数検準2級（実用数学技能検定 準2級）「2次関数」の一問一答

数検準2級（実用数学技能検定 準2級）の2次関数に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．2次関数 y=x^2-4x+1 を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

   • ア．(2,-3)
   • イ．(-2,-3)
   • ウ．(2,3)
   • エ．(-2,3)

   正解：ア．(2,-3)

   解説：y=x^2-4x+1=(x-2)^2-4+1=(x-2)^2-3。頂点は(2,-3)。平方完成は係数-4の半分-2を用いる。

2. 問2．2次関数 y=x^2+6x+5 を平方完成せよ。

   • ア．y=(x-3)^2-4
   • イ．y=(x+3)^2-4
   • ウ．y=(x+3)^2+4
   • エ．y=(x+6)^2-4

   正解：イ．y=(x+3)^2-4

   解説：y=x^2+6x+5=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4。6の半分3で(x+3)^2、定数は-9+5=-4。

3. 問3．2次関数 y=x^2-2x-3 の頂点の座標を求めよ。

   • ア．(-1,-4)
   • イ．(1,4)
   • ウ．(1,-4)
   • エ．(-1,4)

   正解：ウ．(1,-4)

   解説：y=x^2-2x-3=(x-1)^2-1-3=(x-1)^2-4。頂点は(1,-4)。-2の半分-1を用いる。

4. 問4．2次関数 y=2x^2-8x+5 を平方完成せよ。

   • ア．y=2(x-2)^2+5
   • イ．y=2(x-4)^2-3
   • ウ．y=2(x-2)^2-8
   • エ．y=2(x-2)^2-3

   正解：エ．y=2(x-2)^2-3

   解説：y=2(x^2-4x)+5=2((x-2)^2-4)+5=2(x-2)^2-8+5=2(x-2)^2-3。

5. 問5．2次関数 y=x^2+4x+4 の頂点の座標を求めよ。

   • ア．(-2,0)
   • イ．(2,0)
   • ウ．(-2,4)
   • エ．(0,-2)

   正解：ア．(-2,0)

   解説：y=x^2+4x+4=(x+2)^2。頂点は(-2,0)。4の半分2で(x+2)^2、定数は4-4=0。

6. 問6．2次関数 y=-x^2+2x+3 の頂点の座標を求めよ。

   • ア．(-1,4)
   • イ．(1,4)
   • ウ．(1,-4)
   • エ．(1,3)

   正解：イ．(1,4)

   解説：y=-(x^2-2x)+3=-((x-1)^2-1)+3=-(x-1)^2+1+3=-(x-1)^2+4。頂点は(1,4)。

7. 問7．2次関数 y=3x^2-12x+7 の頂点の座標を求めよ。

   • ア．(2,7)
   • イ．(-2,-5)
   • ウ．(2,-5)
   • エ．(2,-12)

   正解：ウ．(2,-5)

   解説：y=3(x^2-4x)+7=3(x-2)^2-12+7=3(x-2)^2-5。頂点は(2,-5)。

8. 問8．2次関数 y=x^2-6x+10 の軸の方程式を求めよ。

   • ア．x=-3
   • イ．x=6
   • ウ．x=1
   • エ．x=3

   正解：エ．x=3

   解説：y=x^2-6x+10=(x-3)^2-9+10=(x-3)^2+1。頂点(3,1)より軸はx=3。

9. 問9．2次関数 y=x^2+8x+11 の軸の方程式を求めよ。

   • ア．x=-4
   • イ．x=4
   • ウ．x=8
   • エ．x=-5

   正解：ア．x=-4

   解説：y=(x+4)^2-16+11=(x+4)^2-5。頂点(-4,-5)より軸はx=-4。8の半分4を用いる。

10. 問10．2次関数 y=x^2-3x+1 の頂点の座標を求めよ。

    • ア．(-3/2,-5/4)
    • イ．(3/2,-5/4)
    • ウ．(3/2,5/4)
    • エ．(3,-5/4)

    正解：イ．(3/2,-5/4)

    解説：y=(x-3/2)^2-9/4+1=(x-3/2)^2-5/4。頂点は(3/2,-5/4)。-3の半分-3/2を用いる。

11. 問11．2次関数 y=-2x^2+4x-1 の頂点の座標を求めよ。

    • ア．(-1,1)
    • イ．(1,-1)
    • ウ．(1,1)
    • エ．(1,2)

    正解：ウ．(1,1)

    解説：y=-2(x^2-2x)-1=-2((x-1)^2-1)-1=-2(x-1)^2+2-1=-2(x-1)^2+1。頂点は(1,1)。

12. 問12．2次関数 y=(x-2)^2+3 のグラフは、y=x^2 のグラフをどのように平行移動したものか。

    • ア．x軸方向に-2、y軸方向に3
    • イ．x軸方向に2、y軸方向に-3
    • ウ．x軸方向に-2、y軸方向に-3
    • エ．x軸方向に2、y軸方向に3

    正解：エ．x軸方向に2、y軸方向に3

    解説：y=a(x-p)^2+qは頂点(p,q)。よってx軸方向に+2、y軸方向に+3平行移動したもの。

13. 問13．2次関数 y=x^2 のグラフをx軸方向に-3、y軸方向に2平行移動した放物線の式を求めよ。

    • ア．y=(x+3)^2+2
    • イ．y=(x-3)^2+2
    • ウ．y=(x+3)^2-2
    • エ．y=(x-3)^2-2

    正解：ア．y=(x+3)^2+2

    解説：x軸方向にpはxをx-pに置換。p=-3,q=2よりy=(x-(-3))^2+2=(x+3)^2+2。

14. 問14．2次関数 y=2x^2 のグラフをx軸方向に1、y軸方向に-4平行移動した放物線の式を求めよ。

    • ア．y=2(x+1)^2-4
    • イ．y=2(x-1)^2-4
    • ウ．y=2(x-1)^2+4
    • エ．y=2(x-4)^2-1

    正解：イ．y=2(x-1)^2-4

    解説：x軸方向に1はxをx-1に。y軸方向に-4は-4を加える。y=2(x-1)^2-4。

15. 問15．放物線 y=x^2-2x+3 をx軸方向に2平行移動した放物線の式を求めよ。

    • ア．y=(x+1)^2+2
    • イ．y=(x-3)^2+4
    • ウ．y=(x-3)^2+2
    • エ．y=(x-1)^2+4

    正解：ウ．y=(x-3)^2+2

    解説：y=(x-1)^2+2。頂点(1,2)。x軸方向に2移動で頂点(3,2)、式はy=(x-3)^2+2。

16. 問16．2次方程式 x^2-5x+6=0 を解け。

    • ア．x=-2,-3
    • イ．x=1,6
    • ウ．x=2,-3
    • エ．x=2,3

    正解：エ．x=2,3

    解説：x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0。和5・積6となる2,3を用いて因数分解。x=2,3。

17. 問17．2次方程式 x^2+x-6=0 を解け。

    • ア．x=-3,2
    • イ．x=3,-2
    • ウ．x=3,2
    • エ．x=-3,-2

    正解：ア．x=-3,2

    解説：x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0。和1・積-6となる3,-2を用いる。x=-3,2。

18. 問18．2次方程式 x^2-7x+12=0 を解け。

    • ア．x=-3,-4
    • イ．x=3,4
    • ウ．x=2,6
    • エ．x=1,12

    正解：イ．x=3,4

    解説：x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0。和7・積12となる3,4を用いる。x=3,4。

19. 問19．2次方程式 x^2-9=0 を解け。

    • ア．x=3
    • イ．x=±9
    • ウ．x=±3
    • エ．x=9

    正解：ウ．x=±3

    解説：x^2-9=(x+3)(x-3)=0。よってx=±3。x^2=9よりx=3またはx=-3。

20. 問20．2次方程式 x^2-4x=0 を解け。

    • ア．x=4
    • イ．x=0,-4
    • ウ．x=-4
    • エ．x=0,4

    正解：エ．x=0,4

    解説：x^2-4x=x(x-4)=0。共通因数xでくくる。x=0またはx=4。

21. 問21．2次方程式 2x^2-5x+2=0 を解け。

    • ア．x=1/2,2
    • イ．x=-1/2,2
    • ウ．x=1/2,-2
    • エ．x=2,2

    正解：ア．x=1/2,2

    解説：たすき掛けで2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)=0。x=1/2,2。

22. 問22．2次方程式 3x^2-7x+2=0 を解け。

    • ア．x=-1/3,2
    • イ．x=1/3,2
    • ウ．x=1/3,-2
    • エ．x=3,2

    正解：イ．x=1/3,2

    解説：たすき掛けで3x^2-7x+2=(3x-1)(x-2)=0。x=1/3,2。

23. 問23．2次方程式 x^2-6x+9=0 を解け。

    • ア．x=±3
    • イ．x=-3
    • ウ．x=3
    • エ．x=3,9

    正解：ウ．x=3

    解説：x^2-6x+9=(x-3)^2=0。重解x=3。判別式D=36-36=0より重解。

24. 問24．2次方程式 x^2-3x+1=0 を解の公式で解け。

    • ア．x=(3±√13)/2
    • イ．x=(-3±√5)/2
    • ウ．x=(3±√5)
    • エ．x=(3±√5)/2

    正解：エ．x=(3±√5)/2

    解説：x=(-(-3)±√((-3)^2-4×1×1))/2=(3±√(9-4))/2=(3±√5)/2。

25. 問25．2次方程式 x^2+5x+2=0 を解の公式で解け。

    • ア．x=(-5±√17)/2
    • イ．x=(5±√17)/2
    • ウ．x=(-5±√33)/2
    • エ．x=(-5±√17)/4

    正解：ア．x=(-5±√17)/2

    解説：x=(-5±√(5^2-4×1×2))/2=(-5±√(25-8))/2=(-5±√17)/2。

26. 問26．2次方程式 2x^2-3x-1=0 を解の公式で解け。

    • ア．x=(3±√17)/2
    • イ．x=(3±√17)/4
    • ウ．x=(-3±√17)/4
    • エ．x=(3±√1)/4

    正解：イ．x=(3±√17)/4

    解説：x=(3±√((-3)^2-4×2×(-1)))/(2×2)=(3±√(9+8))/4=(3±√17)/4。

27. 問27．2次方程式 x^2-2x-1=0 を解け。

    • ア．x=1±√3
    • イ．x=-1±√2
    • ウ．x=1±√2
    • エ．x=2±√2

    正解：ウ．x=1±√2

    解説：x=(2±√((-2)^2-4×1×(-1)))/2=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2。

28. 問28．2次方程式 x^2+4x+1=0 を解け。

    • ア．x=2±√3
    • イ．x=-2±√12
    • ウ．x=-2±√5
    • エ．x=-2±√3

    正解：エ．x=-2±√3

    解説：x=(-4±√(16-4))/2=(-4±√12)/2=(-4±2√3)/2=-2±√3。√12=2√3。

29. 問29．2次方程式 x^2-2x+5=0 の解について正しいものを選べ。

    • ア．実数解をもたない
    • イ．重解をもつ
    • ウ．異なる2つの実数解をもつ
    • エ．解x=1のみ

    正解：ア．実数解をもたない

    解説：D=(-2)^2-4×1×5=4-20=-16<0。判別式が負なので実数解はもたない。

30. 問30．2次方程式 x^2+3x+1=0 の判別式Dの値を求めよ。

    • ア．13
    • イ．5
    • ウ．-5
    • エ．9

    正解：イ．5

    解説：D=b^2-4ac=3^2-4×1×1=9-4=5。D=5>0より異なる2つの実数解をもつ。

31. 問31．2次方程式 2x^2-4x+5=0 の判別式Dの値を求めよ。

    • ア．24
    • イ．16
    • ウ．-24
    • エ．-16

    正解：ウ．-24

    解説：D=b^2-4ac=(-4)^2-4×2×5=16-40=-24。D=-24<0より実数解をもたない。

32. 問32．2次方程式 x^2-4x+k=0 が重解をもつとき、定数kの値を求めよ。

    • ア．k=-4
    • イ．k=16
    • ウ．k=2
    • エ．k=4

    正解：エ．k=4

    解説：重解の条件はD=0。D=(-4)^2-4×1×k=16-4k=0より4k=16、k=4。

33. 問33．2次方程式 x^2+6x+k=0 が異なる2つの実数解をもつとき、定数kの範囲を求めよ。

    • ア．k<9
    • イ．k>9
    • ウ．k<-9
    • エ．k>-9

    正解：ア．k<9

    解説：条件はD>0。D=6^2-4k=36-4k>0より4k<36、k<9。

34. 問34．2次方程式 x^2-2x+k=0 が実数解をもたないとき、定数kの範囲を求めよ。

    • ア．k<1
    • イ．k>1
    • ウ．k>-1
    • エ．k<-1

    正解：イ．k>1

    解説：条件はD<0。D=(-2)^2-4k=4-4k<0より4k>4、k>1。

35. 問35．2次関数 y=x^2-6x+5 のグラフがx軸と交わる点のx座標を求めよ。

    • ア．x=-1,-5
    • イ．x=1,-5
    • ウ．x=1,5
    • エ．x=5

    正解：ウ．x=1,5

    解説：y=0とおきx^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0。x軸との共有点のx座標はx=1,5。

36. 問36．2次関数 y=x^2-2x-8 のグラフとx軸の共有点の個数を求めよ。

    • ア．1個
    • イ．0個
    • ウ．3個
    • エ．2個

    正解：エ．2個

    解説：D=(-2)^2-4×1×(-8)=4+32=36>0。D>0より共有点は2個。

37. 問37．2次関数 y=x^2-4x+4 のグラフとx軸の共有点の個数を求めよ。

    • ア．1個
    • イ．2個
    • ウ．0個
    • エ．3個

    正解：ア．1個

    解説：D=(-4)^2-4×1×4=16-16=0。D=0より接する。共有点は1個。

38. 問38．2次関数 y=x^2+x+3 のグラフとx軸の共有点の個数を求めよ。

    • ア．1個
    • イ．0個
    • ウ．2個
    • エ．3個

    正解：イ．0個

    解説：D=1^2-4×1×3=1-12=-11<0。D<0よりx軸と交わらず共有点は0個。

39. 問39．2次関数 y=2x^2-4x-6 とx軸の共有点のx座標を求めよ。

    • ア．x=-3,1
    • イ．x=3,-1
    • ウ．x=3,1
    • エ．x=-3,-1

    正解：イ．x=3,-1

    解説：y=0より2x^2-4x-6=0、2で割りx^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0。x=3,-1。

40. 問40．2次不等式 x^2-5x+6>0 を解け。

    • ア．2<x<3
    • イ．x<3
    • ウ．x<2,3<x
    • エ．x>2

    正解：ウ．x<2,3<x

    解説：x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0よりx=2,3。下に凸でy>0は解の外側。x<2,3<x。

41. 問41．2次不等式 x^2-5x+6<0 を解け。

    • ア．2<x<3
    • イ．x<2,3<x
    • ウ．x<2
    • エ．x>3

    正解：ア．2<x<3

    解説：(x-2)(x-3)=0よりx=2,3。下に凸でy<0は解の内側。2<x<3。

42. 問42．2次不等式 x^2-x-6≦0 を解け。

    • ア．x≦-2,3≦x
    • イ．-2≦x≦3
    • ウ．-3≦x≦2
    • エ．2≦x≦3

    正解：イ．-2≦x≦3

    解説：x^2-x-6=(x-3)(x+2)=0よりx=-2,3。下に凸でy≦0は内側。-2≦x≦3。

43. 問43．2次不等式 x^2-4≧0 を解け。

    • ア．-2≦x≦2
    • イ．x≦2
    • ウ．x≦-2,2≦x
    • エ．x≧-2

    正解：ウ．x≦-2,2≦x

    解説：x^2-4=(x+2)(x-2)=0よりx=-2,2。下に凸でy≧0は外側。x≦-2,2≦x。

44. 問44．2次不等式 x^2-2x>0 を解け。

    • ア．0<x<2
    • イ．x<2
    • ウ．x>0
    • エ．x<0,2<x

    正解：エ．x<0,2<x

    解説：x^2-2x=x(x-2)=0よりx=0,2。下に凸でy>0は外側。x<0,2<x。

45. 問45．2次関数 y=x^2-2x+3 (定義域は実数全体)の最小値を求めよ。

    • ア．2
    • イ．3
    • ウ．1
    • エ．-1

    正解：ア．2

    解説：y=(x-1)^2-1+3=(x-1)^2+2。下に凸で頂点が最小。x=1のとき最小値2。

46. 問46．2次関数 y=-x^2+4x-1 の最大値を求めよ。

    • ア．-1
    • イ．3
    • ウ．4
    • エ．2

    正解：イ．3

    解説：y=-(x^2-4x)-1=-(x-2)^2+4-1=-(x-2)^2+3。上に凸でx=2のとき最大値3。

47. 問47．2次関数 y=x^2-6x+5 の最小値とそのときのxの値を求めよ。

    • ア．x=-3で最小値-4
    • イ．x=3で最小値4
    • ウ．x=3で最小値-4
    • エ．x=3で最小値5

    正解：ウ．x=3で最小値-4

    解説：y=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4。x=3のとき最小値-4をとる。

48. 問48．2次関数 y=x^2-2x (0≦x≦3)の最大値を求めよ。

    • ア．0
    • イ．-1
    • ウ．9
    • エ．3

    正解：エ．3

    解説：y=(x-1)^2-1。頂点x=1。区間端x=0でy=0、x=3でy=9-6=3。最大値は3。

49. 問49．頂点が(2,-1)で点(0,3)を通る2次関数の式を求めよ。

    • ア．y=(x+2)^2-1
    • イ．y=2(x-2)^2-1
    • ウ．y=(x-2)^2-1
    • エ．y=(x-2)^2+1

    正解：ウ．y=(x-2)^2-1

    解説：y=a(x-2)^2-1とおく。(0,3)代入で3=4a-1、4a=4、a=1。よってy=(x-2)^2-1。

50. 問50．2次方程式 x^2-8x+15=0 を解け。

    • ア．x=-3,-5
    • イ．x=1,15
    • ウ．x=3,-5
    • エ．x=3,5

    正解：エ．x=3,5

    解説：x^2-8x+15=(x-3)(x-5)=0。和8・積15となる3,5を用いる。x=3,5。

51. 問51．2次関数 y=x^2-2x+3 の頂点の座標は (1,2) である。

    正解：○（正しい）

    解説：y=(x-1)^2-1+3=(x-1)^2+2。頂点は(1,2)。よって正しい。

52. 問52．2次方程式の判別式 D=b^2-4ac が D>0 のとき、異なる2つの実数解をもつ。

    正解：○（正しい）

    解説：D>0で異なる2つの実数解、D=0で重解、D<0で実数解なし。よって正しい。

53. 問53．2次方程式の判別式が D=0 のとき、その方程式は重解をもつ。

    正解：○（正しい）

    解説：D=0のとき解は1つ(重解)。D>0で2解、D<0で実数解なし。よって正しい。

54. 問54．2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフは、a>0 のとき下に凸の放物線になる。

    正解：○（正しい）

    解説：a>0で下に凸、a<0で上に凸。最高次の係数aの符号で凹凸が決まる。よって正しい。

55. 問55．2次方程式 x^2-5x+6=0 の解は x=2,3 である。

    正解：○（正しい）

    解説：x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0よりx=2,3。和5・積6で確認。よって正しい。

56. 問56．y=a(x-p)^2+q のグラフの頂点の座標は (p,q) である。

    正解：○（正しい）

    解説：平方完成形y=a(x-p)^2+qの頂点は(p,q)、軸はx=p。よって正しい。

57. 問57．下に凸の2次関数は、頂点で最小値をとる。

    正解：○（正しい）

    解説：下に凸(a>0)は頂点が最も低く最小値をとる。上に凸は頂点で最大値。よって正しい。

58. 問58．2次関数 y=x^2 をx軸方向に2平行移動するとき、式は y=(x-2)^2 となる。

    正解：○（正しい）

    解説：x軸方向に+pはxをx-pに置換。p=2でy=(x-2)^2。符号に注意。よって正しい。

59. 問59．2次方程式 x^2+4=0 は実数解をもたない。

    正解：○（正しい）

    解説：x^2=-4。x^2は0以上で-4にならない。D=0-16=-16<0で実数解なし。よって正しい。

60. 問60．2次不等式 x^2<9 の解は -3<x<3 である。

    正解：○（正しい）

    解説：x^2-9=(x+3)(x-3)<0。下に凸でy<0は内側。-3<x<3。よって正しい。

61. 問61．2次関数 y=-x^2+4x の最大値は 4 である。

    正解：○（正しい）

    解説：y=-(x-2)^2+4。上に凸でx=2のとき最大値4。よって正しい。

62. 問62．2次関数のグラフとx軸の共有点の個数は、判別式Dの符号で判定できる。

    正解：○（正しい）

    解説：D>0で2個、D=0で1個(接する)、D<0で0個。判別式で判定できる。よって正しい。

63. 問63．2次関数 y=2(x-1)^2+3 の軸の方程式は x=1 である。

    正解：○（正しい）

    解説：y=a(x-p)^2+qの軸はx=p。p=1より軸はx=1。よって正しい。

64. 問64．2次関数 y=x^2+6x+5 の頂点の座標は (3,-4) である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはy=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4より頂点(-3,-4)。pの符号に注意。

65. 問65．2次方程式の判別式が D<0 のとき、異なる2つの実数解をもつ。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはD<0のとき実数解をもたない。異なる2つの実数解はD>0のとき。

66. 問66．2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフは、a<0 のとき下に凸の放物線になる。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはa<0のとき上に凸になる。下に凸はa>0のとき。

67. 問67．2次方程式 x^2-6x+9=0 は異なる2つの実数解をもつ。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはx^2-6x+9=(x-3)^2=0で重解x=3。D=36-36=0だから重解。

68. 問68．2次関数 y=x^2-4x+1 をx軸方向に3平行移動すると、xをx+3に置き換えた式になる。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはx軸方向に+3はxをx-3に置換する。x+3ではない。

69. 問69．下に凸の2次関数は、頂点で最大値をとる。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは下に凸は頂点で最小値をとる。最大値をとるのは上に凸の頂点。

70. 問70．2次不等式 x^2-4>0 の解は -2<x<2 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは(x+2)(x-2)>0で外側のx<-2,2<x。-2<x<2はx^2-4<0の解。

71. 問71．2次方程式 x^2-5x+6=0 の解は x=-2,-3 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは(x-2)(x-3)=0よりx=2,3。和5・積6となるのは2と3。

72. 問72．2次関数 y=-2x^2+8x-3 は下に凸の放物線である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくはx^2の係数-2<0なので上に凸。a>0のときのみ下に凸。

73. 問73．2次方程式 2x^2-3x+5=0 は異なる2つの実数解をもつ。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。D=(-3)^2-4×2×5=9-40=-31<0で実数解をもたない。D<0だから誤り。

74. 問74．2次関数 y=(x-2)^2+5 の最小値は 2 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは下に凸でx=2のとき最小値5。頂点(2,5)のy座標が最小値。

75. 問75．2次方程式 x^2-2x+3=0 は重解をもつ。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。D=(-2)^2-4×1×3=4-12=-8<0で実数解をもたない。D<0だから重解ではない。