数検準2級（実用数学技能検定準2級）全分野の一問一答

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📖 数検準2級（実用数学技能検定準2級）「全分野」の全375問と解説（一覧）

数検準2級（実用数学技能検定準2級）の全分野に関する一問一答（全375問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

問1．1から100までの整数のうち、3の倍数は何個あるか。
- ア．30個
- イ．34個
- ウ．32個
- エ．33個
正解：エ．33個

解説：100÷3=33.3…より商は33。よって3の倍数は3×1から3×33までの33個である。床関数の考え方で求まる。
問2．1から100までの整数のうち、3または5の倍数は何個あるか。
- ア．53個
- イ．41個
- ウ．47個
- エ．50個
正解：ウ．47個

解説：3の倍数は33個、5の倍数は20個、15の倍数は6個。和の法則(包除原理)で33+20-6=47個となる。
問3．大中小3個のサイコロを投げるとき、目の出方は全部で何通りか。
- ア．18通り
- イ．216通り
- ウ．36通り
- エ．120通り
正解：イ．216通り

解説：各サイコロが6通りで互いに独立なので積の法則により6×6×6=216通りとなる。
問4．A町からB町へ3本、B町からC町へ4本の道がある。A町からC町へ行く方法は何通りか。
- ア．7通り
- イ．9通り
- ウ．16通り
- エ．12通り
正解：エ．12通り

解説：A→Bが3通り、B→Cが4通り。続けて起こるので積の法則により3×4=12通りとなる。
問5．100円硬貨が2枚、50円硬貨が3枚あるとき、これらの一部または全部を使って支払える金額は何通りか。
- ア．7通り
- イ．11通り
- ウ．12通り
- エ．6通り
正解：ア．7通り

解説：支払える「金額の種類」を数える。100円＝50円2枚分なので金額が重複する。和として実現できる異なる金額は {50,100,150,200,250,300,350} の7通り（0円＝支払わないは除く）。なお組合せ数 3×4−1＝11 は『支払い方（硬貨の組合せ）』の数であり、金額の種類数とは異なる点に注意。
問6．5人を1列に並べる方法は何通りか。
- ア．25通り
- イ．60通り
- ウ．720通り
- エ．120通り
正解：エ．120通り

解説：異なる5人の並べ方は5!=5×4×3×2×1=120通りである。順列の総数として計算する。
問7．異なる7個から3個を取り出して1列に並べる方法 7P3 は何通りか。
- ア．35通り
- イ．343通り
- ウ．120通り
- エ．210通り
正解：エ．210通り

解説：7P3=7×6×5=210通りである。順列nPrは大きい数から順にr個掛けて求める。
問8．男子3人、女子2人の計5人を1列に並べるとき、女子2人が隣り合う並べ方は何通りか。
- ア．24通り
- イ．12通り
- ウ．96通り
- エ．48通り
正解：エ．48通り

解説：女子2人を1組とみなし4組の並べ方4!=24通り、女子内部の入れ替え2!=2通り。積で24×2=48通りとなる。
問9．男子3人、女子2人の計5人を1列に並べるとき、女子2人が隣り合わない並べ方は何通りか。
- ア．72通り
- イ．48通り
- ウ．60通り
- エ．36通り
正解：ア．72通り

解説：全体5!=120通りから女子が隣り合う48通りを引く。120-48=72通りとなる。余事象を利用する。
問10．1,2,3,4の4個の数字を1回ずつ使ってできる4桁の整数は何個あるか。
- ア．24個
- イ．12個
- ウ．16個
- エ．256個
正解：ア．24個

解説：4個の数字すべてを並べるので4!=4×3×2×1=24通り。よって24個の4桁の整数ができる。
問11．0,1,2,3,4の5個の数字から異なる3個を使ってできる3桁の整数は何個あるか。
- ア．48個
- イ．60個
- ウ．100個
- エ．24個
正解：ア．48個

解説：百の位は0以外で4通り、十の位は残り4通り、一の位は残り3通り。積で4×4×3=48個となる。
問12．a,b,c,dの4文字を1列に並べたとき、辞書式順序でbから始まる並べ方は何通りか。
- ア．3通り
- イ．6通り
- ウ．24通り
- エ．12通り
正解：イ．6通り

解説：先頭をbに固定すると残り3文字の並べ方は3!=6通り。よってbで始まる並べ方は6通りである。
問13．a,b,c,dの4文字を辞書式に並べたとき、最初の語はabcdである。9番目にくる語は何か。
- ア．bcad
- イ．bacd
- ウ．bcda
- エ．badc
正解：ア．bcad

解説：aで始まる語は3!=6通り(1〜6番目)。次にbで始まる語が7番目から。bacd,badc,bcad…で7,8,9番目はbacd,badc,bcadとなり9番目はbcadである。
問14．異なる5個の玉を円形に並べる円順列は何通りか。
- ア．120通り
- イ．24通り
- ウ．60通り
- エ．12通り
正解：イ．24通り

解説：n個の円順列は(n-1)!で求める。5個なので(5-1)!=4!=24通りとなる。回転して同じものを除くためである。
問15．異なる6個の玉を円形に並べる円順列は何通りか。
- ア．720通り
- イ．60通り
- ウ．24通り
- エ．120通り
正解：エ．120通り

解説：円順列は(n-1)!なので(6-1)!=5!=120通りとなる。1つを固定し残りを並べると考えてもよい。
問16．0,1,2の3種類の数字を用いて4桁の整数を作る(各位で重複可、先頭は0でもよい数字列とする)。何通りの数字列ができるか。
- ア．12通り
- イ．64通り
- ウ．24通り
- エ．81通り
正解：エ．81通り

解説：各位が3通りで4桁分あるので重複順列により3の4乗=3×3×3×3=81通りとなる。
問17．2種類の記号○と×を用いて長さ5の記号列を作る方法は何通りか。
- ア．10通り
- イ．25通り
- ウ．32通り
- エ．16通り
正解：ウ．32通り

解説：各位置が2通りで5個並ぶので重複順列により2の5乗=32通りとなる。
問18．異なる8個から3個を選ぶ組合せ 8C3 は何通りか。
- ア．56通り
- イ．336通り
- ウ．24通り
- エ．112通り
正解：ア．56通り

解説：8C3=(8×7×6)/(3×2×1)=336/6=56通りである。組合せは順序を区別しない選び方の総数。
問19．赤玉3個、白玉2個の計5個(玉はすべて区別する)から2個を取り出す組合せは何通りか。
- ア．20通り
- イ．10通り
- ウ．5通り
- エ．25通り
正解：イ．10通り

解説：玉が異なるとして5C2=(5×4)/(2×1)=10通りとなる。同色を区別する場合の取り出し方である。
問20．10人から3人の委員を選ぶ方法は何通りか。
- ア．720通り
- イ．30通り
- ウ．120通り
- エ．1000通り
正解：ウ．120通り

解説：順序を区別しないので10C3=(10×9×8)/(3×2×1)=720/6=120通りとなる。
問21．男子5人、女子4人から男子2人、女子2人を選ぶ方法は何通りか。
- ア．20通り
- イ．90通り
- ウ．120通り
- エ．60通り
正解：エ．60通り

解説：男子は5C2=10通り、女子は4C2=6通り。積の法則で10×6=60通りとなる。
問22．正八角形の3個の頂点を結んでできる三角形は何個あるか。
- ア．336個
- イ．24個
- ウ．112個
- エ．56個
正解：エ．56個

解説：8個の頂点から3個を選べば三角形ができる。8C3=(8×7×6)/6=56個となる。一直線上の3点はない。
問23．6人を2人ずつ3つの組A,B,Cに分ける方法は何通りか。
- ア．15通り
- イ．45通り
- ウ．90通り
- エ．180通り
正解：ウ．90通り

解説：区別ある3組への分け方は6C2×4C2×2C2=15×6×1=90通りとなる。組に名前があるので順に選ぶ。
問24．6人を2人ずつ3つの組に分ける方法は何通りか(組に区別はない)。
- ア．90通り
- イ．45通り
- ウ．30通り
- エ．15通り
正解：エ．15通り

解説：区別ある場合90通りを、同人数3組の重複3!=6で割る。90÷6=15通りとなる。
問25．SUUGAKUの7文字を1列に並べる方法は何通りか。
- ア．840通り
- イ．5040通り
- ウ．2520通り
- エ．420通り
正解：ア．840通り

解説：SUUGAKUはS,U,U,G,A,K,Uの7文字で、Uが3個ある。同じものを3個含む順列なので7!/3!=5040/6=840通りとなる。
問26．赤玉3個、白玉2個の計5個を1列に並べる方法は何通りか(同色は区別しない)。
- ア．120通り
- イ．20通り
- ウ．10通り
- エ．60通り
正解：ウ．10通り

解説：同じものを含む順列により5!/(3!×2!)=120/(6×2)=10通りとなる。
問27．TANAKAの6文字を1列に並べる方法は何通りか。
- ア．720通り
- イ．120通り
- ウ．360通り
- エ．60通り
正解：イ．120通り

解説：Aが3個、T,N,Kが各1個。同じものを含む順列で6!/3!=720/6=120通りとなる。
問28．右に1区画、上に1区画進む最短経路で、横3区画・縦2区画の長方形の左下から右上へ行く道順は何通りか。
- ア．5通り
- イ．10通り
- ウ．6通り
- エ．20通り
正解：イ．10通り

解説：右3回、上2回の計5回の並べ方。同じものを含む順列で5!/(3!×2!)=120/12=10通りとなる。
問29．1個のサイコロを1回投げるとき、3以上の目が出る確率はいくらか。
- ア．1/2
- イ．1/3
- ウ．2/3
- エ．5/6
正解：ウ．2/3

解説：3以上は3,4,5,6の4通り、全体6通り。確率は4/6=2/3となる。同様に確からしいとして計算する。
問30．2個のサイコロを同時に投げるとき、目の和が7になる確率はいくらか。
- ア．1/12
- イ．5/36
- ウ．1/9
- エ．1/6
正解：エ．1/6

解説：和が7は(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)の6通り、全体36通り。確率は6/36=1/6となる。
問31．2個のサイコロを同時に投げるとき、目の和が5になる確率はいくらか。
- ア．1/6
- イ．5/36
- ウ．1/9
- エ．1/12
正解：ウ．1/9

解説：和が5は(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)の4通り、全体36通り。確率は4/36=1/9となる。
問32．2個のサイコロを投げるとき、ゾロ目(同じ目)が出る確率はいくらか。
- ア．1/6
- イ．1/3
- ウ．1/12
- エ．1/36
正解：ア．1/6

解説：ゾロ目は(1,1)〜(6,6)の6通り、全体36通り。確率は6/36=1/6となる。
問33．赤玉3個、白玉2個が入った袋から1個取り出すとき、それが赤玉である確率はいくらか。
- ア．3/5
- イ．2/5
- ウ．3/2
- エ．1/3
正解：ア．3/5

解説：全5個のうち赤玉3個。確率は3/5となる。各玉は同様に確からしく取り出される。
問34．赤玉4個、白玉3個の計7個から同時に2個取り出すとき、2個とも赤玉である確率はいくらか。
- ア．4/21
- イ．2/7
- ウ．3/7
- エ．6/7
正解：イ．2/7

解説：全体7C2=21通り、赤2個は4C2=6通り。確率は6/21=2/7となる。
問35．赤玉4個、白玉3個の計7個から同時に2個取り出すとき、赤白1個ずつである確率はいくらか。
- ア．2/7
- イ．1/7
- ウ．4/7
- エ．12/49
正解：ウ．4/7

解説：全体7C2=21通り、赤1個白1個は4C1×3C1=12通り。確率は12/21=4/7となる。
問36．1から9までの番号札9枚から1枚引くとき、偶数である確率はいくらか。
- ア．5/9
- イ．4/9
- ウ．1/2
- エ．1/9
正解：イ．4/9

解説：1から9のうち偶数は2,4,6,8の4枚、全体は9枚である。同様に確からしいとして確率は4/9となる。
問37．あるくじを引いて当たる確率が1/4のとき、外れる確率(余事象)はいくらか。
- ア．3/4
- イ．1/4
- ウ．1/2
- エ．4/3
正解：ア．3/4

解説：余事象の確率は1から当たる確率を引く。1-1/4=3/4となる。
問38．2個のサイコロを投げるとき、少なくとも1個は1の目が出る確率はいくらか。
- ア．1/6
- イ．11/36
- ウ．10/36
- エ．1/3
正解：イ．11/36

解説：余事象は2個とも1以外で(5/6)×(5/6)=25/36。よって1-25/36=11/36となる。
問39．3枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも1枚は表が出る確率はいくらか。
- ア．7/8
- イ．1/8
- ウ．3/8
- エ．1/2
正解：ア．7/8

解説：余事象は3枚とも裏で(1/2)の3乗=1/8。よって1-1/8=7/8となる。
問40．1個のサイコロを投げるとき、2の倍数または3の倍数の目が出る確率はいくらか。
- ア．2/3
- イ．1/2
- ウ．5/6
- エ．1/3
正解：ア．2/3

解説：2の倍数は2,4,6、3の倍数は3,6、6は重複。和事象は{2,3,4,6}の4通りで4/6=2/3となる。
問41．1から10までの番号札から1枚引くとき、3の倍数または4の倍数である確率はいくらか。
- ア．3/10
- イ．2/5
- ウ．1/2
- エ．1/5
正解：ウ．1/2

解説：3の倍数は3,6,9、4の倍数は4,8で重複なし。排反なので合わせて5通り、5/10=1/2となる。
問42．事象Aの確率が0.5、事象Bの確率が0.3で、AとBが排反のとき、AまたはBが起こる確率はいくらか。
- ア．0.8
- イ．0.15
- ウ．0.2
- エ．0.5
正解：ア．0.8

解説：排反事象では和事象の確率はP(A)+P(B)。0.5+0.3=0.8となる。同時には起こらないためである。
問43．命中率が1/3の射撃を2回行うとき、2回とも命中する確率はいくらか。
- ア．2/3
- イ．2/9
- ウ．1/9
- エ．1/3
正解：ウ．1/9

解説：各回独立なので独立試行の確率は(1/3)×(1/3)=1/9となる。
問44．袋Aに赤玉が出る確率2/5、袋Bに赤玉が出る確率1/4で、各々1個ずつ取り出すとき両方赤玉である確率はいくらか。
- ア．13/20
- イ．3/20
- ウ．1/10
- エ．2/9
正解：ウ．1/10

解説：独立試行なので積で(2/5)×(1/4)=2/20=1/10となる。
問45．1個のサイコロを4回投げるとき、1の目がちょうど1回出る確率はいくらか。
- ア．125/1296
- イ．125/324
- ウ．25/1296
- エ．25/324
正解：イ．125/324

解説：1の目が出る確率は1/6、出ない確率は5/6で、4回の試行は互いに独立である。4回のうち1の目が出る1回の選び方は4C1=4通りあり、そのそれぞれの確率は(1/6)^1×(5/6)^3=125/1296なので、求める確率は4×125/1296=500/1296=125/324となる。125/1296は4C1を掛け忘れた値、25/1296と25/324は1の目が出る回数を2回として指数を取り違えた値である。

根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編理数編」数学A (2) 場合の数と確率（独立な試行の確率 P(C)=P(A)P(B)）PDF 106ページ・数学B 統計的な推測（反復試行と二項分布 nCk p^k (1−p)^(n−k) の例）PDF 119ページ／日本数学検定協会「数学検定準2級」検定の内容検定の内容（高校1年程度：場合の数、確率）
問46．コインを5回投げるとき、表がちょうど2回出る確率はいくらか。
- ア．1/4
- イ．5/16
- ウ．5/32
- エ．1/16
正解：イ．5/16

解説：反復試行で5C2×(1/2)^2×(1/2)^3=10×(1/32)=10/32=5/16となる。
問47．命中率1/2の射撃を3回行うとき、ちょうど2回命中する確率はいくらか。
- ア．1/4
- イ．1/8
- ウ．3/8
- エ．1/2
正解：ウ．3/8

解説：反復試行で3C2×(1/2)^2×(1/2)^1=3×(1/8)=3/8となる。
問48．ある製品の不良率が0.1のとき、3個取り出してちょうど1個が不良である確率はいくらか。
- ア．0.1
- イ．0.243
- ウ．0.027
- エ．0.3
正解：イ．0.243

解説：反復試行で3C1×(0.1)^1×(0.9)^2=3×0.1×0.81=0.243となる。
問49．当たりくじ3本、外れくじ7本の計10本から、Aが1本引き(戻さず)次にBが1本引く。Aが当たりのとき、Bが当たりである条件付き確率はいくらか。
- ア．3/10
- イ．1/3
- ウ．7/9
- エ．2/9
正解：エ．2/9

解説：Aが当たりを引いた後は残り9本中当たり2本。条件付き確率は2/9となる。
問50．1個のサイコロを投げて、出た目の数だけ100円もらえるゲームの期待値はいくらか。
- ア．300円
- イ．350円
- ウ．210円
- エ．600円
正解：イ．350円

解説：目の期待値は(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5。100円倍で3.5×100=350円となる。
問51．和の法則とは、互いに排反な2つの事象A,Bについて、AまたはBの起こる場合の数がAの場合の数とBの場合の数の和になるという法則である。

正解：○（正しい）

解説：和の法則は同時には起こらない事柄について場合の数を加えるものである。記述は正しい。
問52．積の法則とは、事象Aがm通り、続いて事象Bがn通り起こるとき、AかつBの起こる場合の数がm×n通りになるという法則である。

正解：○（正しい）

解説：積の法則は連続して起こる事柄の場合の数を掛け合わせるものである。記述は正しい。
問53．順列の総数 nPr は nPr=n!/(n-r)! で求められる。

正解：○（正しい）

解説：nPr=n×(n-1)×…×(n-r+1)=n!/(n-r)!である。公式は正しい。
問54．組合せの総数 nCr は nCr=n!/(r!(n-r)!) で求められる。

正解：○（正しい）

解説：nCrは順列nPrを並べ替えr!で割ったもので、n!/(r!(n-r)!)となる。公式は正しい。
問55．0!=1 と定義されている。

正解：○（正しい）

解説：0の階乗は1と定義され、組合せや順列の公式が成り立つようにしている。記述は正しい。
問56．nCr=nC(n-r) という関係が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：r個選ぶことは残りn-r個を選ぶことと対応するためnCr=nC(n-r)が成り立つ。正しい。
問57．異なるn個の円順列の総数は (n-1)! である。

正解：○（正しい）

解説：円順列は回転して一致するものを同一視するため、1個を固定し残りを並べて(n-1)!となる。正しい。
問58．確率の値は必ず0以上1以下の範囲にある。

正解：○（正しい）

解説：確率Pは0≦P≦1を満たす。必ず起こる事象が1、起こらない事象が0である。記述は正しい。
問59．事象Aの余事象の確率は 1-P(A) で求められる。

正解：○（正しい）

解説：余事象はAが起こらない事象で、その確率は全体1からP(A)を引いた1-P(A)となる。正しい。
問60．互いに独立な2つの試行で事象A,Bがともに起こる確率は P(A)×P(B) である。

正解：○（正しい）

解説：独立試行では一方の結果が他方に影響しないため、ともに起こる確率は積P(A)×P(B)となる。正しい。
問61．2個のサイコロを投げて目の和が7になる確率は 1/6 である。

正解：○（正しい）

解説：和が7は6通り、全体36通りで6/36=1/6。記述は正しい。
問62．異なる5個から3個を取り出して並べる順列 5P3 は 10 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは5P3=5×4×3=60である。10となるのは順序を区別しない組合せ5C3の値であり、順列とは異なる。
問63．10C2=45 である。

正解：○（正しい）

解説：10C2=(10×9)/(2×1)=90/2=45である。よって正しい。
問64．和の法則は、続けて起こる2つの事象の場合の数を掛け合わせる法則である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは掛け合わせるのは積の法則であり、和の法則は排反な事象の場合の数を足し合わせる法則である。
問65．5人を1列に並べる方法は 5×5=25 通りである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは5!=5×4×3×2×1=120通りである。各位置で使える人が1人ずつ減るためである。
問66．8C3=24 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは8C3=(8×7×6)/(3×2×1)=336/6=56である。分母の3!=6で割る点に注意する。
問67．異なる6個の円順列の総数は 6!=720 通りである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは円順列は(n-1)!なので(6-1)!=5!=120通りである。回転して同じになるものを除くためである。
問68．赤玉3個、白玉2個の計5個を1列に並べる方法(同色は区別しない)は 5!=120 通りである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは同じものを含む順列で5!/(3!×2!)=120/12=10通りである。同色の入れ替えを区別しないためである。
問69．1個のサイコロを投げて偶数の目が出る確率は 1/3 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは偶数は2,4,6の3通りで全体6通りより3/6=1/2である。
問70．余事象の確率は P(A)+1 で求められる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは余事象の確率は1-P(A)である。全体の確率1から事象Aの確率を引く。
問71．コインを5回投げて表がちょうど2回出る確率は 2/5 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは反復試行により5C2×(1/2)^2×(1/2)^3=10×(1/32)=5/16である。2/5ではない。
問72．排反でない2つの事象A,Bについて、P(A∪B)=P(A)+P(B) が常に成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは一般にP(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)である。排反でない場合は重なりP(A∩B)を引く必要がある。
問73．重複順列で、3種類の数字から4桁の数字列を作る方法は 3×4=12 通りである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは重複順列で各位3通りが4桁分なので3の4乗=81通りである。掛け算でなく累乗で計算する。
問74．10人から3人の委員を選ぶ方法は 10P3=720 通りである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは委員選びは順序を区別しないので10C3=120通りである。並べる順列ではなく組合せを使う。
問75．n人を1列に並べる順列の総数は n! である。

正解：○（正しい）

解説：n人すべてを1列に並べる順列の総数はnPn=n×(n-1)×…×2×1=n!である。記述は正しい。
問76．2次関数 y=x^2-4x+1 を平方完成し、頂点の座標を求めよ。
- ア．(2,-3)
- イ．(-2,-3)
- ウ．(2,3)
- エ．(-2,3)
正解：ア．(2,-3)

解説：y=x^2-4x+1=(x-2)^2-4+1=(x-2)^2-3。頂点は(2,-3)。平方完成は係数-4の半分-2を用いる。
問77．2次関数 y=x^2+6x+5 を平方完成せよ。
- ア．y=(x-3)^2-4
- イ．y=(x+3)^2-4
- ウ．y=(x+3)^2+4
- エ．y=(x+6)^2-4
正解：イ．y=(x+3)^2-4

解説：y=x^2+6x+5=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4。6の半分3で(x+3)^2、定数は-9+5=-4。
問78．2次関数 y=x^2-2x-3 の頂点の座標を求めよ。
- ア．(-1,-4)
- イ．(1,4)
- ウ．(1,-4)
- エ．(-1,4)
正解：ウ．(1,-4)

解説：y=x^2-2x-3=(x-1)^2-1-3=(x-1)^2-4。頂点は(1,-4)。-2の半分-1を用いる。
問79．2次関数 y=2x^2-8x+5 を平方完成せよ。
- ア．y=2(x-2)^2+5
- イ．y=2(x-4)^2-3
- ウ．y=2(x-2)^2-8
- エ．y=2(x-2)^2-3
正解：エ．y=2(x-2)^2-3

解説：y=2(x^2-4x)+5=2((x-2)^2-4)+5=2(x-2)^2-8+5=2(x-2)^2-3。
問80．2次関数 y=x^2+4x+4 の頂点の座標を求めよ。
- ア．(-2,0)
- イ．(2,0)
- ウ．(-2,4)
- エ．(0,-2)
正解：ア．(-2,0)

解説：y=x^2+4x+4=(x+2)^2。頂点は(-2,0)。4の半分2で(x+2)^2、定数は4-4=0。
問81．2次関数 y=-x^2+2x+3 の頂点の座標を求めよ。
- ア．(-1,4)
- イ．(1,4)
- ウ．(1,-4)
- エ．(1,3)
正解：イ．(1,4)

解説：y=-(x^2-2x)+3=-((x-1)^2-1)+3=-(x-1)^2+1+3=-(x-1)^2+4。頂点は(1,4)。
問82．2次関数 y=3x^2-12x+7 の頂点の座標を求めよ。
- ア．(2,7)
- イ．(-2,-5)
- ウ．(2,-5)
- エ．(2,-12)
正解：ウ．(2,-5)

解説：y=3(x^2-4x)+7=3(x-2)^2-12+7=3(x-2)^2-5。頂点は(2,-5)。
問83．2次関数 y=x^2-6x+10 の軸の方程式を求めよ。
- ア．x=-3
- イ．x=6
- ウ．x=1
- エ．x=3
正解：エ．x=3

解説：y=x^2-6x+10=(x-3)^2-9+10=(x-3)^2+1。頂点(3,1)より軸はx=3。
問84．2次関数 y=x^2+8x+11 の軸の方程式を求めよ。
- ア．x=-4
- イ．x=4
- ウ．x=8
- エ．x=-5
正解：ア．x=-4

解説：y=(x+4)^2-16+11=(x+4)^2-5。頂点(-4,-5)より軸はx=-4。8の半分4を用いる。
問85．2次関数 y=x^2-3x+1 の頂点の座標を求めよ。
- ア．(-3/2,-5/4)
- イ．(3/2,-5/4)
- ウ．(3/2,5/4)
- エ．(3,-5/4)
正解：イ．(3/2,-5/4)

解説：y=(x-3/2)^2-9/4+1=(x-3/2)^2-5/4。頂点は(3/2,-5/4)。-3の半分-3/2を用いる。
問86．2次関数 y=-2x^2+4x-1 の頂点の座標を求めよ。
- ア．(-1,1)
- イ．(1,-1)
- ウ．(1,1)
- エ．(1,2)
正解：ウ．(1,1)

解説：y=-2(x^2-2x)-1=-2((x-1)^2-1)-1=-2(x-1)^2+2-1=-2(x-1)^2+1。頂点は(1,1)。
問87．2次関数 y=(x-2)^2+3 のグラフは、y=x^2 のグラフをどのように平行移動したものか。
- ア．x軸方向に-2、y軸方向に3
- イ．x軸方向に2、y軸方向に-3
- ウ．x軸方向に-2、y軸方向に-3
- エ．x軸方向に2、y軸方向に3
正解：エ．x軸方向に2、y軸方向に3

解説：y=a(x-p)^2+qは頂点(p,q)。よってx軸方向に+2、y軸方向に+3平行移動したもの。
問88．2次関数 y=x^2 のグラフをx軸方向に-3、y軸方向に2平行移動した放物線の式を求めよ。
- ア．y=(x+3)^2+2
- イ．y=(x-3)^2+2
- ウ．y=(x+3)^2-2
- エ．y=(x-3)^2-2
正解：ア．y=(x+3)^2+2

解説：x軸方向にpはxをx-pに置換。p=-3,q=2よりy=(x-(-3))^2+2=(x+3)^2+2。
問89．2次関数 y=2x^2 のグラフをx軸方向に1、y軸方向に-4平行移動した放物線の式を求めよ。
- ア．y=2(x+1)^2-4
- イ．y=2(x-1)^2-4
- ウ．y=2(x-1)^2+4
- エ．y=2(x-4)^2-1
正解：イ．y=2(x-1)^2-4

解説：x軸方向に1はxをx-1に。y軸方向に-4は-4を加える。y=2(x-1)^2-4。
問90．放物線 y=x^2-2x+3 をx軸方向に2平行移動した放物線の式を求めよ。
- ア．y=(x+1)^2+2
- イ．y=(x-3)^2+4
- ウ．y=(x-3)^2+2
- エ．y=(x-1)^2+4
正解：ウ．y=(x-3)^2+2

解説：y=(x-1)^2+2。頂点(1,2)。x軸方向に2移動で頂点(3,2)、式はy=(x-3)^2+2。
問91．2次方程式 x^2-5x+6=0 を解け。
- ア．x=-2,-3
- イ．x=1,6
- ウ．x=2,-3
- エ．x=2,3
正解：エ．x=2,3

解説：x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0。和5・積6となる2,3を用いて因数分解。x=2,3。
問92．2次方程式 x^2+x-6=0 を解け。
- ア．x=-3,2
- イ．x=3,-2
- ウ．x=3,2
- エ．x=-3,-2
正解：ア．x=-3,2

解説：x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0。和1・積-6となる3,-2を用いる。x=-3,2。
問93．2次方程式 x^2-7x+12=0 を解け。
- ア．x=-3,-4
- イ．x=3,4
- ウ．x=2,6
- エ．x=1,12
正解：イ．x=3,4

解説：x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0。和7・積12となる3,4を用いる。x=3,4。
問94．2次方程式 x^2-9=0 を解け。
- ア．x=3
- イ．x=±9
- ウ．x=±3
- エ．x=9
正解：ウ．x=±3

解説：x^2-9=(x+3)(x-3)=0。よってx=±3。x^2=9よりx=3またはx=-3。
問95．2次方程式 x^2-4x=0 を解け。
- ア．x=4
- イ．x=0,-4
- ウ．x=-4
- エ．x=0,4
正解：エ．x=0,4

解説：x^2-4x=x(x-4)=0。共通因数xでくくる。x=0またはx=4。
問96．2次方程式 2x^2-5x+2=0 を解け。
- ア．x=1/2,2
- イ．x=-1/2,2
- ウ．x=1/2,-2
- エ．x=2,2
正解：ア．x=1/2,2

解説：たすき掛けで2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)=0。x=1/2,2。
問97．2次方程式 3x^2-7x+2=0 を解け。
- ア．x=-1/3,2
- イ．x=1/3,2
- ウ．x=1/3,-2
- エ．x=3,2
正解：イ．x=1/3,2

解説：たすき掛けで3x^2-7x+2=(3x-1)(x-2)=0。x=1/3,2。
問98．2次方程式 x^2-6x+9=0 を解け。
- ア．x=±3
- イ．x=-3
- ウ．x=3
- エ．x=3,9
正解：ウ．x=3

解説：x^2-6x+9=(x-3)^2=0。重解x=3。判別式D=36-36=0より重解。
問99．2次方程式 x^2-3x+1=0 を解の公式で解け。
- ア．x=(3±√13)/2
- イ．x=(-3±√5)/2
- ウ．x=(3±√5)
- エ．x=(3±√5)/2
正解：エ．x=(3±√5)/2

解説：x=(-(-3)±√((-3)^2-4×1×1))/2=(3±√(9-4))/2=(3±√5)/2。
問100．2次方程式 x^2+5x+2=0 を解の公式で解け。
- ア．x=(-5±√17)/2
- イ．x=(5±√17)/2
- ウ．x=(-5±√33)/2
- エ．x=(-5±√17)/4
正解：ア．x=(-5±√17)/2

解説：x=(-5±√(5^2-4×1×2))/2=(-5±√(25-8))/2=(-5±√17)/2。
問101．2次方程式 2x^2-3x-1=0 を解の公式で解け。
- ア．x=(3±√17)/2
- イ．x=(3±√17)/4
- ウ．x=(-3±√17)/4
- エ．x=(3±√1)/4
正解：イ．x=(3±√17)/4

解説：x=(3±√((-3)^2-4×2×(-1)))/(2×2)=(3±√(9+8))/4=(3±√17)/4。
問102．2次方程式 x^2-2x-1=0 を解け。
- ア．x=1±√3
- イ．x=-1±√2
- ウ．x=1±√2
- エ．x=2±√2
正解：ウ．x=1±√2

解説：x=(2±√((-2)^2-4×1×(-1)))/2=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2。
問103．2次方程式 x^2+4x+1=0 を解け。
- ア．x=2±√3
- イ．x=-2±√12
- ウ．x=-2±√5
- エ．x=-2±√3
正解：エ．x=-2±√3

解説：x=(-4±√(16-4))/2=(-4±√12)/2=(-4±2√3)/2=-2±√3。√12=2√3。
問104．2次方程式 x^2-2x+5=0 の解について正しいものを選べ。
- ア．実数解をもたない
- イ．重解をもつ
- ウ．異なる2つの実数解をもつ
- エ．解x=1のみ
正解：ア．実数解をもたない

解説：D=(-2)^2-4×1×5=4-20=-16<0。判別式が負なので実数解はもたない。
問105．2次方程式 x^2+3x+1=0 の判別式Dの値を求めよ。
- ア．13
- イ．5
- ウ．-5
- エ．9
正解：イ．5

解説：D=b^2-4ac=3^2-4×1×1=9-4=5。D=5>0より異なる2つの実数解をもつ。
問106．2次方程式 2x^2-4x+5=0 の判別式Dの値を求めよ。
- ア．24
- イ．16
- ウ．-24
- エ．-16
正解：ウ．-24

解説：D=b^2-4ac=(-4)^2-4×2×5=16-40=-24。D=-24<0より実数解をもたない。
問107．2次方程式 x^2-4x+k=0 が重解をもつとき、定数kの値を求めよ。
- ア．k=-4
- イ．k=16
- ウ．k=2
- エ．k=4
正解：エ．k=4

解説：重解の条件はD=0。D=(-4)^2-4×1×k=16-4k=0より4k=16、k=4。
問108．2次方程式 x^2+6x+k=0 が異なる2つの実数解をもつとき、定数kの範囲を求めよ。
- ア．k<9
- イ．k>9
- ウ．k<-9
- エ．k>-9
正解：ア．k<9

解説：条件はD>0。D=6^2-4k=36-4k>0より4k<36、k<9。
問109．2次方程式 x^2-2x+k=0 が実数解をもたないとき、定数kの範囲を求めよ。
- ア．k<1
- イ．k>1
- ウ．k>-1
- エ．k<-1
正解：イ．k>1

解説：条件はD<0。D=(-2)^2-4k=4-4k<0より4k>4、k>1。
問110．2次関数 y=x^2-6x+5 のグラフがx軸と交わる点のx座標を求めよ。
- ア．x=-1,-5
- イ．x=1,-5
- ウ．x=1,5
- エ．x=5
正解：ウ．x=1,5

解説：y=0とおきx^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0。x軸との共有点のx座標はx=1,5。
問111．2次関数 y=x^2-2x-8 のグラフとx軸の共有点の個数を求めよ。
- ア．1個
- イ．0個
- ウ．3個
- エ．2個
正解：エ．2個

解説：D=(-2)^2-4×1×(-8)=4+32=36>0。D>0より共有点は2個。
問112．2次関数 y=x^2-4x+4 のグラフとx軸の共有点の個数を求めよ。
- ア．1個
- イ．2個
- ウ．0個
- エ．3個
正解：ア．1個

解説：D=(-4)^2-4×1×4=16-16=0。D=0より接する。共有点は1個。
問113．2次関数 y=x^2+x+3 のグラフとx軸の共有点の個数を求めよ。
- ア．1個
- イ．0個
- ウ．2個
- エ．3個
正解：イ．0個

解説：D=1^2-4×1×3=1-12=-11<0。D<0よりx軸と交わらず共有点は0個。
問114．2次関数 y=2x^2-4x-6 とx軸の共有点のx座標を求めよ。
- ア．x=-3,1
- イ．x=3,-1
- ウ．x=3,1
- エ．x=-3,-1
正解：イ．x=3,-1

解説：y=0より2x^2-4x-6=0、2で割りx^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0。x=3,-1。
問115．2次不等式 x^2-5x+6>0 を解け。
- ア．2<x<3
- イ．x<3
- ウ．x<2,3<x
- エ．x>2
正解：ウ．x<2,3<x

解説：x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0よりx=2,3。下に凸でy>0は解の外側。x<2,3<x。
問116．2次不等式 x^2-5x+6<0 を解け。
- ア．2<x<3
- イ．x<2,3<x
- ウ．x<2
- エ．x>3
正解：ア．2<x<3

解説：(x-2)(x-3)=0よりx=2,3。下に凸でy<0は解の内側。2<x<3。
問117．2次不等式 x^2-x-6≦0 を解け。
- ア．x≦-2,3≦x
- イ．-2≦x≦3
- ウ．-3≦x≦2
- エ．2≦x≦3
正解：イ．-2≦x≦3

解説：x^2-x-6=(x-3)(x+2)=0よりx=-2,3。下に凸でy≦0は内側。-2≦x≦3。
問118．2次不等式 x^2-4≧0 を解け。
- ア．-2≦x≦2
- イ．x≦2
- ウ．x≦-2,2≦x
- エ．x≧-2
正解：ウ．x≦-2,2≦x

解説：x^2-4=(x+2)(x-2)=0よりx=-2,2。下に凸でy≧0は外側。x≦-2,2≦x。
問119．2次不等式 x^2-2x>0 を解け。
- ア．0<x<2
- イ．x<2
- ウ．x>0
- エ．x<0,2<x
正解：エ．x<0,2<x

解説：x^2-2x=x(x-2)=0よりx=0,2。下に凸でy>0は外側。x<0,2<x。
問120．2次関数 y=x^2-2x+3 (定義域は実数全体)の最小値を求めよ。
- ア．2
- イ．3
- ウ．1
- エ．-1
正解：ア．2

解説：y=(x-1)^2-1+3=(x-1)^2+2。下に凸で頂点が最小。x=1のとき最小値2。
問121．2次関数 y=-x^2+4x-1 の最大値を求めよ。
- ア．-1
- イ．3
- ウ．4
- エ．2
正解：イ．3

解説：y=-(x^2-4x)-1=-(x-2)^2+4-1=-(x-2)^2+3。上に凸でx=2のとき最大値3。
問122．2次関数 y=x^2-6x+5 の最小値とそのときのxの値を求めよ。
- ア．x=-3で最小値-4
- イ．x=3で最小値4
- ウ．x=3で最小値-4
- エ．x=3で最小値5
正解：ウ．x=3で最小値-4

解説：y=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4。x=3のとき最小値-4をとる。
問123．2次関数 y=x^2-2x (0≦x≦3)の最大値を求めよ。
- ア．0
- イ．-1
- ウ．9
- エ．3
正解：エ．3

解説：y=(x-1)^2-1。頂点x=1。区間端x=0でy=0、x=3でy=9-6=3。最大値は3。
問124．頂点が(2,-1)で点(0,3)を通る2次関数の式を求めよ。
- ア．y=(x+2)^2-1
- イ．y=2(x-2)^2-1
- ウ．y=(x-2)^2-1
- エ．y=(x-2)^2+1
正解：ウ．y=(x-2)^2-1

解説：y=a(x-2)^2-1とおく。(0,3)代入で3=4a-1、4a=4、a=1。よってy=(x-2)^2-1。
問125．2次方程式 x^2-8x+15=0 を解け。
- ア．x=-3,-5
- イ．x=1,15
- ウ．x=3,-5
- エ．x=3,5
正解：エ．x=3,5

解説：x^2-8x+15=(x-3)(x-5)=0。和8・積15となる3,5を用いる。x=3,5。
問126．2次関数 y=x^2-2x+3 の頂点の座標は (1,2) である。

正解：○（正しい）

解説：y=(x-1)^2-1+3=(x-1)^2+2。頂点は(1,2)。よって正しい。
問127．2次方程式の判別式 D=b^2-4ac が D>0 のとき、異なる2つの実数解をもつ。

正解：○（正しい）

解説：D>0で異なる2つの実数解、D=0で重解、D<0で実数解なし。よって正しい。
問128．2次方程式の判別式が D=0 のとき、その方程式は重解をもつ。

正解：○（正しい）

解説：D=0のとき解は1つ(重解)。D>0で2解、D<0で実数解なし。よって正しい。
問129．2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフは、a>0 のとき下に凸の放物線になる。

正解：○（正しい）

解説：a>0で下に凸、a<0で上に凸。最高次の係数aの符号で凹凸が決まる。よって正しい。
問130．2次方程式 x^2-5x+6=0 の解は x=2,3 である。

正解：○（正しい）

解説：x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0よりx=2,3。和5・積6で確認。よって正しい。
問131．y=a(x-p)^2+q のグラフの頂点の座標は (p,q) である。

正解：○（正しい）

解説：平方完成形y=a(x-p)^2+qの頂点は(p,q)、軸はx=p。よって正しい。
問132．下に凸の2次関数は、頂点で最小値をとる。

正解：○（正しい）

解説：下に凸(a>0)は頂点が最も低く最小値をとる。上に凸は頂点で最大値。よって正しい。
問133．2次関数 y=x^2 をx軸方向に2平行移動するとき、式は y=(x-2)^2 となる。

正解：○（正しい）

解説：x軸方向に+pはxをx-pに置換。p=2でy=(x-2)^2。符号に注意。よって正しい。
問134．2次方程式 x^2+4=0 は実数解をもたない。

正解：○（正しい）

解説：x^2=-4。x^2は0以上で-4にならない。D=0-16=-16<0で実数解なし。よって正しい。
問135．2次不等式 x^2<9 の解は -3<x<3 である。

正解：○（正しい）

解説：x^2-9=(x+3)(x-3)<0。下に凸でy<0は内側。-3<x<3。よって正しい。
問136．2次関数 y=-x^2+4x の最大値は 4 である。

正解：○（正しい）

解説：y=-(x-2)^2+4。上に凸でx=2のとき最大値4。よって正しい。
問137．2次関数のグラフとx軸の共有点の個数は、判別式Dの符号で判定できる。

正解：○（正しい）

解説：D>0で2個、D=0で1個(接する)、D<0で0個。判別式で判定できる。よって正しい。
問138．2次関数 y=2(x-1)^2+3 の軸の方程式は x=1 である。

正解：○（正しい）

解説：y=a(x-p)^2+qの軸はx=p。p=1より軸はx=1。よって正しい。
問139．2次関数 y=x^2+6x+5 の頂点の座標は (3,-4) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはy=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4より頂点(-3,-4)。pの符号に注意。
問140．2次方程式の判別式が D<0 のとき、異なる2つの実数解をもつ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはD<0のとき実数解をもたない。異なる2つの実数解はD>0のとき。
問141．2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフは、a<0 のとき下に凸の放物線になる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはa<0のとき上に凸になる。下に凸はa>0のとき。
問142．2次方程式 x^2-6x+9=0 は異なる2つの実数解をもつ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはx^2-6x+9=(x-3)^2=0で重解x=3。D=36-36=0だから重解。
問143．2次関数 y=x^2-4x+1 をx軸方向に3平行移動すると、xをx+3に置き換えた式になる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはx軸方向に+3はxをx-3に置換する。x+3ではない。
問144．下に凸の2次関数は、頂点で最大値をとる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは下に凸は頂点で最小値をとる。最大値をとるのは上に凸の頂点。
問145．2次不等式 x^2-4>0 の解は -2<x<2 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは(x+2)(x-2)>0で外側のx<-2,2<x。-2<x<2はx^2-4<0の解。
問146．2次方程式 x^2-5x+6=0 の解は x=-2,-3 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは(x-2)(x-3)=0よりx=2,3。和5・積6となるのは2と3。
問147．2次関数 y=-2x^2+8x-3 は下に凸の放物線である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはx^2の係数-2<0なので上に凸。a>0のときのみ下に凸。
問148．2次方程式 2x^2-3x+5=0 は異なる2つの実数解をもつ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。D=(-3)^2-4×2×5=9-40=-31<0で実数解をもたない。D<0だから誤り。
問149．2次関数 y=(x-2)^2+5 の最小値は 2 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは下に凸でx=2のとき最小値5。頂点(2,5)のy座標が最小値。
問150．2次方程式 x^2-2x+3=0 は重解をもつ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。D=(-2)^2-4×1×3=4-12=-8<0で実数解をもたない。D<0だから重解ではない。
問151．sin30° の値を求めよ。
- ア．1/2
- イ．√3/2
- ウ．1
- エ．√2/2
正解：ア．1/2

解説：30°60°90°の直角三角形の辺の比は1:√3:2であり、sin30°=対辺/斜辺=1/2となる。基本値として暗記する。
問152．cos60° の値を求めよ。
- ア．√3/2
- イ．1/2
- ウ．√2/2
- エ．1
正解：イ．1/2

解説：cos60°=隣辺/斜辺で、30°60°90°の三角比では60°の隣辺は短い辺なのでcos60°=1/2となる。sin30°と同値。
問153．tan45° の値を求めよ。
- ア．1
- イ．√2
- ウ．1/2
- エ．√3
正解：ア．1

解説：45°45°90°の直角二等辺三角形は辺の比1:1:√2であり、tan45°=対辺/隣辺=1/1=1となる。基本値である。
問154．sin60° の値を求めよ。
- ア．1/2
- イ．√3/2
- ウ．√2/2
- エ．1
正解：イ．√3/2

解説：30°60°90°の辺の比1:√3:2より、60°の対辺は√3で斜辺は2。よってsin60°=対辺/斜辺=√3/2となる。
問155．cos30° の値を求めよ。
- ア．1/2
- イ．√2/2
- ウ．√3/2
- エ．1/√3
正解：ウ．√3/2

解説：cos30°=隣辺/斜辺で、30°の隣辺は√3、斜辺は2なのでcos30°=√3/2となる。これはsin60°と同じ値である。
問156．tan60° の値を求めよ。
- ア．1/√3
- イ．1
- ウ．√3/2
- エ．√3
正解：エ．√3

解説：tan60°=sin60°/cos60°=(√3/2)/(1/2)=√3となる。または対辺√3を隣辺1で割って√3として求まる。
問157．sin45° の値を求めよ。
- ア．√2/2
- イ．1/2
- ウ．√3/2
- エ．1
正解：ア．√2/2

解説：直角二等辺三角形の辺の比1:1:√2より、sin45°=対辺/斜辺=1/√2=√2/2となる。有理化して表すのが普通。
問158．tan30° の値を求めよ。
- ア．√3
- イ．√3/3
- ウ．1/2
- エ．√2/2
正解：イ．√3/3

解説：tan30°=sin30°/cos30°=(1/2)/(√3/2)=1/√3=√3/3となる。30°の対辺1を隣辺√3で割った値である。
問159．cos45° の値を求めよ。
- ア．1/2
- イ．√3/2
- ウ．√2/2
- エ．1
正解：ウ．√2/2

解説：直角二等辺三角形で隣辺と対辺は等しく1、斜辺は√2である。よってcos45°=1/√2=√2/2となりsin45°と同値。
問160．sin90° の値を求めよ。
- ア．0
- イ．1/2
- ウ．√3/2
- エ．1
正解：エ．1

解説：単位円で90°のy座標が1なのでsin90°=1である。角を大きくするとsinは0から1へ増加し90°で最大となる。
問161．cos90° の値を求めよ。
- ア．0
- イ．1
- ウ．1/2
- エ．√2/2
正解：ア．0

解説：単位円で90°のx座標が0なのでcos90°=0である。cosは0°で1、90°で0へと単調に減少していく値である。
問162．sin120° の値を求めよ。
- ア．-√3/2
- イ．√3/2
- ウ．1/2
- エ．-1/2
正解：イ．√3/2

解説：sin(180°-θ)=sinθより、sin120°=sin(180°-60°)=sin60°=√3/2となる。鈍角のsinは正のままになる。
問163．cos120° の値を求めよ。
- ア．1/2
- イ．√3/2
- ウ．-1/2
- エ．-√3/2
正解：ウ．-1/2

解説：cos(180°-θ)=-cosθより、cos120°=-cos60°=-1/2となる。鈍角のcosは負になる点に注意する必要がある。
問164．sin150° の値を求めよ。
- ア．-1/2
- イ．√3/2
- ウ．-√3/2
- エ．1/2
正解：エ．1/2

解説：sin(180°-θ)=sinθより、sin150°=sin(180°-30°)=sin30°=1/2となる。鈍角でもsinは正の値をとる。
問165．cos150° の値を求めよ。
- ア．-√3/2
- イ．√3/2
- ウ．1/2
- エ．-1/2
正解：ア．-√3/2

解説：cos(180°-θ)=-cosθより、cos150°=-cos30°=-√3/2となる。鈍角のcosは負になることを確認する。
問166．tan135° の値を求めよ。
- ア．1
- イ．-1
- ウ．√3
- エ．-√3
正解：イ．-1

解説：tan(180°-θ)=-tanθより、tan135°=-tan45°=-1となる。鈍角のtanは負になることに注意する。
問167．tan120° の値を求めよ。
- ア．√3
- イ．1/√3
- ウ．-√3
- エ．-1/√3
正解：ウ．-√3

解説：tan120°=sin120°/cos120°=(√3/2)/(-1/2)=-√3となる。または-tan60°=-√3として求めることもできる。
問168．cosθ=-1/2 (0°≦θ≦180°) を満たす θ を求めよ。
- ア．60°
- イ．135°
- ウ．150°
- エ．120°
正解：エ．120°

解説：cosが-1/2となる参照角は60°で、鈍角範囲ではcos120°=-cos60°=-1/2となる。よってθ=120°が答えである。
問169．sinθ=1/2 (0°≦θ≦180°) を満たす θ を全て求めよ。
- ア．30°,150°
- イ．30°のみ
- ウ．150°のみ
- エ．30°,120°
正解：ア．30°,150°

解説：sin30°=1/2、またsin150°=sin(180°-30°)=1/2である。よってθ=30°と150°の2つが解となる。
問170．sin^2θ+cos^2θ の値を求めよ。
- ア．0
- イ．1
- ウ．1/2
- エ．2
正解：イ．1

解説：三角比の相互関係よりsin^2θ+cos^2θ=1が常に成り立つ。これは三平方の定理に由来する最も基本的な公式である。
問171．sinθ=3/5 (θは鋭角) のとき、cosθ の値を求めよ。
- ア．3/5
- イ．5/4
- ウ．4/5
- エ．5/3
正解：ウ．4/5

解説：cos^2θ=1-sin^2θ=1-9/25=16/25となる。θは鋭角でcosθ>0だからcosθ=√(16/25)=4/5である。
問172．cosθ=12/13 (θは鋭角) のとき、sinθ の値を求めよ。
- ア．12/13
- イ．13/5
- ウ．13/12
- エ．5/13
正解：エ．5/13

解説：sin^2θ=1-cos^2θ=1-144/169=25/169となる。鋭角でsinθ>0よりsinθ=√(25/169)=5/13である。
問173．sinθ=3/5、cosθ=4/5 のとき、tanθ の値を求めよ。
- ア．3/4
- イ．4/3
- ウ．5/3
- エ．5/4
正解：ア．3/4

解説：tanθ=sinθ/cosθ=(3/5)/(4/5)=3/4となる。sinをcosで割ると分母分子の5が消えて3/4になる。
問174．tanθ=2 (θは鋭角) のとき、1/cos^2θ の値を求めよ。
- ア．3
- イ．5
- ウ．4
- エ．6
正解：イ．5

解説：公式1+tan^2θ=1/cos^2θより、1/cos^2θ=1+2^2=1+4=5となる。三角比の相互関係の重要公式である。
問175．1+tan^2θ を1つの三角比で表すとどうなるか。
- ア．1/sin^2θ
- イ．1/tan^2θ
- ウ．1/cos^2θ
- エ．sin^2θ
正解：ウ．1/cos^2θ

解説：sin^2θ+cos^2θ=1の両辺をcos^2θで割るとtan^2θ+1=1/cos^2θとなる。よって1+tan^2θ=1/cos^2θである。
問176．cosθ=-3/5 (θは鈍角) のとき、sinθ の値を求めよ。
- ア．-4/5
- イ．3/5
- ウ．-3/5
- エ．4/5
正解：エ．4/5

解説：sin^2θ=1-cos^2θ=1-9/25=16/25となる。鈍角でもsinθ>0だからsinθ=√(16/25)=4/5である。
問177．sinθ+cosθ=1/2 のとき、sinθcosθ の値を求めよ。
- ア．-3/8
- イ．3/8
- ウ．-3/4
- エ．1/8
正解：ア．-3/8

解説：両辺2乗し(sinθ+cosθ)^2=1+2sinθcosθ=1/4。よって2sinθcosθ=1/4-1=-3/4、sinθcosθ=-3/8である。
問178．三角形ABCで a=√3、A=60° のとき、外接円の半径 R を正弦定理で求めよ。
- ア．1/2
- イ．1
- ウ．√3
- エ．2
正解：イ．1

解説：正弦定理a/sinA=2Rより2R=√3/sin60°=√3/(√3/2)=2となる。よってR=1が外接円の半径である。
問179．三角形ABCで a=4、A=30° のとき、外接円の半径 R を求めよ。
- ア．2
- イ．8
- ウ．4
- エ．16
正解：ウ．4

解説：正弦定理a/sinA=2Rより2R=4/sin30°=4/(1/2)=8となる。よってR=4が外接円の半径である。
問180．三角形ABCで a=6、A=45° のとき、外接円の半径 R を求めよ。
- ア．6√2
- イ．3
- ウ．6
- エ．3√2
正解：エ．3√2

解説：正弦定理より2R=a/sinA=6/sin45°=6/(√2/2)=12/√2=6√2となる。よってR=3√2である。
問181．三角形ABCで A=45°、B=60°、a=2 のとき、辺 b を正弦定理で求めよ。
- ア．√6
- イ．√3
- ウ．2√3
- エ．2√2
正解：ア．√6

解説：a/sinA=b/sinBよりb=a・sinB/sinA=2・(√3/2)/(√2/2)=2√3/√2=√6となる。正弦定理の応用である。
問182．三角形ABCで A=30°、B=90°、a=3 のとき、辺 b を求めよ。
- ア．3
- イ．6
- ウ．4
- エ．9
正解：イ．6

解説：正弦定理よりb=a・sinB/sinA=3・sin90°/sin30°=3・1/(1/2)=6となる。sin90°=1を用いて計算する。
問183．三角形ABCで b=2、c=3、A=60° のとき、辺 a を余弦定理で求めよ。
- ア．√5
- イ．3
- ウ．√7
- エ．√13
正解：ウ．√7

解説：a^2=b^2+c^2-2bc cosA=4+9-2・2・3・(1/2)=13-6=7となる。よってa=√7が辺の長さである。
問184．三角形ABCで b=3、c=5、A=60° のとき、辺 a を求めよ。
- ア．√34
- イ．7
- ウ．√50
- エ．√19
正解：エ．√19

解説：a^2=b^2+c^2-2bc cosA=9+25-2・3・5・(1/2)=34-15=19となる。よってa=√19が辺の長さである。
問185．三角形ABCで b=4、c=3、A=90° のとき、辺 a を求めよ。
- ア．5
- イ．7
- ウ．√7
- エ．1
正解：ア．5

解説：cos90°=0よりa^2=b^2+c^2-0=16+9=25となる。よってa=5となり三平方の定理に一致する結果である。
問186．三角形ABCで b=5、c=8、A=120° のとき、辺 a を求めよ。
- ア．√49
- イ．√129
- ウ．√89
- エ．7
正解：イ．√129

解説：cos120°=-1/2なのでa^2=25+64-2・5・8・(-1/2)=89+40=129となる。よってa=√129である。
問187．三角形ABCで a=7、b=5、c=3 のとき、cosA の値を余弦定理で求めよ。
- ア．1/2
- イ．√3/2
- ウ．-1/2
- エ．-√3/2
正解：ウ．-1/2

解説：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(25+9-49)/(2・5・3)=-15/30=-1/2となる。余弦定理の変形である。
問188．三角形ABCで a=7、b=5、c=3 のとき、角 A の大きさを求めよ。
- ア．60°
- イ．90°
- ウ．150°
- エ．120°
正解：エ．120°

解説：cosA=(25+9-49)/(2・5・3)=-15/30=-1/2となる。0°<A<180°でcosA=-1/2を満たすのはA=120°である。
問189．三角形ABCで a=√7、b=2、c=3 のとき、角 A の大きさを求めよ。
- ア．60°
- イ．30°
- ウ．45°
- エ．90°
正解：ア．60°

解説：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4+9-7)/(2・2・3)=6/12=1/2となる。cosA=1/2よりA=60°である。
問190．三角形ABCで a=2、b=3、C=60° のとき、面積 S を求めよ。
- ア．3√3
- イ．3√3/2
- ウ．3/2
- エ．√3
正解：イ．3√3/2

解説：面積公式S=(1/2)ab sinC=(1/2)・2・3・sin60°=3・(√3/2)=3√3/2となる。2辺と間の角を用いる。
問191．三角形ABCで b=4、c=5、A=30° のとき、面積 S を求めよ。
- ア．10
- イ．5√3
- ウ．5
- エ．20
正解：ウ．5

解説：面積公式S=(1/2)bc sinA=(1/2)・4・5・sin30°=10・(1/2)=5となる。sin30°=1/2を代入して計算する。
問192．三角形ABCで b=6、c=8、A=90° のとき、面積 S を求めよ。
- ア．12
- イ．48
- ウ．30
- エ．24
正解：エ．24

解説：面積公式S=(1/2)bc sinA=(1/2)・6・8・sin90°=24・1=24となる。sin90°=1なので直角を挟む2辺の積の半分。
問193．三角形ABCで a=4、b=4、C=120° のとき、面積 S を求めよ。
- ア．4√3
- イ．8√3
- ウ．8
- エ．16
正解：ア．4√3

解説：面積公式S=(1/2)ab sinC=(1/2)・4・4・sin120°=8・(√3/2)=4√3となる。sin120°=√3/2を用いる。
問194．三角形ABCで a=3、b=4、C=45° のとき、面積 S を求めよ。
- ア．6√2
- イ．3√2
- ウ．3
- エ．6
正解：イ．3√2

解説：面積公式S=(1/2)ab sinC=(1/2)・3・4・sin45°=6・(√2/2)=3√2となる。sin45°=√2/2を代入する。
問195．三辺が a=3、b=4、c=5 の三角形の面積をヘロンの公式で求めよ。
- ア．12
- イ．10
- ウ．6
- エ．8
正解：ウ．6

解説：s=(3+4+5)/2=6とし、S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))=√(6・3・2・1)=√36=6となる。直角三角形の面積である。
問196．三辺が a=5、b=6、c=7 の三角形の面積をヘロンの公式で求めよ。
- ア．6√5
- イ．18
- ウ．12
- エ．6√6
正解：エ．6√6

解説：s=(5+6+7)/2=9とし、S=√(9・4・3・2)=√216=√(36・6)=6√6となる。ヘロンの公式の典型例である。
問197．三辺が a=13、b=14、c=15 の三角形の面積をヘロンの公式で求めよ。
- ア．84
- イ．42
- ウ．168
- エ．96
正解：ア．84

解説：s=(13+14+15)/2=21とし、S=√(21・8・7・6)=√7056=84となる。面積が整数になる有名な三角形である。
問198．a=3、b=4、c=5 の直角三角形の内接円の半径 r を求めよ。
- ア．2
- イ．1
- ウ．3/2
- エ．1/2
正解：イ．1

解説：面積S=6、s=(3+4+5)/2=6である。内接円はS=rsよりr=S/s=6/6=1となる。3:4:5直角三角形の例。
問199．三角形ABCで a=8、b=5、c=7 のとき、cosC の値を求めよ。
- ア．-1/2
- イ．√3/2
- ウ．1/2
- エ．1/4
正解：ウ．1/2

解説：cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(64+25-49)/(2・8・5)=40/80=1/2となる。余弦定理を角Cに適用する。
問200．三角形ABCで a=8、b=5、c=7 のとき、面積 S を求めよ。
- ア．20√3
- イ．10
- ウ．20
- エ．10√3
正解：エ．10√3

解説：cosC=1/2よりC=60°、sinC=√3/2である。S=(1/2)ab sinC=(1/2)・8・5・(√3/2)=10√3となる。
問201．正弦定理は a/sinA = 2R である(Rは外接円の半径)。

正解：○（正しい）

解説：正弦定理はa/sinA=b/sinB=c/sinC=2Rである。各辺と対角のsinの比が外接円の直径2Rに等しい。よって正しい。
問202．cos60° の値は √3/2 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはcos60°=1/2である。√3/2となるのはcos30°やsin60°であり、60°の隣辺/斜辺は1/2となる。
問203．sin30° の値は 1/2 である。

正解：○（正しい）

解説：30°60°90°の直角三角形の辺の比1:√3:2より、sin30°=対辺/斜辺=1/2となる。基本値であり正しい記述である。
問204．tanθ = cosθ/sinθ である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはtanθ=sinθ/cosθである。sinをcosで割るのが正しく、分母と分子が逆になっている誤りである。
問205．tan45° の値は 1 である。

正解：○（正しい）

解説：直角二等辺三角形の辺の比1:1:√2より、tan45°=対辺/隣辺=1/1=1となる。基本値であり正しい記述である。
問206．cos120° の値は 1/2 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはcos120°=-1/2である。cos(180°-θ)=-cosθより-cos60°=-1/2となり鈍角でcosは負になる。
問207．余弦定理は a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA である。

正解：○（正しい）

解説：余弦定理は対辺aの2乗が他の2辺の2乗の和から2bc cosAを引いた形である。記述の通りで正しい公式である。
問208．90°<θ<180° のとき、cosθ の値は正である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは鈍角ではcosθは負である。単位円で第2象限のx座標は負になるためcosθ<0となるのが正しい。
問209．三角比の相互関係 sin^2θ + cos^2θ = 1 が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：三平方の定理より導かれる基本公式で、sin^2θ+cos^2θ=1は任意の角θで常に成立する。よって正しい記述である。
問210．sin(180°-θ) = -sinθ である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはsin(180°-θ)=sinθである。鈍角のsinは正で符号は変わらず、マイナスが付くのは誤りである。
問211．三角形の面積は S = (1/2)bc sinA で求められる。

正解：○（正しい）

解説：2辺bとcおよびその間の角Aを用いる面積公式S=(1/2)bc sinAは正しい。間の角のsinを掛ける形である。
問212．ヘロンの公式 S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) で、s は三辺の和に等しい。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはsは三辺の和の半分s=(a+b+c)/2である。周の長さそのものではなく半周長を用いるのが正しい。
問213．sin120° の値は √3/2 である。

正解：○（正しい）

解説：sin(180°-θ)=sinθよりsin120°=sin60°=√3/2となる。鈍角でもsinの値は正のままである。よって正しい記述。
問214．tan30° の値は √3 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはtan30°=1/√3=√3/3である。√3となるのはtan60°であり、対辺1を隣辺√3で割る値である。
問215．0°<θ<90° のとき、cosθ の値は正である。

正解：○（正しい）

解説：鋭角ではsin・cos・tanのすべてが正の値をとる。単位円で第1象限のx座標cosθ>0となる。よって正しい記述。
問216．sinθ=3/5 のとき、θが鋭角でも鈍角でも必ず cosθ=4/5 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは鈍角の場合cosθ=-4/5である。θが鋭角か鈍角かで符号が変わり一意には定まらない値である。
問217．公式 1 + tan^2θ = 1/cos^2θ が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：sin^2θ+cos^2θ=1の両辺をcos^2θで割るとtan^2θ+1=1/cos^2θとなる。重要な相互関係であり正しい記述である。
問218．cos45° の値は 1/2 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはcos45°=√2/2(=1/√2)である。1/2となるのはcos60°であり、直角二等辺の辺の比から導く。
問219．tan60° の値は √3 である。

正解：○（正しい）

解説：tan60°=sin60°/cos60°=(√3/2)/(1/2)=√3となる。30°60°90°の対辺√3を隣辺1で割る。よって正しい記述である。
問220．余弦定理の cosA の公式の分子は a^2-b^2-c^2 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは分子はb^2+c^2-a^2である。cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)であり符号と項の並びが異なる誤りである。
問221．cos(90°-θ) = sinθ が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：余角の関係でcos(90°-θ)=sinθが成立する。例えばcos60°=sin30°=1/2で確認できる。よって正しい記述である。
問222．sin45° の値は √3/2 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはsin45°=√2/2である。√3/2となるのはsin60°であり、直角二等辺三角形の比1:1:√2から導く。
問223．tan90° の値は定義されない(存在しない)。

正解：○（正しい）

解説：tan90°=sin90°/cos90°=1/0となり分母が0になるため値は定義されない。よって正しい記述である。
問224．三角形の3辺を a,b,c、面積を S とすると、内接円の半径は r = S/(a+b+c) で求められる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは S=rs（s=(a+b+c)/2）より r=S/s=2S/(a+b+c) である。S/(a+b+c) では正しい値の半分になってしまう。
問225．正三角形の1つの内角は 60° である。

正解：○（正しい）

解説：正三角形は3つの角がすべて等しく、内角の和180°を3で割ると60°となる。よって正しい記述である。
問226．12と18の最大公約数(GCD)を求めよ。
- ア．6
- イ．3
- ウ．12
- エ．36
正解：ア．6

解説：12=2^2×3、18=2×3^2と素因数分解する。共通因数は2と3で指数は小さい方をとり2×3=6となる。よってGCDは6である。
問227．12と18の最小公倍数(LCM)を求めよ。
- ア．36
- イ．6
- ウ．18
- エ．72
正解：ア．36

解説：12=2^2×3、18=2×3^2と分解する。LCMは各素因数の指数の大きい方をとり2^2×3^2=4×9=36となる。よってLCMは36である。
問228．24と36の最大公約数(GCD)を求めよ。
- ア．6
- イ．18
- ウ．72
- エ．12
正解：エ．12

解説：24=2^3×3、36=2^2×3^2と分解する。共通因数の小さい指数をとり2^2×3=4×3=12となる。よってGCDは12である。
問229．24と36の最小公倍数(LCM)を求めよ。
- ア．12
- イ．48
- ウ．144
- エ．72
正解：エ．72

解説：24=2^3×3、36=2^2×3^2と分解する。LCMは大きい指数をとり2^3×3^2=8×9=72となる。よってLCMは72である。
問230．72を素因数分解した形として正しいものを選べ。
- ア．2^3×3^2
- イ．2^2×3^3
- ウ．2^4×3
- エ．2×3^3
正解：ア．2^3×3^2

解説：72=2×36=2×2×18=2×2×2×9=2^3×3^2と順に割っていく。検算すると2^3×3^2=8×9=72で一致する。よって正しい。
問231．360を素因数分解した形として正しいものを選べ。
- ア．2^2×3^2×5
- イ．2^3×3×5^2
- ウ．2^4×3×5
- エ．2^3×3^2×5
正解：エ．2^3×3^2×5

解説：360=2^3×45=2^3×(9×5)=2^3×3^2×5と分解する。検算すると8×9×5=360で一致する。よってこの形が正しい。
問232．36の正の約数の個数を求めよ。
- ア．6個
- イ．8個
- ウ．12個
- エ．9個
正解：エ．9個

解説：36=2^2×3^2と分解する。約数の個数は各指数に1を加えて掛けるので(2+1)(2+1)=3×3=9個となる。よって9個である。
問233．60の正の約数の個数を求めよ。
- ア．12個
- イ．10個
- ウ．8個
- エ．16個
正解：ア．12個

解説：60=2^2×3×5と分解する。約数の個数は(2+1)(1+1)(1+1)=3×2×2=12個となる。各指数に1を加えて掛けた。よって12個である。
問234．ユークリッドの互除法で1071と1029の最大公約数(GCD)を求めよ。
- ア．21
- イ．3
- ウ．7
- エ．42
正解：ア．21

解説：1071=1029×1+42、1029=42×24+21、42=21×2+0と割り算を繰り返す。0でない最後の余り21がGCDである。よって21となる。
問235．ユークリッドの互除法で319と377の最大公約数(GCD)を求めよ。
- ア．11
- イ．13
- ウ．58
- エ．29
正解：エ．29

解説：377=319×1+58、319=58×5+29、58=29×2+0と計算する。0でない最後の余り29がGCDである。よって29となる。
問236．不定方程式2x+3y=7の整数解の1つとして正しいものを選べ。
- ア．(x,y)=(2,1)
- イ．(x,y)=(1,2)
- ウ．(x,y)=(-1,2)
- エ．(x,y)=(3,-1)
正解：ア．(x,y)=(2,1)

解説：x=2、y=1を代入すると2×2+3×1=4+3=7で成り立つ。(1,2)は8、(-1,2)は4、(3,-1)は3となり等式を満たさない。よって(x,y)=(2,1)が解である。
問237．不定方程式5x-3y=1において、x=2のときyの値を求めよ。
- ア．2
- イ．4
- ウ．-3
- エ．3
正解：エ．3

解説：5×2-3y=1より10-3y=1となる。これを解くと3y=9、y=3。代入して10-9=1で成り立つ。よってyは3である。
問238．2進法の1011(2)を10進法で表すといくつか。
- ア．11
- イ．9
- ウ．13
- エ．23
正解：ア．11

解説：各桁の重みを掛けて1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=8+0+2+1=11と計算する。よって10進法では11である。
問239．10進法の13を2進法で表すとどうなるか。
- ア．1011(2)
- イ．1110(2)
- ウ．1001(2)
- エ．1101(2)
正解：エ．1101(2)

解説：13=8+4+1=2^3+2^2+2^0なので各桁は1101(2)となる。検算すると8+4+0+1=13で一致する。よって1101(2)である。
問240．10進法の25を2進法で表すとどうなるか。
- ア．11001(2)
- イ．10011(2)
- ウ．11011(2)
- エ．10101(2)
正解：ア．11001(2)

解説：25=16+8+1=2^4+2^3+2^0なので各桁は11001(2)となる。検算すると16+8+0+0+1=25で一致する。よって11001(2)である。
問241．三角形の3本の中線が交わる1点を何というか。
- ア．重心
- イ．内心
- ウ．外心
- エ．垂心
正解：ア．重心

解説：各頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線という。3本の中線の交点を重心といい、各中線を頂点側から2:1に内分する。
問242．三角形の3つの内角の二等分線が交わる1点を何というか。
- ア．内心
- イ．外心
- ウ．重心
- エ．垂心
正解：ア．内心

解説：3つの内角の二等分線の交点を内心という。内心は三角形に内接する円である内接円の中心であり、3辺から等距離にある。
問243．三角形の3辺の垂直二等分線が交わる1点を何というか。
- ア．内心
- イ．重心
- ウ．垂心
- エ．外心
正解：エ．外心

解説：3辺の垂直二等分線の交点を外心という。外心は三角形の外接円の中心であり、3つの頂点から等距離にある点である。
問244．三角形ABCの重心をGとし、頂点Aと辺BCの中点Mを結ぶ中線AM上にGがある。AG:GMの比を求めよ。
- ア．1:1
- イ．1:2
- ウ．3:1
- エ．2:1
正解：エ．2:1

解説：重心は中線を頂点側から2:1に内分する性質がある。よって頂点AからGまでとGからMまでの比はAG:GM=2:1である。
問245．中線の長さが9である三角形で、重心Gから頂点までの距離(長い方)はいくらか。
- ア．6
- イ．4.5
- ウ．3
- エ．9
正解：ア．6

解説：重心は中線を頂点側から2:1に内分するので、頂点側の長さは中線の2/3である。9×2/3=6となる。よって距離は6である。
問246．三角形ABCの辺BC、CA、AB上(またはその延長)の点P、Q、Rが1直線上にあるとき成り立つ定理は何か。
- ア．チェバの定理
- イ．メネラウスの定理
- ウ．方べきの定理
- エ．接弦定理
正解：イ．メネラウスの定理

解説：1直線が三角形の3辺またはその延長を切るときの比の積に関する関係を示すのはメネラウスの定理である。積は1になる。
問247．三角形ABCで3頂点と対辺上の点を結ぶ3直線が1点で交わるとき(BP/PC)×(CQ/QA)×(AR/RB)=1が成り立つ定理は何か。
- ア．メネラウスの定理
- イ．方べきの定理
- ウ．チェバの定理
- エ．中点連結定理
正解：ウ．チェバの定理

解説：三角形の3頂点から対辺上の点へ引いた3直線が1点で交わるための条件を示すのはチェバの定理である。比の積は1になる。
問248．三角形ABCでチェバの定理(BP/PC)×(CQ/QA)×(AR/RB)=1において、BP/PC=2、CQ/QA=3のときAR/RBの値を求めよ。
- ア．6
- イ．1/6
- ウ．5
- エ．1/5
正解：イ．1/6

解説：2×3×(AR/RB)=1より6×(AR/RB)=1となる。これを解くとAR/RB=1/6である。チェバの定理を用いた。よって1/6となる。
問249．円の外部の点Pから引いた2本の割線について、各割線上の2交点までの距離の積が一定であることを示す定理は何か。
- ア．接弦定理
- イ．方べきの定理
- ウ．円周角の定理
- エ．メネラウスの定理
正解：イ．方べきの定理

解説：点Pを通る2直線が円と交わるとき、各直線でのPからの2交点までの積が等しいことを示すのが方べきの定理である。
問250．円の弦と接線がつくる角が、その角の内部にある弧に対する円周角に等しいことを示す定理は何か。
- ア．方べきの定理
- イ．接弦定理
- ウ．中心角の定理
- エ．チェバの定理
正解：イ．接弦定理

解説：接線と弦のつくる角が、その弦に対する円周角に等しいことを示すのは接弦定理である。円の接線に関する重要定理である。
問251．円Oで弧ABに対する中心角が80度のとき、同じ弧ABに対する円周角は何度か。
- ア．20度
- イ．40度
- ウ．80度
- エ．160度
正解：イ．40度

解説：円周角の定理より、円周角は同じ弧に対する中心角の半分に等しい。80÷2=40となる。よって円周角は40度である。
問252．円周角の定理より、半円の弧(直径)に対する円周角は何度か。
- ア．45度
- イ．60度
- ウ．120度
- エ．90度
正解：エ．90度

解説：直径に対する中心角は180度である。円周角はその半分だから180÷2=90度となる。これはタレスの定理とも呼ばれる。
問253．円の外部の点Pから円に接線PTを引き、別の割線がPでA,Bと交わるとき方べきの定理はどう表せるか。
- ア．PT=PA+PB
- イ．PT^2=PA+PB
- ウ．PT^2=PA×PB
- エ．PT=PA×PB
正解：ウ．PT^2=PA×PB

解説：接線の場合の方べきの定理は、接線長の平方が割線の積に等しいことを表しPT^2=PA×PBとなる。よってこの式が正しい。
問254．データ 2,4,4,6,9 の平均値を求めよ。
- ア．4
- イ．6
- ウ．5
- エ．25
正解：ウ．5

解説：合計は2+4+4+6+9=25である。データ数は5個なので平均は25÷5=5となる。データの総和を個数で割って求めた。よって5である。
問255．データ 1,3,3,6,7,8,9 の中央値(メジアン)を求めよ。
- ア．3
- イ．7
- ウ．6
- エ．5
正解：ウ．6

解説：データは小さい順に並んでおり7個である。中央値は(7+1)/2=4番目の値で6となる。データ数が奇数なので中央の値をとる。よって6である。
問256．データ 2,4,6,8 の中央値(メジアン)を求めよ。
- ア．4
- イ．6
- ウ．10
- エ．5
正解：エ．5

解説：データ数は4個で偶数である。中央の2つは4と6なので、その平均(4+6)/2=5が中央値となる。よって中央値は5である。
問257．データ 2,3,3,3,5,7,8 の最頻値(モード)を求めよ。
- ア．2
- イ．3
- ウ．5
- エ．8
正解：イ．3

解説：各値の出現回数を数えると、3が3回で最も多く出現している。最頻値は最も多く現れる値である。よって最頻値は3である。
問258．データ 4,7,7,10,15,18 の範囲(レンジ)を求めよ。
- ア．11
- イ．7
- ウ．14
- エ．18
正解：ウ．14

解説：範囲は最大値から最小値を引いた値である。最大は18、最小は4なので18-4=14となる。よってデータの範囲は14である。
問259．データ 1,2,4,5,7,9,11,13 の第1四分位数(Q1)を求めよ。
- ア．2
- イ．4
- ウ．3
- エ．5
正解：ウ．3

解説：8個を前半1,2,4,5と後半7,9,11,13に分ける。前半の中央値は(2+4)/2=3である。Q1は前半の中央値なので3となる。
問260．データ 1,2,4,5,7,9,11,13 の第3四分位数(Q3)を求めよ。
- ア．9
- イ．11
- ウ．12
- エ．10
正解：エ．10

解説：8個を前半と後半に分け、後半7,9,11,13の中央値を求める。(9+11)/2=10である。Q3は後半の中央値なので10となる。
問261．第1四分位数Q1=3、第3四分位数Q3=10のとき四分位範囲(IQR)を求めよ。
- ア．3.5
- イ．7
- ウ．13
- エ．10
正解：イ．7

解説：四分位範囲はQ3からQ1を引いた値で求める。10-3=7となる。データの中央50%の散らばりを表す指標である。よって7である。
問262．データ 2,4,6 の分散s^2を求めよ。
- ア．2
- イ．8/3
- ウ．4
- エ．8
正解：イ．8/3

解説：平均は(2+4+6)/3=4である。偏差は-2,0,2でその2乗は4,0,4となる。分散s^2=(4+0+4)/3=8/3となる。よって8/3である。
問263．あるデータの分散s^2が9のとき、標準偏差sを求めよ。
- ア．3
- イ．4.5
- ウ．81
- エ．9
正解：ア．3

解説：標準偏差は分散の正の平方根として求められる。s=√9=3となる。分散は標準偏差の2乗の関係にある。よって標準偏差sは3である。
問264．変量xの分散を求める公式として正しいものを選べ。
- ア．(xの平均)^2-(x^2の平均)
- イ．(x^2の平均)-(xの平均)^2
- ウ．(xの平均)-(x^2の平均)
- エ．(x^2の平均)+(xの平均)^2
正解：イ．(x^2の平均)-(xの平均)^2

解説：分散s^2は(2乗の平均)から(平均の2乗)を引いた値、すなわちx^2の平均からxの平均の2乗を引いて求められる。展開公式から導かれる。
問265．2つの変量x、yの共分散をsxy、標準偏差をsx、syとするとき、相関係数rを表す式として正しいものを選べ。
- ア．r=sx×sy/sxy
- イ．r=sxy/(sx+sy)
- ウ．r=sxy/(sx×sy)
- エ．r=sx×sy×sxy
正解：ウ．r=sxy/(sx×sy)

解説：相関係数rは共分散を各標準偏差の積で割ったもので、r=sxy/(sx×sy)と定義される。値は-1以上1以下の範囲をとる。
問266．相関係数rの値がとりうる範囲として正しいものを選べ。
- ア．0以上1以下
- イ．-1以上1以下
- ウ．-1以上0以下
- エ．制限なし
正解：イ．-1以上1以下

解説：相関係数rは必ず-1以上1以下の値をとる。1に近いほど強い正の相関、-1に近いほど強い負の相関を示す指標である。よってこの範囲が正しい。
問267．散布図で点が右上がりに集まり、強い正の相関があるとき、相関係数rの値に最も近いものを選べ。
- ア．0
- イ．-0.5
- ウ．-0.9
- エ．0.9
正解：エ．0.9

解説：強い正の相関では点が右上がりの直線に近く集まる。このとき相関係数rは1に近い正の値をとる。よって0.9が最も近い値である。
問268．散布図で2つの変量に強い負の相関があるとき、相関係数rの値に最も近いものを選べ。
- ア．0.9
- イ．-0.9
- ウ．0.5
- エ．0
正解：イ．-0.9

解説：強い負の相関では点が右下がりの直線に近く集まる。このとき相関係数rは-1に近い負の値をとる。よって-0.9が最も近い値である。
問269．共分散sxy=12、標準偏差sx=4、sy=5のとき相関係数rを求めよ。
- ア．0.48
- イ．0.6
- ウ．1.2
- エ．0.3
正解：イ．0.6

解説：相関係数の式r=sxy/(sx×sy)に代入すると12/(4×5)=12/20=0.6となる。共分散を標準偏差の積で割って求めた。よってrは0.6である。
問270．箱ひげ図で箱の中に引かれる縦線が表す値は何か。
- ア．平均値
- イ．最大値
- ウ．中央値
- エ．最頻値
正解：ウ．中央値

解説：箱ひげ図の箱はQ1からQ3までを表し、箱の中の縦線は中央値である第2四分位数Q2を表す。データの中心を示す位置である。
問271．箱ひげ図で箱の左端と右端が表す値の組み合わせとして正しいものを選べ。
- ア．最小値と最大値
- イ．平均値と中央値
- ウ．Q1とQ3
- エ．Q1と中央値
正解：ウ．Q1とQ3

解説：箱ひげ図の箱の左端は第1四分位数Q1、右端は第3四分位数Q3を表す。箱の幅が四分位範囲にあたる。よってQ1とQ3が正しい。
問272．データ 5,8,8,11,13 の偏差の総和を求めよ。
- ア．0
- イ．5
- ウ．9
- エ．45
正解：ア．0

解説：平均は(5+8+8+11+13)/5=45/5=9である。偏差は-4,-1,-1,2,4でその和は0となる。偏差の総和は常に0になる性質がある。よって0である。
問273．10個のデータの平均が6、別の10個のデータの平均が10のとき、合わせた20個のデータの平均を求めよ。
- ア．7
- イ．16
- ウ．8
- エ．10
正解：ウ．8

解説：各群の合計は10×6=60と10×10=100である。総和は160でデータ数は20個なので平均は160÷20=8となる。よって平均は8である。
問274．変量xの各データに一律で5を加えて新しい変量を作ったとき、平均はどう変化するか。
- ア．変わらない
- イ．5倍になる
- ウ．5増える
- エ．25増える
正解：ウ．5増える

解説：全データに定数aを加えると平均もaだけ増える。5を加えるので平均は5増える。なお偏差は変わらないため分散は変化しない。よって5増える。
問275．変量xの各データを一律で3倍したとき、標準偏差はどう変化するか。
- ア．変わらない
- イ．9倍になる
- ウ．3倍になる
- エ．3増える
正解：ウ．3倍になる

解説：全データをa倍すると標準偏差は|a|倍になり、分散はa^2倍になる。3倍なので標準偏差は3倍になる。よって3倍が正しい。
問276．三角形の重心は、3本の中線を頂点側から2:1に内分する点である。

正解：○（正しい）

解説：重心は3本の中線の交点であり、各中線を頂点側から2:1の比に内分する性質をもつ。よってこの記述は正しい。
問277．三角形の外心は、3辺の垂直二等分線の交点であり、3つの頂点から等距離にある。

正解：○（正しい）

解説：外心は3辺の垂直二等分線の交点で、三角形の外接円の中心である。3頂点から等距離にある。よってこの記述は正しい。
問278．三角形の内心は、3つの内角の二等分線の交点であり、3辺から等距離にある。

正解：○（正しい）

解説：内心は3つの内角の二等分線の交点で、三角形の内接円の中心である。3辺から等距離にある。よってこの記述は正しい。
問279．円周角の大きさは、同じ弧に対する中心角の半分に等しい。

正解：○（正しい）

解説：円周角の定理より、同じ弧に対する円周角はその弧に対する中心角の半分の大きさになる。よってこの記述は正しい。
問280．2つの自然数a、bについて、最大公約数と最小公倍数の積はa×bに等しい。

正解：○（正しい）

解説：2つの自然数の最大公約数(GCD)と最小公倍数(LCM)の積は、もとの2数の積a×bに等しい。よってこの記述は正しい。
問281．メネラウスの定理は、1本の直線が三角形の3辺(またはその延長)を切るときに成り立つ比の関係である。

正解：○（正しい）

解説：メネラウスの定理は1本の直線が三角形の3辺またはその延長を切るときの比の積が1になる関係を示す。よってこの記述は正しい。
問282．方べきの定理より、円外の点Pからの接線の長さをPT、割線の交点までをPA、PBとするとPT^2=PA×PBが成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：接線の場合の方べきの定理は、接線長の平方が割線の2交点までの積に等しくPT^2=PA×PBとなる。よってこの記述は正しい。
問283．データのすべての値に同じ定数を加えても、分散の値は変わらない。

正解：○（正しい）

解説：全データに定数を加えると平均はその分ずれるが、各偏差は変わらない。したがって分散も変化しない。よってこの記述は正しい。
問284．偏差(各データから平均を引いた値)の総和は、つねに0になる。

正解：○（正しい）

解説：偏差の総和は平均の定義から必ず0になる。正の偏差と負の偏差が打ち消し合うためである。よってこの記述は正しい。
問285．標準偏差は、分散の正の平方根として求められる。

正解：○（正しい）

解説：標準偏差sは分散s^2の正の平方根として定義され、s=√(s^2)で求められる。単位がもとのデータと一致する。よってこの記述は正しい。
問286．相関係数rの値は、つねに-1以上1以下の範囲にある。

正解：○（正しい）

解説：相関係数rは定義より必ず-1以上1以下の値をとる。絶対値が1に近いほど直線的な相関が強いことを示す。よってこの記述は正しい。
問287．箱ひげ図の箱の中の縦線は、データの中央値を表す。

正解：○（正しい）

解説：箱ひげ図の箱の中に引かれる縦線は中央値である第2四分位数を表す。箱の両端はQ1とQ3である。よってこの記述は正しい。
問288．ユークリッドの互除法は、割り算の余りを繰り返し用いて2数の最大公約数を求める方法である。

正解：○（正しい）

解説：ユークリッドの互除法は割り算の余りを次々と用い、余りが0になる直前の数を最大公約数とする方法である。よってこの記述は正しい。
問289．三角形の重心は、3本の中線を頂点側から1:1に内分する点である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは重心は3本の中線の交点であり、各中線を頂点側から2:1に内分する点である。中点のように1:1で内分するわけではない。
問290．三角形の内心は、3辺の垂直二等分線の交点である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは内心は3つの内角の二等分線の交点である。3辺の垂直二等分線の交点は外心であり、内心とは別の点である点に注意する。
問291．三角形の外心は外接円の中心であり、つねに三角形の内部にある。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは鈍角三角形では外心は三角形の外部にあり、直角三角形では斜辺の中点にある。常に内部にあるとは限らない。
問292．直径に対する円周角の大きさは60度である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは直径すなわち半円の弧に対する円周角は90度である。中心角180度の半分にあたるためである。
問293．12と18の最小公倍数(LCM)は6である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは12と18の最小公倍数は2^2×3^2=36である。6はこの2数の最大公約数(GCD)の値である。
問294．36=2^2×3^2の正の約数の個数は6個である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは約数の個数は各指数に1を加えて掛けるので(2+1)(2+1)=3×3=9個である。6個ではなく9個が正しい。
問295．ユークリッドの互除法は、2数の和を繰り返し用いて最大公約数を求める方法である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはユークリッドの互除法は割り算の余りを繰り返し用いて最大公約数を求める方法である。和は用いない。
問296．2進法の1010(2)は、10進法で表すと8である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは1010(2)=1×8+0×4+1×2+0×1=10である。10進法では8ではなく10になる。
問297．データの範囲(レンジ)は、最大値と最小値の和で求められる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはデータの範囲は最大値から最小値を引いた差で求められる。最大値と最小値の和ではなく差を計算する散らばりの指標である。
問298．四分位範囲は、第3四分位数Q3と第1四分位数Q1の和(Q3+Q1)である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは四分位範囲はQ3からQ1を引いた差(Q3-Q1)で求められる。和ではなく差で計算し、中央50%の散らばりを表す。
問299．データの各値をすべて2倍すると、分散はもとの2倍になる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは各値をa倍すると分散はa^2倍になる。したがって2倍した場合は分散はもとの2^2=4倍になる。2倍ではない。
問300．相関係数rが0に近いほど、2つの変量の間に強い相関があるといえる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはrが0に近いほど相関は弱いといえる。相関係数の値が1または-1に近いほど強い相関があることを示す指標である。
問301．(x+3)(x-5) を展開せよ。
- ア．x^2+2x-15
- イ．x^2-2x-15
- ウ．x^2-2x+15
- エ．x^2-8x-15
正解：イ．x^2-2x-15

解説：(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab より、x^2+(3-5)x+(3)(-5)=x^2-2x-15。和の係数-2、定数項-15。
問302．(2x+3)^2 を展開せよ。
- ア．4x^2+12x+9
- イ．4x^2+6x+6
- ウ．2x^2+12x+6
- エ．2x^2+6x+9
正解：ア．4x^2+12x+9

解説：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 に a=2x、b=3 を代入すると、(2x)^2+2×2x×3+3^2=4x^2+12x+9 となる。(2x)^2 を 2x^2 とするのは係数の2を2乗し忘れた誤り、2ab の2を落とすと 6x、3^2 を 3×2 と計算すると 6 になる。4x^2+6x+6、2x^2+12x+6、2x^2+6x+9 はいずれもこれらの誤りを含む。x=1 を代入すると (2+3)^2=25、4+12+9=25 で一致することでも確かめられる。

根拠：文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編」第3章第3学年 A（2）式の展開と因数分解（PDF p.141〜142：(a＋b)^2＝a^2＋2ab＋b^2 などの公式）
問303．(3x-2)^2 を展開せよ。
- ア．9x^2-6x+4
- イ．9x^2-12x-4
- ウ．9x^2-12x+4
- エ．6x^2-12x+4
正解：ウ．9x^2-12x+4

解説：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 より、(3x)^2-2(3x)(2)+2^2=9x^2-12x+4。
問304．(x+4)(x-4) を展開せよ。
- ア．x^2+16
- イ．x^2-8x-16
- ウ．x^2-8
- エ．x^2-16
正解：エ．x^2-16

解説：(a+b)(a-b)=a^2-b^2 より、x^2-4^2=x^2-16。
問305．(x+2)(x+5) を展開せよ。
- ア．x^2+3x+7
- イ．x^2+7x+10
- ウ．x^2+7x+7
- エ．x^2+3x+10
正解：イ．x^2+7x+10

解説：(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab の公式で a=2、b=5 とすると、x の係数は和の 2+5=7、定数項は積の 2×5=10 となり、x^2+7x+10 である。x^2+3x+10 は係数を差の 5-2=3 にしたもの、x^2+7x+7 は定数項まで和にしたもの、x^2+3x+7 は係数と定数項をともに取り違えたもので、いずれも誤り。x=1 を代入すると (1+2)(1+5)=18 で、1+7+10=18 と一致することからも確かめられる。

根拠：文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編」第3章第3学年 A（2）式の展開と因数分解（PDF p.142：(x＋a)(x＋b)＝x^2＋(a＋b)x＋ab）
問306．(x-3)^2 を展開せよ。
- ア．x^2-6x+9
- イ．x^2+6x+9
- ウ．x^2-9
- エ．x^2-6x-9
正解：ア．x^2-6x+9

解説：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 より、x^2-2(3)x+3^2=x^2-6x+9。
問307．x^2+7x+12 を因数分解せよ。
- ア．(x+2)(x+6)
- イ．(x+1)(x+12)
- ウ．(x-3)(x-4)
- エ．(x+3)(x+4)
正解：エ．(x+3)(x+4)

解説：和が7、積が12となる2数は3と4。よって x^2+7x+12=(x+3)(x+4)。
問308．x^2-5x+6 を因数分解せよ。
- ア．(x-2)(x-3)
- イ．(x+2)(x+3)
- ウ．(x-1)(x-6)
- エ．(x-2)(x+3)
正解：ア．(x-2)(x-3)

解説：和が-5、積が6となる2数は-2と-3。よって x^2-5x+6=(x-2)(x-3)。
問309．x^2-9 を因数分解せよ。
- ア．(x-3)^2
- イ．(x+3)(x-3)
- ウ．(x+3)^2
- エ．(x+9)(x-1)
正解：イ．(x+3)(x-3)

解説：a^2-b^2=(a+b)(a-b) より、x^2-3^2=(x+3)(x-3)。
問310．2x^2+5x+2 を因数分解せよ。
- ア．(2x+2)(x+1)
- イ．(x+1)(x+2)
- ウ．(2x+5)(x+2)
- エ．(2x+1)(x+2)
正解：エ．(2x+1)(x+2)

解説：たすき掛けで(2x+1)(x+2)。展開すると2x^2+4x+x+2=2x^2+5x+2で一致。
問311．3x^2-7x+2 を因数分解せよ。
- ア．(3x-1)(x-2)
- イ．(3x-2)(x-1)
- ウ．(3x+1)(x-2)
- エ．(x-1)(3x+2)
正解：ア．(3x-1)(x-2)

解説：たすき掛けで(3x-1)(x-2)。展開すると3x^2-6x-x+2=3x^2-7x+2で一致。
問312．x^2-2x-8 を因数分解せよ。
- ア．(x-2)(x+4)
- イ．(x+2)(x-4)
- ウ．(x+2)(x+4)
- エ．(x-1)(x-8)
正解：イ．(x+2)(x-4)

解説：和が-2、積が-8となる2数は2と-4。よって(x+2)(x-4)。
問313．6x^2-x-2 を因数分解せよ。
- ア．(2x-1)(3x+2)
- イ．(6x+1)(x-2)
- ウ．(2x+1)(3x-2)
- エ．(2x+2)(3x-1)
正解：ウ．(2x+1)(3x-2)

解説：たすき掛けで(2x+1)(3x-2)。展開すると6x^2-4x+3x-2=6x^2-x-2で一致。
問314．x^2-x-6 を因数分解せよ。
- ア．(x-2)(x+3)
- イ．(x+1)(x-6)
- ウ．(x-2)(x-3)
- エ．(x+2)(x-3)
正解：エ．(x+2)(x-3)

解説：和-1、積-6の2数は2と-3。よって(x+2)(x-3)。
問315．x^2-10x+25 を因数分解せよ。
- ア．(x+5)^2
- イ．(x-5)(x+5)
- ウ．(x-5)^2
- エ．(x-25)(x-1)
正解：ウ．(x-5)^2

解説：和-10、積25の2数はともに-5。x^2-2(5)x+5^2=(x-5)^2。
問316．√12 を簡単にせよ。
- ア．3√2
- イ．2√6
- ウ．4√3
- エ．2√3
正解：エ．2√3

解説：√12=√(4×3)=√4×√3=2√3。12を平方数4で分解する。
問317．√12+√27 を簡単にせよ。
- ア．5√3
- イ．√39
- ウ．6√3
- エ．5√6
正解：ア．5√3

解説：√12=2√3、√27=√(9×3)=3√3。よって2√3+3√3=5√3。
問318．√50-√18 を簡単にせよ。
- ア．√32
- イ．2√2
- ウ．8√2
- エ．2√8
正解：イ．2√2

解説：√50=√(25×2)=5√2、√18=√(9×2)=3√2。よって5√2-3√2=2√2。
問319．√3×√6 を簡単にせよ。
- ア．√18
- イ．2√3
- ウ．3√2
- エ．3√3
正解：ウ．3√2

解説：√3×√6=√18=√(9×2)=3√2。根号同士は中身を掛けてから簡単にする。
問320．2/√3 を有理化せよ。
- ア．2√3
- イ．√3/2
- ウ．2√3/3
- エ．2/3
正解：ウ．2√3/3

解説：分母分子に√3を掛けて、2/√3=(2×√3)/(√3×√3)=2√3/3。
問321．1/(√5-√3) を有理化せよ。
- ア．(√5+√3)/2
- イ．(√5-√3)/2
- ウ．(√5+√3)/8
- エ．√5+√3
正解：ア．(√5+√3)/2

解説：分母分子に(√5+√3)を掛けると、分母は5-3=2。よって(√5+√3)/2。
問322．(√3+1)(√3-1) を計算せよ。
- ア．√3
- イ．2
- ウ．4
- エ．2√3
正解：イ．2

解説：(a+b)(a-b)=a^2-b^2。(√3)^2-1^2=3-1=2。
問323．√(3-2√2) の二重根号を外して簡単にせよ。
- ア．√2+1
- イ．√3-√2
- ウ．2-√2
- エ．√2-1
正解：エ．√2-1

解説：和3積2の2数は1と2。√(a+b-2√(ab))=√a-√b形より√(3-2√2)=√2-√1=√2-1。
問324．|−7| の値を求めよ。
- ア．7
- イ．-7
- ウ．0
- エ．14
正解：ア．7

解説：絶対値は数直線上の原点からの距離。|−7|=7。負の数の絶対値は符号を外した正の値。
問325．|3−5| の値を求めよ。
- ア．-2
- イ．2
- ウ．8
- エ．0
正解：イ．2

解説：3-5=-2なので|3-5|=|-2|=2。まず中身を計算してから絶対値をとる。
問326．a<0 のとき |a| を a を用いて表すと？
- ア．a
- イ．0
- ウ．-a
- エ．a^2
正解：ウ．-a

解説：a<0のとき|a|=-a（符号を反転して正にする）。例えばa=-3なら|a|=3=-(-3)=-a。
問327．不等式 3x-5>7 を解け。
- ア．x<4
- イ．x>2
- ウ．x>-4
- エ．x>4
正解：エ．x>4

解説：3x-5>7 → 3x>12 → x>4。両辺に5を加え、正の3で割る（不等号はそのまま）。
問328．不等式 5x+2≦3x-4 を解け。
- ア．x≧-3
- イ．x≦-3
- ウ．x≦3
- エ．x≦-1
正解：イ．x≦-3

解説：5x+2≦3x-4 → 2x≦-6 → x≦-3。xを左辺に集め、両辺を正の2で割る。
問329．不等式 (x-1)/2 + 1 > x を解け。
- ア．x>1
- イ．x<3
- ウ．x>-1
- エ．x<1
正解：エ．x<1

解説：両辺2倍：x-1+2>2x → x+1>2x → 1>x。よってx<1。
問330．連立不等式 x>1 かつ x<5 の解は？
- ア．1<x<5
- イ．x<1 または x>5
- ウ．x>5
- エ．x<1
正解：ア．1<x<5

解説：両方を同時に満たすxの範囲は共通部分。1<x<5。数直線で重なる区間をとる。
問331．方程式 |x-2|=5 の解は？
- ア．x=7, x=3
- イ．x=3, x=-3
- ウ．x=7, x=-3
- エ．x=5, x=-5
正解：ウ．x=7, x=-3

解説：x-2=5 または x-2=-5。よってx=7またはx=-3。中身=±5として解く。
問332．不等式 |x|<3 を解け。
- ア．x<3
- イ．x<-3 または x>3
- ウ．x>3
- エ．-3<x<3
正解：エ．-3<x<3

解説：|x|<3は原点からの距離が3未満。よって-3<x<3。「<」型は内側の範囲。
問333．不等式 |x|>2 を解け。
- ア．x<-2 または x>2
- イ．-2<x<2
- ウ．x>2
- エ．x<-2
正解：ア．x<-2 または x>2

解説：|x|>2は原点からの距離が2より大きい。よってx<-2 または x>2。「>」型は外側の範囲。
問334．不等式 |x-1|≦3 を解け。
- ア．-3≦x≦3
- イ．-2≦x≦4
- ウ．x≦4
- エ．-4≦x≦2
正解：イ．-2≦x≦4

解説：-3≦x-1≦3 → 各辺に1を加え -2≦x≦4。「≦」型は-3〜3の間に置き換える。
問335．全体集合U={1,2,3,4,5,6}、A={1,2,3}、B={2,3,4} のとき A∩B は？
- ア．{1,2,3,4}
- イ．{1}
- ウ．{2,3}
- エ．{4}
正解：ウ．{2,3}

解説：A∩Bは両方に共通する要素の集合。AとBに共通するのは2と3。よって{2,3}。
問336．A={1,2,3}、B={2,3,4} のとき A∪B は？
- ア．{2,3}
- イ．{1,4}
- ウ．{1,2,3}
- エ．{1,2,3,4}
正解：エ．{1,2,3,4}

解説：A∪Bはどちらか一方にでも含まれる要素全体。{1,2,3,4}。重複は1回だけ書く。
問337．全体集合U={1,2,3,4,5,6}、A={1,2,3} のとき補集合 Ā は？
- ア．{4,5,6}
- イ．{1,2,3}
- ウ．{1,2,3,4,5,6}
- エ．{ }
正解：ア．{4,5,6}

解説：補集合ĀはUの要素のうちAに属さないもの。U={1,…,6}からA={1,2,3}を除き{4,5,6}。
問338．集合A={1,2,3,4} の部分集合の個数はいくつか。
- ア．8
- イ．16
- ウ．15
- エ．4
正解：イ．16

解説：要素n個の集合の部分集合は2^n個。n=4なので2^4=16個（空集合とA自身を含む）。
問339．n(A)=12、n(B)=8、n(A∩B)=5 のとき n(A∪B) はいくつか。
- ア．20
- イ．25
- ウ．15
- エ．10
正解：ウ．15

解説：n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=12+8-5=15。重複分A∩Bを1回引く（包除原理）。
問340．A⊂B を満たすのは次のどの場合か。
- ア．A={1,2,3}, B={1,2}
- イ．A={1,2}, B={1,2,3}
- ウ．A={1,4}, B={1,2,3}
- エ．A={5}, B={1,2,3}
正解：イ．A={1,2}, B={1,2,3}

解説：A⊂BはAのすべての要素がBに属すること。{1,2}は{1,2,3}にすべて含まれるのでA⊂B。
問341．ド・モルガンの法則により、Ā∩B̄ は次のどれと等しいか。
- ア．A∪B
- イ．A∩B
- ウ．(A∪B)の補集合
- エ．(A∩B)の補集合
正解：ウ．(A∪B)の補集合

解説：ド・モルガンの法則：Ā∩B̄=(A∪B)の補集合。和集合の補集合は補集合の共通部分に等しい。
問342．ド・モルガンの法則により、(A∩B)の補集合は次のどれと等しいか。
- ア．Ā∩B̄
- イ．A∪B
- ウ．A∩B
- エ．Ā∪B̄
正解：エ．Ā∪B̄

解説：ド・モルガンの法則：(A∩B)の補集合=Ā∪B̄。共通部分の補集合は補集合の和集合に等しい。
問343．命題「x=2 ならば x^2=4」の逆は？
- ア．x^2=4 ならば x=2
- イ．x≠2 ならば x^2≠4
- ウ．x^2≠4 ならば x≠2
- エ．x=2 ならば x^2≠4
正解：ア．x^2=4 ならば x=2

解説：命題「p→q」の逆は「q→p」。仮定と結論を入れ替える。よって「x^2=4 ならば x=2」。
問344．命題「x=2 ならば x^2=4」の対偶は？
- ア．x^2=4 ならば x=2
- イ．x^2≠4 ならば x≠2
- ウ．x≠2 ならば x^2≠4
- エ．x=2 ならば x^2≠4
正解：イ．x^2≠4 ならば x≠2

解説：「p→q」の対偶は「qでない→pでない」。よって「x^2≠4 ならば x≠2」。対偶は元命題と真偽が一致。
問345．命題「pならばq」の裏は次のどれか。
- ア．q ならば p
- イ．qでないならば pでない
- ウ．pでないならば qでない
- エ．q ならば pでない
正解：ウ．pでないならば qでない

解説：「p→q」の裏は「pでない→qでない」。仮定・結論をともに否定する。
問346．命題「pならばq」が真のとき、必ず真であるものは？
- ア．逆（q ならば p）
- イ．裏（pでないならば qでない）
- ウ．どれも必ず真とはいえない
- エ．対偶（qでないならば pでない）
正解：エ．対偶（qでないならば pでない）

解説：命題とその対偶は真偽が一致する。「p→q」が真なら対偶「qでない→pでない」も真。逆・裏は不定。
問347．「x>3」は「x>1」であるための何条件か。
- ア．十分条件であるが必要条件でない
- イ．必要条件であるが十分条件でない
- ウ．必要十分条件
- エ．必要条件でも十分条件でもない
正解：ア．十分条件であるが必要条件でない

解説：x>3⇒x>1は真だがx>1⇒x>3は偽。よってx>3はx>1であるための十分条件（だが必要でない）。
問348．「四角形が正方形である」は「四角形が長方形である」ための何条件か。
- ア．必要条件であるが十分条件でない
- イ．十分条件であるが必要条件でない
- ウ．必要十分条件
- エ．必要条件でも十分条件でもない
正解：イ．十分条件であるが必要条件でない

解説：正方形⇒長方形は真だが逆は偽。よって正方形であることは長方形であるための十分条件（必要でない）。
問349．「x=0 かつ y=0」は「xy=0」であるための何条件か。
- ア．必要条件であるが十分条件でない
- イ．必要十分条件
- ウ．十分条件であるが必要条件でない
- エ．必要条件でも十分条件でもない
正解：ウ．十分条件であるが必要条件でない

解説：x=0かつy=0⇒xy=0は真。逆はxy=0でもx=0,y≠0等があり偽。よって十分条件（必要でない）。
問350．命題「すべての実数xについて x^2>0 である」の反例として正しいものは？
- ア．x=0
- イ．x=-1
- ウ．x=2
- エ．反例は存在しない（命題は真）
正解：ア．x=0

解説：反例とは、「すべての〜について成り立つ」という命題が成り立たない例のことである。x=0 のとき x^2=0 で、0>0 は成り立たないので x=0 が反例になり、この命題は偽である。x=-1 なら x^2=1>0、x=2 なら x^2=4>0 で成り立つので反例ではない。x^2≧0 ならすべての実数で成り立ち反例は存在しないが、不等号が「>」なので x=0 が除かれず、「反例は存在しない」は誤りである。

根拠：日本数学検定協会「数学検定準2級」検定の内容検定の内容（高校1年程度）：数と集合ほか
問351．(x+2)(x-2)=x^2-4 である。

正解：○（正しい）

解説：(a+b)(a-b)=a^2-b^2より(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4。よって正しい。
問352．(x+3)^2=x^2+9 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは(x+3)^2=x^2+6x+9。中央項2×x×3=6xを忘れてはならない。
問353．(2x-1)^2=4x^2-4x+1 である。

正解：○（正しい）

解説：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2より(2x)^2-2(2x)(1)+1=4x^2-4x+1。よって正しい。
問354．x^2+5x+6 を因数分解すると (x+1)(x+6) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは(x+2)(x+3)。和5・積6の2数は2と3であり、1と6では和が7になり一致しない。
問355．x^2+2x+1=(x+1)^2 である。

正解：○（正しい）

解説：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2より、x^2+2(1)x+1^2=(x+1)^2。よって正しい。
問356．√16=4 である。

正解：○（正しい）

解説：√16は16の正の平方根で4。4^2=16なので正しい。
問357．√2+√3=√5 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。根号は中身が同じでないと足せない。√2+√3はこれ以上簡単にできず、√5（≒2.24）とは異なる。
問358．√8=2√2 である。

正解：○（正しい）

解説：√8=√(4×2)=√4×√2=2√2。よって正しい。
問359．|x|≧0 はすべての実数 x について成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：絶対値は距離を表すので常に0以上。すべての実数xで|x|≧0が成り立つ。よって正しい。
問360．|−3|=−3 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは|−3|=3。絶対値は常に0以上であり、負の値にはならない。
問361．不等式 −x>2 の解は x<−2 である。

正解：○（正しい）

解説：−x>2の両辺を−1で割ると不等号が反転しx<−2。負の数で割ると向きが変わるので正しい。
問362．不等式 2x<6 の解は x>3 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはx<3。両辺を正の2で割っても不等号の向きは変わらない。
問363．不等式 |x|<5 の解は −5<x<5 である。

正解：○（正しい）

解説：|x|<a（a>0）の解は−a<x<a。よって−5<x<5となり正しい。
問364．不等式 |x|>3 の解は −3<x<3 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはx<−3 または x>3。「>」型は外側、「<」型が内側の範囲になる。
問365．A={1,2}、B={2,3} のとき A∪B={2} である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはA∪B={1,2,3}。和集合はどちらか一方にでも含まれる要素全体を集める。
問366．空集合はあらゆる集合の部分集合である。

正解：○（正しい）

解説：空集合は任意の集合の部分集合と定義される。要素が無いため部分集合の条件を自動的に満たす。よって正しい。
問367．n(A∪B)=n(A)+n(B)+n(A∩B) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくはn(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)。重複して数えた共通部分は加えるのでなく引く。
問368．命題とその対偶の真偽は必ず一致する。

正解：○（正しい）

解説：命題「p→q」と対偶「qでない→pでない」は論理的に同値で、真偽は常に一致する。よって正しい。
問369．命題が真ならば、その逆も必ず真である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。命題が真でも逆が真とは限らない。例「x=2→x^2=4」は真だが逆「x^2=4→x=2」はx=-2で偽。
問370．「x>5」は「x>0」であるための十分条件である。

正解：○（正しい）

解説：x>5⇒x>0は真だが逆は偽。よってx>5はx>0であるための十分条件であり正しい。
問371．「x>0」は「x>5」であるための十分条件である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。x>0⇒x>5は偽（例x=1）。x>0はx>5の必要条件であって十分条件ではない。
問372．「x^2=9」は「x=3」であるための必要条件である。

正解：○（正しい）

解説：x=3⇒x^2=9は真なので、x^2=9はx=3であるための必要条件であり正しい（逆はx=-3で偽なので十分でない）。
問373．「nが偶数」は「nが4の倍数」であるための十分条件である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。偶数⇒4の倍数は偽（例n=2）。偶数は4の倍数であるための必要条件であり十分条件ではない。
問374．命題「x=1ならばx^2=1」の逆「x^2=1ならばx=1」は真である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。逆「x^2=1ならばx=1」はx=-1のとき成り立たず偽。x^2=1の解はx=±1なので反例x=-1が存在する。
問375．命題「すべての実数 x について x+1>x である」は真である。

正解：○（正しい）

解説：任意の実数xでx+1はxより1大きいので必ずx+1>x。すべての実数で成り立つので真であり正しい。

数検準2級（実用数学技能検定 準2級） 全分野の一問一答

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