数検準1級（実用数学技能検定準1級）全分野の一問一答

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📖 数検準1級（実用数学技能検定準1級）「全分野」の全495問と解説（一覧）

数検準1級（実用数学技能検定準1級）の全分野に関する一問一答（全495問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

問1．y=x⁵ の導関数 y' を求めよ。
- ア．5x⁴
- イ．x⁴
- ウ．5x⁶
- エ．4x⁵
正解：ア．5x⁴

解説：べき関数の微分公式 (xⁿ)'=n·x^(n-1) を用いる。n=5 を代入すると y'=5·x^(5-1)=5x⁴ となる。指数を前に下ろし指数を1減らすのが基本。
問2．y=x^(-3) の導関数 y' を求めよ。
- ア．-3x^(-2)
- イ．-3/x⁴
- ウ．3/x⁴
- エ．-3x²
正解：イ．-3/x⁴

解説：(xⁿ)'=n·x^(n-1) は負の指数でも成り立つ。n=-3 を代入して y'=-3·x^(-3-1)=-3x^(-4)=-3/x⁴ となる。指数計算に注意。
問3．y=√x の導関数 y' を求めよ。
- ア．1/(2√x)
- イ．√x/2
- ウ．1/√x
- エ．2√x
正解：ア．1/(2√x)

解説：√x=x^(1/2) と指数で書き直す。(xⁿ)'=n·x^(n-1) に n=1/2 を代入して y'=(1/2)x^(-1/2)=1/(2√x) となる。
問4．y=eˣ の導関数 y' を求めよ。
- ア．x·eˣ⁻¹
- イ．eˣ·log x
- ウ．1/eˣ
- エ．eˣ
正解：エ．eˣ

解説：指数関数の微分公式 (eˣ)'=eˣ を用いる。eˣ は微分しても形が変わらない関数で、数IIIの最重要公式の一つである。
問5．y=log x（自然対数）の導関数 y' を求めよ。
- ア．1/x
- イ．x
- ウ．log x/x
- エ．eˣ
正解：ア．1/x

解説：自然対数（底 e）の微分公式は (log x)'=1/x である。x>0 の範囲で定義され、対数微分や積分でも頻繁に用いる基本公式。
問6．y=sin x の導関数 y' を求めよ。
- ア．-cos x
- イ．cos x
- ウ．-sin x
- エ．tan x
正解：イ．cos x

解説：三角関数の微分公式 (sin x)'=cos x を用いる。サインを微分するとコサインになる。角はラジアンで考えることが前提である。
問7．y=cos x の導関数 y' を求めよ。
- ア．sin x
- イ．cos x
- ウ．-sin x
- エ．-cos x
正解：ウ．-sin x

解説：三角関数の微分公式 (cos x)'=-sin x を用いる。コサインを微分するとマイナス符号のついたサインになる点に注意が必要である。
問8．y=tan x の導関数 y' を求めよ。
- ア．1/sin²x
- イ．-1/cos²x
- ウ．cos²x
- エ．1/cos²x
正解：エ．1/cos²x

解説：tan x=sin x/cos x を商の微分法で計算すると (tan x)'=1/cos²x が得られる。これは sec²x とも書ける基本公式である。
問9．y=e^(2x) の導関数 y' を求めよ。
- ア．2e^(2x)
- イ．e^(2x)
- ウ．2e^x
- エ．e^(2x)/2
正解：ア．2e^(2x)

解説：合成関数の微分を使う。外側 (e^u)'=e^u に、内側 u=2x の導関数 u'=2 を掛けて y'=e^(2x)·2=2e^(2x) となる。
問10．y=e^(-x) の導関数 y' を求めよ。
- ア．e^(-x)
- イ．-e^(-x)
- ウ．e^x
- エ．-e^x
正解：イ．-e^(-x)

解説：合成関数の微分を使う。内側 u=-x の導関数 u'=-1 を掛けて y'=e^(-x)·(-1)=-e^(-x) となる。符号に注意する。
問11．y=log(3x) の導関数 y' を求めよ。
- ア．3/x
- イ．1/(3x)
- ウ．1/x
- エ．3/(3x)
正解：ウ．1/x

解説：合成関数の微分。(log u)'=u'/u に u=3x, u'=3 を代入すると y'=3/(3x)=1/x となる。係数3は約分で消える。
問12．y=sin(2x) の導関数 y' を求めよ。
- ア．cos(2x)
- イ．2sin(2x)
- ウ．-2cos(2x)
- エ．2cos(2x)
正解：エ．2cos(2x)

解説：合成関数の微分。(sin u)'=cos u に u=2x, u'=2 を掛けて y'=cos(2x)·2=2cos(2x) となる。内側の係数2を忘れない。
問13．y=cos(3x) の導関数 y' を求めよ。
- ア．-3sin(3x)
- イ．3sin(3x)
- ウ．-sin(3x)
- エ．3cos(3x)
正解：ア．-3sin(3x)

解説：合成関数の微分。(cos u)'=-sin u に u=3x, u'=3 を掛けて y'=-sin(3x)·3=-3sin(3x) となる。符号と係数に注意。
問14．y=(2x+1)⁴ の導関数 y' を求めよ。
- ア．4(2x+1)³
- イ．8(2x+1)³
- ウ．8(2x+1)⁴
- エ．4(2x+1)³·2x
正解：イ．8(2x+1)³

解説：合成関数の微分。(uⁿ)'=n·u^(n-1)·u' で u=2x+1, u'=2。y'=4(2x+1)³·2=8(2x+1)³ となる。外側と内側を順に微分。
問15．y=√(x²+1) の導関数 y' を求めよ。
- ア．1/√(x²+1)
- イ．2x/√(x²+1)
- ウ．x/√(x²+1)
- エ．x/(2√(x²+1))
正解：ウ．x/√(x²+1)

解説：y=(x²+1)^(1/2) と書く。合成関数で y'=(1/2)(x²+1)^(-1/2)·2x=x/√(x²+1) となる。内側 x²+1 の微分 2x を掛ける。
問16．y=e^(x²) の導関数 y' を求めよ。
- ア．e^(x²)
- イ．x²e^(x²)
- ウ．2x·e^(2x)
- エ．2x·e^(x²)
正解：エ．2x·e^(x²)

解説：合成関数の微分。(e^u)'=e^u·u' で u=x², u'=2x。よって y'=e^(x²)·2x=2x·e^(x²) となる。内側の微分2xを掛ける。
問17．積 y=x²·eˣ の導関数 y' を求めよ。
- ア．(x²+2x)eˣ
- イ．2x·eˣ
- ウ．x²eˣ
- エ．(2x+1)eˣ
正解：ア．(x²+2x)eˣ

解説：積の微分公式 (fg)'=f'g+fg' を使う。f=x²,f'=2x、g=eˣ,g'=eˣ。y'=2x·eˣ+x²·eˣ=(x²+2x)eˣ と整理できる。
問18．積 y=x·sin x の導関数 y' を求めよ。
- ア．cos x
- イ．sin x+x cos x
- ウ．x cos x
- エ．sin x-x cos x
正解：イ．sin x+x cos x

解説：積の微分公式 (fg)'=f'g+fg'。f=x,f'=1、g=sin x,g'=cos x。y'=1·sin x+x·cos x=sin x+x cos x となる。
問19．積 y=eˣ·cos x の導関数 y' を求めよ。
- ア．eˣ(cos x+sin x)
- イ．-eˣsin x
- ウ．eˣ(cos x-sin x)
- エ．eˣcos x
正解：ウ．eˣ(cos x-sin x)

解説：積の微分。f=eˣ,f'=eˣ、g=cos x,g'=-sin x。y'=eˣcos x+eˣ(-sin x)=eˣ(cos x-sin x) とくくり出せる。
問20．積 y=x·log x の導関数 y' を求めよ。
- ア．log x
- イ．1/x
- ウ．log x-1
- エ．log x+1
正解：エ．log x+1

解説：積の微分。f=x,f'=1、g=log x,g'=1/x。y'=1·log x+x·(1/x)=log x+1 となる。x·(1/x)=1 に注意。
問21．商 y=x/(x+1) の導関数 y' を求めよ。
- ア．1/(x+1)²
- イ．1/(x+1)
- ウ．-1/(x+1)²
- エ．x/(x+1)²
正解：ア．1/(x+1)²

解説：商の微分 (f/g)'=(f'g-fg')/g²。f'=1,g'=1 を代入し y'=(1·(x+1)-x·1)/(x+1)²=1/(x+1)² となる。
問22．商 y=(x+1)/x の導関数 y' を求めよ。
- ア．1/x²
- イ．-1/x²
- ウ．1/x
- エ．-1/x
正解：イ．-1/x²

解説：商の微分。f=x+1,f'=1、g=x,g'=1。y'=(1·x-(x+1)·1)/x²=(x-x-1)/x²=-1/x² となる。分子の整理に注意。
問23．商 y=eˣ/x の導関数 y' を求めよ。
- ア．eˣ/x²
- イ．eˣ(x+1)/x²
- ウ．eˣ(x-1)/x²
- エ．eˣ/x
正解：ウ．eˣ(x-1)/x²

解説：商の微分。f=eˣ,f'=eˣ、g=x,g'=1。y'=(eˣ·x-eˣ·1)/x²=eˣ(x-1)/x² となる。分子を eˣ でくくり出す。
問24．商 y=sin x/x の導関数 y' を求めよ。
- ア．cos x/x²
- イ．(x cos x+sin x)/x²
- ウ．(sin x-x cos x)/x²
- エ．(x cos x-sin x)/x²
正解：エ．(x cos x-sin x)/x²

解説：商の微分。f=sin x,f'=cos x、g=x,g'=1。y'=(cos x·x-sin x·1)/x²=(x cos x-sin x)/x² となる。
問25．y=log(cos x) の導関数 y' を求めよ。
- ア．-tan x
- イ．tan x
- ウ．1/cos x
- エ．-1/cos x
正解：ア．-tan x

解説：合成関数。(log u)'=u'/u で u=cos x, u'=-sin x。y'=-sin x/cos x=-tan x となる。商がそのまま -tan x になる。
問26．y=log(x²+1) の導関数 y' を求めよ。
- ア．1/(x²+1)
- イ．2x/(x²+1)
- ウ．x/(x²+1)
- エ．2x/(x²+1)²
正解：イ．2x/(x²+1)

解説：合成関数。(log u)'=u'/u で u=x²+1, u'=2x。よって y'=2x/(x²+1) となる。内側の微分2xが分子に乗る。
問27．y=sin²x の導関数 y' を求めよ。
- ア．2cos x
- イ．cos²x
- ウ．2sin x cos x
- エ．-2sin x cos x
正解：ウ．2sin x cos x

解説：y=(sin x)² と見て合成関数で微分する。y'=2sin x·(sin x)'=2sin x·cos x となる。2倍角より sin 2x とも書ける。
問28．y=tan(2x) の導関数 y' を求めよ。
- ア．1/cos²(2x)
- イ．2/sin²(2x)
- ウ．2tan(2x)
- エ．2/cos²(2x)
正解：エ．2/cos²(2x)

解説：合成関数。(tan u)'=u'/cos²u で u=2x, u'=2。よって y'=2/cos²(2x) となる。内側の係数2を分子に掛ける。
問29．y=eˣ の x=0 における微分係数 f'(0) を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．e
- エ．1/e
正解：ア．1

解説：まず導関数 y'=eˣ を求める。微分係数は x=0 を代入した値だから f'(0)=e⁰=1 となる。eˣ の x=0 での傾きは1。
問30．y=sin x の x=π/3 における微分係数を求めよ。
- ア．√3/2
- イ．1/2
- ウ．1
- エ．√3
正解：イ．1/2

解説：導関数は y'=cos x。微分係数は x=π/3 を代入して cos(π/3)=1/2 となる。π/3 のコサインの値を正確に覚える。
問31．y=cos x の x=π/6 における微分係数を求めよ。
- ア．1/2
- イ．√3/2
- ウ．-1/2
- エ．-√3/2
正解：ウ．-1/2

解説：導関数は y'=-sin x。x=π/6 を代入して -sin(π/6)=-(1/2)=-1/2 となる。コサイン微分の符号反転に注意する。
問32．y=log x の x=2 における微分係数を求めよ。
- ア．2
- イ．log 2
- ウ．1
- エ．1/2
正解：エ．1/2

解説：自然対数の導関数は y'=1/x である。微分係数は x=2 を代入して 1/2 となる。x の逆数がそのまま傾きになる。
問33．y=x³ の第2次導関数 y'' を求めよ。
- ア．6x
- イ．3x
- ウ．6x²
- エ．3
正解：ア．6x

解説：まず y'=3x² を求め、これをもう一度微分して y''=6x となる。第2次導関数は1次導関数 y' を再び微分したものである。
問34．y=sin x の第2次導関数 y'' を求めよ。
- ア．cos x
- イ．-sin x
- ウ．sin x
- エ．-cos x
正解：イ．-sin x

解説：y'=cos x を求め、これをさらに微分する。(cos x)'=-sin x なので y''=-sin x となる。サインは2回微分で符号反転。
問35．y=e^(2x) の第2次導関数 y'' を求めよ。
- ア．2e^(2x)
- イ．8e^(2x)
- ウ．4e^(2x)
- エ．e^(2x)
正解：ウ．4e^(2x)

解説：y'=2e^(2x) を求め、これをさらに微分する。(2e^(2x))'=2·2e^(2x)=4e^(2x) なので y''=4e^(2x) となる。
問36．y=log x の第2次導関数 y'' を求めよ。
- ア．1/x²
- イ．1/x
- ウ．-1/x
- エ．-1/x²
正解：エ．-1/x²

解説：y'=1/x=x^(-1) を求め、さらに微分する。(x^(-1))'=-1·x^(-2)=-1/x² なので y''=-1/x² となる。
問37．曲線 y=x² 上の点 (1,1) における接線の傾きを求めよ。
- ア．2
- イ．1
- ウ．4
- エ．1/2
正解：ア．2

解説：接線の傾きはその点での微分係数に等しい。y'=2x に x=1 を代入して f'(1)=2·1=2 となる。これが接線の傾きである。
問38．曲線 y=x² 上の点 (1,1) における接線の方程式を求めよ。
- ア．y=2x+1
- イ．y=2x-1
- ウ．y=x-1
- エ．y=2x
正解：イ．y=2x-1

解説：傾きは f'(1)=2。接線の公式 y-f(a)=f'(a)(x-a) より y-1=2(x-1)、整理して y=2x-1 となる。
問39．曲線 y=eˣ 上の点 (0,1) における接線の方程式を求めよ。
- ア．y=x
- イ．y=eˣ
- ウ．y=x+1
- エ．y=x-1
正解：ウ．y=x+1

解説：y'=eˣ より x=0 での傾きは e⁰=1。接線は y-1=1·(x-0)、整理して y=x+1 となる。原点付近の近似でも有名な式。
問40．曲線 y=log x 上の点 (1,0) における接線の方程式を求めよ。
- ア．y=x
- イ．y=x+1
- ウ．y=log x
- エ．y=x-1
正解：エ．y=x-1

解説：y'=1/x より x=1 での傾きは1。接線は y-0=1·(x-1)、整理して y=x-1 となる。log x の x=1 での接線である。
問41．曲線 y=x² 上の点 (1,1) における法線の傾きを求めよ。
- ア．-1/2
- イ．2
- ウ．1/2
- エ．-2
正解：ア．-1/2

解説：接線の傾きは f'(1)=2。法線は接線と垂直なので傾きは接線の傾きの逆数の符号を変えた -1/2 となる。
問42．y=x³-3x の極大値を求めよ。
- ア．-2
- イ．2
- ウ．0
- エ．4
正解：イ．2

解説：y'=3x²-3=3(x-1)(x+1)=0 より x=±1。x=-1 で y' が正から負に変わり極大、極大値は y=(-1)³-3(-1)=2 となる。
問43．y=x³-3x の極小値を求めよ。
- ア．2
- イ．0
- ウ．-2
- エ．-4
正解：ウ．-2

解説：y'=3(x-1)(x+1)=0 より x=±1。x=1 で y' が負から正に変わり極小、極小値は y=1³-3·1=-2 となる。
問44．y=x³-3x が極値をとる x の値をすべて求めよ。
- ア．x=0 のみ
- イ．x=3,-3
- ウ．x=2,-2
- エ．x=1,-1
正解：エ．x=1,-1

解説：y'=3x²-3=0 より x²=1、x=±1 を得る。x=1,-1 の両方で y' の符号が変化するため、ともに極値をとる。
問45．y=xeˣ が極小値をとる x の値を求めよ。
- ア．x=-1
- イ．x=0
- ウ．x=1
- エ．x=e
正解：ア．x=-1

解説：積の微分で y'=eˣ+xeˣ=(1+x)eˣ。eˣ>0 だから y'=0 は x=-1。x=-1 の前後で y' が負から正に変わり極小となる。
問46．y=eˣ-x の極小値を求めよ。
- ア．0
- イ．1
- ウ．e
- エ．-1
正解：イ．1

解説：y'=eˣ-1。y'=0 は eˣ=1 より x=0。前後で y' が負から正に変わり極小。極小値は y=e⁰-0=1 となる。
問47．y=x+1/x（x>0）の最小値を求めよ。
- ア．1
- イ．3
- ウ．2
- エ．1/2
正解：ウ．2

解説：y'=1-1/x²=(x²-1)/x²。x>0 で y'=0 は x=1。前後で負から正に変わり極小かつ最小。最小値は y=1+1/1=2 となる。
問48．y=x³-6x² の変曲点の x 座標を求めよ。
- ア．x=0
- イ．x=4
- ウ．x=6
- エ．x=2
正解：エ．x=2

解説：y'=3x²-12x、y''=6x-12=6(x-2)。y''=0 は x=2。x=2 の前後で y'' の符号が変わるので変曲点となる。
問49．位置が x=t³-3t² のとき、t=2 における速度 v を求めよ。
- ア．12
- イ．0
- ウ．6
- エ．-6
正解：イ．0

解説：速度は位置の時間微分。v=dx/dt=3t²-6t を求め、t=2 を代入すると 3·4-6·2=12-12=0 となる。一瞬静止する。
問50．位置が x=t³-3t² のとき、t=2 における加速度 α を求めよ。
- ア．0
- イ．12
- ウ．6
- エ．-6
正解：ウ．6

解説：加速度は速度の時間微分。v=3t²-6t を微分して α=dv/dt=6t-6。t=2 を代入すると 6·2-6=12-6=6 となる。
問51．(eˣ)' = eˣ である。

正解：○（正しい）

解説：指数関数 eˣ は微分しても形が変わらず、(eˣ)'=eˣ が成り立つ。数IIIの基本公式である。よって正しい。
問52．(sin x)' = cos x である。

正解：○（正しい）

解説：三角関数の微分公式により、サイン関数を微分するとコサイン関数になる。角はラジアンが前提である。よって正しい。
問53．(tan x)' = 1/cos²x である。

正解：○（正しい）

解説：tan x=sin x/cos x を商の微分で計算すると (tan x)'=1/cos²x が得られる。sec²x とも書ける。よって正しい。
問54．(log x)' = 1/x である（x>0、自然対数）。

正解：○（正しい）

解説：底 e の自然対数の微分公式は (log x)'=1/x である。x>0 で定義され頻出の基本公式である。よって正しい。
問55．合成関数 y=f(g(x)) の導関数は dy/dx=(dy/du)(du/dx) で求められる（連鎖律）。

正解：○（正しい）

解説：合成関数の微分法（連鎖律）の公式である。u=g(x) とおき、外側の微分と内側の微分の積をとる。よって正しい。
問56．商の微分公式は (f/g)' = (f'g-fg')/g² である。

正解：○（正しい）

解説：商の微分法の公式どおりである。分子は f'g-fg'、分母は g² となる。順序と符号を間違えないこと。よって正しい。
問57．第2次導関数 f''(x) は f'(x) をもう一度微分したものである。

正解：○（正しい）

解説：第2次導関数の定義どおりである。1次導関数 f'(x) をさらに微分すると f''(x) が得られる。よって正しい。
問58．変曲点では第2次導関数 f''(x) の符号が変わる。

正解：○（正しい）

解説：変曲点は曲線の凹凸が入れ替わる点であり、その前後で f''(x) の符号が変化する。これが判定条件である。よって正しい。
問59．y=sin x の第2次導関数は y''=-sin x である。

正解：○（正しい）

解説：y'=cos x、さらに微分して y''=-sin x となる。サインは2回微分すると符号が反転する性質をもつ。よって正しい。
問60．曲線上の点における接線の傾きは、その点での微分係数に等しい。

正解：○（正しい）

解説：微分係数 f'(a) は点 (a,f(a)) における接線の傾きを表す。これが微分の幾何学的な意味である。よって正しい。
問61．f'(x) が正から負に変わる点で、関数は極大値をとる。

正解：○（正しい）

解説：導関数が正（増加）から負（減少）へ変わる点では、関数はそこで山の頂点となり極大値をとる。よって正しい。
問62．速度を時間で微分すると加速度が得られる。

正解：○（正しい）

解説：加速度は速度の時間変化率である。速度 v を時間 t で微分して α=dv/dt が加速度となる。位置→速度→加速度。よって正しい。
問63．対数微分法は y=x^x のような底も指数も変数の関数の微分に有効である。

正解：○（正しい）

解説：両辺の自然対数をとり log y=x log x として微分する手法が対数微分法で、x^x などの微分に有効である。よって正しい。
問64．(cos x)' = sin x である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは (cos x)'=-sin x である。コサインを微分するとマイナス符号がつく点をサインと混同しないこと。
問65．(xⁿ)' = n·x^(n-1) は n が自然数のときのみ成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは実数全般の n で成り立つ。例 (x^(-1))'=-x^(-2)、(x^(1/2))'=(1/2)x^(-1/2) も同じ公式で得られる。
問66．積の微分公式は (fg)' = f'g' である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは (fg)'=f'g+fg' である。それぞれの導関数の単なる積ではなく、2項の和になる点に注意する。
問67．(e^(2x))' = e^(2x) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは合成関数の微分により内側 2x の微分 2 を掛け、(e^(2x))'=2e^(2x) となる。係数2を忘れない。
問68．f''(x)>0 のとき、その区間でグラフは上に凸である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは f''(x)>0 のとき下に凸（凹）である。上に凸となるのは f''(x)<0 のときであり逆である。
問69．(√x)' = 2√x である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは √x=x^(1/2) を微分して (√x)'=(1/2)x^(-1/2)=1/(2√x) である。√x が分母に来る点に注意。
問70．法線は接線と平行な直線である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは法線は接線に垂直な直線である。接線の傾きが m なら法線の傾きは -1/m となる関係をもつ。
問71．f'(a)=0 であれば、x=a で必ず極値をとる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは f'(a)=0 でも前後で f' の符号が変わらなければ極値ではない。例 y=x³ は x=0 で極値をとらない。
問72．(log(2x))' = 1/(2x) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは合成関数で (log(2x))'=2/(2x)=1/x となる。内側 2x の微分 2 を掛けてから約分する必要がある。
問73．(aˣ)' = x·a^(x-1) である（a>0, a≠1）。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは指数関数の微分公式 (aˣ)'=aˣ·log a である。べき関数 (xⁿ)' の公式と混同してはいけない。
問74．第2次導関数とは導関数を2乗したもの (f'(x))² のことである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは1次導関数 f'(x) をもう一度微分したものが第2次導関数 f''(x) である。2乗することではない。
問75．y=cos x の第2次導関数は y''=cos x である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは y'=-sin x、さらに微分して y''=-cos x である。元の関数と符号が逆になる点に注意する。
問76．z=3+4i のとき、絶対値 |z| を求めよ。
- ア．5
- イ．7
- ウ．√7
- エ．25
正解：ア．5

解説：複素数 z=a+bi の絶対値は |z|=√(a²+b²)。a=3, b=4 を代入すると |z|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。これは原点から点(3,4)までの距離に等しい。
問77．z=1+i のとき、絶対値 |z| を求めよ。
- ア．1
- イ．2
- ウ．√2
- エ．√3
正解：ウ．√2

解説：|z|=√(a²+b²) に a=1, b=1 を代入すると |z|=√(1²+1²)=√(1+1)=√2。点(1,1)と原点の距離が √2 であることと一致する。
問78．z=-2+2√3 i のとき、絶対値 |z| を求めよ。
- ア．2
- イ．4
- ウ．2√3
- エ．8
正解：イ．4

解説：|z|=√(a²+b²)。a=-2, b=2√3 より |z|=√((-2)²+(2√3)²)=√(4+12)=√16=4。負の実部でも2乗するため符号は影響しない。
問79．z=5-12i のとき、絶対値 |z| を求めよ。
- ア．7
- イ．√17
- ウ．13
- エ．17
正解：ウ．13

解説：|z|=√(a²+b²) に a=5, b=-12 を代入。|z|=√(5²+(-12)²)=√(25+144)=√169=13。これは有名なピタゴラス数 5,12,13 に対応する。
問80．z=3-4i の共役複素数 z̄ を求めよ。
- ア．-3+4i
- イ．3+4i
- ウ．-3-4i
- エ．4-3i
正解：イ．3+4i

解説：共役複素数は虚部の符号を変えたもの。z=a+bi の共役は z̄=a-bi。z=3-4i の共役は 3+4i となる。実軸に関して対称な点を表す。
問81．z=2+5i のとき、z·z̄ の値を求めよ。
- ア．21
- イ．-21
- ウ．4+25i
- エ．29
正解：エ．29

解説：z·z̄=|z|²=a²+b² が成り立つ。a=2, b=5 より z·z̄=2²+5²=4+25=29。実際 (2+5i)(2-5i)=4-25i²=4+25=29 と一致する。
問82．複素数 z=1+i を極形式で表したものを求めよ。
- ア．√2(cos45°+isin45°)
- イ．2(cos45°+isin45°)
- ウ．√2(cos30°+isin30°)
- エ．(cos45°+isin45°)
正解：ア．√2(cos45°+isin45°)

解説：|z|=√(1²+1²)=√2、偏角は実部虚部とも正で arg z=45°。よって z=√2(cos45°+isin45°)。点(1,1)は第1象限で原点と45°方向にある。
問83．複素数 z=√3+i を極形式で表したものを求めよ。
- ア．2(cos60°+isin60°)
- イ．2(cos30°+isin30°)
- ウ．4(cos30°+isin30°)
- エ．4(cos60°+isin60°)
正解：イ．2(cos30°+isin30°)

解説：極形式 z=r(cosθ+isinθ) の r は絶対値、θ は偏角である。|z|=√((√3)²+1²)=√(3+1)=√4=2。cosθ=√3/2、sinθ=1/2 で、点(√3, 1)は第1象限にあるから θ=30°。よって z=2(cos30°+isin30°) となる。係数を4とするのは、(√3)²+1²=4 の平方根をとり忘れて絶対値とした誤り。偏角60°は cosθ=1/2、sinθ=√3/2 となる点(1, √3)の場合で、実部と虚部を取り違えている。

根拠：日本数学検定協会「数学検定準1級」検定の内容検定の内容（高校3年程度）：複素数平面ほか
問84．複素数 z=-1+√3 i を極形式で表したものを求めよ。
- ア．2(cos60°+isin60°)
- イ．2(cos150°+isin150°)
- ウ．2(cos120°+isin120°)
- エ．2(cos240°+isin240°)
正解：ウ．2(cos120°+isin120°)

解説：|z|=√((-1)²+(√3)²)=√(1+3)=2。点(-1,√3)は第2象限。基準角 tanα=√3/1 で α=60°、よって偏角は 180°-60°=120°。z=2(cos120°+isin120°)。
問85．複素数 z=2i を極形式で表したものを求めよ。
- ア．2(cos0°+isin0°)
- イ．2(cos180°+isin180°)
- ウ．2(cos270°+isin270°)
- エ．2(cos90°+isin90°)
正解：エ．2(cos90°+isin90°)

解説：z=0+2i は虚軸の正の方向にある。|z|=√(0²+2²)=2、偏角は90°。よって z=2(cos90°+isin90°) となる。実部0・虚部正なので偏角は90°。
問86．複素数 z=-3 を極形式で表したものを求めよ。
- ア．3(cos180°+isin180°)
- イ．3(cos0°+isin0°)
- ウ．-3(cos180°+isin180°)
- エ．3(cos90°+isin90°)
正解：ア．3(cos180°+isin180°)

解説：z=-3+0i は実軸の負の方向にある。|z|=√((-3)²+0²)=3、偏角は180°。よって z=3(cos180°+isin180°) となる。cos180°=-1, sin180°=0 で検算一致。
問87．z₁=2(cos20°+isin20°)、z₂=3(cos40°+isin40°) のとき、積 z₁z₂ を極形式で求めよ。
- ア．5(cos60°+isin60°)
- イ．6(cos60°+isin60°)
- ウ．6(cos800°+isin800°)
- エ．6(cos20°+isin20°)
正解：イ．6(cos60°+isin60°)

解説：積では絶対値は積、偏角は和になる。|z₁z₂|=2×3=6、偏角=20°+40°=60°。よって z₁z₂=6(cos60°+isin60°) となる。
問88．z₁=4(cos50°+isin50°)、z₂=2(cos20°+isin20°) のとき、商 z₁/z₂ を極形式で求めよ。
- ア．2(cos70°+isin70°)
- イ．8(cos30°+isin30°)
- ウ．2(cos30°+isin30°)
- エ．2(cos2.5°+isin2.5°)
正解：ウ．2(cos30°+isin30°)

解説：商では絶対値は商、偏角は差になる。|z₁/z₂|=4/2=2、偏角=50°-20°=30°。よって z₁/z₂=2(cos30°+isin30°) となる。
問89．(cos30°+isin30°)³ を計算せよ(ド・モアブルの定理)。
- ア．1
- イ．-i
- ウ．-1
- エ．i
正解：エ．i

解説：ド・モアブルの定理より (cosθ+isinθ)ⁿ=cos nθ+isin nθ。θ=30°, n=3 で偏角は90°。cos90°+isin90°=0+i·1=i となる。
問90．(cos60°+isin60°)⁶ を計算せよ(ド・モアブルの定理)。
- ア．1
- イ．-1
- ウ．i
- エ．-i
正解：ア．1

解説：ド・モアブルより偏角は60°×6=360°。cos360°+isin360°=1+0i=1。一周して実部1に戻る。よって値は1。
問91．(1+i)⁴ を計算せよ。
- ア．4
- イ．-4
- ウ．4i
- エ．-4i
正解：イ．-4

解説：1+i=√2(cos45°+isin45°)。ド・モアブルより (√2)⁴(cos180°+isin180°)=4×(-1+0i)=-4。検算: (1+i)²=2i、(2i)²=4i²=-4 で一致。
問92．(√3+i)⁶ を計算せよ。
- ア．64
- イ．64i
- ウ．-64
- エ．-64i
正解：ウ．-64

解説：√3+i=2(cos30°+isin30°)。ド・モアブルより 2⁶(cos180°+isin180°)=64×(-1)=-64。偏角30°×6=180°、絶対値2⁶=64より -64 となる。
問93．(cos45°+isin45°)⁸ を計算せよ。
- ア．-1
- イ．i
- ウ．8
- エ．1
正解：エ．1

解説：ド・モアブルより偏角は45°×8=360°。cos360°+isin360°=1+0i=1。8乗で偏角がちょうど一周し、値は1になる。
問94．z=1+i に i を掛けると iz はどの点に移るか。
- ア．-1+i
- イ．1-i
- ウ．-1-i
- エ．i
正解：ア．-1+i

解説：i を掛けることは原点を中心に90°回転すること。iz=i(1+i)=i+i²=i-1=-1+i。点(1,1)を90°回転すると(-1,1)になる。
問95．複素数の積 (2+3i)(1-2i) を計算せよ。
- ア．2-i
- イ．8+i
- ウ．8-i
- エ．-4-i
正解：ウ．8-i

解説：分配法則と i²=-1 を用いる。(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=2-i+6=8-i。i²=-1 より -6i²=+6 となることに注意。
問96．商 (1+i)/(1-i) を計算せよ。
- ア．-i
- イ．i
- ウ．1
- エ．-1
正解：イ．i

解説：分母の共役 1+i を分母分子に掛ける。((1+i)(1+i))/((1-i)(1+i))=(1+2i+i²)/(1-i²)=(2i)/2=i。i²=-1 を用いて整理すると i。
問97．1/i を a+bi の形にせよ。
- ア．i
- イ．1
- ウ．-i
- エ．-1
正解：ウ．-i

解説：分母分子に i を掛ける。1/i=i/(i·i)=i/i²=i/(-1)=-i。よって 1/i=-i。i²=-1 を利用する基本変形である。
問98．i⁴ の値を求めよ。
- ア．1
- イ．-1
- ウ．i
- エ．-i
正解：ア．1

解説：i²=-1 より i⁴=(i²)²=(-1)²=1。i の累乗は i,-1,-i,1 を周期4で繰り返す。i⁴ は1である。
問99．i¹⁰¹ の値を求めよ。
- ア．-i
- イ．1
- ウ．i
- エ．-1
正解：ウ．i

解説：i の累乗は周期4。101÷4=25余り1。よって i¹⁰¹=i¹=i となる。指数を4で割った余りで判定する。
問100．z=cos40°+isin40° のとき、z̄ を極形式で表せ。
- ア．cos40°+isin40°
- イ．cos(-40°)+isin(-40°)
- ウ．cos50°+isin50°
- エ．cos140°+isin140°
正解：イ．cos(-40°)+isin(-40°)

解説：共役をとると偏角の符号が変わる。z̄=cos(-40°)+isin(-40°)=cos40°-isin40°。絶対値1は不変で偏角だけ反転する。
問101．2点 A(1+2i)、B(4+6i) 間の距離を求めよ。
- ア．7
- イ．5
- ウ．√7
- エ．25
正解：イ．5

解説：2点間の距離は |B-A|。B-A=(4-1)+(6-2)i=3+4i。|3+4i|=√(3²+4²)=√25=5。距離は5である。
問102．方程式 |z|=3 が表す図形を答えよ。
- ア．原点中心・半径9の円
- イ．点(3,0)
- ウ．原点中心・半径3の円
- エ．実軸
正解：ウ．原点中心・半径3の円

解説：|z| は原点から点 z までの距離。|z|=3 は原点からの距離が3で一定の点の集合、すなわち原点中心・半径3の円を表す。
問103．方程式 |z-2|=1 が表す図形を答えよ。
- ア．点2を中心とする半径1の円
- イ．原点中心・半径1の円
- ウ．点2を中心とする半径2の円
- エ．実軸に平行な直線
正解：ア．点2を中心とする半径1の円

解説：|z-2| は点 z と点2(=2+0i)の距離。|z-2|=1 は点2を中心とする半径1の円を表す。中心が原点から2に移動した円である。
問104．方程式 |z-i|=2 が表す図形を答えよ。
- ア．原点中心・半径2の円
- イ．点iを中心とする半径4の円
- ウ．点iを中心とする半径2の円
- エ．虚軸
正解：ウ．点iを中心とする半径2の円

解説：|z-i| は点 z と点 i(=0+i)の距離。|z-i|=2 は点 i を中心とする半径2の円。中心は虚軸上の点(0,1)である。
問105．方程式 |z-1|=|z-3| が表す図形を答えよ。
- ア．原点中心の円
- イ．2点1,3を結ぶ線分の垂直二等分線
- ウ．実軸
- エ．点2を中心とする円
正解：イ．2点1,3を結ぶ線分の垂直二等分線

解説：点1と点3から等距離にある点の集合は、線分の垂直二等分線。中点は2で実軸に垂直なので、点2を通り実軸に垂直な直線(直線 x=2)となる。
問106．1の3乗根のうち、1以外の解を1つ選べ。
- ア．1/2+(√3/2)i
- イ．-1+i
- ウ．i
- エ．-1/2+(√3/2)i
正解：エ．-1/2+(√3/2)i

解説：z³=1 の解は z=cos(120°k)+isin(120°k)(k=0,1,2)。k=1 で cos120°+isin120°=-1/2+(√3/2)i。これは1以外の虚数解の一つである。
問107．1の4乗根をすべて選べ。
- ア．1, i, -1, -i
- イ．1, -1
- ウ．i, -i
- エ．1, 2, 3, 4
正解：ア．1, i, -1, -i

解説：z⁴=1 の解は z=1,i,-1,-i(偏角0°,90°,180°,270°)。絶対値1で偏角が90°ずつ進む4点で、単位円を4等分する。
問108．z⁶=1 の解は単位円周上に何個あり、どのように並ぶか。
- ア．6個・90°ずつ
- イ．6個・60°ずつ等間隔
- ウ．3個・120°ずつ
- エ．1個のみ
正解：イ．6個・60°ずつ等間隔

解説：1のn乗根は単位円周上を n 等分する点。z⁶=1 では絶対値1・偏角60°ずつの6個の点が正六角形の頂点に並ぶ。
問109．(2-2i) の絶対値 |2-2i| を求めよ。
- ア．4
- イ．2
- ウ．2√2
- エ．√2
正解：ウ．2√2

解説：|z|=√(a²+b²)。a=2, b=-2 より |2-2i|=√(2²+(-2)²)=√(4+4)=√8=2√2。負の虚部も2乗するので符号は無関係。
問110．複素数 z₁=3(cos10°+isin10°)、z₂=2(cos35°+isin35°) の積の絶対値を求めよ。
- ア．5
- イ．1
- ウ．45
- エ．6
正解：エ．6

解説：積の絶対値は絶対値の積。|z₁z₂|=|z₁||z₂|=3×2=6。偏角は和だが絶対値だけ問われているので6となる。
問111．点 z=2+i を原点中心に90°回転した点を求めよ。
- ア．-1+2i
- イ．1-2i
- ウ．1+2i
- エ．-2-i
正解：ア．-1+2i

解説：原点中心90°回転は i を掛ける。i(2+i)=2i+i²=2i-1=-1+2i。点(2,1)を90°回転すると(-1,2)になる。
問112．点 z=4 を原点中心に60°回転した点を極形式で求めよ。
- ア．4(cos0°+isin0°)
- イ．4(cos30°+isin30°)
- ウ．4(cos60°+isin60°)
- エ．60(cos4°+isin4°)
正解：ウ．4(cos60°+isin60°)

解説：回転は cos60°+isin60° を掛ける。z=4 の偏角0°に60°を加え、絶対値4は不変。よって 4(cos60°+isin60°) となる。
問113．(1-i)² を計算せよ。
- ア．2i
- イ．-2i
- ウ．2
- エ．-2
正解：イ．-2i

解説：(1-i)²=1²-2·1·i+i²=1-2i+(-1)=-2i。展開公式 (a-b)²=a²-2ab+b² と i²=-1 を用いる。
問114．(√3-i) を極形式で表せ。
- ア．2(cos30°+isin30°)
- イ．2(cos(-60°)+isin(-60°))
- ウ．2(cos(-30°)+isin(-30°))
- エ．2(cos150°+isin150°)
正解：ウ．2(cos(-30°)+isin(-30°))

解説：|z|=√((√3)²+(-1)²)=√4=2。点(√3,-1)は第4象限。基準角30°より偏角は -30°。よって 2(cos(-30°)+isin(-30°))。
問115．z=2(cos150°+isin150°) を a+bi の形に直せ。
- ア．√3+i
- イ．-√3+i
- ウ．-√3-i
- エ．√3-i
正解：イ．-√3+i

解説：cos150°=-√3/2, sin150°=1/2。z=2(-√3/2+(1/2)i)=-√3+i。絶対値2を各成分に掛けて求める。
問116．z=3(cos90°+isin90°) を a+bi の形に直せ。
- ア．3
- イ．-3i
- ウ．0
- エ．3i
正解：エ．3i

解説：cos90°=0, sin90°=1。z=3(0+1·i)=3i。実部0・虚部3の純虚数になる。よって z=3i。
問117．|3+4i|+|1-i| を計算せよ。
- ア．5+√2
- イ．5√2
- ウ．6
- エ．√2
正解：ア．5+√2

解説：|3+4i|=√(9+16)=√25=5。|1-i|=√(1+1)=√2。和は 5+√2。絶対値はそれぞれ別に計算してから足す。
問118．複素数 z が |z|=1 を満たすとき、z·z̄ の値を求めよ。
- ア．0
- イ．1
- ウ．-1
- エ．2
正解：イ．1

解説：z·z̄=|z|² が常に成り立つ。|z|=1 より z·z̄=1²=1。単位円上の複素数は共役との積が1になる。
問119．ド・モアブルの定理を用い (cosθ+isinθ)⁻¹ を求めよ。
- ア．cosθ-isinθ
- イ．cosθ+isinθ
- ウ．-cosθ-isinθ
- エ．sinθ+icosθ
正解：ア．cosθ-isinθ

解説：ド・モアブルは負の整数でも成立。n=-1 で cos(-θ)+isin(-θ)=cosθ-isinθ。これは共役複素数に等しい(絶対値1のため)。
問120．複素数 z=a+bi に対し z-z̄ を求めよ。
- ア．2a
- イ．2b
- ウ．0
- エ．2bi
正解：エ．2bi

解説：z-z̄=(a+bi)-(a-bi)=2bi。実部が打ち消し合い、虚部の2倍となる。すなわち 2i·Im(z)=2bi である。
問121．方程式 z²=-1 の解をすべて求めよ。
- ア．i, -i
- イ．1, -1
- ウ．i のみ
- エ．0
正解：ア．i, -i

解説：z²=-1 より z=±i。i²=-1, (-i)²=i²=-1 でともに成立。実数解はなく、虚数解 ±i の2個である。
問122．1+i+i²+i³ の値を求めよ。
- ア．1
- イ．i
- ウ．2
- エ．0
正解：エ．0

解説：i²=-1, i³=-i。1+i+(-1)+(-i)=1-1+i-i=0。i の連続4個の和は0になる(周期性による)。
問123．(1+i)⁸ を計算せよ。
- ア．16
- イ．-16
- ウ．16i
- エ．8
正解：ア．16

解説：1+i=√2(cos45°+isin45°)。ド・モアブルより (√2)⁸(cos360°+isin360°)=16×1=16。(√2)⁸=2⁴=16、偏角360°で実部1。
問124．1の原始3乗根 ω について 1+ω+ω² の値を求めよ。
- ア．1
- イ．3
- ウ．ω
- エ．0
正解：エ．0

解説：ω は z³=1 の解で z³-1=(z-1)(z²+z+1)=0。ω≠1 より ω²+ω+1=0。よって 1+ω+ω²=0 となる。
問125．|z+3|=|z-3| を満たす点 z の集合を選べ。
- ア．実軸
- イ．原点中心の円
- ウ．点3を中心とする円
- エ．虚軸(実部が0の直線)
正解：エ．虚軸(実部が0の直線)

解説：点 -3 と点 3 から等距離の点。両点は実軸上で原点対称なので、垂直二等分線は虚軸(実部0の直線)になる。
問126．複素数 z=a+bi の絶対値は |z|=√(a²+b²) である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。原点(0,0)から点(a,b)までの距離が三平方の定理より √(a²+b²) であり、これが定義通りの絶対値である。
問127．i²=-1 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。虚数単位 i は2乗すると -1 になる数として定義される。すべての複素数計算の基礎となる関係式である。
問128．複素数の積 z₁z₂ の偏角は arg z₁+arg z₂ に等しい。

正解：○（正しい）

解説：正しい。極形式で積をとると絶対値は積、偏角は和になる。これは三角関数の加法定理から導かれる重要な性質である。
問129．z=a+bi の共役複素数は z̄=-a-bi である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは共役複素数は虚部の符号だけを変えた z̄=a-bi である。実部の符号は変えない。実軸に関して対称な点を表す。
問130．ド・モアブルの定理より (cosθ+isinθ)ⁿ=cos nθ+isin nθ が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：正しい。これがド・モアブルの定理で、n が整数のとき偏角が n 倍、絶対値1は不変となる。累乗計算の基本である。
問131．z·z̄=|z|² が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：正しい。z=a+bi のとき z·z̄=(a+bi)(a-bi)=a²-b²i²=a²+b²=|z|²。共役との積は絶対値の2乗になる。
問132．複素数 i を掛けることは、原点を中心に180°回転することを意味する。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは i を掛けるのは原点中心の90°回転である。180°回転は -1 を掛けることに対応する。
問133．方程式 |z|=2 は原点を中心とする半径2の円を表す。

正解：○（正しい）

解説：正しい。|z| は原点から z までの距離なので、|z|=2 は原点から距離2の点の集合、つまり半径2の円となる。
問134．|z-α| は点 z と点 α の間の距離を表す。

正解：○（正しい）

解説：正しい。複素数の差の絶対値は2点間の距離を表す。これにより円や垂直二等分線などの図形を方程式で表現できる。
問135．1の n 乗根は単位円周上を n 等分する点として並ぶ。

正解：○（正しい）

解説：正しい。zⁿ=1 の解は絶対値1・偏角が 360°/n ずつ進む n 個の点で、正 n 角形の頂点として単位円を等分する。
問136．(cos30°+isin30°)² の偏角は60°である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。ド・モアブルより偏角は 30°×2=60°。絶対値1は不変なので結果は cos60°+isin60° となる。
問137．複素数 z₁=z₂/z₃ のとき、|z₁|=|z₂|×|z₃| である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは商の絶対値は絶対値の商なので |z₁|=|z₂|/|z₃| である。積ではなく割り算になる。
問138．(1+i)²=2i である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i。展開公式と i²=-1 を用いると2i になる。
問139．純虚数 bi(b≠0)の偏角は常に90°である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは b>0 のとき偏角90°、b<0 のとき270°(または-90°)。虚部の符号で偏角が変わるため常に90°ではない。
問140．2つの複素数が等しいとは、実部どうし・虚部どうしがそれぞれ等しいことである。

正解：○（正しい）

解説：正しい。a+bi=c+di となるのは a=c かつ b=d のときに限る。複素数の相等は実部・虚部の一致で判定する。
問141．1/i=i である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは 1/i=-i である。分母分子に i を掛けると 1/i=i/i²=i/(-1)=-i となる。
問142．複素数の和 z₁+z₂ はベクトルの和と同じように平行四辺形で図示できる。

正解：○（正しい）

解説：正しい。複素数 a+bi を点(a,b)やベクトルとみなすと、和は成分ごとの加法でありベクトルの和と一致する。
問143．i⁴=-1 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは i⁴=(i²)²=(-1)²=1 である。i の累乗は i,-1,-i,1 の周期4で、i⁴ は1になる。
問144．極形式 z=r(cosθ+isinθ) において r=|z| である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。極形式の r は絶対値を表し r=|z|≧0。θ は偏角で、原点からの距離 r と方向 θ で点を定める。
問145．|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂| が常に成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは三角不等式 |z₁+z₂|≦|z₁|+|z₂| が成り立つ。等号は z₁ と z₂ の向きが同じときに限る。
問146．z³=1 の解は実数解 z=1 のただ1つだけである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは z³=1 の解は z=1 と虚数解 -1/2±(√3/2)i の計3個ある。n次方程式は複素数の範囲で n 個の解をもつ。
問147．(cosθ+isinθ)ⁿ の絶対値は n である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは絶対値は1のままである。cosθ+isinθ の絶対値は1で、ド・モアブルで累乗しても絶対値1ⁿ=1は変わらない。
問148．複素数 z=a+bi の偏角は arg z=√(a²+b²) で求められる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは √(a²+b²) は絶対値 |z| である。偏角 arg z は実軸の正の向きと点 z のなす角で、tan(arg z)=b/a から求める。
問149．(cos50°+isin50°)(cos40°+isin40°) の偏角は10°である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは積の偏角は偏角の和なので 50°+40°=90° である。差ではなく和をとる。結果は cos90°+isin90°=i となる。
問150．複素数 z を -1 倍しても、偏角 arg z は変わらない。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは -1 倍は原点中心の180°回転なので偏角は 180° 増える。たとえば偏角30°の点は -1 倍で偏角210°になる。絶対値は不変。
問151．2次の正方行列 A、B について、一般に AB と BA は等しいとは限らない。

正解：○（正しい）

解説：行列の積は交換法則が成り立たない。例えば A=[[1,1],[0,1]]、B=[[1,0],[1,1]] とすると AB=[[2,1],[1,1]]、BA=[[1,1],[1,2]] で一致しない。積の順序を入れ替えられるのは一方が単位行列や零行列の場合など特別なときだけである。
問152．行列の積では、結合法則 (AB)C = A(BC) は成り立たない。

正解：×（誤り）

解説：行列の積で成り立たないのは交換法則 AB = BA であって、結合法則は成り立つ。分配法則も成り立つ。したがって A^n のような累乗は括弧の付け方によらず一意に定まる。
問153．2次の正方行列 A=[[a,b],[c,d]] が逆行列をもつための必要十分条件は ad-bc = 0 である。

正解：×（誤り）

解説：正しくは ad-bc ≠ 0 である。ad-bc を行列式 det A（|A|）といい、これが 0 でないときに限り逆行列が存在する。0 のとき A は正則でない（特異である）という。
問154．A=[[a,b],[c,d]] かつ ad-bc ≠ 0 のとき、A の逆行列は 1/(ad-bc)·[[d,-b],[-c,a]] である。

正解：○（正しい）

解説：2次の逆行列は「対角成分を入れ替え、非対角成分の符号を変えて、行列式で割る」と覚える。実際 A·A^{-1} = 1/(ad-bc)·[[ad-bc,0],[0,ad-bc]] = E となる。
問155．零行列 O はどの正方行列 A に対しても AO = OA = A を満たす。

正解：×（誤り）

解説：AO = OA = O であって A にはならない。数の 1 にあたる働きをするのは単位行列 E で、AE = EA = A を満たす。零行列は数の 0 にあたる。
問156．AB = O（零行列）ならば、A = O または B = O である。

正解：×（誤り）

解説：行列には零因子が存在する。A=[[1,0],[0,0]]、B=[[0,0],[0,1]] はどちらも零行列でないが AB=O となる。数の世界の「積が 0 なら一方は 0」は行列では成り立たない。
問157．2次の正方行列 A について、ケーリー・ハミルトンの定理は A^2 -(a+d)A +(ad-bc)E = O と表される。

正解：○（正しい）

解説：A=[[a,b],[c,d]] のとき成り立つ。a+d を跡（トレース）、ad-bc を行列式という。この式を使うと A^2 を A と E の1次式に落とせるので、A^n の計算や逆行列の導出が簡単になる。
問158．行列式について |AB| = |A||B| が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：行列式は積を保つ。この性質から、A が正則なら |A^{-1}| = 1/|A| であること、また |A||B| ≠ 0 でなければ AB は正則でないことが分かる。
問159．原点のまわりに角 θ だけ回転する一次変換の表現行列は [[cosθ, sinθ],[-sinθ, cosθ]] である。

正解：×（誤り）

解説：正しくは [[cosθ, -sinθ],[sinθ, cosθ]] である。点 (1,0) が (cosθ, sinθ) に移ることを確かめれば符号の位置が決まる。設問の行列は -θ の回転（時計回り）を表す。
問160．x軸に関する対称移動を表す一次変換の行列は [[1,0],[0,-1]] である。

正解：○（正しい）

解説：(x,y) が (x,-y) に移るので、第1列は (1,0)、第2列は (0,-1) となる。同様に y軸対称は [[-1,0],[0,1]]、原点対称は [[-1,0],[0,-1]]、直線 y=x に関する対称は [[0,1],[1,0]] である。
問161．一次変換 f、g の合成変換 g∘f を表す行列は、f の行列を A、g の行列を B とすると AB である。

正解：×（誤り）

解説：正しくは BA である。合成 g∘f は「先に f、後から g」を施すので、点 x に対し g(f(x)) = B(Ax) = (BA)x となる。行列の積は交換できないので、順序を取り違えると別の変換になる。
問162．平行移動は一次変換の一種である。

正解：×（誤り）

解説：一次変換は x' = Ax の形で表されるので、必ず原点を原点に移す。平行移動は原点が動いてしまうため一次変換ではない（平行移動を含めたものはアフィン変換という）。
問163．行列 A の表す一次変換によって、面積 S の図形は面積 (det A)^2·S の図形に移る。

正解：×（誤り）

解説：正しくは |det A|·S である。行列式の絶対値が面積の拡大率を表し、det A が負のときは向きが反転する。det A = 0 なら図形はつぶれて面積 0 になる。
問164．det A = 0 である行列 A の表す一次変換は、平面全体を原点を通る直線または原点に移す。

正解：○（正しい）

解説：det A = 0 のとき A は正則でなく、像は 2 次元にならない。A が零行列なら像は原点だけ、そうでなければ像は原点を通る 1 本の直線になる。このとき逆変換は存在しない。
問165．一次変換 f の表現行列 A が正則であれば、f の逆変換の表現行列は A^{-1} である。

正解：○（正しい）

解説：x' = Ax の両辺に左から A^{-1} を掛ければ x = A^{-1}x' となる。det A = 0 のときは逆行列が無く、異なる点が同じ点に移るため逆変換も存在しない。
問166．2次の正方行列 A、B について、(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：正しい。行列の積には分配法則が成り立つので、(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2 となる。ただし一般に AB と BA は等しくないので、数の式のように AB + BA を 2AB とまとめることはできない。(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 が成り立つのは、AB = BA のときに限られる。

根拠：日本数学検定協会「数学検定準1級」検定の内容高校3年程度の検定の内容に「行列の演算と一次変換」。答えは展開の計算で検算（(A+B)(A+B) を分配法則で4項に分ける）
問167．2次の正方行列 A、B がともに逆行列をもつとき、A+B も必ず逆行列をもつ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。反例は A = E（単位行列）、B = -E である。A、B はどちらも行列式が 1 なので逆行列をもつが、A+B = O（零行列）は行列式が 0 なので逆行列をもたない。なお、積については det(AB) = det A・det B より、A、B がともに逆行列をもてば AB も必ず逆行列をもつ（(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}）。和と積で性質が違う点に注意する。

根拠：日本数学検定協会「数学検定準1級」検定の内容高校3年程度の検定の内容に「行列の演算と一次変換」。答えは反例で検算（A = E、B = -E のとき det A = det B = 1、A+B = O で det(A+B) = 0）
問168．原点のまわりに角 θ だけ回転する一次変換を表す行列を R(θ) とすると、R(θ)R(φ) = R(θ−φ) が成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。R(θ)R(φ) は「φ だけ回転したあと、さらに θ だけ回転する」合成変換を表すので、回転角は足し合わされ R(θ)R(φ) = R(θ+φ) となる。R(θ) = [[cosθ, -sinθ],[sinθ, cosθ]] として積を計算すると、(1,1) 成分は cosθcosφ - sinθsinφ = cos(θ+φ)、(2,1) 成分は sinθcosφ + cosθsinφ = sin(θ+φ) となり、加法定理と一致する。R(θ−φ) になるのは R(θ) と R(φ) の逆行列 R(−φ) の積のときである。

根拠：日本数学検定協会「数学検定準1級」検定の内容高校3年程度の検定の内容に「行列の演算と一次変換」。答えは計算で検算（R(θ)R(φ) の各成分を加法定理で整理すると R(θ+φ) の成分に一致）
問169．行列 A の n 乗 A^n を求めるとき、ケーリー・ハミルトンの定理を用いて次数を下げる方法が使える。

正解：○（正しい）

解説：A^2 = (a+d)A -(ad-bc)E と書き直せるので、x^n を x^2-(a+d)x+(ad-bc) で割った余り px+q を使って A^n = pA + qE と求められる。対角化や漸化式を使う方法もある。
問170．対角行列 D=[[p,0],[0,q]] の n 乗は [[np,0],[0,nq]] である。

正解：×（誤り）

解説：正しくは [[p^n,0],[0,q^n]] である。対角行列どうしの積は対角成分の積になるので、累乗は各対角成分の累乗になる（n 倍ではない）。対角化 P^{-1}AP = D ができれば A^n = PD^nP^{-1} で求められる。
問171．連立一次方程式 ax+by=p、cx+dy=q は、A=[[a,b],[c,d]] が正則なら解がただ1つに定まる。

正解：○（正しい）

解説：行列の形で A[x,y]^T = [p,q]^T と書けるので、A^{-1} が存在すれば [x,y]^T = A^{-1}[p,q]^T と一意に定まる。det A = 0 のときは解なしか無数の解のいずれかになる。
問172．行列 A が A^2 = E を満たすとき、A は必ず単位行列 E である。

正解：×（誤り）

解説：A = -E も A^2 = E を満たす。さらに [[1,0],[0,-1]]（x軸対称）や [[0,1],[1,0]]（直線 y=x に関する対称）も A^2 = E を満たす。対称移動は2回行うと元に戻るからである。
問173．一次変換によって、原点を通る直線は原点を通る直線または原点に移る。

正解：○（正しい）

解説：原点を通る直線は t·v（t は実数）と表せ、その像は t·(Av) となる。Av ≠ 0 なら原点を通る直線、Av = 0 なら原点そのものに移る。曲線に移ることはない。
問174．行列 A の転置行列 tA について、t(AB) = tA·tB が成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：正しくは t(AB) = tB·tA で、順序が入れ替わる。逆行列でも同様に (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} となる。積の順序が反転する点が要注意である。
問175．2次の正方行列 A が A の表す一次変換で自分自身に移る点（不動点）をもつとき、原点は必ずその1つである。

正解：○（正しい）

解説：一次変換は原点を原点に移すので、原点は常に不動点である。原点以外の不動点をもつのは Ax = x すなわち (A-E)x = 0 が自明でない解をもつとき、つまり det(A-E) = 0 のときで、これは 1 が固有値であることを意味する。
問176．A=[[2,1],[3,2]] の逆行列として正しいものはどれか。
- ア．[[2,-1],[-3,2]]
- イ．[[2,1],[3,2]]
- ウ．[[-2,1],[3,-2]]
- エ．[[2,3],[1,2]]
正解：ア．[[2,-1],[-3,2]]

解説：ad-bc = 2·2-1·3 = 1 なので、逆行列は 1/1·[[d,-b],[-c,a]] = [[2,-1],[-3,2]]。実際に積をとると [[2,1],[3,2]]·[[2,-1],[-3,2]] = [[1,0],[0,1]] = E となり確かめられる。
問177．A=[[1,2],[3,4]] の行列式 det A の値はどれか。
- ア．-2
- イ．10
- ウ．2
- エ．-10
正解：ア．-2

解説：det A = ad-bc = 1·4-2·3 = 4-6 = -2。値が 0 でないので A は正則であり、逆行列をもつ。なお |det A| = 2 はこの一次変換による面積の拡大率を表す。
問178．原点のまわりに 90° 回転する一次変換の表現行列はどれか。
- ア．[[0,-1],[1,0]]
- イ．[[0,1],[-1,0]]
- ウ．[[1,0],[0,-1]]
- エ．[[-1,0],[0,-1]]
正解：ア．[[0,-1],[1,0]]

解説：回転行列 [[cosθ,-sinθ],[sinθ,cosθ]] に θ=90° を入れると [[0,-1],[1,0]]。点 (1,0) が (0,1) に移ることからも確かめられる。選択肢の [[0,1],[-1,0]] は -90°（時計回り）の回転である。
問179．A=[[3,1],[0,3]] のとき、A^2 として正しいものはどれか。
- ア．[[9,6],[0,9]]
- イ．[[9,1],[0,9]]
- ウ．[[6,2],[0,6]]
- エ．[[9,3],[0,9]]
正解：ア．[[9,6],[0,9]]

解説：A^2 = [[3·3+1·0, 3·1+1·3],[0·3+3·0, 0·1+3·3]] = [[9,6],[0,9]]。一般に [[a,1],[0,a]]^n = [[a^n, n·a^{n-1}],[0,a^n]] となる。
問180．A=[[1,2],[3,4]]、B=[[0,1],[1,0]] のとき、積 AB はどれか。
- ア．[[2,1],[4,3]]
- イ．[[3,4],[1,2]]
- ウ．[[0,2],[3,0]]
- エ．[[1,3],[2,4]]
正解：ア．[[2,1],[4,3]]

解説：AB の (i,j) 成分は「A の第 i 行」と「B の第 j 列」の成分どうしの積の和である。(1,1) 成分は 1·0+2·1 = 2、(1,2) 成分は 1·1+2·0 = 1、(2,1) 成分は 3·0+4·1 = 4、(2,2) 成分は 3·1+4·0 = 3 なので AB = [[2,1],[4,3]]。B を右から掛けると A の列が入れ替わる。選択肢の [[3,4],[1,2]] は BA（A の行が入れ替わる）、[[0,2],[3,0]] は成分どうしを掛けただけのもの、[[1,3],[2,4]] は A の転置行列で、どれも AB ではない。

根拠：日本数学検定協会「数学検定準1級」検定の内容高校3年程度の検定の内容に「行列の演算と一次変換」。答えは計算で検算（AB = [[1·0+2·1, 1·1+2·0],[3·0+4·1, 3·1+4·0]] = [[2,1],[4,3]]、BA = [[3,4],[1,2]]）
問181．一次変換 f が行列 A=[[2,0],[0,3]] で表されるとき、面積 6 の図形は面積いくつの図形に移るか。
- ア．6
- イ．36
- ウ．30
- エ．15
正解：イ．36

解説：面積は |det A| 倍になる。det A = 2·3-0·0 = 6 なので、6×6 = 36。x方向に2倍、y方向に3倍に引き伸ばす変換なので面積が6倍になる、と考えても同じである。
問182．連立方程式 2x+3y=8、x+2y=5 を行列を用いて解いたときの (x,y) はどれか。
- ア．(2,1)
- イ．(1,2)
- ウ．(4,0)
- エ．(3,1)
正解：イ．(1,2)

解説：係数行列 A=[[2,3],[1,2]] は det A = 4-3 = 1 で正則。A^{-1} = [[2,-3],[-1,2]] なので [x,y]^T = [[2,-3],[-1,2]]·[8,5]^T = [16-15, -8+10]^T = [1,2]^T。もとの式に代入すると 2+6=8、1+4=5 で成り立つ。
問183．A=[[1,1],[0,1]] の表す一次変換の説明として正しいものはどれか。
- ア．原点のまわりの45°回転
- イ．y座標に比例してx方向にずらすせん断変換
- ウ．x軸に関する対称移動
- エ．全体を2倍に拡大する変換
正解：イ．y座標に比例してx方向にずらすせん断変換

解説：(x,y) は (x+y, y) に移るので、y の値に比例して x 方向にずれる。これをせん断（シアー）という。det A = 1 なので面積は変わらず、x軸上の点 (x,0) は動かない。
問184．A^2 = A を満たす 2次の正方行列 A（A ≠ O、A ≠ E）の表す一次変換の説明として適切なものはどれか。
- ア．原点のまわりの回転である
- イ．ある直線への射影である
- ウ．全体を拡大する変換である
- エ．逆変換をもつ変換である
正解：イ．ある直線への射影である

解説：A^2 = A は「2回行っても結果が変わらない」ことを意味し、射影の性質である。例えば A=[[1,0],[0,0]] は x軸への正射影で、A^2 = A を満たす。det A = 0 なので逆変換はもたない。
問185．行列 A=[[a,b],[c,d]] について、(AB)^{-1} を A、B の逆行列で表したものとして正しいものはどれか（A、B はともに正則）。
- ア．A^{-1}B^{-1}
- イ．B^{-1}A^{-1}
- ウ．(A^{-1})(B^{-1})の和
- エ．AB の行列式の逆数
正解：イ．B^{-1}A^{-1}

解説：(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AEA^{-1} = E となるので (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}。積の逆をとると順序が反転する点が要注意である。
問186．直線 y = x に関する対称移動を表す行列はどれか。
- ア．[[0,-1],[-1,0]]
- イ．[[1,0],[0,-1]]
- ウ．[[0,1],[1,0]]
- エ．[[-1,0],[0,1]]
正解：ウ．[[0,1],[1,0]]

解説：(x,y) が (y,x) に移るので [[0,1],[1,0]]。det = -1 で向きが反転し、2回行うと E に戻る（A^2 = E）。なお [[0,-1],[-1,0]] は直線 y = -x に関する対称移動である。
問187．A=[[2,0],[0,2]] と任意の 2次正方行列 B について、AB と BA の関係として正しいものはどれか。
- ア．常に AB ≠ BA
- イ．B が正則なときだけ AB = BA
- ウ．AB = BA が常に成り立つ
- エ．det B > 0 のときだけ AB = BA
正解：ウ．AB = BA が常に成り立つ

解説：A = 2E はスカラー行列なので AB = 2B = BA となり、どんな B とも交換できる。一般の行列では交換法則が成り立たないが、単位行列の実数倍だけは例外である。
問188．一次変換 f によって点 (1,0) が点 (2,1) に、点 (0,1) が点 (-1,3) に移るとき、f を表す行列はどれか。
- ア．[[2,-1],[1,3]]
- イ．[[2,1],[-1,3]]
- ウ．[[1,2],[3,-1]]
- エ．[[-1,2],[3,1]]
正解：ア．[[2,-1],[1,3]]

解説：一次変換を表す行列 A = [[a,b],[c,d]] で点 (1,0) を移すと (a,c)、点 (0,1) を移すと (b,d) になる。つまり A の第1列は (1,0) の像、第2列は (0,1) の像である。よって第1列が (2,1)、第2列が (-1,3) の A = [[2,-1],[1,3]] が正しい。[[2,1],[-1,3]] は像を行として並べてしまったもので、これだと (1,0) は (2,-1) に移る。残りの2つも (1,0) の像が (1,3)、(-1,3) となり条件に合わない。

根拠：日本数学検定協会「数学検定準1級」検定の内容高校3年程度の検定の内容に「行列の演算と一次変換」。答えは計算で検算（[[2,-1],[1,3]] に (1,0) を掛けると (2,1)、(0,1) を掛けると (-1,3)）
問189．ケーリー・ハミルトンの定理を用いて A=[[1,2],[3,4]] の A^2 を A と E の式で表したものはどれか。
- ア．A^2 = 4A + 2E
- イ．A^2 = 5A - 2E
- ウ．A^2 = 5A + 2E
- エ．A^2 = -5A + 2E
正解：ウ．A^2 = 5A + 2E

解説：跡は 1+4 = 5、行列式は 1·4-2·3 = -2 なので A^2 -5A +(-2)E = O、すなわち A^2 = 5A + 2E。実際 A^2 = [[7,10],[15,22]]、5A+2E = [[7,10],[15,22]] で一致する。
問190．点 (1,2) を、原点のまわりに 180° 回転する一次変換で移した点はどれか。
- ア．(2,1)
- イ．(-2,-1)
- ウ．(-1,-2)
- エ．(1,-2)
正解：ウ．(-1,-2)

解説：180° 回転の行列は [[-1,0],[0,-1]] = -E なので、点は原点対称に移り (-1,-2) となる。θ=180° を回転行列に代入しても cos180°=-1、sin180°=0 から同じ結果が得られる。
問191．行列 A の表す一次変換で、平面上のすべての点が1本の直線上に移るのはどのようなときか。
- ア．A の固有値がすべて正のとき
- イ．A が正則のとき
- ウ．A の跡が0のとき
- エ．A が零行列でなく det A = 0 のとき
正解：エ．A が零行列でなく det A = 0 のとき

解説：det A = 0 のとき像は 2次元にならない。A が零行列なら像は原点1点だけになるので、直線に移るのは「零行列でなく det A = 0」のときである。
問192．A=[[0,-1],[1,0]] について、A^4 の値はどれか。
- ア．-E
- イ．O
- ウ．A
- エ．E
正解：エ．E

解説：A は 90° 回転を表すので、4回繰り返すと 360° 回転となり元に戻る。よって A^4 = E。計算でも A^2 = -E、A^4 = (-E)^2 = E と確かめられる。
問193．A=[[1,2],[0,1]] のとき、自然数 n に対する A^n として正しいものはどれか。
- ア．[[1,2n],[0,1]]
- イ．[[1,2^n],[0,1]]
- ウ．[[1,2n],[0,n]]
- エ．[[n,2n],[0,n]]
正解：ア．[[1,2n],[0,1]]

解説：A^2 = [[1,4],[0,1]]、A^3 = A^2·A = [[1,6],[0,1]] と計算すると、(1,2) 成分が 2 ずつ増えると予想できる。A^k = [[1,2k],[0,1]] と仮定すると A^{k+1} = A^k·A = [[1,2k+2],[0,1]] となるので、数学的帰納法により A^n = [[1,2n],[0,1]]。A はx方向へのせん断（y座標の2倍だけずらす）を表し、n 回繰り返すとずれは 2n 倍になる。[[1,2^n],[0,1]] は n=2 で (1,2) 成分が 4 になり合うが、n=3 で 8 となり A^3 の 6 と合わない。[[1,2n],[0,n]]、[[n,2n],[0,n]] は対角成分が 1 のままにならないので誤り。

根拠：日本数学検定協会「数学検定準1級」検定の内容高校3年程度の検定の内容に「行列の演算と一次変換」。答えは計算で検算（A^2 = [[1,4],[0,1]]、A^3 = [[1,6],[0,1]]、帰納法で A^n = [[1,2n],[0,1]]）
問194．一次変換 f を表す行列が A、g を表す行列が B のとき、「まず f を施し、次に g を施す」合成変換を表す行列はどれか。
- ア．AB
- イ．AB と BA のどちらでもよい
- ウ．A+B
- エ．BA
正解：エ．BA

解説：g(f(x)) = B(Ax) = (BA)x なので BA。行列の積は交換できないため、AB と BA は一般に別の変換になる。合成の順序と積の順序が逆になる点が要注意である。
問195．行列 A=[[5,0],[0,5]] の表す一次変換によって、原点を中心とする半径1の円が移る図形はどれか。
- ア．半径1の円のまま
- イ．半径25の円
- ウ．長軸5・短軸1の楕円
- エ．半径5の円
正解：エ．半径5の円

解説：A = 5E なのですべての点が原点から5倍の距離に移る相似拡大であり、円は半径5の円になる。面積は |det A| = 25 倍になるが、半径は5倍である点を混同しないこと。
問196．確率変数Xの期待値がE(X)=3のとき、E(2X+1)の値を求めよ。
- ア．7
- イ．6
- ウ．5
- エ．9
正解：ア．7

解説：期待値の線形性 E(aX+b)=aE(X)+b が成り立つ。E(2X+1)=2E(X)+1=2×3+1=6+1=7となる。係数2を期待値に掛けて定数1を加える基本問題である。
問197．確率変数Xの分散がV(X)=4のとき、V(3X)の値を求めよ。
- ア．36
- イ．12
- ウ．16
- エ．9
正解：ア．36

解説：分散の性質 V(aX+b)=a^2V(X) が成り立つ。V(3X)=3^2×V(X)=9×4=36となる。分散は係数の2乗倍になることに注意が必要である。
問198．確率変数Xの分散がV(X)=5のとき、V(2X+3)の値を求めよ。
- ア．20
- イ．10
- ウ．13
- エ．23
正解：ア．20

解説：V(aX+b)=a^2V(X) より定数項3は分散に影響しない。V(2X+3)=2^2×V(X)=4×5=20となる。定数の加減は分散を変えない点が重要である。
問199．二項分布B(100,0.2)に従う確率変数Xの平均(期待値)を求めよ。
- ア．20
- イ．25
- ウ．80
- エ．16
正解：ア．20

解説：二項分布B(n,p)の平均はnpである。E(X)=np=100×0.2=20となる。試行回数nと成功確率pの積で平均が求められる基本公式である。
問200．二項分布B(100,0.2)に従う確率変数Xの分散を求めよ。
- ア．16
- イ．20
- ウ．80
- エ．4
正解：ア．16

解説：二項分布B(n,p)の分散はnp(1-p)である。V(X)=100×0.2×0.8=16となる。1-p=0.8を用いて平均npに(1-p)を掛けて求める。
問201．確率変数Xの標準偏差がσ(X)=3のとき、分散V(X)の値を求めよ。
- ア．9
- イ．6
- ウ．3
- エ．√3
正解：ア．9

解説：標準偏差は分散の正の平方根であり σ(X)=√V(X) が成り立つ。よってV(X)=σ(X)^2=3^2=9となる。標準偏差を2乗すれば分散が得られる。
問202．1個のさいころを1回投げ、出る目をXとする。期待値E(X)を求めよ。
- ア．3.5
- イ．3
- ウ．4
- エ．21
正解：ア．3.5

解説：各目1〜6が等しく確率1/6で出る。E(X)=(1+2+3+4+5+6)×(1/6)=21/6=7/2=3.5となる。すべての値と確率の積の総和が期待値である。
問203．確率変数Xの期待値E(X)=2、E(X^2)=6のとき、分散V(X)を求めよ。
- ア．2
- イ．6
- ウ．10
- エ．4
正解：ア．2

解説：分散の計算公式 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2 を用いる。V(X)=6-2^2=6-4=2となる。2乗の期待値から平均の2乗を引いて求める方法である。
問204．二項分布B(80,0.25)に従う確率変数Xの平均を求めよ。
- ア．20
- イ．60
- ウ．25
- エ．16
正解：ア．20

解説：平均はnp=80×0.25=20である。0.25は1/4なので80÷4=20と計算してもよい。二項分布の平均公式npを用いた基本計算である。
問205．二項分布B(80,0.25)に従う確率変数Xの分散を求めよ。
- ア．15
- イ．20
- ウ．60
- エ．5
正解：ア．15

解説：分散はnp(1-p)=80×0.25×0.75=20×0.75=15となる。1-p=0.75を用いる。平均20に(1-p)を掛けて分散を求める手順である。
問206．確率変数Xの期待値E(X)=10のとき、E(-X+5)の値を求めよ。
- ア．-5
- イ．5
- ウ．15
- エ．-15
正解：ア．-5

解説：E(aX+b)=aE(X)+b より E(-X+5)=-E(X)+5=-10+5=-5となる。係数-1を期待値に掛けてから定数5を加えて計算する。
問207．確率変数Xの分散V(X)=2のとき、標準偏差σ(2X)を求めよ。
- ア．2√2
- イ．4
- ウ．√2
- エ．8
正解：ア．2√2

解説：V(2X)=2^2×V(X)=4×2=8。標準偏差はσ(2X)=√8=2√2となる。または σ(aX)=|a|σ(X)=2×√2=2√2 と求めてもよい。
問208．二項分布B(n,p)で平均が6、分散が4.8のとき、確率pの値を求めよ。
- ア．0.2
- イ．0.8
- ウ．0.5
- エ．0.6
正解：ア．0.2

解説：np=6、np(1-p)=4.8である。後者を前者で割ると 1-p=4.8/6=0.8、よってp=0.2となる。平均と分散の比から確率pを逆算する。
問209．確率変数Xが値0,1,2をそれぞれ確率1/4,1/2,1/4でとる。期待値E(X)を求めよ。
- ア．0.5
- イ．1
- ウ．1.5
- エ．2
正解：イ．1

解説：E(X)=0×(1/4)+1×(1/2)+2×(1/4)=0+1/2+1/2=1となる。各値とその確率の積の総和が期待値であり、対称分布なので中央値1に一致する。
問210．正規分布N(50,10^2)に従うXを標準化したZ=(X-50)/10で、X=70のときZの値を求めよ。
- ア．1
- イ．2
- ウ．20
- エ．0.5
正解：イ．2

解説：標準化はZ=(X-m)/σで行う。Z=(70-50)/10=20/10=2となる。平均からの偏差を標準偏差で割って標準正規分布の値に変換する。
問211．標準正規分布N(0,1)において、確率変数Zの平均E(Z)の値を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．0.5
- エ．-1
正解：イ．0

解説：標準正規分布N(0,1)は表記N(平均,分散)より平均0、分散1の正規分布である。よってE(Z)=0となる。標準化された分布の定義に基づく値である。
問212．正規分布N(60,4^2)に従うXについて、X=68を標準化したZの値を求めよ。
- ア．8
- イ．2
- ウ．0.5
- エ．4
正解：イ．2

解説：Z=(X-m)/σ=(68-60)/4=8/4=2となる。平均m=60、標準偏差σ=4で標準化する。偏差8を標準偏差4で割って2が得られる。
問213．標準正規分布で P(0≦Z≦1)=0.3413 のとき、P(Z≧1) を求めよ。
- ア．0.3413
- イ．0.1587
- ウ．0.8413
- エ．0.6587
正解：イ．0.1587

解説：P(Z≧0)=0.5である。P(Z≧1)=P(Z≧0)-P(0≦Z≦1)=0.5-0.3413=0.1587となる。全体の半分から区間確率を引いて求める。
問214．標準正規分布で P(0≦Z≦1.96)=0.475 のとき、P(-1.96≦Z≦1.96) を求めよ。
- ア．0.475
- イ．0.95
- ウ．0.90
- エ．0.975
正解：イ．0.95

解説：分布の対称性より P(-1.96≦Z≦1.96)=2×P(0≦Z≦1.96)=2×0.475=0.95となる。これは95%信頼区間で用いられる重要な値である。
問215．確率変数Xの期待値E(X)=4、分散V(X)=9のとき、Y=(X-4)/3の分散V(Y)を求めよ。
- ア．3
- イ．1
- ウ．9
- エ．0
正解：イ．1

解説：V(Y)=V((X-4)/3)=(1/3)^2×V(X)=(1/9)×9=1となる。定数-4は分散に影響せず、係数1/3が2乗される。標準化変数の分散は1になる。
問216．母平均mの母集団から大きさnの標本を抽出するとき、標本平均X̄の期待値E(X̄)はいくらか。
- ア．m/n
- イ．m
- ウ．nm
- エ．m/√n
正解：イ．m

解説：標本平均X̄の期待値は母平均に等しく E(X̄)=m となる。標本平均は母平均の不偏推定量であり、平均的には母平均に一致する。
問217．母分散σ^2の母集団から大きさnの標本を抽出するとき、標本平均X̄の分散を求めよ。
- ア．σ^2
- イ．σ^2/n
- ウ．nσ^2
- エ．σ/√n
正解：イ．σ^2/n

解説：標本平均の分散はV(X̄)=σ^2/nとなる。標本の大きさnが大きいほど分散は小さくなり、標本平均が母平均に近づき推定が安定する。
問218．母標準偏差σの母集団から大きさnの標本を抽出するとき、標本平均X̄の標準偏差を求めよ。
- ア．σ/n
- イ．σ/√n
- ウ．σ
- エ．σ^2/n
正解：イ．σ/√n

解説：V(X̄)=σ^2/nより標準偏差はその平方根 σ/√n となる。これは標準誤差と呼ばれ、母平均の信頼区間の幅を決定する重要な量である。
問219．母標準偏差σ=10の母集団から大きさn=100の標本をとる。標本平均X̄の標準偏差を求めよ。
- ア．10
- イ．1
- ウ．0.1
- エ．100
正解：イ．1

解説：標本平均の標準偏差は σ/√n=10/√100=10/10=1 となる。√100=10で割ることで標準誤差1が得られる。標本が大きいので精度が高い。
問220．標本平均X̄=50、母標準偏差σ=10、標本n=100のとき、母平均の95%信頼区間の幅(上限-下限)を求めよ。係数は1.96とする。
- ア．1.96
- イ．3.92
- ウ．1
- エ．0.392
正解：イ．3.92

解説：標準誤差σ/√n=10/10=1。信頼区間は50±1.96×1なので、幅は2×1.96×1=3.92となる。両側に1.96倍の標準誤差をとった合計の幅である。
問221．母平均の信頼区間 X̄±1.96×σ/√n において、信頼度を95%から99%へ高くすると区間の幅はどうなるか。
- ア．狭くなる
- イ．広くなる
- ウ．変わらない
- エ．0になる
正解：イ．広くなる

解説：信頼度を上げると係数が1.96から2.58へ大きくなるため、信頼区間の幅は広くなる。確実性を高めるほど精度(幅の狭さ)は犠牲になる関係がある。
問222．標本の大きさnを4倍にすると、母平均の信頼区間の幅(σ/√nに比例)はおよそ何倍になるか。
- ア．1/4倍
- イ．2倍
- ウ．1/2倍
- エ．4倍
正解：ウ．1/2倍

解説：幅はσ/√nに比例する。nが4倍になると√nは2倍になり、幅は1/2倍になる。精度を2倍にするには標本数を4倍必要とすることを意味する。
問223．x^2+1=0 の解を複素数の範囲で求めよ。
- ア．x=±1
- イ．x=i
- ウ．x=±i
- エ．x=±2i
正解：ウ．x=±i

解説：x^2=-1より x=±√(-1)=±i となる。虚数単位iはi^2=-1を満たす数であり、この方程式は実数解をもたず2つの虚数解をもつ。
問224．2次方程式 x^2-2x+5=0 の解を求めよ。
- ア．x=-1±2i
- イ．x=2±i
- ウ．x=1±2i
- エ．x=1±4i
正解：ウ．x=1±2i

解説：解の公式より x=(2±√(4-20))/2=(2±√(-16))/2=(2±4i)/2=1±2i となる。判別式D=4-20=-16<0なので共役な2つの虚数解をもつ。
問225．2次方程式 x^2+x+1=0 の2つの解の和を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．-1
- エ．-2
正解：ウ．-1

解説：解と係数の関係より、x^2+bx+cの2解の和は-bである。和=-1/1=-1となる。判別式は負だが解の和は実数-1として求められる。
問226．2次方程式 x^2-5x+6=0 の2つの解の積を求めよ。
- ア．5
- イ．-6
- ウ．6
- エ．-5
正解：ウ．6

解説：解と係数の関係より2解の積は定数項c=6である。実際に因数分解すると(x-2)(x-3)=0で解はx=2,3、積は2×3=6で一致する。
問227．2次方程式 x^2-3x+4=0 の2つの解をα、βとするとき、α+βの値を求めよ。
- ア．4
- イ．-3
- ウ．3
- エ．-4
正解：ウ．3

解説：解と係数の関係より α+β=-(-3)/1=3 となる。判別式D=9-16=-7<0で虚数解だが、解の和は実数3として得られる。
問228．2次方程式 x^2-3x+4=0 の2つの解をα、βとするとき、積αβの値を求めよ。
- ア．3
- イ．-4
- ウ．4
- エ．12
正解：ウ．4

解説：解と係数の関係より積αβ=定数項4である。和α+β=3とともに、対称式α^2+β^2などを計算する際に利用される基本量である。
問229．2次方程式の2解α、βがα+β=5、αβ=6を満たすとき、α^2+β^2の値を求めよ。
- ア．25
- イ．37
- ウ．13
- エ．11
正解：ウ．13

解説：対称式の変形 α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ を用いる。=5^2-2×6=25-12=13となる。基本対称式の和と積から計算する典型問題である。
問230．複素数 z=2+3i の共役複素数 z̄ を求めよ。
- ア．-2+3i
- イ．-2-3i
- ウ．2-3i
- エ．2+3i
正解：ウ．2-3i

解説：共役複素数は虚部の符号を変えたもので z̄=2-3i となる。実部2はそのままで虚部3iの符号のみを反転させた複素数である。
問231．連続型確率変数Xの確率密度関数が、0≦x≦1 で f(x)=2x、それ以外で f(x)=0 であるとき、Xの期待値E(X)を求めよ。
- ア．1/2
- イ．2/3
- ウ．1/3
- エ．1
正解：イ．2/3

解説：連続型確率変数の期待値は E(X)=∫x f(x)dx で求める。E(X)=∫[0→1] x・2x dx=∫[0→1] 2x² dx=[2x³/3][0→1]=2/3。なお f(x)=2x は f(x)≧0 で ∫[0→1] 2x dx=[x²][0→1]=1 となるので確率密度関数の条件を満たす（選択肢の1はこの全確率の値）。1/2 は E(X²)=∫[0→1] x²・2x dx=[x⁴/2][0→1]=1/2 と取り違えた値、1/3 は f(x) を掛けずに ∫[0→1] x² dx=1/3 とした値である。

根拠：日本数学検定協会「数学検定準1級」検定の内容高校2年程度の検定の内容に「確率分布と統計的な推測」
問232．(1+i)(1-i)を計算せよ。
- ア．0
- イ．1+i
- ウ．2
- エ．2i
正解：ウ．2

解説：和と差の積の公式より (1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=1+1=2となる。i^2=-1を代入することで実数2が得られる計算である。
問233．虚数単位iについて、i^4の値を求めよ。
- ア．-1
- イ．i
- ウ．1
- エ．-i
正解：ウ．1

解説：i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1となる。iの累乗はi,−1,−i,1の周期4で循環し、4の倍数乗のときは必ず1になる性質がある。
問234．虚数単位iについて、i^3の値を求めよ。
- ア．i
- イ．-1
- ウ．1
- エ．-i
正解：エ．-i

解説：i^3=i^2×i=(-1)×i=-iとなる。iの累乗の周期性 i,-1,-i,1 において3番目に当たり、結果は-iである。i^2=-1を用いる。
問235．(2+i)+(3-4i)を計算せよ。
- ア．5+3i
- イ．5-5i
- ウ．-1+5i
- エ．5-3i
正解：エ．5-3i

解説：複素数の加法は実部どうし虚部どうしを加える。(2+3)+(1-4)i=5+(-3)i=5-3iとなる。成分ごとに足し合わせる計算である。
問236．(1+2i)(2+i)を計算せよ。
- ア．4+5i
- イ．2+5i
- ウ．5i-2
- エ．5i
正解：エ．5i

解説：展開すると 1×2+1×i+2i×2+2i×i=2+i+4i+2i^2=2+5i-2=5iとなる。i^2=-1を代入し実部が打ち消されて純虚数5iになる。
問237．3次方程式 x^3-1=0 の実数解を求めよ。
- ア．x=-1
- イ．x=0
- ウ．x=±1
- エ．x=1
正解：エ．x=1

解説：x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0と因数分解できる。x^2+x+1=0は判別式D=1-4=-3<0で虚数解。よって実数解はx=1のみである。
問238．3次方程式 x^3-8=0 の実数解を求めよ。
- ア．x=8
- イ．x=-2
- ウ．x=4
- エ．x=2
正解：エ．x=2

解説：x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)=0と因数分解できる。x^2+2x+4=0は判別式D=4-16=-12<0で虚数解。よって実数解はx=2である。
問239．整式 P(x)=x^3-2x^2-x+2 にx=1を代入した値P(1)を求め、x=1が解かどうか判定せよ。
- ア．1
- イ．-2
- ウ．2
- エ．0
正解：エ．0

解説：P(1)=1-2-1+2=0となる。P(1)=0より因数定理から(x-1)を因数にもち、x=1は方程式P(x)=0の解であることがわかる。
問240．整式 P(x)=x^3+2x^2-x-2 を因数分解せよ。
- ア．(x-2)(x+1)(x-1)
- イ．(x+2)(x-1)^2
- ウ．(x+2)^2(x-1)
- エ．(x+2)(x+1)(x-1)
正解：エ．(x+2)(x+1)(x-1)

解説：x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^2-1)=(x+2)(x+1)(x-1)となる。共通因数(x+2)でくくり、さらにx^2-1を和と差の積に分解する。
問241．3次方程式 x^3-6x^2+11x-6=0 の3つの解の和を求めよ。
- ア．11
- イ．1
- ウ．-6
- エ．6
正解：エ．6

解説：x^3+ax^2+bx+c=0の解の和は-aである。和=-(-6)=6となる。実際に因数分解すると解は1,2,3で和は1+2+3=6と一致する。
問242．3次方程式 x^3-6x^2+11x-6=0 の3つの解の積を求めよ。
- ア．-6
- イ．11
- ウ．1
- エ．6
正解：エ．6

解説：x^3+ax^2+bx+c=0の解の積は-cである。積=-(-6)=6となる。解1,2,3の積1×2×3=6と一致し、解と係数の関係が確認できる。
問243．2次方程式の2解α、βがα+β=4、αβ=1のとき、1/α+1/βの値を求めよ。
- ア．1/4
- イ．5
- ウ．3
- エ．4
正解：エ．4

解説：1/α+1/β=(β+α)/(αβ)=(α+β)/(αβ)=4/1=4となる。通分して分子を解の和、分母を解の積に直すと基本対称式で計算できる。
問244．二項定理により (x+1)^4 を展開したとき、x^2 の係数を求めよ。
- ア．4
- イ．12
- ウ．1
- エ．6
正解：エ．6

解説：(x+1)^4の一般項はC(4,k)x^(4-k)である。x^2の項はk=2に対応しC(4,2)=(4×3)/(2×1)=6となる。二項係数で係数が決まる。
問245．二項定理により (1+x)^5 を展開したとき、x^3 の係数を求めよ。
- ア．5
- イ．20
- ウ．15
- エ．10
正解：エ．10

解説：x^3の係数はC(5,3)=C(5,2)=(5×4)/(2×1)=10となる。二項係数C(5,3)を計算すれば求められる。対称性よりC(5,3)=C(5,2)である。
問246．確率変数Xの期待値はE(X)で表され、定数a,bについてE(aX+b)=aE(X)+bが成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：期待値は線形性をもち E(aX+b)=aE(X)+b が常に成立する。これは期待値の最も基本的な性質であり、記述の通り正しい。
問247．二項分布B(n,p)に従う確率変数の分散はnp(1-p)である。

正解：○（正しい）

解説：二項分布B(n,p)の分散はnp(1-p)、平均はnpである。記述は分散公式と完全に一致しており、正しい内容である。
問248．確率変数の標準偏差と分散の間には、標準偏差=√分散の関係が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：標準偏差σは分散V(X)の正の平方根、すなわちσ=√V(X)である。記述はこの関係を正しく述べており正しい。
問249．確率変数Xと定数a,bについて、V(aX+b)=aV(X)+bが常に成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは V(aX+b)=a^2V(X) である。定数bは分散に影響せず、係数aは2乗されて分散に掛かる点が異なる。
問250．二項分布B(n,p)に従う確率変数の平均(期待値)はnpである。

正解：○（正しい）

解説：二項分布B(n,p)の平均はnpである。1回の試行の成功確率pをn回行ったときの成功回数の期待値であり、記述は正しい。
問251．標準正規分布N(0,1)の平均は1、分散は0である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは標準正規分布N(0,1)の平均は0、分散は1である。表記N(平均,分散)の順序であり、平均と分散を取り違えている。
問252．正規分布N(m,σ^2)に従うXは、Z=(X-m)/σにより標準正規分布N(0,1)に従うように標準化できる。

正解：○（正しい）

解説：Z=(X-m)/σで標準化するとZは平均0、分散1の標準正規分布N(0,1)に従う。記述は標準化の手順を正しく述べている。
問253．標本平均X̄の期待値は母平均mに等しく、標本平均は母平均の不偏推定量である。

正解：○（正しい）

解説：E(X̄)=mが成り立ち、標本平均は母平均の不偏推定量である。記述は不偏性を正しく述べており、正しい内容である。
問254．標本平均X̄の分散は、標本の大きさnが大きくなるほど大きくなる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはV(X̄)=σ^2/nであり、nが大きくなるほど分散は小さくなる。標本を増やすほど推定精度が上がるという性質である。
問255．母平均の信頼区間において、信頼度を95%から99%に上げると区間の幅は広くなる。

正解：○（正しい）

解説：信頼度を上げると係数が1.96から2.58へ大きくなるため、信頼区間の幅は広がる。記述はこの関係を正しく述べており正しい。
問256．母平均の95%信頼区間を求める際、標本平均の両側に標準誤差σ/√nの1.96倍をとる。

正解：○（正しい）

解説：95%信頼区間はX̄±1.96×σ/√nで与えられる。標準正規分布で確率0.95に対応する係数1.96を用いるため、記述は正しい。
問257．複素数z=a+biの共役複素数はz̄=-a+biである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは共役複素数z̄=a-biで、虚部の符号のみを反転させる。実部aの符号は変えない点を取り違えている。
問258．虚数単位iは、i^2=-1を満たすように定義される数である。

正解：○（正しい）

解説：虚数単位iの定義は i^2=-1 である。これにより負の数の平方根を表現でき、複素数の体系が構築される。記述は正しい。
問259．2次方程式x^2+bx+c=0の2つの解の和は、解と係数の関係より-bである。

正解：○（正しい）

解説：解と係数の関係より、x^2+bx+cの2解の和は-b、積はcである。記述は解の和について正しく述べている。
問260．2次方程式x^2+bx+c=0の2つの解の積は、解と係数の関係より-cである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは2解の積はc(定数項そのもの)である。解の和が-bであることと符号を混同しないよう注意が必要である。
問261．判別式D<0の2次方程式は、異なる2つの実数解をもつ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはD<0のとき実数解をもたず、共役な2つの虚数解をもつ。異なる2つの実数解をもつのはD>0のときである。
問262．因数定理によれば、整式P(x)についてP(a)=0ならばP(x)は(x-a)を因数にもつ。

正解：○（正しい）

解説：因数定理により、P(a)=0であることとP(x)が(x-a)を因数にもつことは同値である。記述はこの定理を正しく述べている。
問263．実数係数の3次方程式が虚数解α+βi(β≠0)をもつとき、その共役複素数α-βiも解になる。

正解：○（正しい）

解説：実数係数の方程式では、虚数解は必ず共役複素数とペアで現れる。これは共役解の定理として知られ、記述は正しい性質である。
問264．虚数単位iについて、i^4=1が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1である。iの累乗はi,-1,-i,1の周期4で循環し、4乗で1に戻る。記述は正しい。
問265．二項定理(a+b)^nの展開における各項の係数は、二項係数C(n,k)で表される。

正解：○（正しい）

解説：二項定理(a+b)^n=ΣC(n,k)a^(n-k)b^kであり、各項の係数は二項係数C(n,k)である。記述はこの定理を正しく述べている。
問266．数学的帰納法では、n=1での成立を示し、n=kでの成立を仮定してn=k+1での成立を示せば、すべての自然数で成立すると結論できる。

正解：○（正しい）

解説：数学的帰納法は、初項での成立と、n=kでの仮定からn=k+1での成立を導く2段階で全自然数の成立を示す。記述は正しい手順である。
問267．複素数a+biの絶対値|a+bi|は√(a^2-b^2)で与えられる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは|a+bi|=√(a^2+b^2)である。実部と虚部の2乗の和の平方根であり、引き算ではなく足し算を用いる。
問268．3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0の3つの解の和は、解と係数の関係よりaである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは3解の和は-aである。3次方程式の解と係数の関係では、和=-a、2つずつの積の和=b、3つの積=-cとなる。
問269．確率変数XとYが独立のとき、和の分散についてV(X+Y)=V(X)+V(Y)が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：独立な確率変数では分散の加法性 V(X+Y)=V(X)+V(Y) が成り立つ。記述はこの独立性の下での性質を正しく述べている。
問270．確率変数Xの分散は、公式V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2で計算できる。

正解：○（正しい）

解説：分散の計算公式 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2 は常に成り立つ。2乗の期待値から平均の2乗を引いて求める方法で、記述は正しい。
問271．lim[n→∞] (2n+1)/(n+3) を求めよ。
- ア．2
- イ．1/3
- ウ．0
- エ．∞
正解：ア．2

解説：分子・分母を n で割ると (2+1/n)/(1+3/n)。n→∞で 1/n→0, 3/n→0 だから (2+0)/(1+0)=2。
問272．lim[n→∞] (3n²-n)/(n²+2n) を求めよ。
- ア．1
- イ．3
- ウ．0
- エ．∞
正解：イ．3

解説：分子・分母を n² で割ると (3-1/n)/(1+2/n)。n→∞で各項→0 となり (3-0)/(1+0)=3。
問273．lim[n→∞] (n+1)/(n²+1) を求めよ。
- ア．∞
- イ．1
- ウ．0
- エ．1/2
正解：ウ．0

解説：分子・分母を n² で割ると (1/n+1/n²)/(1+1/n²)。n→∞で分子→0, 分母→1 だから 0/1=0。
問274．lim[n→∞] (2n²+3)/(n+1) を求めよ。
- ア．1
- イ．2
- ウ．0
- エ．∞
正解：エ．∞

解説：分子・分母を n で割ると (2n+3/n)/(1+1/n)。n→∞で分子→∞, 分母→1 だから極限は ∞（発散）。
問275．lim[n→∞] (√(n²+n) - n) を求めよ。
- ア．1/2
- イ．0
- ウ．1
- エ．∞
正解：ア．1/2

解説：分子有理化: (√(n²+n)-n)(√(n²+n)+n)/(√(n²+n)+n)=n/(√(n²+n)+n)。n で割ると 1/(√(1+1/n)+1)→1/(1+1)=1/2。
問276．lim[n→∞] (√(n+1) - √n) を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．1/2
- エ．∞
正解：イ．0

解説：有理化すると (√(n+1)-√n)(√(n+1)+√n)/(√(n+1)+√n)=1/(√(n+1)+√n)。n→∞で分母→∞ だから極限は 0。
問277．lim[n→∞] (4n²-1)/(2n²+n+1) を求めよ。
- ア．1/2
- イ．4
- ウ．2
- エ．∞
正解：ウ．2

解説：分子・分母を n² で割ると (4-1/n²)/(2+1/n+1/n²)。n→∞で (4-0)/(2+0+0)=4/2=2。
問278．lim[n→∞] (5n³+2n)/(n³-1) を求めよ。
- ア．∞
- イ．1
- ウ．0
- エ．5
正解：エ．5

解説：分子・分母を n³ で割ると (5+2/n²)/(1-1/n³)。n→∞で各項→0 となり (5+0)/(1-0)=5。
問279．lim[n→∞] (-n²+3n)/(2n+1) を求めよ。
- ア．-∞
- イ．-1/2
- ウ．0
- エ．∞
正解：ア．-∞

解説：分子・分母を n で割ると (-n+3)/(2+1/n)。n→∞で分子→-∞, 分母→2 だから極限は -∞（負の無限大に発散）。
問280．lim[n→∞] (1+2+3+…+n)/n² を求めよ。
- ア．1
- イ．1/2
- ウ．0
- エ．∞
正解：イ．1/2

解説：分子は n(n+1)/2。よって式は n(n+1)/(2n²)=(n+1)/(2n)=(1+1/n)/2。n→∞で (1+0)/2=1/2。
問281．lim[n→∞] (3·2ⁿ+1)/(2ⁿ+5) を求めよ。
- ア．1/5
- イ．1
- ウ．3
- エ．∞
正解：ウ．3

解説：分子・分母を 2ⁿ で割ると (3+1/2ⁿ)/(1+5/2ⁿ)。n→∞で 1/2ⁿ→0 だから (3+0)/(1+0)=3。
問282．lim[n→∞] (3ⁿ-2ⁿ)/(3ⁿ+2ⁿ) を求めよ。
- ア．∞
- イ．0
- ウ．-1
- エ．1
正解：エ．1

解説：分子・分母を 3ⁿ で割ると (1-(2/3)ⁿ)/(1+(2/3)ⁿ)。|2/3|<1 より (2/3)ⁿ→0 だから (1-0)/(1+0)=1。
問283．公比 r=1/3 の等比数列について lim[n→∞] rⁿ の値は？
- ア．0
- イ．1
- ウ．1/3
- エ．∞
正解：ア．0

解説：|r|=1/3<1 なので等比数列 rⁿ は 0 に収束する。よって lim[n→∞] (1/3)ⁿ=0。
問284．公比 r=2 の等比数列 rⁿ の n→∞での極限は？
- ア．2
- イ．∞
- ウ．0
- エ．1
正解：イ．∞

解説：r=2>1 なので rⁿ は限りなく大きくなり ∞ に発散する。よって lim[n→∞] 2ⁿ=∞。
問285．lim[n→∞] (-1/2)ⁿ を求めよ。
- ア．-1/2
- イ．1
- ウ．0
- エ．振動して極限なし
正解：ウ．0

解説：公比 r=-1/2 で |r|=1/2<1 だから rⁿ は 0 に収束する。符号は振動するが大きさは 0 に近づくため極限は 0。
問286．等比数列 rⁿ が収束するための公比 r の条件は？
- ア．r>0
- イ．|r|<1
- ウ．0<r<1
- エ．-1<r≤1
正解：エ．-1<r≤1

解説：rⁿ が収束するのは -1<r≤1 のとき。-1<r<1 で 0 に収束、r=1 で 1 に収束。r≤-1 や r>1 では収束しない。
問287．lim[n→∞] (-1)ⁿ を求めよ。
- ア．極限は存在しない
- イ．0
- ウ．1
- エ．-1
正解：ア．極限は存在しない

解説：(-1)ⁿ は n が偶数で1、奇数で-1 となり振動する。1つの値に近づかないため極限は存在しない（発散）。
問288．lim[n→∞] (0.9)ⁿ を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．0.9
- エ．∞
正解：イ．0

解説：公比 r=0.9 で |r|=0.9<1 だから等比数列 (0.9)ⁿ は 0 に収束する。よって極限は 0。
問289．無限等比級数 Σ(1/2)ⁿ (n=1から∞) の和を求めよ。
- ア．2
- イ．1/2
- ウ．1
- エ．発散
正解：ウ．1

解説：初項 a=1/2, 公比 r=1/2。|r|<1 で収束。S=a/(1-r)=(1/2)/(1-1/2)=(1/2)/(1/2)=1。
問290．無限等比級数 Σ(1/3)ⁿ (n=1から∞) の和を求めよ。
- ア．3/2
- イ．1/3
- ウ．1
- エ．1/2
正解：エ．1/2

解説：初項 a=1/3, 公比 r=1/3 で |r|<1 より収束。S=a/(1-r)=(1/3)/(1-1/3)=(1/3)/(2/3)=1/2。
問291．無限等比級数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … の和を求めよ。
- ア．2
- イ．1
- ウ．3/2
- エ．発散
正解：ア．2

解説：初項 a=1, 公比 r=1/2 で |r|<1 より収束。S=a/(1-r)=1/(1-1/2)=1/(1/2)=2 となる。
問292．無限等比級数 Σ(2/3)ⁿ (n=0から∞) の和を求めよ。
- ア．2
- イ．3
- ウ．3/2
- エ．発散
正解：イ．3

解説：n=0 から開始なので初項 a=(2/3)⁰=1, 公比 r=2/3。S=a/(1-r)=1/(1-2/3)=1/(1/3)=3。
問293．無限等比級数 3 - 1 + 1/3 - 1/9 + … の和を求めよ。
- ア．2
- イ．3
- ウ．9/4
- エ．発散
正解：ウ．9/4

解説：初項 a=3, 公比 r=-1/3。|r|=1/3<1 で収束する。S=a/(1-r)=3/(1-(-1/3))=3/(4/3)=9/4 となる。
問294．無限等比級数 Σ2ⁿ (n=1から∞) について正しいものは？
- ア．−2に収束する
- イ．正負に振動して発散する
- ウ．2に収束する
- エ．正の無限大に発散する
正解：エ．正の無限大に発散する

解説：Σ2ⁿ（n=1から∞）は初項2、公比2の無限等比級数で、部分和は Sₙ=2(2ⁿ−1) となる。公比の絶対値が1以上なので収束せず、項がすべて正で部分和が限りなく大きくなるから、正の無限大に発散する。和の公式 a/(1−r) は |r|<1 のときだけ使えるので、当てはめて得られる 2/(1−2)=−2 は和ではない。振動して発散するのは公比が −1 以下で項の符号が交互に変わるときで、この級数には当てはまらない。2 は初項の値で、和ではない。

根拠：日本数学検定協会「数学検定準1級」検定の内容検定の内容（高校3年程度）：数列と極限ほか
問295．循環小数 0.333… を無限等比級数とみて分数で表すと？
- ア．1/3
- イ．3/10
- ウ．1/30
- エ．3/100
正解：ア．1/3

解説：0.3+0.03+0.003+… は初項 a=3/10, 公比 r=1/10。S=(3/10)/(1-1/10)=(3/10)/(9/10)=3/9=1/3。
問296．循環小数 0.272727… を無限等比級数で和を求め分数にすると？
- ア．27/100
- イ．3/11
- ウ．1/4
- エ．3/10
正解：イ．3/11

解説：初項 a=27/100, 公比 r=1/100。S=(27/100)/(1-1/100)=(27/100)/(99/100)=27/99=3/11。
問297．無限等比級数 a/(1-r) が収束する公比 r の条件は？
- ア．r<1
- イ．|r|≤1
- ウ．|r|<1
- エ．r>0
正解：ウ．|r|<1

解説：無限等比級数が収束するのは初項が0の場合を除き |r|<1 のとき。このとき和は S=a/(1-r) となる。
問298．無限等比級数 Σ x ⁿ (n=0から∞) が和 1/(1-x) に収束する x の範囲は？
- ア．全ての x
- イ．x<1
- ウ．0<x<1
- エ．-1<x<1
正解：エ．-1<x<1

解説：公比 x の無限等比級数は |x|<1、すなわち -1<x<1 のとき収束し、和は 1/(1-x) となる。
問299．lim[x→2] (x²-4)/(x-2) を求めよ。
- ア．4
- イ．0
- ウ．2
- エ．∞
正解：ア．4

解説：0/0の不定形。x²-4=(x-2)(x+2) と因数分解し約分すると x+2。x→2 を代入して 2+2=4。
問300．lim[x→1] (x²-1)/(x-1) を求めよ。
- ア．1
- イ．2
- ウ．0
- エ．∞
正解：イ．2

解説：0/0の不定形。x²-1=(x-1)(x+1) と因数分解し約分して x+1。x→1 を代入して 1+1=2。
問301．lim[x→3] (x²-9)/(x²-2x-3) を求めよ。
- ア．2
- イ．1
- ウ．3/2
- エ．0
正解：ウ．3/2

解説：分子=(x-3)(x+3), 分母=(x-3)(x+1)。約分して (x+3)/(x+1)。x→3 で (3+3)/(3+1)=6/4=3/2。
問302．lim[x→0] (√(x+4) - 2)/x を求めよ。
- ア．1
- イ．1/2
- ウ．0
- エ．1/4
正解：エ．1/4

解説：分子有理化: (√(x+4)-2)(√(x+4)+2)/{x(√(x+4)+2)}=x/{x(√(x+4)+2)}=1/(√(x+4)+2)。x→0 で 1/(2+2)=1/4。
問303．lim[x→∞] (3x+1)/(x-2) を求めよ。
- ア．3
- イ．1
- ウ．0
- エ．∞
正解：ア．3

解説：分子・分母を x で割ると (3+1/x)/(1-2/x)。x→∞で 1/x→0 だから (3+0)/(1-0)=3。
問304．lim[x→∞] (x²+1)/(2x²-x) を求めよ。
- ア．1
- イ．1/2
- ウ．2
- エ．∞
正解：イ．1/2

解説：分子・分母を x² で割ると (1+1/x²)/(2-1/x)。x→∞で (1+0)/(2-0)=1/2。
問305．lim[x→-2] (x²+x-2)/(x+2) を求めよ。
- ア．-1
- イ．3
- ウ．-3
- エ．0
正解：ウ．-3

解説：0/0の不定形。分子=(x+2)(x-1) と因数分解し約分して x-1。x→-2 を代入して -2-1=-3。
問306．lim[x→∞] (2x²-3)/(x³+1) を求めよ。
- ア．1
- イ．2
- ウ．∞
- エ．0
正解：エ．0

解説：分子・分母を x³ で割ると (2/x-3/x³)/(1+1/x³)。x→∞で分子→0, 分母→1 だから 0/1=0。
問307．lim[x→0] (x²-3x)/x を求めよ。
- ア．-3
- イ．3
- ウ．0
- エ．∞
正解：ア．-3

解説：0/0の不定形。x²-3x=x(x-3) で x を約分して x-3。x→0 を代入して 0-3=-3。
問308．lim[x→∞] (√(x²+x) - x) を求めよ。
- ア．0
- イ．1/2
- ウ．1
- エ．∞
正解：イ．1/2

解説：有理化: (√(x²+x)-x)(√(x²+x)+x)/(√(x²+x)+x)=x/(√(x²+x)+x)。x で割ると 1/(√(1+1/x)+1)→1/2。
問309．lim[x→1] (x³-1)/(x-1) を求めよ。
- ア．2
- イ．1
- ウ．3
- エ．0
正解：ウ．3

解説：0/0の不定形。x³-1=(x-1)(x²+x+1) と因数分解し約分して x²+x+1。x→1 で 1+1+1=3。
問310．lim[x→0] sinx/x を求めよ。
- ア．1/2
- イ．0
- ウ．∞
- エ．1
正解：エ．1

解説：三角関数の極限の基本公式 lim[x→0] sinx/x=1（x はラジアン）。これは数IIIの最重要極限の一つ。
問311．lim[x→0] sin3x/x を求めよ。
- ア．3
- イ．1
- ウ．1/3
- エ．0
正解：ア．3

解説：sin3x/x=3·(sin3x/3x)。x→0で 3x→0 となり sin3x/3x→1。よって 3·1=3。
問312．lim[x→0] sin2x/sin5x を求めよ。
- ア．5/2
- イ．2/5
- ウ．1
- エ．0
正解：イ．2/5

解説：(sin2x/2x)·2x ÷ {(sin5x/5x)·5x}=(sin2x/2x)/(sin5x/5x)·(2/5)。x→0で各比→1 だから 2/5。
問313．lim[x→0] tanx/x を求めよ。
- ア．∞
- イ．0
- ウ．1
- エ．1/2
正解：ウ．1

解説：tanx/x=(sinx/x)·(1/cosx)。x→0で sinx/x→1, cosx→1 だから 1·(1/1)=1。
問314．lim[x→0] (1-cosx)/x² を求めよ。
- ア．2
- イ．1
- ウ．0
- エ．1/2
正解：エ．1/2

解説：分子分母に(1+cosx)を掛けると (1-cos²x)/{x²(1+cosx)}=sin²x/{x²(1+cosx)}=(sinx/x)²·1/(1+cosx)→1·1/2=1/2。
問315．lim[x→0] x/sinx を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．∞
- エ．1/2
正解：ア．1

解説：x/sinx は sinx/x の逆数。lim[x→0] sinx/x=1 だから、その逆数の極限も 1/1=1。
問316．lim[x→0] sin4x/2x を求めよ。
- ア．4
- イ．2
- ウ．1/2
- エ．1
正解：イ．2

解説：sin4x/2x=(sin4x/4x)·(4x/2x)=(sin4x/4x)·2。x→0で sin4x/4x→1 だから 1·2=2。
問317．lim[n→∞] (1+1/n)ⁿ の値は？
- ア．0
- イ．1
- ウ．e
- エ．∞
正解：ウ．e

解説：これは自然対数の底 e の定義式そのもの。lim[n→∞] (1+1/n)ⁿ=e≒2.718… となり、答えは e。
問318．lim[x→∞] (1+1/x)^(2x) を求めよ。
- ア．1
- イ．e
- ウ．2e
- エ．e²
正解：エ．e²

解説：(1+1/x)^(2x)={(1+1/x)ˣ}²。x→∞で (1+1/x)ˣ→e だから極限は e²。
問319．lim[h→0] (eʰ-1)/h を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．e
- エ．∞
正解：ア．1

解説：これは f(x)=eˣ の x=0 における微分係数。f'(x)=eˣ, f'(0)=e⁰=1。よって極限は 1。
問320．関数 f(x)=1/(x-1) が連続でない（不連続な）点はどこか。
- ア．x=0
- イ．x=1
- ウ．x=-1
- エ．連続な点はない
正解：イ．x=1

解説：分母 x-1=0 すなわち x=1 で関数が定義されず分母が0になるため、x=1 で不連続。それ以外では連続。
問321．lim[n→∞] n/(n+1) は 1 に収束する。

正解：○（正しい）

解説：n/(n+1)=1/(1+1/n) と変形できる。n→∞で 1/n→0 だから 1/(1+0)=1 に収束する。よって正しい。
問322．lim[x→0] sinx/x = 1 である。

正解：○（正しい）

解説：三角関数の最重要極限 lim[x→0] sinx/x=1（x はラジアン）が成り立つ。数IIIの基本公式。よって正しい。
問323．公比 r が |r|<1 のとき、等比数列 rⁿ は n→∞で 0 に収束する。

正解：○（正しい）

解説：|r|<1 のとき rⁿ の絶対値 |r|ⁿ は限りなく小さくなり、rⁿ は 0 に収束する。例 (1/2)ⁿ→0。よって正しい。
問324．無限等比級数が収束するための条件は、初項が0の場合を除き |r|<1 である。

正解：○（正しい）

解説：公比 r の無限等比級数は |r|<1（または初項0）のとき収束し、和は S=a/(1-r) となる。よって正しい。
問325．lim[n→∞] (1+1/n)ⁿ = e である。

正解：○（正しい）

解説：これは自然対数の底 e の定義式そのもの。lim[n→∞] (1+1/n)ⁿ=e≒2.718… が成り立つ。よって正しい。
問326．lim[x→2] (x²-4)/(x-2) = 4 である。

正解：○（正しい）

解説：0/0の不定形。x²-4=(x-2)(x+2) を約分して x+2、x→2 を代入して 2+2=4。よって正しい。
問327．無限等比級数 1+1/2+1/4+1/8+… の和は 2 である。

正解：○（正しい）

解説：初項 a=1, 公比 r=1/2 で |r|<1 より収束。S=a/(1-r)=1/(1-1/2)=2 となる。よって正しい。
問328．lim[x→0] tanx/x = 1 である。

正解：○（正しい）

解説：tanx/x=(sinx/x)·(1/cosx)。x→0で sinx/x→1, cosx→1 だから 1。よって正しい。
問329．数列 (-1)ⁿ は n→∞で振動し、極限は存在しない。

正解：○（正しい）

解説：(-1)ⁿ は n の偶奇で 1 と -1 を交互にとり一定値に近づかず振動する。よって極限は存在せず、記述は正しい。
問330．lim[x→∞] (3x+1)/(x-2) = 3 である。

正解：○（正しい）

解説：分子分母を x で割ると (3+1/x)/(1-2/x)→(3+0)/(1-0)=3。よって正しい。
問331．はさみうちの原理は、a≤b≤c で a と c が同じ値に収束するとき b もその値に収束するという原理である。

正解：○（正しい）

解説：はさみうちの原理の内容そのもの。aₙ≤bₙ≤cₙ かつ lim aₙ=lim cₙ=α なら lim bₙ=α。よって正しい。
問332．関数 f(x)=1/x は x=0 で不連続である。

正解：○（正しい）

解説：x=0 で分母が0になり関数が定義されないため、f(x)=1/x は x=0 で不連続。よって正しい。
問333．lim[h→0] (eʰ-1)/h = 1 である。

正解：○（正しい）

解説：eˣ の x=0 での微分係数。(eˣ)'=eˣ, x=0 で e⁰=1。よって極限は 1 で正しい。
問334．公比 r=2 の等比数列 rⁿ は n→∞で 0 に収束する。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは r=2>1 なので rⁿ は限りなく大きくなり ∞ に発散する。0 には収束しない。
問335．無限等比級数 Σ2ⁿ (n=1から∞) は収束し、その和は -2 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは公比 r=2 で |r|≥1 のため発散し、和は存在しない。公式 a/(1-r) は |r|<1 でのみ有効。
問336．lim[x→0] sin3x/x = 1 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは sin3x/x=3·(sin3x/3x)→3·1=3。値は 3 であり 1 ではない。
問337．lim[n→∞] (2n+1)/(n+3) = 2/3 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは分子分母を n で割ると (2+1/n)/(1+3/n)→2/1=2。値は 2 であり 2/3 ではない。
問338．無限等比級数 Σ(1/3)ⁿ (n=1から∞) の和は 1/3 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは初項 a=1/3, 公比 r=1/3 で S=(1/3)/(1-1/3)=(1/3)/(2/3)=1/2。和は 1/2 である。
問339．lim[x→0] (1-cosx)/x² = 1 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは (1-cosx)/x²=(sinx/x)²·1/(1+cosx)→1·(1/2)=1/2。値は 1/2 である。
問340．lim[x→1] (x²-1)/(x-1) = 0 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは x²-1=(x-1)(x+1) を約分して x+1、x→1 で 1+1=2。値は 2 である。
問341．公比 r=-1 の等比数列 rⁿ は 1 に収束する。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは r=-1 のとき rⁿ は 1 と -1 を交互にとり振動するため収束しない。極限は存在しない。
問342．lim[x→∞] (x²+1)/(2x²-x) = 2 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは分子分母を x² で割ると (1+1/x²)/(2-1/x)→1/2。値は 1/2 であり 2 ではない。
問343．lim[n→∞] (√(n²+n) - n) = 0 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは有理化して n/(√(n²+n)+n)、n で割ると 1/(√(1+1/n)+1)→1/2。値は 1/2 である。
問344．無限等比級数 Σ x ⁿ (n=0から∞) は全ての実数 x について収束する。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは |x|<1（-1<x<1）のときのみ収束し、和は 1/(1-x) となる。|x|≥1 では発散する。
問345．lim[x→0] sin2x/sin5x = 5/2 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは (sin2x/2x)/(sin5x/5x)·(2/5)→1·(2/5)=2/5。値は 2/5 であり 5/2 ではない。
問346．楕円 x^2/9+y^2/4=1 の長軸の長さを求めよ。
- ア．6
- イ．3
- ウ．9
- エ．12
正解：ア．6

解説：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) では a^2=9 より a=3。長軸の長さは 2a=2×3=6 となる。短軸は 2b=4 である。
問347．楕円 x^2/25+y^2/16=1 の焦点の座標を求めよ。
- ア．(0,±3)
- イ．(±3,0)
- ウ．(±5,0)
- エ．(±4,0)
正解：イ．(±3,0)

解説：a^2=25, b^2=16 より c^2=a^2-b^2=25-16=9, c=3。a>b なので焦点はx軸上にあり (±3,0) となる。
問348．放物線 y^2=8x の焦点の座標を求めよ。
- ア．(0,2)
- イ．(4,0)
- ウ．(2,0)
- エ．(8,0)
正解：ウ．(2,0)

解説：y^2=4px の形で 4p=8 より p=2。焦点は (p,0)=(2,0) にある。準線は x=-2 となる点も確認できる。
問349．放物線 y^2=8x の準線の方程式を求めよ。
- ア．x=2
- イ．y=-2
- ウ．x=-8
- エ．x=-2
正解：エ．x=-2

解説：y^2=4px で 4p=8 より p=2。準線は x=-p=-2。焦点(2,0)と準線 x=-2 は原点に関して対称である。
問350．双曲線 x^2/9-y^2/16=1 の漸近線の方程式を求めよ。
- ア．y=±(4/3)x
- イ．y=±(3/4)x
- ウ．y=±(16/9)x
- エ．y=±(9/16)x
正解：ア．y=±(4/3)x

解説：x^2/a^2-y^2/b^2=1 の漸近線は y=±(b/a)x。a=3, b=4 より y=±(4/3)x となる。比 b/a が傾きである。
問351．双曲線 x^2/9-y^2/16=1 の焦点の座標を求めよ。
- ア．(±3,0)
- イ．(±5,0)
- ウ．(±4,0)
- エ．(0,±5)
正解：イ．(±5,0)

解説：双曲線では c^2=a^2+b^2=9+16=25, c=5。焦点はx軸上にあり (±5,0)。楕円と異なり和になる点に注意する。
問352．極座標 (2, π/3) を直交座標で表せ。
- ア．(√3,1)
- イ．(2,2)
- ウ．(1,√3)
- エ．(√3,√3)
正解：ウ．(1,√3)

解説：x=rcosθ=2cos(π/3)=2×(1/2)=1, y=rsinθ=2sin(π/3)=2×(√3/2)=√3。よって (1,√3) となる。
問353．極座標 (4, π/6) を直交座標で表せ。
- ア．(2,2√3)
- イ．(2√3,4)
- ウ．(4,2)
- エ．(2√3,2)
正解：エ．(2√3,2)

解説：x=4cos(π/6)=4×(√3/2)=2√3, y=4sin(π/6)=4×(1/2)=2。よって (2√3,2) となる。
問354．直交座標 (1,1) を極座標 (r,θ) で表せ。ただし r>0, 0≤θ<2π。
- ア．(√2, π/4)
- イ．(2, π/4)
- ウ．(√2, π/3)
- エ．(1, π/4)
正解：ア．(√2, π/4)

解説：r=√(1^2+1^2)=√2。tanθ=1 かつ第1象限なので θ=π/4。よって (√2, π/4) となる。
問355．分数関数 y=(2x+1)/(x-1) の垂直方向の漸近線を求めよ。
- ア．x=0
- イ．x=1
- ウ．x=2
- エ．x=-1
正解：イ．x=1

解説：分母 x-1=0 すなわち x=1 で関数は定義されず、ここが垂直漸近線。変形 y=2+3/(x-1) より水平漸近線は y=2。
問356．分数関数 y=(2x+1)/(x-1) の水平方向の漸近線を求めよ。
- ア．y=1
- イ．y=0
- ウ．y=2
- エ．y=-1
正解：ウ．y=2

解説：y=(2x+1)/(x-1)=(2(x-1)+3)/(x-1)=2+3/(x-1)。x→±∞ で 3/(x-1)→0 なので水平漸近線は y=2 となる。
問357．無理関数 y=√(2x-4) の定義域を求めよ。
- ア．x≥-2
- イ．x≥4
- ウ．x≤2
- エ．x≥2
正解：エ．x≥2

解説：根号の中は0以上が必要。2x-4≥0 より 2x≥4, x≥2。よって定義域は x≥2 となる。負の数の平方根は実数で定義されない。
問358．無理関数 y=√(2x-4) の値域を求めよ。
- ア．y≥0
- イ．y>0
- ウ．y≥2
- エ．y≤0
正解：ア．y≥0

解説：根号は常に0以上の値をとる。x≥2 のとき 2x-4≥0 で √(2x-4)≥0。よって値域は y≥0 となる。
問359．関数 y=2x+3 の逆関数を求めよ。
- ア．y=(x+3)/2
- イ．y=(x-3)/2
- ウ．y=2x-3
- エ．y=(x-2)/3
正解：イ．y=(x-3)/2

解説：y=2x+3 を x について解くと x=(y-3)/2。xとyを入れ替えて逆関数は y=(x-3)/2。直線 y=x に関し対称である。
問360．f(x)=2x+1, g(x)=x^2 のとき、合成関数 (f∘g)(x) を求めよ。
- ア．(2x+1)^2
- イ．4x^2+1
- ウ．2x^2+1
- エ．x^2+1
正解：ウ．2x^2+1

解説：(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=2(x^2)+1=2x^2+1。gを先に作用させてからfを作用させる順序になる。
問361．f(x)=2x+1, g(x)=x^2 のとき、合成関数 (g∘f)(x) を求めよ。
- ア．2x^2+1
- イ．4x^2+1
- ウ．2x^2+4x+1
- エ．4x^2+4x+1
正解：エ．4x^2+4x+1

解説：(g∘f)(x)=g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)^2=4x^2+4x+1。f∘g とは順序が異なり結果も異なる点に注意する。
問362．楕円 x^2/16+y^2/9=1 の短軸の長さを求めよ。
- ア．6
- イ．3
- ウ．8
- エ．9
正解：ア．6

解説：a^2=16, b^2=9 より a=4, b=3。a>b なので長軸は 2a=8、短軸は 2b=2×3=6 となる。
問363．放物線 y^2=12x の焦点の座標を求めよ。
- ア．(6,0)
- イ．(3,0)
- ウ．(12,0)
- エ．(0,3)
正解：イ．(3,0)

解説：y^2=4px で 4p=12 より p=3。焦点は (p,0)=(3,0)。準線は x=-3 となる。
問364．極座標 (3, π/2) を直交座標で表せ。
- ア．(3,0)
- イ．(0,-3)
- ウ．(0,3)
- エ．(3,3)
正解：ウ．(0,3)

解説：x=3cos(π/2)=3×0=0, y=3sin(π/2)=3×1=3。よって (0,3) となる。偏角 π/2 はy軸正方向である。
問365．極座標 (2, π) を直交座標で表せ。
- ア．(2,0)
- イ．(0,-2)
- ウ．(0,2)
- エ．(-2,0)
正解：エ．(-2,0)

解説：x=2cosπ=2×(-1)=-2, y=2sinπ=2×0=0。よって (-2,0) となる。偏角 π はx軸負方向である。
問366．媒介変数表示 x=cosθ, y=sinθ (0≤θ<2π) はどんな曲線を表すか。
- ア．半径1の円
- イ．楕円
- ウ．放物線
- エ．直線
正解：ア．半径1の円

解説：x^2+y^2=cos^2θ+sin^2θ=1。よって原点中心・半径1の円を表す。三角関数の基本公式から導かれる。
問367．媒介変数表示 x=2cosθ, y=3sinθ はどんな曲線を表すか。
- ア．円
- イ．楕円
- ウ．双曲線
- エ．放物線
正解：イ．楕円

解説：cosθ=x/2, sinθ=y/3 を cos^2θ+sin^2θ=1 に代入すると x^2/4+y^2/9=1。これは楕円を表す。
問368．双曲線 x^2/4-y^2/9=1 の頂点の座標を求めよ。
- ア．(0,±2)
- イ．(±3,0)
- ウ．(±2,0)
- エ．(±4,0)
正解：ウ．(±2,0)

解説：x^2/a^2-y^2/b^2=1 の頂点はx軸上で (±a,0)。a^2=4 より a=2。よって頂点は (±2,0) となる。
問369．分数関数 y=1/(x-3)+2 の漸近線の交点（中心）を求めよ。
- ア．(2,3)
- イ．(3,-2)
- ウ．(-3,2)
- エ．(3,2)
正解：エ．(3,2)

解説：y=1/(x-3)+2 は y=1/x を x方向に3、y方向に2平行移動したもの。漸近線は x=3 と y=2 でその交点は (3,2)。
問370．無理関数 y=√(x+3) のグラフは y=√x をどのように平行移動したものか。
- ア．x軸方向に-3
- イ．y軸方向に+3
- ウ．x軸方向に+3
- エ．y軸方向に-3
正解：ア．x軸方向に-3

解説：y=√(x+3)=√(x-(-3)) より、y=√x を x軸方向に-3（左へ3）平行移動したグラフである。定義域は x≥-3。
問371．f(x)=x+2, g(x)=3x のとき (f∘g)(2) の値を求めよ。
- ア．12
- イ．8
- ウ．10
- エ．6
正解：イ．8

解説：(f∘g)(2)=f(g(2))=f(3×2)=f(6)=6+2=8。内側のgを先に計算してからfを適用する。
問372．楕円 x^2/4+y^2/9=1 の焦点の座標を求めよ。
- ア．(0,±3)
- イ．(±√5,0)
- ウ．(0,±√5)
- エ．(±2,0)
正解：ウ．(0,±√5)

解説：a^2=4, b^2=9 で b>a なので長軸はy軸上。c^2=9-4=5, c=√5。焦点はy軸上で (0,±√5) となる。
問373．極方程式 r=2 はどんな曲線を表すか。
- ア．直線
- イ．楕円
- ウ．半径4の円
- エ．半径2の円
正解：エ．半径2の円

解説：r=2 は原点からの距離が常に2の点の集合。よって原点中心・半径2の円を表す。直交座標では x^2+y^2=4 となる。
問374．極方程式 θ=π/4 (r は任意の実数) はどんな図形を表すか。
- ア．直線 y=x
- イ．直線 y=-x
- ウ．円
- エ．放物線
正解：ア．直線 y=x

解説：偏角が一定 π/4 の点の集合は、原点を通り傾き tan(π/4)=1 の直線 y=x を表す。極方程式の典型例である。
問375．放物線 x^2=4y の焦点の座標を求めよ。
- ア．(1,0)
- イ．(0,1)
- ウ．(0,-1)
- エ．(0,4)
正解：イ．(0,1)

解説：x^2=4py の形で 4p=4 より p=1。軸はy軸方向で焦点は (0,p)=(0,1)。準線は y=-1 となる。
問376．直交座標 (0,-2) を極座標 (r,θ) で表せ。ただし r>0, 0≤θ<2π。
- ア．(2, π)
- イ．(2, π/2)
- ウ．(2, 3π/2)
- エ．(2, 5π/4)
正解：ウ．(2, 3π/2)

解説：r=√(0^2+(-2)^2)=2。点はy軸負方向にあり偏角は θ=3π/2。よって (2, 3π/2) となる。
問377．分数関数 y=3/x の定義域を求めよ。
- ア．x>0
- イ．x≠3
- ウ．全実数
- エ．x≠0
正解：エ．x≠0

解説：分母 x=0 では分数が定義されない。それ以外のすべての実数で定義されるので、定義域は x≠0 となる。反比例のグラフである。
問378．無理関数 y=-√x のグラフはどの象限にあるか。
- ア．第4象限
- イ．第2象限
- ウ．第1象限
- エ．第3象限
正解：ア．第4象限

解説：√x≥0 なので -√x≤0。定義域は x≥0、値域は y≤0。よってグラフは第4象限（とx軸・y軸上）にある。
問379．f(x)=2x-1 の逆関数 f^(-1)(x) を求めよ。
- ア．(x-1)/2
- イ．(x+1)/2
- ウ．(x+1)/3
- エ．2x+1
正解：イ．(x+1)/2

解説：y=2x-1 を x について解くと 2x=y+1, x=(y+1)/2。xとyを入れ替えて f^(-1)(x)=(x+1)/2 となる。
問380．楕円 x^2/36+y^2/20=1 の焦点間の距離を求めよ。
- ア．16
- イ．4
- ウ．8
- エ．6
正解：ウ．8

解説：a^2=36, b^2=20 より c^2=36-20=16, c=4。焦点は (±4,0)。焦点間の距離は 2c=2×4=8 となる。
問381．極座標 (2, 2π/3) を直交座標で表せ。
- ア．(1,√3)
- イ．(√3,-1)
- ウ．(-1,-√3)
- エ．(-1,√3)
正解：エ．(-1,√3)

解説：x=2cos(2π/3)=2×(-1/2)=-1, y=2sin(2π/3)=2×(√3/2)=√3。よって (-1,√3) となる。
問382．媒介変数表示 x=t+1, y=2t-1 から t を消去した式を求めよ。
- ア．y=2x-3
- イ．y=2x-1
- ウ．y=2x+1
- エ．y=x-3
正解：ア．y=2x-3

解説：x=t+1 より t=x-1。これを y=2t-1 に代入すると y=2(x-1)-1=2x-2-1=2x-3。直線を表す。
問383．双曲線 y^2/9-x^2/16=1 の漸近線の方程式を求めよ。
- ア．y=±(4/3)x
- イ．y=±(3/4)x
- ウ．y=±(9/16)x
- エ．y=±(16/9)x
正解：イ．y=±(3/4)x

解説：y^2/a^2-x^2/b^2=1 (y軸が主軸) の漸近線は y=±(a/b)x。a=3, b=4 より y=±(3/4)x となる。
問384．放物線 y^2=4x 上で、焦点からの距離が3である点のx座標を求めよ。
- ア．1
- イ．3
- ウ．2
- エ．4
正解：ウ．2

解説：y^2=4x は 4p=4 で p=1、準線 x=-1。焦点からの距離は準線からの距離 x+1 に等しい。x+1=3 より x=2。
問385．分数関数 y=(x+2)/(x-1) を y=k/(x-p)+q の形に変形したときの q の値を求めよ。
- ア．-1
- イ．2
- ウ．3
- エ．1
正解：エ．1

解説：(x+2)/(x-1)=((x-1)+3)/(x-1)=1+3/(x-1)。よって q=1（水平漸近線 y=1）, p=1, k=3 となる。
問386．無理関数 y=√(4-x) の定義域を求めよ。
- ア．x≤4
- イ．x≥4
- ウ．x≤-4
- エ．x≥-4
正解：ア．x≤4

解説：根号内は0以上。4-x≥0 より -x≥-4, x≤4。よって定義域は x≤4 となる。符号の向きに注意する。
問387．f(x)=x^2 (x≥0) の逆関数を求めよ。
- ア．y=-√x
- イ．y=√x
- ウ．y=x^2
- エ．y=1/x^2
正解：イ．y=√x

解説：y=x^2 (x≥0) を解くと x=√y（x≥0なので正の根を取る）。xとyを入れ替え逆関数は y=√x。定義域は x≥0。
問388．楕円 x^2/9+y^2/4=1 の長軸の端点（頂点）の座標を求めよ。
- ア．(0,±2)
- イ．(±2,0)
- ウ．(±3,0)
- エ．(0,±3)
正解：ウ．(±3,0)

解説：a^2=9>b^2=4 より長軸はx軸上にあり a=3。長軸の端点（頂点）は (±3,0) となる。短軸の端点は (0,±2) である。
問389．極方程式 r=2cosθ を直交座標の方程式に直したものを求めよ。
- ア．x^2+y^2=2y
- イ．x^2-y^2=2x
- ウ．x^2+y^2=4
- エ．x^2+y^2=2x
正解：エ．x^2+y^2=2x

解説：両辺にrを掛け r^2=2rcosθ。r^2=x^2+y^2, rcosθ=x より x^2+y^2=2x。これは中心(1,0)半径1の円を表す。
問390．極座標 (4, 5π/6) を直交座標で表せ。
- ア．(-2√3,2)
- イ．(-2,2√3)
- ウ．(2√3,2)
- エ．(-2√3,-2)
正解：ア．(-2√3,2)

解説：x=4cos(5π/6)=4×(-√3/2)=-2√3, y=4sin(5π/6)=4×(1/2)=2。よって (-2√3,2) となる。
問391．媒介変数表示 x=t^2, y=t (t は実数) から得られる曲線の方程式を求めよ。
- ア．y=x^2
- イ．x=y^2
- ウ．x=2y
- エ．x^2+y^2=1
正解：イ．x=y^2

解説：y=t より t=y。これを x=t^2 に代入すると x=y^2。これは横向きの放物線 y^2=x を表す。
問392．双曲線 x^2/4-y^2/5=1 の焦点間の距離を求めよ。
- ア．3
- イ．9
- ウ．6
- エ．4
正解：ウ．6

解説：双曲線は c^2=a^2+b^2=4+5=9, c=3。焦点は (±3,0)。焦点間の距離は 2c=2×3=6 となる。
問393．分数関数 y=2/(x+1)-3 の漸近線の交点を求めよ。
- ア．(1,-3)
- イ．(-3,-1)
- ウ．(-1,3)
- エ．(-1,-3)
正解：エ．(-1,-3)

解説：y=2/(x+1)-3 は y=2/x を x方向に-1、y方向に-3平行移動。漸近線は x=-1, y=-3 で交点は (-1,-3)。
問394．f(x)=3x+2 のとき f(f(1)) の値を求めよ。
- ア．17
- イ．11
- ウ．15
- エ．5
正解：ア．17

解説：f(1)=3×1+2=5。f(f(1))=f(5)=3×5+2=15+2=17。内側から順に計算する。
問395．放物線 y^2=-4x の準線の方程式を求めよ。
- ア．x=-1
- イ．x=1
- ウ．x=4
- エ．y=1
正解：イ．x=1

解説：y^2=4px で 4p=-4 より p=-1。焦点は (-1,0)、準線は x=-p=1 となる。x軸負方向に開く放物線である。
問396．楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) の焦点はx軸上にある。

正解：○（正しい）

解説：a>b>0 のとき長軸はx軸上にあり c^2=a^2-b^2>0 で焦点は (±c,0)。焦点は長軸上すなわちx軸上にある。正しい。
問397．合成関数では一般に (f∘g)(x)=(g∘f)(x) が成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは、合成は順序により結果が変わるため一般に (f∘g)(x)≠(g∘f)(x)。例えば f(x)=2x+1, g(x)=x^2 では f∘g=2x^2+1, g∘f=(2x+1)^2 と異なる。
問398．放物線 y^2=4px の焦点の座標は (p,0) である。

正解：○（正しい）

解説：y^2=4px はx軸を軸とする放物線で焦点は (p,0)、準線は x=-p。これは標準形の基本性質であり正しい。
問399．双曲線 x^2/a^2-y^2/b^2=1 (a>0, b>0) について、中心から焦点までの距離を c とするとき、c^2=a^2-b^2 が成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。双曲線では c^2=a^2+b^2（和）が成り立ち、焦点は (±c,0) にある。差 c^2=a^2-b^2 となるのは楕円の場合である。
問400．双曲線 x^2/a^2-y^2/b^2=1 の漸近線は y=±(b/a)x である。

正解：○（正しい）

解説：横長双曲線 x^2/a^2-y^2/b^2=1 の漸近線は y=±(b/a)x。x→∞ で曲線がこの直線に近づいていく。正しい。
問401．媒介変数表示 x=cosθ, y=sinθ は半径2の円を表す。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは、x^2+y^2=cos^2θ+sin^2θ=1 なので半径1の円を表す。半径2なら x=2cosθ, y=2sinθ となる。
問402．極座標と直交座標の変換は x=rcosθ, y=rsinθ で与えられる。

正解：○（正しい）

解説：極座標 (r,θ) から直交座標へは x=rcosθ, y=rsinθ で変換する。三角比を用いた基本公式であり正しい。
問403．極座標 (2, π/3) を直交座標に直すと (√3,1) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは、x=2cos(π/3)=2×(1/2)=1, y=2sin(π/3)=2×(√3/2)=√3 で (1,√3) となる。座標の順序が逆である。
問404．楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) について、中心から焦点までの距離を c とするとき、c^2=a^2-b^2 が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：正しい。長半径 a、短半径 b の楕円では c^2=a^2-b^2 となり、焦点は長軸上の (±c,0) にある。双曲線の c^2=a^2+b^2（和）と区別する。
問405．放物線 y^2=4px の準線は y=-p である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは、y^2=4px はx軸を軸とする放物線で準線は x=-p。y=-p は x^2=4py 型放物線の準線である。
問406．無理関数 y=√x の値域は y≥0 である。

正解：○（正しい）

解説：√x は0以上の値しかとらず、定義域 x≥0 で値域は y≥0 となる。グラフは原点から右上に伸びる。正しい。
問407．双曲線 x^2/9-y^2/16=1 の漸近線は y=±(3/4)x である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは、漸近線は y=±(b/a)x=±(4/3)x（a=3, b=4）。傾きは (3/4) ではなく (4/3) である。
問408．分数関数 y=(ax+b)/(cx+d) の垂直漸近線は cx+d=0 を満たす x の値である。

正解：○（正しい）

解説：分母 cx+d=0 となる x で分母が0になり関数は定義されず、そこが垂直漸近線になる。基本性質であり正しい。
問409．楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) について、中心から焦点までの距離を c とするとき、離心率 e は e=a/c で定義される。

正解：×（誤り）

解説：誤り。長半径 a、中心から焦点までの距離 c とすると、楕円の離心率は e=c/a で定義される（0<e<1）。分母と分子が逆で、a/c ではなく c/a である。
問410．逆関数のグラフは元の関数のグラフと直線 y=x に関して対称である。

正解：○（正しい）

解説：逆関数はxとyを入れ替えたものなので、グラフは直線 y=x に関して線対称となる。これは逆関数の重要な性質で正しい。
問411．放物線 x^2=4y の焦点はx軸上にある。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは、x^2=4py 型はy軸を軸とする放物線で焦点は (0,p)=(0,1)、y軸上にある。x軸上ではない。
問412．極方程式 r=2 は原点中心・半径2の円を表す。

正解：○（正しい）

解説：r=2 は原点からの距離が常に2の点の集合で、原点中心・半径2の円。直交座標では x^2+y^2=4 となる。正しい。
問413．分数関数 y=1/(x-3)+2 の水平漸近線は y=3 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは、y=1/x を y方向に+2平行移動した形なので水平漸近線は y=2。垂直漸近線が x=3 である。
問414．放物線上の任意の点について、焦点からの距離と準線からの距離は等しい。

正解：○（正しい）

解説：放物線の定義は、焦点と準線からの距離が等しい点の軌跡である。よってこの性質は曲線上の全ての点で常に成り立つ。正しい。
問415．双曲線 x^2/4-y^2/9=1 の頂点は (0,±2) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは、横長双曲線 x^2/a^2-y^2/b^2=1 の頂点はx軸上で (±a,0)=(±2,0)。(0,±2) ではなくx軸上にある。
問416．楕円 x^2/4+y^2/9=1 の長軸はy軸上にある。

正解：○（正しい）

解説：a^2=4, b^2=9 で b>a。分母の大きいy^2側が長軸方向なので長軸はy軸上にある。これは正しい。
問417．放物線 y^2=8x の焦点の座標は (4,0) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは、y^2=4px で 4p=8 より p=2、焦点は (2,0)。4p=8 の p を 4 と取り違えてはいけない。
問418．無理関数 y=√(x-2) の定義域は x≥2 である。

正解：○（正しい）

解説：根号内 x-2≥0 より x≥2 が定義域である。根号の中身が0以上という条件から導かれる。正しい。
問419．合成関数 (f∘g)(x) は f を先に作用させてから g を作用させたものである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは、(f∘g)(x)=f(g(x)) なので内側の g を先に作用させ、その結果に f を作用させる。順序が逆である。
問420．関数 y=2x+3 の逆関数は y=(x-3)/2 である。

正解：○（正しい）

解説：y=2x+3 を x について解くと x=(y-3)/2、xとyを入れ替え y=(x-3)/2 となる。逆関数の求め方として正しい。
問421．∫x⁴ dx を求めよ。
- ア．x⁵/5+C
- イ．4x³+C
- ウ．x⁵+C
- エ．5x⁵+C
正解：ア．x⁵/5+C

解説：べき関数の不定積分 ∫xⁿ dx=x^(n+1)/(n+1)+C（n≠-1）を用いる。n=4 を代入すると ∫x⁴ dx=x⁵/5+C となる。指数を1増やして新指数で割るのが基本。
問422．∫(1/x)dx を求めよ（x≠0）。
- ア．log x+C
- イ．log|x|+C
- ウ．-1/x²+C
- エ．x⁰+C
正解：イ．log|x|+C

解説：∫xⁿ dx の公式は n=-1 では使えない。この場合 ∫(1/x)dx=log|x|+C となる。絶対値を付けるのは x が負でも定義できるようにするためである。
問423．∫eˣ dx を求めよ。
- ア．eˣ⁺¹/(x+1)+C
- イ．x·eˣ+C
- ウ．eˣ+C
- エ．log|eˣ|+C
正解：ウ．eˣ+C

解説：指数関数の積分公式 ∫eˣ dx=eˣ+C を用いる。eˣ は微分しても積分しても形が変わらない関数である。検算すると (eˣ+C)'=eˣ で被積分関数に戻る。
問424．∫sinx dx を求めよ。
- ア．cosx+C
- イ．-sinx+C
- ウ．sinx+C
- エ．-cosx+C
正解：エ．-cosx+C

解説：三角関数の積分公式 ∫sinx dx=-cosx+C を用いる。符号がマイナスになる点に注意。検算すると (-cosx+C)'=sinx となり被積分関数に戻る。
問425．∫cosx dx を求めよ。
- ア．sinx+C
- イ．-sinx+C
- ウ．cosx+C
- エ．-cosx+C
正解：ア．sinx+C

解説：∫cosx dx=sinx+C を用いる。検算すると (sinx+C)'=cosx となり被積分関数に戻る。sin と cos の積分は符号に注意して覚える。
問426．∫(1/cos²x)dx を求めよ。
- ア．-tanx+C
- イ．tanx+C
- ウ．1/tanx+C
- エ．secx+C
正解：イ．tanx+C

解説：(tanx)'=1/cos²x であるから ∫(1/cos²x)dx=tanx+C となる。検算すると (tanx+C)'=1/cos²x で被積分関数に戻る。
問427．∫(1/√x)dx を求めよ（x>0）。
- ア．√x+C
- イ．(1/2)√x+C
- ウ．2√x+C
- エ．1/(2√x)+C
正解：ウ．2√x+C

解説：1/√x=x^(-1/2) と書き直す。∫x^(-1/2)dx=x^(1/2)/(1/2)+C=2√x+C となる。指数を1増やすと 1/2 になり、それで割ると 2 倍になる。
問428．∫e^(2x) dx を求めよ。
- ア．2e^(2x)+C
- イ．e^(2x)+C
- ウ．(1/2)e^(x)+C
- エ．(1/2)e^(2x)+C
正解：エ．(1/2)e^(2x)+C

解説：∫e^(ax) dx=(1/a)e^(ax)+C を用いる。a=2 だから ∫e^(2x)dx=(1/2)e^(2x)+C。検算すると ((1/2)e^(2x))'=(1/2)·2·e^(2x)=e^(2x) で正しい。
問429．∫sin(3x) dx を求めよ。
- ア．-(1/3)cos(3x)+C
- イ．(1/3)cos(3x)+C
- ウ．-3cos(3x)+C
- エ．-(1/3)sin(3x)+C
正解：ア．-(1/3)cos(3x)+C

解説：∫sin(ax)dx=-(1/a)cos(ax)+C を用いる。a=3 だから -(1/3)cos(3x)+C。検算すると (-(1/3)cos(3x))'=-(1/3)·(-3sin(3x))=sin(3x) で正しい。
問430．∫(2x+1)⁵ dx を求めよ。
- ア．(1/6)(2x+1)⁶+C
- イ．(1/12)(2x+1)⁶+C
- ウ．5(2x+1)⁴+C
- エ．(2x+1)⁶+C
正解：イ．(1/12)(2x+1)⁶+C

解説：∫(ax+b)ⁿ dx=(1/a)·(ax+b)^(n+1)/(n+1)+C を用いる。a=2,n=5 だから (1/2)·(2x+1)⁶/6+C=(1/12)(2x+1)⁶+C となる。
問431．∫(1/(x+3))dx を求めよ。
- ア．-1/(x+3)²+C
- イ．(1/3)log|x+3|+C
- ウ．log|x+3|+C
- エ．log|x|+3+C
正解：ウ．log|x+3|+C

解説：∫(1/(ax+b))dx=(1/a)log|ax+b|+C を用いる。a=1,b=3 だから log|x+3|+C。検算すると (log|x+3|)'=1/(x+3) で正しい。
問432．∫(3x²-4x+2)dx を求めよ。
- ア．3x³-4x²+2x+C
- イ．x³-4x²+2x+C
- ウ．6x-4+C
- エ．x³-2x²+2x+C
正解：エ．x³-2x²+2x+C

解説：各項を個別に積分する。∫3x²dx=x³、∫(-4x)dx=-2x²、∫2dx=2x。よって x³-2x²+2x+C となる。べき積分を項ごとに適用する。
問433．∫₀¹ x² dx を求めよ。
- ア．1/3
- イ．1/2
- ウ．1
- エ．1/4
正解：ア．1/3

解説：∫x²dx=x³/3 だから、定積分は [x³/3]₀¹=1³/3-0=1/3 となる。上端と下端を代入して差をとる。
問434．∫₀^π sinx dx を求めよ。
- ア．0
- イ．2
- ウ．1
- エ．-2
正解：イ．2

解説：∫sinx dx=-cosx だから [-cosx]₀^π=-cosπ-(-cos0)=-(-1)+1=1+1=2 となる。cosπ=-1, cos0=1 を用いる。
問435．∫₀^(π/2) cosx dx を求めよ。
- ア．0
- イ．π/2
- ウ．1
- エ．2
正解：ウ．1

解説：∫cosx dx=sinx だから [sinx]₀^(π/2)=sin(π/2)-sin0=1-0=1 となる。sin(π/2)=1, sin0=0 を用いる。
問436．∫₀¹ eˣ dx を求めよ。
- ア．e
- イ．e+1
- ウ．1
- エ．e-1
正解：エ．e-1

解説：∫eˣdx=eˣ だから [eˣ]₀¹=e¹-e⁰=e-1 となる。e⁰=1 を用いる。値は約 1.718 である。
問437．∫₁^e (1/x)dx を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．e
- エ．e-1
正解：ア．1

解説：∫(1/x)dx=log|x| だから [log|x|]₁^e=log e-log 1=1-0=1 となる。log e=1, log 1=0 を用いる。
問438．∫2x(x²+1)³ dx を t=x²+1 とおいて求めよ。
- ア．(x²+1)⁴+C
- イ．(x²+1)⁴/4+C
- ウ．(x²+1)³+C
- エ．6x²(x²+1)²+C
正解：イ．(x²+1)⁴/4+C

解説：t=x²+1, dt=2x dx と置換すると ∫t³dt=t⁴/4+C。t を戻して (x²+1)⁴/4+C となる。検算すると微分で 4(x²+1)³·2x/4=2x(x²+1)³ に戻る。
問439．∫x·e^(x²) dx を求めよ。
- ア．e^(x²)+C
- イ．2x e^(x²)+C
- ウ．(1/2)e^(x²)+C
- エ．(1/2)x²e^(x²)+C
正解：ウ．(1/2)e^(x²)+C

解説：t=x², dt=2x dx より x dx=(1/2)dt。∫(1/2)e^t dt=(1/2)e^t+C=(1/2)e^(x²)+C となる。検算すると ((1/2)e^(x²))'=(1/2)·2x·e^(x²)=x e^(x²)。
問440．∫(2x/(x²+1))dx を求めよ。
- ア．2log(x²+1)+C
- イ．1/(x²+1)+C
- ウ．(1/2)log(x²+1)+C
- エ．log(x²+1)+C
正解：エ．log(x²+1)+C

解説：分子が分母の導関数になっている。∫(f'(x)/f(x))dx=log|f(x)|+C を用いて log(x²+1)+C となる。x²+1>0 なので絶対値は不要。
問441．∫sin³x·cosx dx を求めよ。
- ア．sin⁴x/4+C
- イ．cos⁴x/4+C
- ウ．sin⁴x+C
- エ．-cos⁴x/4+C
正解：ア．sin⁴x/4+C

解説：t=sinx, dt=cosx dx と置換すると ∫t³dt=t⁴/4+C=sin⁴x/4+C。検算すると (sin⁴x/4)'=4sin³x·cosx/4=sin³x cosx で正しい。
問442．∫(logx/x)dx を求めよ（x>0）。
- ア．logx²+C
- イ．(logx)²/2+C
- ウ．(logx)²+C
- エ．1/x²+C
正解：イ．(logx)²/2+C

解説：t=logx, dt=(1/x)dx と置換すると ∫t dt=t²/2+C=(logx)²/2+C。検算すると ((logx)²/2)'=2logx·(1/x)/2=logx/x で正しい。
問443．部分積分により ∫x·eˣ dx を求めよ。
- ア．(x+1)eˣ+C
- イ．x eˣ+C
- ウ．(x-1)eˣ+C
- エ．(x²/2)eˣ+C
正解：ウ．(x-1)eˣ+C

解説：∫f g' dx=fg-∫f'g dx。f=x, g'=eˣ とすると f'=1, g=eˣ。∫x eˣ dx=x eˣ-∫eˣ dx=x eˣ-eˣ+C=(x-1)eˣ+C となる。
問444．部分積分により ∫x·sinx dx を求めよ。
- ア．x cosx+sinx+C
- イ．-x cosx-sinx+C
- ウ．x sinx+cosx+C
- エ．-x cosx+sinx+C
正解：エ．-x cosx+sinx+C

解説：f=x, g'=sinx より f'=1, g=-cosx。∫x sinx dx=-x cosx-∫(-cosx)dx=-x cosx+∫cosx dx=-x cosx+sinx+C となる。
問445．部分積分により ∫logx dx を求めよ（x>0）。
- ア．x logx-x+C
- イ．x logx+x+C
- ウ．1/x+C
- エ．x logx+C
正解：ア．x logx-x+C

解説：logx=1·logx と見て f=logx, g'=1 とする。f'=1/x, g=x。∫logx dx=x logx-∫x·(1/x)dx=x logx-∫1 dx=x logx-x+C となる。
問446．部分積分により ∫x·cosx dx を求めよ。
- ア．x sinx-cosx+C
- イ．x sinx+cosx+C
- ウ．-x sinx+cosx+C
- エ．x cosx+sinx+C
正解：イ．x sinx+cosx+C

解説：f=x, g'=cosx より f'=1, g=sinx。∫x cosx dx=x sinx-∫sinx dx=x sinx-(-cosx)+C=x sinx+cosx+C となる。
問447．∫₀¹ x·eˣ dx を求めよ。
- ア．0
- イ．e-1
- ウ．1
- エ．e
正解：ウ．1

解説：∫x eˣ dx=(x-1)eˣ より [(x-1)eˣ]₀¹=(1-1)e¹-(0-1)e⁰=0-(-1)=1 となる。上端で 0·e、下端で -1·1。
問448．∫₁^e logx dx を求めよ。
- ア．0
- イ．e
- ウ．e-1
- エ．1
正解：エ．1

解説：∫logx dx=x logx-x より [x logx-x]₁^e=(e·1-e)-(1·0-1)=(e-e)-(0-1)=0-(-1)=1 となる。log e=1, log1=0。
問449．曲線 y=x² とx軸および x=0,x=2 で囲まれた部分の面積を求めよ。
- ア．8/3
- イ．4
- ウ．8
- エ．4/3
正解：ア．8/3

解説：y=x²≧0 なので面積は ∫₀²x²dx=[x³/3]₀²=8/3-0=8/3 となる。x軸より上にある曲線の面積は単純に定積分で求まる。
問450．曲線 y=eˣ とx軸および x=0,x=1 で囲まれた部分の面積を求めよ。
- ア．e
- イ．e-1
- ウ．e+1
- エ．1
正解：イ．e-1

解説：y=eˣ>0 なので面積は ∫₀¹eˣdx=[eˣ]₀¹=e-1 となる。約 1.718。区間で曲線がx軸より上にあるので定積分そのものが面積。
問451．曲線 y=sinx とx軸で囲まれた部分（0≦x≦π）の面積を求めよ。
- ア．1
- イ．π
- ウ．2
- エ．0
正解：ウ．2

解説：0≦x≦π で sinx≧0 なので面積は ∫₀^π sinx dx=[-cosx]₀^π=-cosπ+cos0=1+1=2 となる。
問452．2曲線 y=x と y=x² で囲まれた部分の面積を求めよ。
- ア．1/2
- イ．1/3
- ウ．1/12
- エ．1/6
正解：エ．1/6

解説：交点は x=x² より x=0,1。区間で x≧x² だから面積=∫₀¹(x-x²)dx=[x²/2-x³/3]₀¹=1/2-1/3=1/6 となる。
問453．曲線 y=1/x とx軸および x=1,x=e で囲まれた部分の面積を求めよ。
- ア．1
- イ．e-1
- ウ．e
- エ．1/e
正解：ア．1

解説：区間で y=1/x>0 なので面積は ∫₁^e(1/x)dx=[log|x|]₁^e=log e-log1=1-0=1 となる。自然対数の底 e が関わる典型問題。
問454．曲線 y=x²、直線 y=x+2 で囲まれた部分の面積を求めよ。
- ア．9
- イ．9/2
- ウ．27/2
- エ．3
正解：イ．9/2

解説：交点は x²=x+2 より x²-x-2=0、(x-2)(x+1)=0 で x=-1,2。面積=∫₋₁²(x+2-x²)dx は公式 (1/6)(2-(-1))³=(1/6)·27=9/2 となる。
問455．曲線 y=x² を x軸のまわりに回転（0≦x≦1）してできる回転体の体積 V を求めよ。
- ア．π/3
- イ．π/4
- ウ．π/5
- エ．2π/5
正解：ウ．π/5

解説：V=π∫y²dx=π∫₀¹(x²)²dx=π∫₀¹x⁴dx=π[x⁵/5]₀¹=π/5 となる。回転体の体積は半径 y の円の面積 πy² を積分する。
問456．曲線 y=√x（0≦x≦1）の長さ L を表す積分として正しいものはどれか。
- ア．∫₀¹√(1+4x)dx
- イ．∫₀¹(1+1/(2√x))dx
- ウ．∫₀¹√x dx
- エ．∫₀¹√(1+1/(4x))dx
正解：エ．∫₀¹√(1+1/(4x))dx

解説：曲線の長さは L=∫√(1+(dy/dx)²)dx。y=√x より dy/dx=1/(2√x)、(dy/dx)²=1/(4x)。よって L=∫₀¹√(1+1/(4x))dx となる。
問457．媒介変数表示の曲線 x=f(t),y=g(t)（a≦t≦b）の長さ L を表す式はどれか。
- ア．∫ₐ^b √((dx/dt)²+(dy/dt)²)dt
- イ．∫ₐ^b ((dx/dt)+(dy/dt))dt
- ウ．∫ₐ^b √((dx/dt)²-(dy/dt)²)dt
- エ．∫ₐ^b (dx/dt)(dy/dt)dt
正解：ア．∫ₐ^b √((dx/dt)²+(dy/dt)²)dt

解説：媒介変数表示の曲線の長さは L=∫ₐ^b √((dx/dt)²+(dy/dt)²)dt である。各成分の速度の2乗和の平方根を積分する。
問458．F(x)=∫₀^x t² dt とするとき F'(x) を求めよ。
- ア．x³/3
- イ．x²
- ウ．2x
- エ．x³
正解：イ．x²

解説：微分積分学の基本定理 d/dx∫ₐ^x f(t)dt=f(x) より F'(x)=x² となる。積分してから微分すると被積分関数の上端代入に戻る。
問459．∫ₐ^x f(t)dt=x²-3x+2 を満たすとき、f(x) と定数 a の組として正しいものはどれか。
- ア．f(x)=2x+3, a=-1または-2
- イ．f(x)=2x-3, a=-1または-2
- ウ．f(x)=2x-3, a=1または2
- エ．f(x)=2x+3, a=1または2
正解：ウ．f(x)=2x-3, a=1または2

解説：∫ₐ^x f(t)dt を x で微分すると f(x) になるので、両辺を x で微分して f(x)=2x-3 である。また x=a とすると左辺は積分区間の幅が0で値が0になるから、a²-3a+2=0、(a-1)(a-2)=0 より a=1 または a=2 となる。どちらの a でも ∫ₐ^x(2t-3)dt=x²-3x-(a²-3a)=x²-3x+2 となり条件を満たす。f(x)=2x+3 は微分の符号の誤り、a=-1または-2 は a²+3a+2=0 と符号を取り違えて解いたもので、いずれも誤り。

根拠：日本数学検定協会「数学検定準1級」検定の内容検定の内容（高校3年程度）：微分法・積分法ほか
問460．∫(tanx)dx を求めよ。
- ア．log|cosx|+C
- イ．log|sinx|+C
- ウ．1/cos²x+C
- エ．-log|cosx|+C
正解：エ．-log|cosx|+C

解説：tanx=sinx/cosx。t=cosx, dt=-sinx dx とおくと ∫(-1/t)dt=-log|t|+C=-log|cosx|+C となる。検算すると微分で sinx/cosx=tanx に戻る。
問461．∫sin²x dx を求めよ。
- ア．x/2-(sin2x)/4+C
- イ．x/2+(sin2x)/4+C
- ウ．(sin³x)/3+C
- エ．-(cos2x)/2+C
正解：ア．x/2-(sin2x)/4+C

解説：半角公式 sin²x=(1-cos2x)/2 を用いる。∫(1-cos2x)/2 dx=(1/2)(x-(1/2)sin2x)+C=x/2-(sin2x)/4+C となる。
問462．∫₀² (x²-2x)dx を求めよ。
- ア．4/3
- イ．-4/3
- ウ．-2/3
- エ．2/3
正解：イ．-4/3

解説：∫(x²-2x)dx=x³/3-x² より [x³/3-x²]₀²=(8/3-4)-0=8/3-12/3=-4/3 となる。区間で被積分関数が負の部分があるため値も負。
問463．∫cos³x dx を求めよ。
- ア．(cos⁴x)/4+C
- イ．sinx+(sin³x)/3+C
- ウ．sinx-(sin³x)/3+C
- エ．-(cos³x)/3+C
正解：ウ．sinx-(sin³x)/3+C

解説：cos³x=cosx(1-sin²x)。t=sinx, dt=cosx dx とおくと ∫(1-t²)dt=t-t³/3+C=sinx-(sin³x)/3+C となる。
問464．∫x²eˣ dx を求めよ。
- ア．(x²-2x)eˣ+C
- イ．(x²+2x+2)eˣ+C
- ウ．x²eˣ-2eˣ+C
- エ．(x²-2x+2)eˣ+C
正解：エ．(x²-2x+2)eˣ+C

解説：部分積分を2回。∫x²eˣdx=x²eˣ-∫2x eˣdx=x²eˣ-2(x eˣ-eˣ)+C=x²eˣ-2x eˣ+2eˣ+C=(x²-2x+2)eˣ+C となる。
問465．∫eˣsinx dx を求めよ。
- ア．(1/2)eˣ(sinx-cosx)+C
- イ．(1/2)eˣ(sinx+cosx)+C
- ウ．eˣsinx+C
- エ．-eˣcosx+C
正解：ア．(1/2)eˣ(sinx-cosx)+C

解説：部分積分を2回行い同じ積分が現れることを利用する。結果は ∫eˣsinx dx=(1/2)eˣ(sinx-cosx)+C となる。検算で微分すると eˣsinx に戻る。
問466．∫₀^(π/2) sinx·cosx dx を求めよ。
- ア．1
- イ．1/2
- ウ．1/4
- エ．0
正解：イ．1/2

解説：t=sinx, dt=cosx dx より ∫₀¹t dt=[t²/2]₀¹=1/2。区間は x:0→π/2 で t:0→1 に変わる。よって 1/2 となる。
問467．∫√(2x+1) dx を求めよ。
- ア．(2/3)(2x+1)^(3/2)+C
- イ．(1/2)(2x+1)^(3/2)+C
- ウ．(1/3)(2x+1)^(3/2)+C
- エ．(2x+1)^(3/2)+C
正解：ウ．(1/3)(2x+1)^(3/2)+C

解説：(2x+1)^(1/2) の積分。∫(ax+b)^(1/2)dx=(1/a)·(ax+b)^(3/2)/(3/2)。a=2 より (1/2)·(2/3)(2x+1)^(3/2)=(1/3)(2x+1)^(3/2)+C となる。
問468．曲線 y=x²-1 とx軸で囲まれた部分（-1≦x≦1）の面積を求めよ。
- ア．2/3
- イ．2
- ウ．1/3
- エ．4/3
正解：エ．4/3

解説：区間で x²-1≦0 なので面積=∫₋₁¹(0-(x²-1))dx=∫₋₁¹(1-x²)dx=2∫₀¹(1-x²)dx=2(1-1/3)=4/3 となる。
問469．半径 r の球（円 x²+y²=r² の上半分を x軸回転）の体積 V を求めよ。
- ア．(4/3)πr³
- イ．(2/3)πr³
- ウ．πr³
- エ．(4/3)πr²
正解：ア．(4/3)πr³

解説：V=π∫₋ᵣ^r y²dx=π∫₋ᵣ^r(r²-x²)dx=π[r²x-x³/3]₋ᵣ^r=π·2(r³-r³/3)=π·2·(2/3)r³=(4/3)πr³ となる。球の体積公式に一致。
問470．F(x)=∫₁^x (1/t)dt とするとき F'(x) を求めよ（x>0）。
- ア．log x
- イ．1/x
- ウ．-1/x²
- エ．x
正解：イ．1/x

解説：微分積分学の基本定理 d/dx∫ₐ^x f(t)dt=f(x) より、被積分関数の t に x を代入して F'(x)=1/x となる。
問471．∫(1/(x²+1))dx=log(x²+1)+C である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは ∫(1/(x²+1))dx=arctan x+C（逆正接）である。log(x²+1) を微分すると 2x/(x²+1) となり被積分関数 1/(x²+1) と一致しないため、log(x²+1)+C は誤り。
問472．∫(1/x)dx=log|x|+C である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。n=-1 のときべき積分公式は使えず、∫(1/x)dx=log|x|+C となる。絶対値は x<0 でも定義するために付ける。微分すると 1/x に戻る。
問473．∫eˣ dx=eˣ+C である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。eˣ は微分しても積分しても形が変わらない。∫eˣ dx=eˣ+C であり、検算で (eˣ+C)'=eˣ となり被積分関数に戻る。
問474．∫sinx dx=cosx+C である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは ∫sinx dx=-cosx+C である。符号がマイナスになる。検算すると (-cosx)'=sinx だが (cosx)'=-sinx となり一致しない。
問475．∫cosx dx=sinx+C である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。∫cosx dx=sinx+C であり、検算すると (sinx+C)'=cosx となり被積分関数に戻る。cos の積分は符号がそのまま。
問476．∫(1/cos²x)dx=tanx+C である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。(tanx)'=1/cos²x なので ∫(1/cos²x)dx=tanx+C となる。tan の微分公式の逆向きである。
問477．∫₀^π sinx dx の値は 0 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは [-cosx]₀^π=-cosπ+cos0=1+1=2 である。区間 0〜π で sinx≧0 なので値は正の 2 になる。0 ではない。
問478．奇関数を原点対称な区間 [-a,a] で定積分すると 0 になる。

正解：○（正しい）

解説：正しい。奇関数 f(-x)=-f(x) は対称区間で正負が打ち消し合い ∫₋ₐ^a f(x)dx=0 となる。例えば ∫₋₁¹x³dx=0 である。
問479．偶関数では ∫₋ₐ^a f(x)dx=∫₀^a f(x)dx が成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは偶関数では ∫₋ₐ^a f(x)dx=2∫₀^a f(x)dx であり、片側の2倍になる。例 ∫₋₁¹x²dx=2∫₀¹x²dx=2/3。係数2が抜けている。
問480．x軸まわりの回転体の体積は V=π∫y²dx で求められる。

正解：○（正しい）

解説：正しい。x軸まわりの回転体は半径 y の円板を積み重ねたもので、断面積 πy² を x で積分する。V=π∫y²dx が公式である。
問481．曲線の長さは L=∫√(1+(dy/dx)²)dx で求められる。

正解：○（正しい）

解説：正しい。微小区間の弧長は √(dx²+dy²)=√(1+(dy/dx)²)dx なので、これを積分して曲線の長さが得られる。
問482．∫x²dx=x³/3+C である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。べき積分 ∫xⁿdx=x^(n+1)/(n+1)+C で n=2 とすると x³/3+C。検算すると (x³/3)'=x² で被積分関数に戻る。
問483．∫e^(2x)dx=e^(2x)+C である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは ∫e^(2x)dx=(1/2)e^(2x)+C である。係数2で割る必要がある。e^(2x)+C を微分すると 2e^(2x) となり一致しない。
問484．∫logx dx=1/x+C である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。1/x は (logx)' であり積分ではない。正しくは部分積分により ∫logx dx=x logx-x+C である。検算 (x logx-x)'=logx+1-1=logx。
問485．部分積分の公式は ∫f g' dx=fg-∫f' g dx である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。積の微分 (fg)'=f'g+fg' を移項して積分すると得られる。微分しやすい f と積分しやすい g' を選ぶのがコツである。
問486．∫₁^e (1/x)dx=e である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは [log|x|]₁^e=log e-log1=1-0=1 であり値は 1 である。e ではない。log e=1, log1=0 を用いる。
問487．∫tanx dx=log|cosx|+C である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは ∫tanx dx=-log|cosx|+C である。t=cosx 置換で符号がマイナスになる。検算 (-log|cosx|)'=-(−sinx)/cosx=tanx で正しい。
問488．2曲線 y=x, y=x² で囲まれた部分の面積は 1/3 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは交点 x=0,1 で ∫₀¹(x-x²)dx=1/2-1/3=1/6 である。面積は 1/6 であり 1/3 ではない。
問489．∫sin²x dx=(sin³x)/3+C である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは半角公式 sin²x=(1-cos2x)/2 を使い ∫sin²x dx=x/2-(sin2x)/4+C である。(sin³x)/3 を微分すると sin²x cosx となり一致しない。
問490．∫₀¹ x³ dx=1/4 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。∫x³dx=x⁴/4 より [x⁴/4]₀¹=1/4-0=1/4 となる。べき積分の基本計算である。
問491．定積分 ∫ₐ^b f(x)dx は原始関数 F を用いて F(b)-F(a) で求められる。

正解：○（正しい）

解説：正しい。微分積分学の基本定理より、原始関数 F（F'=f）を用いて ∫ₐ^b f(x)dx=F(b)-F(a) となる。上端から下端を引く。
問492．d/dx ∫ₐ^x f(t)dt=f(x) である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。微分積分学の基本定理である。積分の上端 x で微分すると被積分関数 f に x を代入した f(x) になる。定数 a は影響しない。
問493．∫(1/√x)dx=(1/2)√x+C である（x>0）。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは ∫(1/√x)dx=2√x+C である。1/√x=x^(-1/2) を積分すると x^(1/2)/(1/2)=2√x。検算 (2√x)'=1/√x で正しい。
問494．∫(2x/(x²+1))dx=log(x²+1)+C である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。分子が分母の導関数になっているので ∫(f'/f)dx=log|f|+C を適用する。x²+1>0 より log(x²+1)+C となる。
問495．∫₀² x dx の値は 4 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは ∫₀²x dx=[x²/2]₀²=4/2-0=2 である。x²/2 に上端2を代入すると2であり4ではない。底辺2高さ2の三角形の面積2とも一致。

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