60°を加え、絶対値4は不変。よって 4(cos60°+isin60°) となる。

38. 問38．(1-i)² を計算せよ。

    • ア．2i
    • イ．-2i
    • ウ．2
    • エ．-2

    正解：イ．-2i

    解説：(1-i)²=1²-2·1·i+i²=1-2i+(-1)=-2i。展開公式 (a-b)²=a²-2ab+b² と i²=-1 を用いる。

39. 問39．(√3-i) を極形式で表せ。

    • ア．2(cos30°+isin30°)
    • イ．2(cos(-60°)+isin(-60°))
    • ウ．2(cos(-30°)+isin(-30°))
    • エ．2(cos150°+isin150°)

    正解：ウ．2(cos(-30°)+isin(-30°))

    解説：|z|=√((√3)²+(-1)²)=√4=2。点(√3,-1)は第4象限。基準角30°より偏角は -30°。よって 2(cos(-30°)+isin(-30°))。

40. 問40．z=2(cos150°+isin150°) を a+bi の形に直せ。

    • ア．√3+i
    • イ．-√3+i
    • ウ．-√3-i
    • エ．√3-i

    正解：イ．-√3+i

    解説：cos150°=-√3/2, sin150°=1/2。z=2(-√3/2+(1/2)i)=-√3+i。絶対値2を各成分に掛けて求める。

41. 問41．z=3(cos90°+isin90°) を a+bi の形に直せ。

    • ア．3
    • イ．-3i
    • ウ．0
    • エ．3i

    正解：エ．3i

    解説：cos90°=0, sin90°=1。z=3(0+1·i)=3i。実部0・虚部3の純虚数になる。よって z=3i。

42. 問42．|3+4i|+|1-i| を計算せよ。

    • ア．5+√2
    • イ．5√2
    • ウ．6
    • エ．√2

    正解：ア．5+√2

    解説：|3+4i|=√(9+16)=√25=5。|1-i|=√(1+1)=√2。和は 5+√2。絶対値はそれぞれ別に計算してから足す。

43. 問43．複素数 z が |z|=1 を満たすとき、z·z̄ の値を求めよ。

    • ア．0
    • イ．1
    • ウ．-1
    • エ．2

    正解：イ．1

    解説：z·z̄=|z|² が常に成り立つ。|z|=1 より z·z̄=1²=1。単位円上の複素数は共役との積が1になる。

44. 問44．ド・モアブルの定理を用い (cosθ+isinθ)⁻¹ を求めよ。

    • ア．cosθ-isinθ
    • イ．cosθ+isinθ
    • ウ．-cosθ-isinθ
    • エ．sinθ+icosθ

    正解：ア．cosθ-isinθ

    解説：ド・モアブルは負の整数でも成立。n=-1 で cos(-θ)+isin(-θ)=cosθ-isinθ。これは共役複素数に等しい(絶対値1のため)。

45. 問45．複素数 z=a+bi に対し z-z̄ を求めよ。

    • ア．2a
    • イ．2b
    • ウ．0
    • エ．2bi

    正解：エ．2bi

    解説：z-z̄=(a+bi)-(a-bi)=2bi。実部が打ち消し合い、虚部の2倍となる。すなわち 2i·Im(z)=2bi である。

46. 問46．方程式 z²=-1 の解をすべて求めよ。

    • ア．i, -i
    • イ．1, -1
    • ウ．i のみ
    • エ．0

    正解：ア．i, -i

    解説：z²=-1 より z=±i。i²=-1, (-i)²=i²=-1 でともに成立。実数解はなく、虚数解 ±i の2個である。

47. 問47．1+i+i²+i³ の値を求めよ。

    • ア．1
    • イ．i
    • ウ．2
    • エ．0

    正解：エ．0

    解説：i²=-1, i³=-i。1+i+(-1)+(-i)=1-1+i-i=0。i の連続4個の和は0になる(周期性による)。

48. 問48．(1+i)⁸ を計算せよ。

    • ア．16
    • イ．-16
    • ウ．16i
    • エ．8

    正解：ア．16

    解説：1+i=√2(cos45°+isin45°)。ド・モアブルより (√2)⁸(cos360°+isin360°)=16×1=16。(√2)⁸=2⁴=16、偏角360°で実部1。

49. 問49．1の原始3乗根 ω について 1+ω+ω² の値を求めよ。

    • ア．1
    • イ．3
    • ウ．ω
    • エ．0

    正解：エ．0

    解説：ω は z³=1 の解で z³-1=(z-1)(z²+z+1)=0。ω≠1 より ω²+ω+1=0。よって 1+ω+ω²=0 となる。

50. 問50．|z+3|=|z-3| を満たす点 z の集合を選べ。

    • ア．実軸
    • イ．原点中心の円
    • ウ．点3を中心とする円
    • エ．虚軸(実部が0の直線)

    正解：エ．虚軸(実部が0の直線)

    解説：点 -3 と点 3 から等距離の点。両点は実軸上で原点対称なので、垂直二等分線は虚軸(実部0の直線)になる。

51. 問51．複素数 z=a+bi の絶対値は |z|=√(a²+b²) である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。原点(0,0)から点(a,b)までの距離が三平方の定理より √(a²+b²) であり、これが定義通りの絶対値である。

52. 問52．i²=-1 である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。虚数単位 i は2乗すると -1 になる数として定義される。すべての複素数計算の基礎となる関係式である。

53. 問53．複素数の積 z₁z₂ の偏角は arg z₁+arg z₂ に等しい。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。極形式で積をとると絶対値は積、偏角は和になる。これは三角関数の加法定理から導かれる重要な性質である。

54. 問54．z=a+bi の共役複素数は z̄=-a-bi である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは共役複素数は虚部の符号だけを変えた z̄=a-bi である。実部の符号は変えない。実軸に関して対称な点を表す。

55. 問55．ド・モアブルの定理より (cosθ+isinθ)ⁿ=cos nθ+isin nθ が成り立つ。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。これがド・モアブルの定理で、n が整数のとき偏角が n 倍、絶対値1は不変となる。累乗計算の基本である。

56. 問56．z·z̄=|z|² が成り立つ。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。z=a+bi のとき z·z̄=(a+bi)(a-bi)=a²-b²i²=a²+b²=|z|²。共役との積は絶対値の2乗になる。

57. 問57．複素数 i を掛けることは、原点を中心に180°回転することを意味する。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは i を掛けるのは原点中心の90°回転である。180°回転は -1 を掛けることに対応する。

58. 問58．方程式 |z|=2 は原点を中心とする半径2の円を表す。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。|z| は原点から z までの距離なので、|z|=2 は原点から距離2の点の集合、つまり半径2の円となる。

59. 問59．|z-α| は点 z と点 α の間の距離を表す。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。複素数の差の絶対値は2点間の距離を表す。これにより円や垂直二等分線などの図形を方程式で表現できる。

60. 問60．1の n 乗根は単位円周上を n 等分する点として並ぶ。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。zⁿ=1 の解は絶対値1・偏角が 360°/n ずつ進む n 個の点で、正 n 角形の頂点として単位円を等分する。

61. 問61．(cos30°+isin30°)² の偏角は60°である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。ド・モアブルより偏角は 30°×2=60°。絶対値1は不変なので結果は cos60°+isin60° となる。

62. 問62．複素数 z₁=z₂/z₃ のとき、|z₁|=|z₂|×|z₃| である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは商の絶対値は絶対値の商なので |z₁|=|z₂|/|z₃| である。積ではなく割り算になる。

63. 問63．(1+i)²=2i である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i。展開公式と i²=-1 を用いると2i になる。

64. 問64．純虚数 bi(b≠0)の偏角は常に90°である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは b>0 のとき偏角90°、b<0 のとき270°(または-90°)。虚部の符号で偏角が変わるため常に90°ではない。

65. 問65．2つの複素数が等しいとは、実部どうし・虚部どうしがそれぞれ等しいことである。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。a+bi=c+di となるのは a=c かつ b=d のときに限る。複素数の相等は実部・虚部の一致で判定する。

66. 問66．1/i=i である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは 1/i=-i である。分母分子に i を掛けると 1/i=i/i²=i/(-1)=-i となる。

67. 問67．複素数の和 z₁+z₂ はベクトルの和と同じように平行四辺形で図示できる。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。複素数 a+bi を点(a,b)やベクトルとみなすと、和は成分ごとの加法でありベクトルの和と一致する。

68. 問68．i⁴=-1 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは i⁴=(i²)²=(-1)²=1 である。i の累乗は i,-1,-i,1 の周期4で、i⁴ は1になる。

69. 問69．極形式 z=r(cosθ+isinθ) において r=|z| である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。極形式の r は絶対値を表し r=|z|≧0。θ は偏角で、原点からの距離 r と方向 θ で点を定める。

70. 問70．|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂| が常に成り立つ。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは三角不等式 |z₁+z₂|≦|z₁|+|z₂| が成り立つ。等号は z₁ と z₂ の向きが同じときに限る。

71. 問71．z³=1 の解は実数解 z=1 のただ1つだけである。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは z³=1 の解は z=1 と虚数解 -1/2±(√3/2)i の計3個ある。n次方程式は複素数の範囲で n 個の解をもつ。

72. 問72．(cosθ+isinθ)ⁿ の絶対値は n である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは絶対値は1のままである。cosθ+isinθ の絶対値は1で、ド・モアブルで累乗しても絶対値1ⁿ=1は変わらない。

73. 問73．複素数 z=a+bi の偏角は arg z=√(a²+b²) で求められる。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは √(a²+b²) は絶対値 |z| である。偏角 arg z は実軸の正の向きと点 z のなす角で、tan(arg z)=b/a から求める。

74. 問74．(cos50°+isin50°)(cos40°+isin40°) の偏角は10°である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは積の偏角は偏角の和なので 50°+40°=90° である。差ではなく和をとる。結果は cos90°+isin90°=i となる。

75. 問75．複素数 z を -1 倍しても、偏角 arg z は変わらない。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは -1 倍は原点中心の180°回転なので偏角は 180° 増える。たとえば偏角30°の点は -1 倍で偏角210°になる。絶対値は不変。