資格道場
数検準2級（実用数学技能検定 準2級）「数と式・集合と命題」の一問一答
📖 数検準2級（実用数学技能検定 準2級）「数と式・集合と命題」の全75問と解説（一覧）
数検準2級（実用数学技能検定 準2級）の数と式・集合と命題に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。
-
問1．(x+3)(x-5) を展開せよ。
- ア．x^2+2x-15
- イ．x^2-2x-15
- ウ．x^2-2x+15
- エ．x^2-8x-15
正解：イ．x^2-2x-15
解説：(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab より、x^2+(3-5)x+(3)(-5)=x^2-2x-15。和の係数-2、定数項-15。
-
問2．(2x+3)^2 を展開せよ。
- ア．4x^2+12x+9
- イ．4x^2+6x+6
- ウ．2x^2+12x+6
- エ．2x^2+6x+9
正解：ア．4x^2+12x+9
解説：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 に a=2x、b=3 を代入すると、(2x)^2+2×2x×3+3^2=4x^2+12x+9 となる。(2x)^2 を 2x^2 とするのは係数の2を2乗し忘れた誤り、2ab の2を落とすと 6x、3^2 を 3×2 と計算すると 6 になる。4x^2+6x+6、2x^2+12x+6、2x^2+6x+9 はいずれもこれらの誤りを含む。x=1 を代入すると (2+3)^2=25、4+12+9=25 で一致することでも確かめられる。
根拠： 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」 第3章 第3学年 A（2）式の展開と因数分解（PDF p.141〜142：(a＋b)^2＝a^2＋2ab＋b^2 などの公式）
-
問3．(3x-2)^2 を展開せよ。
- ア．9x^2-6x+4
- イ．9x^2-12x-4
- ウ．9x^2-12x+4
- エ．6x^2-12x+4
正解：ウ．9x^2-12x+4
解説：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 より、(3x)^2-2(3x)(2)+2^2=9x^2-12x+4。
-
問4．(x+4)(x-4) を展開せよ。
- ア．x^2+16
- イ．x^2-8x-16
- ウ．x^2-8
- エ．x^2-16
正解：エ．x^2-16
解説：(a+b)(a-b)=a^2-b^2 より、x^2-4^2=x^2-16。
-
問5．(x+2)(x+5) を展開せよ。
- ア．x^2+3x+7
- イ．x^2+7x+10
- ウ．x^2+7x+7
- エ．x^2+3x+10
正解：イ．x^2+7x+10
解説：(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab の公式で a=2、b=5 とすると、x の係数は和の 2+5=7、定数項は積の 2×5=10 となり、x^2+7x+10 である。x^2+3x+10 は係数を差の 5-2=3 にしたもの、x^2+7x+7 は定数項まで和にしたもの、x^2+3x+7 は係数と定数項をともに取り違えたもので、いずれも誤り。x=1 を代入すると (1+2)(1+5)=18 で、1+7+10=18 と一致することからも確かめられる。
根拠： 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」 第3章 第3学年 A（2）式の展開と因数分解（PDF p.142：(x＋a)(x＋b)＝x^2＋(a＋b)x＋ab）
-
問6．(x-3)^2 を展開せよ。
- ア．x^2-6x+9
- イ．x^2+6x+9
- ウ．x^2-9
- エ．x^2-6x-9
正解：ア．x^2-6x+9
解説：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 より、x^2-2(3)x+3^2=x^2-6x+9。
-
問7．x^2+7x+12 を因数分解せよ。
- ア．(x+2)(x+6)
- イ．(x+1)(x+12)
- ウ．(x-3)(x-4)
- エ．(x+3)(x+4)
正解：エ．(x+3)(x+4)
解説：和が7、積が12となる2数は3と4。よって x^2+7x+12=(x+3)(x+4)。
-
問8．x^2-5x+6 を因数分解せよ。
- ア．(x-2)(x-3)
- イ．(x+2)(x+3)
- ウ．(x-1)(x-6)
- エ．(x-2)(x+3)
正解：ア．(x-2)(x-3)
解説：和が-5、積が6となる2数は-2と-3。よって x^2-5x+6=(x-2)(x-3)。
-
問9．x^2-9 を因数分解せよ。
- ア．(x-3)^2
- イ．(x+3)(x-3)
- ウ．(x+3)^2
- エ．(x+9)(x-1)
正解：イ．(x+3)(x-3)
解説：a^2-b^2=(a+b)(a-b) より、x^2-3^2=(x+3)(x-3)。
-
問10．2x^2+5x+2 を因数分解せよ。
- ア．(2x+2)(x+1)
- イ．(x+1)(x+2)
- ウ．(2x+5)(x+2)
- エ．(2x+1)(x+2)
正解：エ．(2x+1)(x+2)
解説：たすき掛けで(2x+1)(x+2)。展開すると2x^2+4x+x+2=2x^2+5x+2で一致。
-
問11．3x^2-7x+2 を因数分解せよ。
- ア．(3x-1)(x-2)
- イ．(3x-2)(x-1)
- ウ．(3x+1)(x-2)
- エ．(x-1)(3x+2)
正解：ア．(3x-1)(x-2)
解説：たすき掛けで(3x-1)(x-2)。展開すると3x^2-6x-x+2=3x^2-7x+2で一致。
-
問12．x^2-2x-8 を因数分解せよ。
- ア．(x-2)(x+4)
- イ．(x+2)(x-4)
- ウ．(x+2)(x+4)
- エ．(x-1)(x-8)
正解：イ．(x+2)(x-4)
解説：和が-2、積が-8となる2数は2と-4。よって(x+2)(x-4)。
-
問13．6x^2-x-2 を因数分解せよ。
- ア．(2x-1)(3x+2)
- イ．(6x+1)(x-2)
- ウ．(2x+1)(3x-2)
- エ．(2x+2)(3x-1)
正解：ウ．(2x+1)(3x-2)
解説：たすき掛けで(2x+1)(3x-2)。展開すると6x^2-4x+3x-2=6x^2-x-2で一致。
-
問14．x^2-x-6 を因数分解せよ。
- ア．(x-2)(x+3)
- イ．(x+1)(x-6)
- ウ．(x-2)(x-3)
- エ．(x+2)(x-3)
正解：エ．(x+2)(x-3)
解説：和-1、積-6の2数は2と-3。よって(x+2)(x-3)。
-
問15．x^2-10x+25 を因数分解せよ。
- ア．(x+5)^2
- イ．(x-5)(x+5)
- ウ．(x-5)^2
- エ．(x-25)(x-1)
正解：ウ．(x-5)^2
解説：和-10、積25の2数はともに-5。x^2-2(5)x+5^2=(x-5)^2。
-
問16．√12 を簡単にせよ。
- ア．3√2
- イ．2√6
- ウ．4√3
- エ．2√3
正解：エ．2√3
解説：√12=√(4×3)=√4×√3=2√3。12を平方数4で分解する。
-
問17．√12+√27 を簡単にせよ。
- ア．5√3
- イ．√39
- ウ．6√3
- エ．5√6
正解：ア．5√3
解説：√12=2√3、√27=√(9×3)=3√3。よって2√3+3√3=5√3。
-
問18．√50-√18 を簡単にせよ。
- ア．√32
- イ．2√2
- ウ．8√2
- エ．2√8
正解：イ．2√2
解説：√50=√(25×2)=5√2、√18=√(9×2)=3√2。よって5√2-3√2=2√2。
-
問19．√3×√6 を簡単にせよ。
- ア．√18
- イ．2√3
- ウ．3√2
- エ．3√3
正解：ウ．3√2
解説：√3×√6=√18=√(9×2)=3√2。根号同士は中身を掛けてから簡単にする。
-
問20．2/√3 を有理化せよ。
- ア．2√3
- イ．√3/2
- ウ．2√3/3
- エ．2/3
正解：ウ．2√3/3
解説：分母分子に√3を掛けて、2/√3=(2×√3)/(√3×√3)=2√3/3。
-
問21．1/(√5-√3) を有理化せよ。
- ア．(√5+√3)/2
- イ．(√5-√3)/2
- ウ．(√5+√3)/8
- エ．√5+√3
正解：ア．(√5+√3)/2
解説：分母分子に(√5+√3)を掛けると、分母は5-3=2。よって(√5+√3)/2。
-
問22．(√3+1)(√3-1) を計算せよ。
- ア．√3
- イ．2
- ウ．4
- エ．2√3
正解：イ．2
解説：(a+b)(a-b)=a^2-b^2。(√3)^2-1^2=3-1=2。
-
問23．√(3-2√2) の二重根号を外して簡単にせよ。
- ア．√2+1
- イ．√3-√2
- ウ．2-√2
- エ．√2-1
正解：エ．√2-1
解説：和3積2の2数は1と2。√(a+b-2√(ab))=√a-√b形より√(3-2√2)=√2-√1=√2-1。
-
問24．|−7| の値を求めよ。
- ア．7
- イ．-7
- ウ．0
- エ．14
正解：ア．7
解説：絶対値は数直線上の原点からの距離。|−7|=7。負の数の絶対値は符号を外した正の値。
-
問25．|3−5| の値を求めよ。
- ア．-2
- イ．2
- ウ．8
- エ．0
正解：イ．2
解説：3-5=-2なので|3-5|=|-2|=2。まず中身を計算してから絶対値をとる。
-
問26．a<0 のとき |a| を a を用いて表すと？
- ア．a
- イ．0
- ウ．-a
- エ．a^2
正解：ウ．-a
解説：a<0のとき|a|=-a（符号を反転して正にする）。例えばa=-3なら|a|=3=-(-3)=-a。
-
問27．不等式 3x-5>7 を解け。
- ア．x<4
- イ．x>2
- ウ．x>-4
- エ．x>4
正解：エ．x>4
解説：3x-5>7 → 3x>12 → x>4。両辺に5を加え、正の3で割る（不等号はそのまま）。
-
問28．不等式 5x+2≦3x-4 を解け。
- ア．x≧-3
- イ．x≦-3
- ウ．x≦3
- エ．x≦-1
正解：イ．x≦-3
解説：5x+2≦3x-4 → 2x≦-6 → x≦-3。xを左辺に集め、両辺を正の2で割る。
-
問29．不等式 (x-1)/2 + 1 > x を解け。
- ア．x>1
- イ．x<3
- ウ．x>-1
- エ．x<1
正解：エ．x<1
解説：両辺2倍：x-1+2>2x → x+1>2x → 1>x。よってx<1。
-
問30．連立不等式 x>1 かつ x<5 の解は？
- ア．1<x<5
- イ．x<1 または x>5
- ウ．x>5
- エ．x<1
正解：ア．1<x<5
解説：両方を同時に満たすxの範囲は共通部分。1<x<5。数直線で重なる区間をとる。
-
問31．方程式 |x-2|=5 の解は？
- ア．x=7, x=3
- イ．x=3, x=-3
- ウ．x=7, x=-3
- エ．x=5, x=-5
正解：ウ．x=7, x=-3
解説：x-2=5 または x-2=-5。よってx=7またはx=-3。中身=±5として解く。
-
問32．不等式 |x|<3 を解け。
- ア．x<3
- イ．x<-3 または x>3
- ウ．x>3
- エ．-3<x<3
正解：エ．-3<x<3
解説：|x|<3は原点からの距離が3未満。よって-3<x<3。「<」型は内側の範囲。
-
問33．不等式 |x|>2 を解け。
- ア．x<-2 または x>2
- イ．-2<x<2
- ウ．x>2
- エ．x<-2
正解：ア．x<-2 または x>2
解説：|x|>2は原点からの距離が2より大きい。よってx<-2 または x>2。「>」型は外側の範囲。
-
問34．不等式 |x-1|≦3 を解け。
- ア．-3≦x≦3
- イ．-2≦x≦4
- ウ．x≦4
- エ．-4≦x≦2
正解：イ．-2≦x≦4
解説：-3≦x-1≦3 → 各辺に1を加え -2≦x≦4。「≦」型は-3〜3の間に置き換える。
-
問35．全体集合U={1,2,3,4,5,6}、A={1,2,3}、B={2,3,4} のとき A∩B は？
- ア．{1,2,3,4}
- イ．{1}
- ウ．{2,3}
- エ．{4}
正解：ウ．{2,3}
解説：A∩Bは両方に共通する要素の集合。AとBに共通するのは2と3。よって{2,3}。
-
問36．A={1,2,3}、B={2,3,4} のとき A∪B は？
- ア．{2,3}
- イ．{1,4}
- ウ．{1,2,3}
- エ．{1,2,3,4}
正解：エ．{1,2,3,4}
解説：A∪Bはどちらか一方にでも含まれる要素全体。{1,2,3,4}。重複は1回だけ書く。
-
問37．全体集合U={1,2,3,4,5,6}、A={1,2,3} のとき補集合 Ā は？
- ア．{4,5,6}
- イ．{1,2,3}
- ウ．{1,2,3,4,5,6}
- エ．{ }
正解：ア．{4,5,6}
解説：補集合ĀはUの要素のうちAに属さないもの。U={1,…,6}からA={1,2,3}を除き{4,5,6}。
-
問38．集合A={1,2,3,4} の部分集合の個数はいくつか。
- ア．8
- イ．16
- ウ．15
- エ．4
正解：イ．16
解説：要素n個の集合の部分集合は2^n個。n=4なので2^4=16個（空集合とA自身を含む）。
-
問39．n(A)=12、n(B)=8、n(A∩B)=5 のとき n(A∪B) はいくつか。
- ア．20
- イ．25
- ウ．15
- エ．10
正解：ウ．15
解説：n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=12+8-5=15。重複分A∩Bを1回引く（包除原理）。
-
問40．A⊂B を満たすのは次のどの場合か。
- ア．A={1,2,3}, B={1,2}
- イ．A={1,2}, B={1,2,3}
- ウ．A={1,4}, B={1,2,3}
- エ．A={5}, B={1,2,3}
正解：イ．A={1,2}, B={1,2,3}
解説：A⊂BはAのすべての要素がBに属すること。{1,2}は{1,2,3}にすべて含まれるのでA⊂B。
-
問41．ド・モルガンの法則により、Ā∩B̄ は次のどれと等しいか。
- ア．A∪B
- イ．A∩B
- ウ．(A∪B)の補集合
- エ．(A∩B)の補集合
正解：ウ．(A∪B)の補集合
解説：ド・モルガンの法則：Ā∩B̄=(A∪B)の補集合。和集合の補集合は補集合の共通部分に等しい。
-
問42．ド・モルガンの法則により、(A∩B)の補集合 は次のどれと等しいか。
- ア．Ā∩B̄
- イ．A∪B
- ウ．A∩B
- エ．Ā∪B̄
正解：エ．Ā∪B̄
解説：ド・モルガンの法則：(A∩B)の補集合=Ā∪B̄。共通部分の補集合は補集合の和集合に等しい。
-
問43．命題「x=2 ならば x^2=4」の逆は？
- ア．x^2=4 ならば x=2
- イ．x≠2 ならば x^2≠4
- ウ．x^2≠4 ならば x≠2
- エ．x=2 ならば x^2≠4
正解：ア．x^2=4 ならば x=2
解説：命題「p→q」の逆は「q→p」。仮定と結論を入れ替える。よって「x^2=4 ならば x=2」。
-
問44．命題「x=2 ならば x^2=4」の対偶は？
- ア．x^2=4 ならば x=2
- イ．x^2≠4 ならば x≠2
- ウ．x≠2 ならば x^2≠4
- エ．x=2 ならば x^2≠4
正解：イ．x^2≠4 ならば x≠2
解説：「p→q」の対偶は「qでない→pでない」。よって「x^2≠4 ならば x≠2」。対偶は元命題と真偽が一致。
-
問45．命題「pならばq」の裏は次のどれか。
- ア．q ならば p
- イ．qでない ならば pでない
- ウ．pでない ならば qでない
- エ．q ならば pでない
正解：ウ．pでない ならば qでない
解説：「p→q」の裏は「pでない→qでない」。仮定・結論をともに否定する。
-
問46．命題「pならばq」が真のとき、必ず真であるものは？
- ア．逆（q ならば p）
- イ．裏（pでない ならば qでない）
- ウ．どれも必ず真とはいえない
- エ．対偶（qでない ならば pでない）
正解：エ．対偶（qでない ならば pでない）
解説：命題とその対偶は真偽が一致する。「p→q」が真なら対偶「qでない→pでない」も真。逆・裏は不定。
-
問47．「x>3」は「x>1」であるための何条件か。
- ア．十分条件であるが必要条件でない
- イ．必要条件であるが十分条件でない
- ウ．必要十分条件
- エ．必要条件でも十分条件でもない
正解：ア．十分条件であるが必要条件でない
解説：x>3⇒x>1は真だがx>1⇒x>3は偽。よってx>3はx>1であるための十分条件（だが必要でない）。
-
問48．「四角形が正方形である」は「四角形が長方形である」ための何条件か。
- ア．必要条件であるが十分条件でない
- イ．十分条件であるが必要条件でない
- ウ．必要十分条件
- エ．必要条件でも十分条件でもない
正解：イ．十分条件であるが必要条件でない
解説：正方形⇒長方形は真だが逆は偽。よって正方形であることは長方形であるための十分条件（必要でない）。
-
問49．「x=0 かつ y=0」は「xy=0」であるための何条件か。
- ア．必要条件であるが十分条件でない
- イ．必要十分条件
- ウ．十分条件であるが必要条件でない
- エ．必要条件でも十分条件でもない
正解：ウ．十分条件であるが必要条件でない
解説：x=0かつy=0⇒xy=0は真。逆はxy=0でもx=0,y≠0等があり偽。よって十分条件（必要でない）。
-
問50．命題「すべての実数xについて x^2>0 である」の反例として正しいものは？
- ア．x=0
- イ．x=-1
- ウ．x=2
- エ．反例は存在しない（命題は真）
正解：ア．x=0
解説：反例とは、「すべての〜について成り立つ」という命題が成り立たない例のことである。x=0 のとき x^2=0 で、0>0 は成り立たないので x=0 が反例になり、この命題は偽である。x=-1 なら x^2=1>0、x=2 なら x^2=4>0 で成り立つので反例ではない。x^2≧0 ならすべての実数で成り立ち反例は存在しないが、不等号が「>」なので x=0 が除かれず、「反例は存在しない」は誤りである。
-
問51．(x+2)(x-2)=x^2-4 である。
正解：○（正しい）
解説：(a+b)(a-b)=a^2-b^2より(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4。よって正しい。
-
問52．(x+3)^2=x^2+9 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは(x+3)^2=x^2+6x+9。中央項2×x×3=6xを忘れてはならない。
-
問53．(2x-1)^2=4x^2-4x+1 である。
正解：○（正しい）
解説：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2より(2x)^2-2(2x)(1)+1=4x^2-4x+1。よって正しい。
-
問54．x^2+5x+6 を因数分解すると (x+1)(x+6) である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは(x+2)(x+3)。和5・積6の2数は2と3であり、1と6では和が7になり一致しない。
-
問55．x^2+2x+1=(x+1)^2 である。
正解：○（正しい）
解説：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2より、x^2+2(1)x+1^2=(x+1)^2。よって正しい。
-
問56．√16=4 である。
正解：○（正しい）
解説：√16は16の正の平方根で4。4^2=16なので正しい。
-
問57．√2+√3=√5 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。根号は中身が同じでないと足せない。√2+√3はこれ以上簡単にできず、√5（≒2.24）とは異なる。
-
問58．√8=2√2 である。
正解：○（正しい）
解説：√8=√(4×2)=√4×√2=2√2。よって正しい。
-
問59．|x|≧0 はすべての実数 x について成り立つ。
正解：○（正しい）
解説：絶対値は距離を表すので常に0以上。すべての実数xで|x|≧0が成り立つ。よって正しい。
-
問60．|−3|=−3 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくは|−3|=3。絶対値は常に0以上であり、負の値にはならない。
-
問61．不等式 −x>2 の解は x<−2 である。
正解：○（正しい）
解説：−x>2の両辺を−1で割ると不等号が反転しx<−2。負の数で割ると向きが変わるので正しい。
-
問62．不等式 2x<6 の解は x>3 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくはx<3。両辺を正の2で割っても不等号の向きは変わらない。
-
問63．不等式 |x|<5 の解は −5<x<5 である。
正解：○（正しい）
解説：|x|<a（a>0）の解は−a<x<a。よって−5<x<5となり正しい。
-
問64．不等式 |x|>3 の解は −3<x<3 である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくはx<−3 または x>3。「>」型は外側、「<」型が内側の範囲になる。
-
問65．A={1,2}、B={2,3} のとき A∪B={2} である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくはA∪B={1,2,3}。和集合はどちらか一方にでも含まれる要素全体を集める。
-
問66．空集合はあらゆる集合の部分集合である。
正解：○（正しい）
解説：空集合は任意の集合の部分集合と定義される。要素が無いため部分集合の条件を自動的に満たす。よって正しい。
-
問67．n(A∪B)=n(A)+n(B)+n(A∩B) である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。正しくはn(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)。重複して数えた共通部分は加えるのでなく引く。
-
問68．命題とその対偶の真偽は必ず一致する。
正解：○（正しい）
解説：命題「p→q」と対偶「qでない→pでない」は論理的に同値で、真偽は常に一致する。よって正しい。
-
問69．命題が真ならば、その逆も必ず真である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。命題が真でも逆が真とは限らない。例「x=2→x^2=4」は真だが逆「x^2=4→x=2」はx=-2で偽。
-
問70．「x>5」は「x>0」であるための十分条件である。
正解：○（正しい）
解説：x>5⇒x>0は真だが逆は偽。よってx>5はx>0であるための十分条件であり正しい。
-
問71．「x>0」は「x>5」であるための十分条件である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。x>0⇒x>5は偽（例x=1）。x>0はx>5の必要条件であって十分条件ではない。
-
問72．「x^2=9」は「x=3」であるための必要条件である。
正解：○（正しい）
解説：x=3⇒x^2=9は真なので、x^2=9はx=3であるための必要条件であり正しい（逆はx=-3で偽なので十分でない）。
-
問73．「nが偶数」は「nが4の倍数」であるための十分条件である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。偶数⇒4の倍数は偽（例n=2）。偶数は4の倍数であるための必要条件であり十分条件ではない。
-
問74．命題「x=1ならばx^2=1」の逆「x^2=1ならばx=1」は真である。
正解：×（誤り）
解説：誤り。逆「x^2=1ならばx=1」はx=-1のとき成り立たず偽。x^2=1の解はx=±1なので反例x=-1が存在する。
-
問75．命題「すべての実数 x について x+1>x である」は真である。
正解：○（正しい）
解説：任意の実数xでx+1はxより1大きいので必ずx+1>x。すべての実数で成り立つので真であり正しい。