数検準2級（実用数学技能検定 準2級）「図形と計量（三角比）」の一問一答

数検準2級（実用数学技能検定 準2級）の図形と計量（三角比）に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．sin30° の値を求めよ。

   • ア．1/2
   • イ．√3/2
   • ウ．1
   • エ．√2/2

   正解：ア．1/2

   解説：30°60°90°の直角三角形の辺の比は1:√3:2であり、sin30°=対辺/斜辺=1/2となる。基本値として暗記する。

2. 問2．cos60° の値を求めよ。

   • ア．√3/2
   • イ．1/2
   • ウ．√2/2
   • エ．1

   正解：イ．1/2

   解説：cos60°=隣辺/斜辺で、30°60°90°の三角比では60°の隣辺は短い辺なのでcos60°=1/2となる。sin30°と同値。

3. 問3．tan45° の値を求めよ。

   • ア．1
   • イ．√2
   • ウ．1/2
   • エ．√3

   正解：ア．1

   解説：45°45°90°の直角二等辺三角形は辺の比1:1:√2であり、tan45°=対辺/隣辺=1/1=1となる。基本値である。

4. 問4．sin60° の値を求めよ。

   • ア．1/2
   • イ．√3/2
   • ウ．√2/2
   • エ．1

   正解：イ．√3/2

   解説：30°60°90°の辺の比1:√3:2より、60°の対辺は√3で斜辺は2。よってsin60°=対辺/斜辺=√3/2となる。

5. 問5．cos30° の値を求めよ。

   • ア．1/2
   • イ．√2/2
   • ウ．√3/2
   • エ．1/√3

   正解：ウ．√3/2

   解説：cos30°=隣辺/斜辺で、30°の隣辺は√3、斜辺は2なのでcos30°=√3/2となる。これはsin60°と同じ値である。

6. 問6．tan60° の値を求めよ。

   • ア．1/√3
   • イ．1
   • ウ．√3/2
   • エ．√3

   正解：エ．√3

   解説：tan60°=sin60°/cos60°=(√3/2)/(1/2)=√3となる。または対辺√3を隣辺1で割って√3として求まる。

7. 問7．sin45° の値を求めよ。

   • ア．√2/2
   • イ．1/2
   • ウ．√3/2
   • エ．1

   正解：ア．√2/2

   解説：直角二等辺三角形の辺の比1:1:√2より、sin45°=対辺/斜辺=1/√2=√2/2となる。有理化して表すのが普通。

8. 問8．tan30° の値を求めよ。

   • ア．√3
   • イ．√3/3
   • ウ．1/2
   • エ．√2/2

   正解：イ．√3/3

   解説：tan30°=sin30°/cos30°=(1/2)/(√3/2)=1/√3=√3/3となる。30°の対辺1を隣辺√3で割った値である。

9. 問9．cos45° の値を求めよ。

   • ア．1/2
   • イ．√3/2
   • ウ．√2/2
   • エ．1

   正解：ウ．√2/2

   解説：直角二等辺三角形で隣辺と対辺は等しく1、斜辺は√2である。よってcos45°=1/√2=√2/2となりsin45°と同値。

10. 問10．sin90° の値を求めよ。

    • ア．0
    • イ．1/2
    • ウ．√3/2
    • エ．1

    正解：エ．1

    解説：単位円で90°のy座標が1なのでsin90°=1である。角を大きくするとsinは0から1へ増加し90°で最大となる。

11. 問11．cos90° の値を求めよ。

    • ア．0
    • イ．1
    • ウ．1/2
    • エ．√2/2

    正解：ア．0

    解説：単位円で90°のx座標が0なのでcos90°=0である。cosは0°で1、90°で0へと単調に減少していく値である。

12. 問12．sin120° の値を求めよ。

    • ア．-√3/2
    • イ．√3/2
    • ウ．1/2
    • エ．-1/2

    正解：イ．√3/2

    解説：sin(180°-θ)=sinθより、sin120°=sin(180°-60°)=sin60°=√3/2となる。鈍角のsinは正のままになる。

13. 問13．cos120° の値を求めよ。

    • ア．1/2
    • イ．√3/2
    • ウ．-1/2
    • エ．-√3/2

    正解：ウ．-1/2

    解説：cos(180°-θ)=-cosθより、cos120°=-cos60°=-1/2となる。鈍角のcosは負になる点に注意する必要がある。

14. 問14．sin150° の値を求めよ。

    • ア．-1/2
    • イ．√3/2
    • ウ．-√3/2
    • エ．1/2

    正解：エ．1/2

    解説：sin(180°-θ)=sinθより、sin150°=sin(180°-30°)=sin30°=1/2となる。鈍角でもsinは正の値をとる。

15. 問15．cos150° の値を求めよ。

    • ア．-√3/2
    • イ．√3/2
    • ウ．1/2
    • エ．-1/2

    正解：ア．-√3/2

    解説：cos(180°-θ)=-cosθより、cos150°=-cos30°=-√3/2となる。鈍角のcosは負になることを確認する。

16. 問16．tan135° の値を求めよ。

    • ア．1
    • イ．-1
    • ウ．√3
    • エ．-√3

    正解：イ．-1

    解説：tan(180°-θ)=-tanθより、tan135°=-tan45°=-1となる。鈍角のtanは負になることに注意する。

17. 問17．tan120° の値を求めよ。

    • ア．√3
    • イ．1/√3
    • ウ．-√3
    • エ．-1/√3

    正解：ウ．-√3

    解説：tan120°=sin120°/cos120°=(√3/2)/(-1/2)=-√3となる。または-tan60°=-√3として求めることもできる。

18. 問18．cosθ=-1/2 (0°≦θ≦180°) を満たす θ を求めよ。

    • ア．60°
    • イ．135°
    • ウ．150°
    • エ．120°

    正解：エ．120°

    解説：cosが-1/2となる参照角は60°で、鈍角範囲ではcos120°=-cos60°=-1/2となる。よってθ=120°が答えである。

19. 問19．sinθ=1/2 (0°≦θ≦180°) を満たす θ を全て求めよ。

    • ア．30°,150°
    • イ．30°のみ
    • ウ．150°のみ
    • エ．30°,120°

    正解：ア．30°,150°

    解説：sin30°=1/2、またsin150°=sin(180°-30°)=1/2である。よってθ=30°と150°の2つが解となる。

20. 問20．sin^2θ+cos^2θ の値を求めよ。

    • ア．0
    • イ．1
    • ウ．1/2
    • エ．2

    正解：イ．1

    解説：三角比の相互関係よりsin^2θ+cos^2θ=1が常に成り立つ。これは三平方の定理に由来する最も基本的な公式である。

21. 問21．sinθ=3/5 (θは鋭角) のとき、cosθ の値を求めよ。

    • ア．3/5
    • イ．5/4
    • ウ．4/5
    • エ．5/3

    正解：ウ．4/5

    解説：cos^2θ=1-sin^2θ=1-9/25=16/25となる。θは鋭角でcosθ>0だからcosθ=√(16/25)=4/5である。

22. 問22．cosθ=12/13 (θは鋭角) のとき、sinθ の値を求めよ。

    • ア．12/13
    • イ．13/5
    • ウ．13/12
    • エ．5/13

    正解：エ．5/13

    解説：sin^2θ=1-cos^2θ=1-144/169=25/169となる。鋭角でsinθ>0よりsinθ=√(25/169)=5/13である。

23. 問23．sinθ=3/5、cosθ=4/5 のとき、tanθ の値を求めよ。

    • ア．3/4
    • イ．4/3
    • ウ．5/3
    • エ．5/4

    正解：ア．3/4

    解説：tanθ=sinθ/cosθ=(3/5)/(4/5)=3/4となる。sinをcosで割ると分母分子の5が消えて3/4になる。

24. 問24．tanθ=2 (θは鋭角) のとき、1/cos^2θ の値を求めよ。

    • ア．3
    • イ．5
    • ウ．4
    • エ．6

    正解：イ．5

    解説：公式1+tan^2θ=1/cos^2θより、1/cos^2θ=1+2^2=1+4=5となる。三角比の相互関係の重要公式である。

25. 問25．1+tan^2θ を1つの三角比で表すとどうなるか。

    • ア．1/sin^2θ
    • イ．1/tan^2θ
    • ウ．1/cos^2θ
    • エ．sin^2θ

    正解：ウ．1/cos^2θ

    解説：sin^2θ+cos^2θ=1の両辺をcos^2θで割るとtan^2θ+1=1/cos^2θとなる。よって1+tan^2θ=1/cos^2θである。

26. 問26．cosθ=-3/5 (θは鈍角) のとき、sinθ の値を求めよ。

    • ア．-4/5
    • イ．3/5
    • ウ．-3/5
    • エ．4/5

    正解：エ．4/5

    解説：sin^2θ=1-cos^2θ=1-9/25=16/25となる。鈍角でもsinθ>0だからsinθ=√(16/25)=4/5である。

27. 問27．sinθ+cosθ=1/2 のとき、sinθcosθ の値を求めよ。

    • ア．-3/8
    • イ．3/8
    • ウ．-3/4
    • エ．1/8

    正解：ア．-3/8

    解説：両辺2乗し(sinθ+cosθ)^2=1+2sinθcosθ=1/4。よって2sinθcosθ=1/4-1=-3/4、sinθcosθ=-3/8である。

28. 問28．三角形ABCで a=√3、A=60° のとき、外接円の半径 R を正弦定理で求めよ。

    • ア．1/2
    • イ．1
    • ウ．√3
    • エ．2

    正解：イ．1

    解説：正弦定理a/sinA=2Rより2R=√3/sin60°=√3/(√3/2)=2となる。よってR=1が外接円の半径である。

29. 問29．三角形ABCで a=4、A=30° のとき、外接円の半径 R を求めよ。

    • ア．2
    • イ．8
    • ウ．4
    • エ．16

    正解：ウ．4

    解説：正弦定理a/sinA=2Rより2R=4/sin30°=4/(1/2)=8となる。よってR=4が外接円の半径である。

30. 問30．三角形ABCで a=6、A=45° のとき、外接円の半径 R を求めよ。

    • ア．6√2
    • イ．3
    • ウ．6
    • エ．3√2

    正解：エ．3√2

    解説：正弦定理より2R=a/sinA=6/sin45°=6/(√2/2)=12/√2=6√2となる。よってR=3√2である。

31. 問31．三角形ABCで A=45°、B=60°、a=2 のとき、辺 b を正弦定理で求めよ。

    • ア．√6
    • イ．√3
    • ウ．2√3
    • エ．2√2

    正解：ア．√6

    解説：a/sinA=b/sinBよりb=a・sinB/sinA=2・(√3/2)/(√2/2)=2√3/√2=√6となる。正弦定理の応用である。

32. 問32．三角形ABCで A=30°、B=90°、a=3 のとき、辺 b を求めよ。

    • ア．3
    • イ．6
    • ウ．4
    • エ．9

    正解：イ．6

    解説：正弦定理よりb=a・sinB/sinA=3・sin90°/sin30°=3・1/(1/2)=6となる。sin90°=1を用いて計算する。

33. 問33．三角形ABCで b=2、c=3、A=60° のとき、辺 a を余弦定理で求めよ。

    • ア．√5
    • イ．3
    • ウ．√7
    • エ．√13

    正解：ウ．√7

    解説：a^2=b^2+c^2-2bc cosA=4+9-2・2・3・(1/2)=13-6=7となる。よってa=√7が辺の長さである。

34. 問34．三角形ABCで b=3、c=5、A=60° のとき、辺 a を求めよ。

    • ア．√34
    • イ．7
    • ウ．√50
    • エ．√19

    正解：エ．√19

    解説：a^2=b^2+c^2-2bc cosA=9+25-2・3・5・(1/2)=34-15=19となる。よってa=√19が辺の長さである。

35. 問35．三角形ABCで b=4、c=3、A=90° のとき、辺 a を求めよ。

    • ア．5
    • イ．7
    • ウ．√7
    • エ．1

    正解：ア．5

    解説：cos90°=0よりa^2=b^2+c^2-0=16+9=25となる。よってa=5となり三平方の定理に一致する結果である。

36. 問36．三角形ABCで b=5、c=8、A=120° のとき、辺 a を求めよ。

    • ア．√49
    • イ．√129
    • ウ．√89
    • エ．7

    正解：イ．√129

    解説：cos120°=-1/2なのでa^2=25+64-2・5・8・(-1/2)=89+40=129となる。よってa=√129である。

37. 問37．三角形ABCで a=7、b=5、c=3 のとき、cosA の値を余弦定理で求めよ。

    • ア．1/2
    • イ．√3/2
    • ウ．-1/2
    • エ．-√3/2

    正解：ウ．-1/2

    解説：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(25+9-49)/(2・5・3)=-15/30=-1/2となる。余弦定理の変形である。

38. 問38．三角形ABCで a=7、b=5、c=3 のとき、角 A の大きさを求めよ。

    • ア．60°
    • イ．90°
    • ウ．150°
    • エ．120°

    正解：エ．120°

    解説：cosA=(25+9-49)/(2・5・3)=-15/30=-1/2となる。0°<A<180°でcosA=-1/2を満たすのはA=120°である。

39. 問39．三角形ABCで a=√7、b=2、c=3 のとき、角 A の大きさを求めよ。

    • ア．60°
    • イ．30°
    • ウ．45°
    • エ．90°

    正解：ア．60°

    解説：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4+9-7)/(2・2・3)=6/12=1/2となる。cosA=1/2よりA=60°である。

40. 問40．三角形ABCで a=2、b=3、C=60° のとき、面積 S を求めよ。

    • ア．3√3
    • イ．3√3/2
    • ウ．3/2
    • エ．√3

    正解：イ．3√3/2

    解説：面積公式S=(1/2)ab sinC=(1/2)・2・3・sin60°=3・(√3/2)=3√3/2となる。2辺と間の角を用いる。

41. 問41．三角形ABCで b=4、c=5、A=30° のとき、面積 S を求めよ。

    • ア．10
    • イ．5√3
    • ウ．5
    • エ．20

    正解：ウ．5

    解説：面積公式S=(1/2)bc sinA=(1/2)・4・5・sin30°=10・(1/2)=5となる。sin30°=1/2を代入して計算する。

42. 問42．三角形ABCで b=6、c=8、A=90° のとき、面積 S を求めよ。

    • ア．12
    • イ．48
    • ウ．30
    • エ．24

    正解：エ．24

    解説：面積公式S=(1/2)bc sinA=(1/2)・6・8・sin90°=24・1=24となる。sin90°=1なので直角を挟む2辺の積の半分。

43. 問43．三角形ABCで a=4、b=4、C=120° のとき、面積 S を求めよ。

    • ア．4√3
    • イ．8√3
    • ウ．8
    • エ．16

    正解：ア．4√3

    解説：面積公式S=(1/2)ab sinC=(1/2)・4・4・sin120°=8・(√3/2)=4√3となる。sin120°=√3/2を用いる。

44. 問44．三角形ABCで a=3、b=4、C=45° のとき、面積 S を求めよ。

    • ア．6√2
    • イ．3√2
    • ウ．3
    • エ．6

    正解：イ．3√2

    解説：面積公式S=(1/2)ab sinC=(1/2)・3・4・sin45°=6・(√2/2)=3√2となる。sin45°=√2/2を代入する。

45. 問45．三辺が a=3、b=4、c=5 の三角形の面積をヘロンの公式で求めよ。

    • ア．12
    • イ．10
    • ウ．6
    • エ．8

    正解：ウ．6

    解説：s=(3+4+5)/2=6とし、S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))=√(6・3・2・1)=√36=6となる。直角三角形の面積である。

46. 問46．三辺が a=5、b=6、c=7 の三角形の面積をヘロンの公式で求めよ。

    • ア．6√5
    • イ．18
    • ウ．12
    • エ．6√6

    正解：エ．6√6

    解説：s=(5+6+7)/2=9とし、S=√(9・4・3・2)=√216=√(36・6)=6√6となる。ヘロンの公式の典型例である。

47. 問47．三辺が a=13、b=14、c=15 の三角形の面積をヘロンの公式で求めよ。

    • ア．84
    • イ．42
    • ウ．168
    • エ．96

    正解：ア．84

    解説：s=(13+14+15)/2=21とし、S=√(21・8・7・6)=√7056=84となる。面積が整数になる有名な三角形である。

48. 問48．a=3、b=4、c=5 の直角三角形の内接円の半径 r を求めよ。

    • ア．2
    • イ．1
    • ウ．3/2
    • エ．1/2

    正解：イ．1

    解説：面積S=6、s=(3+4+5)/2=6である。内接円はS=rsよりr=S/s=6/6=1となる。3:4:5直角三角形の例。

49. 問49．三角形ABCで a=8、b=5、c=7 のとき、cosC の値を求めよ。

    • ア．-1/2
    • イ．√3/2
    • ウ．1/2
    • エ．1/4

    正解：ウ．1/2

    解説：cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(64+25-49)/(2・8・5)=40/80=1/2となる。余弦定理を角Cに適用する。

50. 問50．三角形ABCで a=8、b=5、c=7 のとき、面積 S を求めよ。

    • ア．20√3
    • イ．10
    • ウ．20
    • エ．10√3

    正解：エ．10√3

    解説：cosC=1/2よりC=60°、sinC=√3/2である。S=(1/2)ab sinC=(1/2)・8・5・(√3/2)=10√3となる。

51. 問51．正弦定理は a/sinA = 2R である(Rは外接円の半径)。

    正解：○（正しい）

    解説：正弦定理はa/sinA=b/sinB=c/sinC=2Rである。各辺と対角のsinの比が外接円の直径2Rに等しい。よって正しい。

52. 問52．cos60° の値は √3/2 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはcos60°=1/2である。√3/2となるのはcos30°やsin60°であり、60°の隣辺/斜辺は1/2となる。

53. 問53．sin30° の値は 1/2 である。

    正解：○（正しい）

    解説：30°60°90°の直角三角形の辺の比1:√3:2より、sin30°=対辺/斜辺=1/2となる。基本値であり正しい記述である。

54. 問54．tanθ = cosθ/sinθ である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはtanθ=sinθ/cosθである。sinをcosで割るのが正しく、分母と分子が逆になっている誤りである。

55. 問55．tan45° の値は 1 である。

    正解：○（正しい）

    解説：直角二等辺三角形の辺の比1:1:√2より、tan45°=対辺/隣辺=1/1=1となる。基本値であり正しい記述である。

56. 問56．cos120° の値は 1/2 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはcos120°=-1/2である。cos(180°-θ)=-cosθより-cos60°=-1/2となり鈍角でcosは負になる。

57. 問57．余弦定理は a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA である。

    正解：○（正しい）

    解説：余弦定理は対辺aの2乗が他の2辺の2乗の和から2bc cosAを引いた形である。記述の通りで正しい公式である。

58. 問58．90°<θ<180° のとき、cosθ の値は正である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは鈍角ではcosθは負である。単位円で第2象限のx座標は負になるためcosθ<0となるのが正しい。

59. 問59．三角比の相互関係 sin^2θ + cos^2θ = 1 が成り立つ。

    正解：○（正しい）

    解説：三平方の定理より導かれる基本公式で、sin^2θ+cos^2θ=1は任意の角θで常に成立する。よって正しい記述である。

60. 問60．sin(180°-θ) = -sinθ である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはsin(180°-θ)=sinθである。鈍角のsinは正で符号は変わらず、マイナスが付くのは誤りである。

61. 問61．三角形の面積は S = (1/2)bc sinA で求められる。

    正解：○（正しい）

    解説：2辺bとcおよびその間の角Aを用いる面積公式S=(1/2)bc sinAは正しい。間の角のsinを掛ける形である。

62. 問62．ヘロンの公式 S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) で、s は三辺の和に等しい。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはsは三辺の和の半分s=(a+b+c)/2である。周の長さそのものではなく半周長を用いるのが正しい。

63. 問63．sin120° の値は √3/2 である。

    正解：○（正しい）

    解説：sin(180°-θ)=sinθよりsin120°=sin60°=√3/2となる。鈍角でもsinの値は正のままである。よって正しい記述。

64. 問64．tan30° の値は √3 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはtan30°=1/√3=√3/3である。√3となるのはtan60°であり、対辺1を隣辺√3で割る値である。

65. 問65．0°<θ<90° のとき、cosθ の値は正である。

    正解：○（正しい）

    解説：鋭角ではsin・cos・tanのすべてが正の値をとる。単位円で第1象限のx座標cosθ>0となる。よって正しい記述。

66. 問66．sinθ=3/5 のとき、θが鋭角でも鈍角でも必ず cosθ=4/5 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは鈍角の場合cosθ=-4/5である。θが鋭角か鈍角かで符号が変わり一意には定まらない値である。

67. 問67．公式 1 + tan^2θ = 1/cos^2θ が成り立つ。

    正解：○（正しい）

    解説：sin^2θ+cos^2θ=1の両辺をcos^2θで割るとtan^2θ+1=1/cos^2θとなる。重要な相互関係であり正しい記述である。

68. 問68．cos45° の値は 1/2 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはcos45°=√2/2(=1/√2)である。1/2となるのはcos60°であり、直角二等辺の辺の比から導く。

69. 問69．tan60° の値は √3 である。

    正解：○（正しい）

    解説：tan60°=sin60°/cos60°=(√3/2)/(1/2)=√3となる。30°60°90°の対辺√3を隣辺1で割る。よって正しい記述である。

70. 問70．余弦定理の cosA の公式の分子は a^2-b^2-c^2 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは分子はb^2+c^2-a^2である。cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)であり符号と項の並びが異なる誤りである。

71. 問71．cos(90°-θ) = sinθ が成り立つ。

    正解：○（正しい）

    解説：余角の関係でcos(90°-θ)=sinθが成立する。例えばcos60°=sin30°=1/2で確認できる。よって正しい記述である。

72. 問72．sin45° の値は √3/2 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはsin45°=√2/2である。√3/2となるのはsin60°であり、直角二等辺三角形の比1:1:√2から導く。

73. 問73．tan90° の値は定義されない(存在しない)。

    正解：○（正しい）

    解説：tan90°=sin90°/cos90°=1/0となり分母が0になるため値は定義されない。よって正しい記述である。

74. 問74．三角形の3辺を a,b,c、面積を S とすると、内接円の半径は r = S/(a+b+c) で求められる。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは S=rs（s=(a+b+c)/2）より r=S/s=2S/(a+b+c) である。S/(a+b+c) では正しい値の半分になってしまう。

75. 問75．正三角形の1つの内角は 60° である。

    正解：○（正しい）

    解説：正三角形は3つの角がすべて等しく、内角の和180°を3で割ると60°となる。よって正しい記述である。