数検準2級（実用数学技能検定準2級）「整数の性質・図形の性質・データの分析」の一問一答

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📖 数検準2級（実用数学技能検定準2級）「整数の性質・図形の性質・データの分析」の全75問と解説（一覧）

数検準2級（実用数学技能検定準2級）の整数の性質・図形の性質・データの分析に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

問1．12と18の最大公約数(GCD)を求めよ。
- ア．6
- イ．3
- ウ．12
- エ．36
正解：ア．6

解説：12=2^2×3、18=2×3^2と素因数分解する。共通因数は2と3で指数は小さい方をとり2×3=6となる。よってGCDは6である。
問2．12と18の最小公倍数(LCM)を求めよ。
- ア．36
- イ．6
- ウ．18
- エ．72
正解：ア．36

解説：12=2^2×3、18=2×3^2と分解する。LCMは各素因数の指数の大きい方をとり2^2×3^2=4×9=36となる。よってLCMは36である。
問3．24と36の最大公約数(GCD)を求めよ。
- ア．6
- イ．18
- ウ．72
- エ．12
正解：エ．12

解説：24=2^3×3、36=2^2×3^2と分解する。共通因数の小さい指数をとり2^2×3=4×3=12となる。よってGCDは12である。
問4．24と36の最小公倍数(LCM)を求めよ。
- ア．12
- イ．48
- ウ．144
- エ．72
正解：エ．72

解説：24=2^3×3、36=2^2×3^2と分解する。LCMは大きい指数をとり2^3×3^2=8×9=72となる。よってLCMは72である。
問5．72を素因数分解した形として正しいものを選べ。
- ア．2^3×3^2
- イ．2^2×3^3
- ウ．2^4×3
- エ．2×3^3
正解：ア．2^3×3^2

解説：72=2×36=2×2×18=2×2×2×9=2^3×3^2と順に割っていく。検算すると2^3×3^2=8×9=72で一致する。よって正しい。
問6．360を素因数分解した形として正しいものを選べ。
- ア．2^2×3^2×5
- イ．2^3×3×5^2
- ウ．2^4×3×5
- エ．2^3×3^2×5
正解：エ．2^3×3^2×5

解説：360=2^3×45=2^3×(9×5)=2^3×3^2×5と分解する。検算すると8×9×5=360で一致する。よってこの形が正しい。
問7．36の正の約数の個数を求めよ。
- ア．6個
- イ．8個
- ウ．12個
- エ．9個
正解：エ．9個

解説：36=2^2×3^2と分解する。約数の個数は各指数に1を加えて掛けるので(2+1)(2+1)=3×3=9個となる。よって9個である。
問8．60の正の約数の個数を求めよ。
- ア．12個
- イ．10個
- ウ．8個
- エ．16個
正解：ア．12個

解説：60=2^2×3×5と分解する。約数の個数は(2+1)(1+1)(1+1)=3×2×2=12個となる。各指数に1を加えて掛けた。よって12個である。
問9．ユークリッドの互除法で1071と1029の最大公約数(GCD)を求めよ。
- ア．21
- イ．3
- ウ．7
- エ．42
正解：ア．21

解説：1071=1029×1+42、1029=42×24+21、42=21×2+0と割り算を繰り返す。0でない最後の余り21がGCDである。よって21となる。
問10．ユークリッドの互除法で319と377の最大公約数(GCD)を求めよ。
- ア．11
- イ．13
- ウ．58
- エ．29
正解：エ．29

解説：377=319×1+58、319=58×5+29、58=29×2+0と計算する。0でない最後の余り29がGCDである。よって29となる。
問11．不定方程式2x+3y=7の整数解の1つとして正しいものを選べ。
- ア．(x,y)=(2,1)
- イ．(x,y)=(1,2)
- ウ．(x,y)=(-1,2)
- エ．(x,y)=(3,-1)
正解：ア．(x,y)=(2,1)

解説：x=2、y=1を代入すると2×2+3×1=4+3=7で成り立つ。(1,2)は8、(-1,2)は4、(3,-1)は3となり等式を満たさない。よって(x,y)=(2,1)が解である。
問12．不定方程式5x-3y=1において、x=2のときyの値を求めよ。
- ア．2
- イ．4
- ウ．-3
- エ．3
正解：エ．3

解説：5×2-3y=1より10-3y=1となる。これを解くと3y=9、y=3。代入して10-9=1で成り立つ。よってyは3である。
問13．2進法の1011(2)を10進法で表すといくつか。
- ア．11
- イ．9
- ウ．13
- エ．23
正解：ア．11

解説：各桁の重みを掛けて1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=8+0+2+1=11と計算する。よって10進法では11である。
問14．10進法の13を2進法で表すとどうなるか。
- ア．1011(2)
- イ．1110(2)
- ウ．1001(2)
- エ．1101(2)
正解：エ．1101(2)

解説：13=8+4+1=2^3+2^2+2^0なので各桁は1101(2)となる。検算すると8+4+0+1=13で一致する。よって1101(2)である。
問15．10進法の25を2進法で表すとどうなるか。
- ア．11001(2)
- イ．10011(2)
- ウ．11011(2)
- エ．10101(2)
正解：ア．11001(2)

解説：25=16+8+1=2^4+2^3+2^0なので各桁は11001(2)となる。検算すると16+8+0+0+1=25で一致する。よって11001(2)である。
問16．三角形の3本の中線が交わる1点を何というか。
- ア．重心
- イ．内心
- ウ．外心
- エ．垂心
正解：ア．重心

解説：各頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線という。3本の中線の交点を重心といい、各中線を頂点側から2:1に内分する。
問17．三角形の3つの内角の二等分線が交わる1点を何というか。
- ア．内心
- イ．外心
- ウ．重心
- エ．垂心
正解：ア．内心

解説：3つの内角の二等分線の交点を内心という。内心は三角形に内接する円である内接円の中心であり、3辺から等距離にある。
問18．三角形の3辺の垂直二等分線が交わる1点を何というか。
- ア．内心
- イ．重心
- ウ．垂心
- エ．外心
正解：エ．外心

解説：3辺の垂直二等分線の交点を外心という。外心は三角形の外接円の中心であり、3つの頂点から等距離にある点である。
問19．三角形ABCの重心をGとし、頂点Aと辺BCの中点Mを結ぶ中線AM上にGがある。AG:GMの比を求めよ。
- ア．1:1
- イ．1:2
- ウ．3:1
- エ．2:1
正解：エ．2:1

解説：重心は中線を頂点側から2:1に内分する性質がある。よって頂点AからGまでとGからMまでの比はAG:GM=2:1である。
問20．中線の長さが9である三角形で、重心Gから頂点までの距離(長い方)はいくらか。
- ア．6
- イ．4.5
- ウ．3
- エ．9
正解：ア．6

解説：重心は中線を頂点側から2:1に内分するので、頂点側の長さは中線の2/3である。9×2/3=6となる。よって距離は6である。
問21．三角形ABCの辺BC、CA、AB上(またはその延長)の点P、Q、Rが1直線上にあるとき成り立つ定理は何か。
- ア．チェバの定理
- イ．メネラウスの定理
- ウ．方べきの定理
- エ．接弦定理
正解：イ．メネラウスの定理

解説：1直線が三角形の3辺またはその延長を切るときの比の積に関する関係を示すのはメネラウスの定理である。積は1になる。
問22．三角形ABCで3頂点と対辺上の点を結ぶ3直線が1点で交わるとき(BP/PC)×(CQ/QA)×(AR/RB)=1が成り立つ定理は何か。
- ア．メネラウスの定理
- イ．方べきの定理
- ウ．チェバの定理
- エ．中点連結定理
正解：ウ．チェバの定理

解説：三角形の3頂点から対辺上の点へ引いた3直線が1点で交わるための条件を示すのはチェバの定理である。比の積は1になる。
問23．三角形ABCでチェバの定理(BP/PC)×(CQ/QA)×(AR/RB)=1において、BP/PC=2、CQ/QA=3のときAR/RBの値を求めよ。
- ア．6
- イ．1/6
- ウ．5
- エ．1/5
正解：イ．1/6

解説：2×3×(AR/RB)=1より6×(AR/RB)=1となる。これを解くとAR/RB=1/6である。チェバの定理を用いた。よって1/6となる。
問24．円の外部の点Pから引いた2本の割線について、各割線上の2交点までの距離の積が一定であることを示す定理は何か。
- ア．接弦定理
- イ．方べきの定理
- ウ．円周角の定理
- エ．メネラウスの定理
正解：イ．方べきの定理

解説：点Pを通る2直線が円と交わるとき、各直線でのPからの2交点までの積が等しいことを示すのが方べきの定理である。
問25．円の弦と接線がつくる角が、その角の内部にある弧に対する円周角に等しいことを示す定理は何か。
- ア．方べきの定理
- イ．接弦定理
- ウ．中心角の定理
- エ．チェバの定理
正解：イ．接弦定理

解説：接線と弦のつくる角が、その弦に対する円周角に等しいことを示すのは接弦定理である。円の接線に関する重要定理である。
問26．円Oで弧ABに対する中心角が80度のとき、同じ弧ABに対する円周角は何度か。
- ア．20度
- イ．40度
- ウ．80度
- エ．160度
正解：イ．40度

解説：円周角の定理より、円周角は同じ弧に対する中心角の半分に等しい。80÷2=40となる。よって円周角は40度である。
問27．円周角の定理より、半円の弧(直径)に対する円周角は何度か。
- ア．45度
- イ．60度
- ウ．120度
- エ．90度
正解：エ．90度

解説：直径に対する中心角は180度である。円周角はその半分だから180÷2=90度となる。これはタレスの定理とも呼ばれる。
問28．円の外部の点Pから円に接線PTを引き、別の割線がPでA,Bと交わるとき方べきの定理はどう表せるか。
- ア．PT=PA+PB
- イ．PT^2=PA+PB
- ウ．PT^2=PA×PB
- エ．PT=PA×PB
正解：ウ．PT^2=PA×PB

解説：接線の場合の方べきの定理は、接線長の平方が割線の積に等しいことを表しPT^2=PA×PBとなる。よってこの式が正しい。
問29．データ 2,4,4,6,9 の平均値を求めよ。
- ア．4
- イ．6
- ウ．5
- エ．25
正解：ウ．5

解説：合計は2+4+4+6+9=25である。データ数は5個なので平均は25÷5=5となる。データの総和を個数で割って求めた。よって5である。
問30．データ 1,3,3,6,7,8,9 の中央値(メジアン)を求めよ。
- ア．3
- イ．7
- ウ．6
- エ．5
正解：ウ．6

解説：データは小さい順に並んでおり7個である。中央値は(7+1)/2=4番目の値で6となる。データ数が奇数なので中央の値をとる。よって6である。
問31．データ 2,4,6,8 の中央値(メジアン)を求めよ。
- ア．4
- イ．6
- ウ．10
- エ．5
正解：エ．5

解説：データ数は4個で偶数である。中央の2つは4と6なので、その平均(4+6)/2=5が中央値となる。よって中央値は5である。
問32．データ 2,3,3,3,5,7,8 の最頻値(モード)を求めよ。
- ア．2
- イ．3
- ウ．5
- エ．8
正解：イ．3

解説：各値の出現回数を数えると、3が3回で最も多く出現している。最頻値は最も多く現れる値である。よって最頻値は3である。
問33．データ 4,7,7,10,15,18 の範囲(レンジ)を求めよ。
- ア．11
- イ．7
- ウ．14
- エ．18
正解：ウ．14

解説：範囲は最大値から最小値を引いた値である。最大は18、最小は4なので18-4=14となる。よってデータの範囲は14である。
問34．データ 1,2,4,5,7,9,11,13 の第1四分位数(Q1)を求めよ。
- ア．2
- イ．4
- ウ．3
- エ．5
正解：ウ．3

解説：8個を前半1,2,4,5と後半7,9,11,13に分ける。前半の中央値は(2+4)/2=3である。Q1は前半の中央値なので3となる。
問35．データ 1,2,4,5,7,9,11,13 の第3四分位数(Q3)を求めよ。
- ア．9
- イ．11
- ウ．12
- エ．10
正解：エ．10

解説：8個を前半と後半に分け、後半7,9,11,13の中央値を求める。(9+11)/2=10である。Q3は後半の中央値なので10となる。
問36．第1四分位数Q1=3、第3四分位数Q3=10のとき四分位範囲(IQR)を求めよ。
- ア．3.5
- イ．7
- ウ．13
- エ．10
正解：イ．7

解説：四分位範囲はQ3からQ1を引いた値で求める。10-3=7となる。データの中央50%の散らばりを表す指標である。よって7である。
問37．データ 2,4,6 の分散s^2を求めよ。
- ア．2
- イ．8/3
- ウ．4
- エ．8
正解：イ．8/3

解説：平均は(2+4+6)/3=4である。偏差は-2,0,2でその2乗は4,0,4となる。分散s^2=(4+0+4)/3=8/3となる。よって8/3である。
問38．あるデータの分散s^2が9のとき、標準偏差sを求めよ。
- ア．3
- イ．4.5
- ウ．81
- エ．9
正解：ア．3

解説：標準偏差は分散の正の平方根として求められる。s=√9=3となる。分散は標準偏差の2乗の関係にある。よって標準偏差sは3である。
問39．変量xの分散を求める公式として正しいものを選べ。
- ア．(xの平均)^2-(x^2の平均)
- イ．(x^2の平均)-(xの平均)^2
- ウ．(xの平均)-(x^2の平均)
- エ．(x^2の平均)+(xの平均)^2
正解：イ．(x^2の平均)-(xの平均)^2

解説：分散s^2は(2乗の平均)から(平均の2乗)を引いた値、すなわちx^2の平均からxの平均の2乗を引いて求められる。展開公式から導かれる。
問40．2つの変量x、yの共分散をsxy、標準偏差をsx、syとするとき、相関係数rを表す式として正しいものを選べ。
- ア．r=sx×sy/sxy
- イ．r=sxy/(sx+sy)
- ウ．r=sxy/(sx×sy)
- エ．r=sx×sy×sxy
正解：ウ．r=sxy/(sx×sy)

解説：相関係数rは共分散を各標準偏差の積で割ったもので、r=sxy/(sx×sy)と定義される。値は-1以上1以下の範囲をとる。
問41．相関係数rの値がとりうる範囲として正しいものを選べ。
- ア．0以上1以下
- イ．-1以上1以下
- ウ．-1以上0以下
- エ．制限なし
正解：イ．-1以上1以下

解説：相関係数rは必ず-1以上1以下の値をとる。1に近いほど強い正の相関、-1に近いほど強い負の相関を示す指標である。よってこの範囲が正しい。
問42．散布図で点が右上がりに集まり、強い正の相関があるとき、相関係数rの値に最も近いものを選べ。
- ア．0
- イ．-0.5
- ウ．-0.9
- エ．0.9
正解：エ．0.9

解説：強い正の相関では点が右上がりの直線に近く集まる。このとき相関係数rは1に近い正の値をとる。よって0.9が最も近い値である。
問43．散布図で2つの変量に強い負の相関があるとき、相関係数rの値に最も近いものを選べ。
- ア．0.9
- イ．-0.9
- ウ．0.5
- エ．0
正解：イ．-0.9

解説：強い負の相関では点が右下がりの直線に近く集まる。このとき相関係数rは-1に近い負の値をとる。よって-0.9が最も近い値である。
問44．共分散sxy=12、標準偏差sx=4、sy=5のとき相関係数rを求めよ。
- ア．0.48
- イ．0.6
- ウ．1.2
- エ．0.3
正解：イ．0.6

解説：相関係数の式r=sxy/(sx×sy)に代入すると12/(4×5)=12/20=0.6となる。共分散を標準偏差の積で割って求めた。よってrは0.6である。
問45．箱ひげ図で箱の中に引かれる縦線が表す値は何か。
- ア．平均値
- イ．最大値
- ウ．中央値
- エ．最頻値
正解：ウ．中央値

解説：箱ひげ図の箱はQ1からQ3までを表し、箱の中の縦線は中央値である第2四分位数Q2を表す。データの中心を示す位置である。
問46．箱ひげ図で箱の左端と右端が表す値の組み合わせとして正しいものを選べ。
- ア．最小値と最大値
- イ．平均値と中央値
- ウ．Q1とQ3
- エ．Q1と中央値
正解：ウ．Q1とQ3

解説：箱ひげ図の箱の左端は第1四分位数Q1、右端は第3四分位数Q3を表す。箱の幅が四分位範囲にあたる。よってQ1とQ3が正しい。
問47．データ 5,8,8,11,13 の偏差の総和を求めよ。
- ア．0
- イ．5
- ウ．9
- エ．45
正解：ア．0

解説：平均は(5+8+8+11+13)/5=45/5=9である。偏差は-4,-1,-1,2,4でその和は0となる。偏差の総和は常に0になる性質がある。よって0である。
問48．10個のデータの平均が6、別の10個のデータの平均が10のとき、合わせた20個のデータの平均を求めよ。
- ア．7
- イ．16
- ウ．8
- エ．10
正解：ウ．8

解説：各群の合計は10×6=60と10×10=100である。総和は160でデータ数は20個なので平均は160÷20=8となる。よって平均は8である。
問49．変量xの各データに一律で5を加えて新しい変量を作ったとき、平均はどう変化するか。
- ア．変わらない
- イ．5倍になる
- ウ．5増える
- エ．25増える
正解：ウ．5増える

解説：全データに定数aを加えると平均もaだけ増える。5を加えるので平均は5増える。なお偏差は変わらないため分散は変化しない。よって5増える。
問50．変量xの各データを一律で3倍したとき、標準偏差はどう変化するか。
- ア．変わらない
- イ．9倍になる
- ウ．3倍になる
- エ．3増える
正解：ウ．3倍になる

解説：全データをa倍すると標準偏差は|a|倍になり、分散はa^2倍になる。3倍なので標準偏差は3倍になる。よって3倍が正しい。
問51．三角形の重心は、3本の中線を頂点側から2:1に内分する点である。

正解：○（正しい）

解説：重心は3本の中線の交点であり、各中線を頂点側から2:1の比に内分する性質をもつ。よってこの記述は正しい。
問52．三角形の外心は、3辺の垂直二等分線の交点であり、3つの頂点から等距離にある。

正解：○（正しい）

解説：外心は3辺の垂直二等分線の交点で、三角形の外接円の中心である。3頂点から等距離にある。よってこの記述は正しい。
問53．三角形の内心は、3つの内角の二等分線の交点であり、3辺から等距離にある。

正解：○（正しい）

解説：内心は3つの内角の二等分線の交点で、三角形の内接円の中心である。3辺から等距離にある。よってこの記述は正しい。
問54．円周角の大きさは、同じ弧に対する中心角の半分に等しい。

正解：○（正しい）

解説：円周角の定理より、同じ弧に対する円周角はその弧に対する中心角の半分の大きさになる。よってこの記述は正しい。
問55．2つの自然数a、bについて、最大公約数と最小公倍数の積はa×bに等しい。

正解：○（正しい）

解説：2つの自然数の最大公約数(GCD)と最小公倍数(LCM)の積は、もとの2数の積a×bに等しい。よってこの記述は正しい。
問56．メネラウスの定理は、1本の直線が三角形の3辺(またはその延長)を切るときに成り立つ比の関係である。

正解：○（正しい）

解説：メネラウスの定理は1本の直線が三角形の3辺またはその延長を切るときの比の積が1になる関係を示す。よってこの記述は正しい。
問57．方べきの定理より、円外の点Pからの接線の長さをPT、割線の交点までをPA、PBとするとPT^2=PA×PBが成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：接線の場合の方べきの定理は、接線長の平方が割線の2交点までの積に等しくPT^2=PA×PBとなる。よってこの記述は正しい。
問58．データのすべての値に同じ定数を加えても、分散の値は変わらない。

正解：○（正しい）

解説：全データに定数を加えると平均はその分ずれるが、各偏差は変わらない。したがって分散も変化しない。よってこの記述は正しい。
問59．偏差(各データから平均を引いた値)の総和は、つねに0になる。

正解：○（正しい）

解説：偏差の総和は平均の定義から必ず0になる。正の偏差と負の偏差が打ち消し合うためである。よってこの記述は正しい。
問60．標準偏差は、分散の正の平方根として求められる。

正解：○（正しい）

解説：標準偏差sは分散s^2の正の平方根として定義され、s=√(s^2)で求められる。単位がもとのデータと一致する。よってこの記述は正しい。
問61．相関係数rの値は、つねに-1以上1以下の範囲にある。

正解：○（正しい）

解説：相関係数rは定義より必ず-1以上1以下の値をとる。絶対値が1に近いほど直線的な相関が強いことを示す。よってこの記述は正しい。
問62．箱ひげ図の箱の中の縦線は、データの中央値を表す。

正解：○（正しい）

解説：箱ひげ図の箱の中に引かれる縦線は中央値である第2四分位数を表す。箱の両端はQ1とQ3である。よってこの記述は正しい。
問63．ユークリッドの互除法は、割り算の余りを繰り返し用いて2数の最大公約数を求める方法である。

正解：○（正しい）

解説：ユークリッドの互除法は割り算の余りを次々と用い、余りが0になる直前の数を最大公約数とする方法である。よってこの記述は正しい。
問64．三角形の重心は、3本の中線を頂点側から1:1に内分する点である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは重心は3本の中線の交点であり、各中線を頂点側から2:1に内分する点である。中点のように1:1で内分するわけではない。
問65．三角形の内心は、3辺の垂直二等分線の交点である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは内心は3つの内角の二等分線の交点である。3辺の垂直二等分線の交点は外心であり、内心とは別の点である点に注意する。
問66．三角形の外心は外接円の中心であり、つねに三角形の内部にある。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは鈍角三角形では外心は三角形の外部にあり、直角三角形では斜辺の中点にある。常に内部にあるとは限らない。
問67．直径に対する円周角の大きさは60度である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは直径すなわち半円の弧に対する円周角は90度である。中心角180度の半分にあたるためである。
問68．12と18の最小公倍数(LCM)は6である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは12と18の最小公倍数は2^2×3^2=36である。6はこの2数の最大公約数(GCD)の値である。
問69．36=2^2×3^2の正の約数の個数は6個である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは約数の個数は各指数に1を加えて掛けるので(2+1)(2+1)=3×3=9個である。6個ではなく9個が正しい。
問70．ユークリッドの互除法は、2数の和を繰り返し用いて最大公約数を求める方法である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはユークリッドの互除法は割り算の余りを繰り返し用いて最大公約数を求める方法である。和は用いない。
問71．2進法の1010(2)は、10進法で表すと8である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは1010(2)=1×8+0×4+1×2+0×1=10である。10進法では8ではなく10になる。
問72．データの範囲(レンジ)は、最大値と最小値の和で求められる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはデータの範囲は最大値から最小値を引いた差で求められる。最大値と最小値の和ではなく差を計算する散らばりの指標である。
問73．四分位範囲は、第3四分位数Q3と第1四分位数Q1の和(Q3+Q1)である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは四分位範囲はQ3からQ1を引いた差(Q3-Q1)で求められる。和ではなく差で計算し、中央50%の散らばりを表す。
問74．データの各値をすべて2倍すると、分散はもとの2倍になる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは各値をa倍すると分散はa^2倍になる。したがって2倍した場合は分散はもとの2^2=4倍になる。2倍ではない。
問75．相関係数rが0に近いほど、2つの変量の間に強い相関があるといえる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはrが0に近いほど相関は弱いといえる。相関係数の値が1または-1に近いほど強い相関があることを示す指標である。

数検準2級（実用数学技能検定 準2級）「整数の性質・図形の性質・データの分析」の一問一答

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数検準2級（実用数学技能検定準2級）「整数の性質・図形の性質・データの分析」の一問一答