数検2級（実用数学技能検定 2級）「数列・ベクトル」の一問一答

数検2級（実用数学技能検定 2級）の数列・ベクトルに関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．初項3、公差4の等差数列の第10項a_10を求めよ。

   • ア．43
   • イ．40
   • ウ．36
   • エ．39

   正解：エ．39

   解説：等差数列の一般項は a_n=a+(n-1)d である。a=3,d=4,n=10を代入すると a_10=3+(10-1)×4=3+9×4=3+36=39 となる。

2. 問2．初項5、公差-3の等差数列の第7項a_7を求めよ。

   • ア．-16
   • イ．-10
   • ウ．-13
   • エ．13

   正解：ウ．-13

   解説：一般項 a_n=a+(n-1)d に a=5,d=-3,n=7 を代入する。a_7=5+(7-1)×(-3)=5+6×(-3)=5-18=-13 となる。

3. 問3．初項2、公差5の等差数列で第n項が42となるとき、nの値を求めよ。

   • ア．8
   • イ．10
   • ウ．7
   • エ．9

   正解：エ．9

   解説：a_n=2+(n-1)×5=42 を解く。両辺から2を引くと 5(n-1)=40、よって n-1=8、したがって n=9 となる。

4. 問4．第3項が11、第7項が23である等差数列の公差dを求めよ。

   • ア．4
   • イ．2
   • ウ．6
   • エ．3

   正解：エ．3

   解説：等差数列では a_7-a_3=(7-3)d が成り立つ。23-11=4d より 12=4d、したがって公差 d=3 となる。

5. 問5．初項4、公差3の等差数列の初項から第10項までの和S_10を求めよ。

   • ア．170
   • イ．180
   • ウ．165
   • エ．175

   正解：エ．175

   解説：和の公式 S_n=n/2{2a+(n-1)d} に代入する。S_10=10/2×{2×4+9×3}=5×(8+27)=5×35=175 となる。

6. 問6．初項1、公差2の等差数列1,3,5,…の初項から第n項までの和S_nを求めよ。

   • ア．n(n+1)
   • イ．n^2
   • ウ．2n^2
   • エ．n(n+1)/2

   正解：イ．n^2

   解説：S_n=n/2{2a+(n-1)d} に a=1,d=2 を代入すると S_n=n/2×{2+2(n-1)}=n/2×2n=n^2 となる。奇数の和は平方数になる。

7. 問7．初項50、公差-4の等差数列の初項から第n項までの和が最大となるときの最大値を求めよ。

   • ア．338
   • イ．350
   • ウ．336
   • エ．300

   正解：ア．338

   解説：a_n=50+(n-1)(-4)=54-4n。a_n≧0 となるのは n≦13.5、すなわち第13項まで正である。S_13=13/2×(2×50+12×(-4))=13/2×52=338 が最大値となる。

8. 問8．初項3、公比2の等比数列の第5項a_5を求めよ。

   • ア．96
   • イ．24
   • ウ．32
   • エ．48

   正解：エ．48

   解説：等比数列の一般項は a_n=a r^(n-1) である。a=3,r=2,n=5 を代入すると a_5=3×2^(5-1)=3×2^4=3×16=48 となる。

9. 問9．初項1、公比3の等比数列の第4項a_4を求めよ。

   • ア．27
   • イ．81
   • ウ．9
   • エ．12

   正解：ア．27

   解説：一般項 a_n=a r^(n-1) に a=1,r=3,n=4 を代入する。a_4=1×3^(4-1)=3^3=27 となる。

10. 問10．初項2、公比-2の等比数列の第4項a_4を求めよ。

    • ア．16
    • イ．-8
    • ウ．8
    • エ．-16

    正解：エ．-16

    解説：一般項 a_n=a r^(n-1) に a=2,r=-2,n=4 を代入する。a_4=2×(-2)^3=2×(-8)=-16 となる。負の公比なので符号に注意する。

11. 問11．第2項が6、第4項が54である等比数列の公比r(r>0)を求めよ。

    • ア．9
    • イ．2
    • ウ．6
    • エ．3

    正解：エ．3

    解説：等比数列では a_4/a_2=r^2 が成り立つ。54/6=9=r^2 であり、r>0 という条件から r=3 となる。

12. 問12．初項2、公比3の等比数列の初項から第4項までの和S_4を求めよ。

    • ア．80
    • イ．78
    • ウ．82
    • エ．40

    正解：ア．80

    解説：和の公式 S_n=a(r^n-1)/(r-1) に代入する。S_4=2×(3^4-1)/(3-1)=2×(81-1)/2=2×80/2=80 となる。

13. 問13．初項3、公比2の等比数列の初項から第5項までの和S_5を求めよ。

    • ア．96
    • イ．90
    • ウ．31
    • エ．93

    正解：エ．93

    解説：和の公式 S_n=a(r^n-1)/(r-1) に代入する。S_5=3×(2^5-1)/(2-1)=3×(32-1)/1=3×31=93 となる。

14. 問14．初項1、公比1/2の等比数列の初項から第4項までの和S_4を求めよ。

    • ア．7/8
    • イ．15/8
    • ウ．16/15
    • エ．2

    正解：イ．15/8

    解説：公式 S_n=a(1-r^n)/(1-r) を用いる。S_4=1×(1-(1/2)^4)/(1-1/2)=(1-1/16)/(1/2)=(15/16)×2=15/8 となる。

15. 問15．Σ_(k=1)^(n) k を表す公式として正しいものを選べ。

    • ア．n(n+1)(2n+1)/6
    • イ．n^2
    • ウ．n(n-1)/2
    • エ．n(n+1)/2

    正解：エ．n(n+1)/2

    解説：1からnまでの自然数の和は Σk=n(n+1)/2 である。例えば n=5 のとき 5×6/2=15=1+2+3+4+5 と一致する。

16. 問16．Σ_(k=1)^(10) k の値を求めよ。

    • ア．50
    • イ．45
    • ウ．100
    • エ．55

    正解：エ．55

    解説：公式 Σk=n(n+1)/2 に n=10 を代入する。Σ_(k=1)^(10) k=10×11/2=110/2=55 となる。1から10までの和である。

17. 問17．Σ_(k=1)^(n) k^2 を表す公式として正しいものを選べ。

    • ア．n(n+1)(2n+1)/6
    • イ．n(n+1)/2
    • ウ．{n(n+1)/2}^2
    • エ．n^2(n+1)/2

    正解：ア．n(n+1)(2n+1)/6

    解説：平方の和の公式は Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6 である。例えば n=3 のとき 3×4×7/6=14=1+4+9 と一致する。

18. 問18．Σ_(k=1)^(5) k^2 の値を求めよ。

    • ア．30
    • イ．50
    • ウ．60
    • エ．55

    正解：エ．55

    解説：公式 Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6 に n=5 を代入する。5×6×11/6=330/6=55 となる。1^2+…+5^2=55 と一致する。

19. 問19．Σ_(k=1)^(n) k^3 を表す公式として正しいものを選べ。

    • ア．{n(n+1)/2}^2
    • イ．n(n+1)(2n+1)/6
    • ウ．n(n+1)/2
    • エ．n^2(n+1)^2

    正解：ア．{n(n+1)/2}^2

    解説：立方の和の公式は Σk^3={n(n+1)/2}^2 であり、これは Σk の2乗に等しい。例えば n=3 なら 6^2=36=1+8+27 と一致する。

20. 問20．定数3のn個の和、すなわちΣ_(k=1)^(n) 3 の値を求めよ。

    • ア．3
    • イ．n
    • ウ．3n
    • エ．3n(n+1)/2

    正解：ウ．3n

    解説：定数cのΣは Σc=cn となる。よって Σ3=3n である。例えば n=4 なら 3+3+3+3=12=3×4 と一致する。

21. 問21．Σ_(k=1)^(n) (2k+1) を計算した結果を選べ。

    • ア．n(n+2)
    • イ．n(n+1)
    • ウ．n^2
    • エ．2n(n+1)

    正解：ア．n(n+2)

    解説：Σ(2k+1)=2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n(n+1)+n=n^2+2n=n(n+2) となる。Σの線形性を使って分解する。

22. 問22．Σ_(k=1)^(n) k(k+1) を計算した結果を選べ。

    • ア．n(n+1)(n+2)/6
    • イ．n(n+1)/2
    • ウ．n(n+1)(2n+1)/6
    • エ．n(n+1)(n+2)/3

    正解：エ．n(n+1)(n+2)/3

    解説：Σ(k^2+k)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1){(2n+1)+3}/6=n(n+1)(2n+4)/6=n(n+1)(n+2)/3 となる。

23. 問23．数列1,4,9,16,…の階差数列の第3項を求めよ。

    • ア．5
    • イ．9
    • ウ．7
    • エ．6

    正解：ウ．7

    解説：階差数列は b_n=a_(n+1)-a_n で定義される。元の数列1,4,9,16の階差は3,5,7,…となり、第3項は a_4-a_3=16-9=7 である。

24. 問24．数列2,3,5,8,12,…の階差数列を求めよ。

    • ア．1,2,3,4,…
    • イ．1,1,1,1,…
    • ウ．2,3,4,5,…
    • エ．1,2,4,8,…

    正解：ア．1,2,3,4,…

    解説：隣り合う項の差をとると 3-2=1、5-3=2、8-5=3、12-8=4 となる。したがって階差数列は 1,2,3,4,… である。

25. 問25．階差数列がb_n=2nであり初項a_1=3である数列{a_n}について、a_4を求めよ。

    • ア．13
    • イ．11
    • ウ．15
    • エ．17

    正解：ウ．15

    解説：a_n=a_1+Σ_(k=1)^(n-1)b_k で求める。a_4=a_1+(b_1+b_2+b_3)=3+(2+4+6)=3+12=15 となる。階差を足し上げる。

26. 問26．漸化式a_(n+1)=a_n+3、a_1=2で定まる数列の一般項a_nを求めよ。

    • ア．3n-1
    • イ．3n+2
    • ウ．3n-2
    • エ．2n+1

    正解：ア．3n-1

    解説：各項に3を加えるので公差3の等差数列である。一般項は a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1 となる。

27. 問27．漸化式a_(n+1)=2a_n、a_1=3で定まる数列の一般項a_nを求めよ。

    • ア．3×2^n
    • イ．3×2^(n-1)
    • ウ．2×3^(n-1)
    • エ．2n×3

    正解：イ．3×2^(n-1)

    解説：各項が前項の2倍になるので公比2の等比数列である。一般項は a_n=a_1 r^(n-1)=3×2^(n-1) となる。

28. 問28．漸化式a_(n+1)=a_n+4、a_1=1で定まる数列のa_5を求めよ。

    • ア．16
    • イ．21
    • ウ．17
    • エ．13

    正解：ウ．17

    解説：公差4の等差数列なので一般項は a_n=1+(n-1)×4=4n-3 である。a_5=4×5-3=20-3=17 となる。

29. 問29．漸化式a_(n+1)=3a_n、a_1=2で定まる数列のa_4を求めよ。

    • ア．18
    • イ．54
    • ウ．162
    • エ．48

    正解：イ．54

    解説：公比3の等比数列なので一般項は a_n=2×3^(n-1) である。a_4=2×3^(4-1)=2×3^3=2×27=54 となる。

30. 問30．ベクトルa=(3,4)の大きさ|a|を求めよ。

    • ア．7
    • イ．5
    • ウ．√7
    • エ．25

    正解：イ．5

    解説：平面ベクトルの大きさは |a|=√(x^2+y^2) で求める。|a|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5 となる。三平方の定理による。

31. 問31．ベクトルa=(1,2)の大きさ|a|を求めよ。

    • ア．3
    • イ．5
    • ウ．√5
    • エ．√3

    正解：ウ．√5

    解説：大きさの公式 |a|=√(x^2+y^2) に代入する。|a|=√(1^2+2^2)=√(1+4)=√5 となる。これ以上簡単にできない。

32. 問32．a=(2,3)、b=(1,-1)のとき、a+bを成分で求めよ。

    • ア．(3,2)
    • イ．(1,4)
    • ウ．(3,-2)
    • エ．(2,3)

    正解：ア．(3,2)

    解説：ベクトルの和は対応する成分どうしを加える。a+b=(2+1,3+(-1))=(3,2) となる。x成分とy成分を別々に計算する。

33. 問33．a=(4,1)、b=(1,3)のとき、a-bを成分で求めよ。

    • ア．(5,4)
    • イ．(3,2)
    • ウ．(3,-2)
    • エ．(-3,2)

    正解：ウ．(3,-2)

    解説：ベクトルの差は対応する成分どうしを引く。a-b=(4-1,1-3)=(3,-2) となる。順序を間違えないよう注意する。

34. 問34．a=(2,-1)のとき、3aを成分で求めよ。

    • ア．(5,2)
    • イ．(6,3)
    • ウ．(2,-3)
    • エ．(6,-3)

    正解：エ．(6,-3)

    解説：ベクトルの実数倍は各成分にその実数を掛ける。3a=(3×2,3×(-1))=(6,-3) となる。大きさは3倍になる。

35. 問35．a=(1,2)、b=(3,-1)のとき、内積a・bを求めよ。

    • ア．5
    • イ．1
    • ウ．-1
    • エ．2

    正解：イ．1

    解説：平面ベクトルの内積は a・b=x_1 x_2+y_1 y_2 で計算する。a・b=1×3+2×(-1)=3-2=1 となる。

36. 問36．a=(2,3)、b=(4,1)のとき、内積a・bを求めよ。

    • ア．5
    • イ．14
    • ウ．11
    • エ．7

    正解：ウ．11

    解説：内積の公式 a・b=x_1 x_2+y_1 y_2 に代入する。a・b=2×4+3×1=8+3=11 となる。成分の積の和である。

37. 問37．a=(3,-2)、b=(1,2)のとき、内積a・bを求めよ。

    • ア．-1
    • イ．1
    • ウ．5
    • エ．-5

    正解：ア．-1

    解説：内積の公式 a・b=x_1 x_2+y_1 y_2 に代入する。a・b=3×1+(-2)×2=3-4=-1 となる。符号に注意して計算する。

38. 問38．|a|=2、|b|=3、なす角θ=60°のとき内積a・bを求めよ。

    • ア．6
    • イ．3
    • ウ．√3
    • エ．3√3

    正解：イ．3

    解説：内積の定義 a・b=|a||b|cosθ を用いる。a・b=2×3×cos60°=6×(1/2)=3 となる。cos60°=1/2 である。

39. 問39．|a|=4、|b|=5、なす角θ=90°のとき内積a・bを求めよ。

    • ア．20
    • イ．9
    • ウ．0
    • エ．1

    正解：ウ．0

    解説：内積 a・b=|a||b|cosθ を用いる。cos90°=0 なので a・b=4×5×0=0 となる。垂直なベクトルの内積は0である。

40. 問40．a=(1,1)、b=(1,0)のなす角θを求めよ。

    • ア．45°
    • イ．30°
    • ウ．60°
    • エ．90°

    正解：ア．45°

    解説：cosθ=(a・b)/(|a||b|)=(1×1+1×0)/(√2×1)=1/√2 となる。これを満たす角は θ=45° である。

41. 問41．a=(2,4)、b=(1,2)は平行である。a=kbを満たす実数kを求めよ。

    • ア．1
    • イ．3
    • ウ．2
    • エ．1/2

    正解：ウ．2

    解説：a=kb より (2,4)=(k,2k) となる。x成分から 2=k×1 で k=2、y成分も 4=2×2 で一致する。よって k=2 である。

42. 問42．a=(2,3)とb=(x,-6)が平行であるとき、xの値を求めよ。

    • ア．-4
    • イ．4
    • ウ．-9
    • エ．9

    正解：ア．-4

    解説：平行条件は x_1 y_2-x_2 y_1=0 である。2×(-6)-x×3=0、-12-3x=0、3x=-12、x=-4 となる。

43. 問43．a=(3,2)とb=(x,-6)が垂直であるとき、xの値を求めよ。

    • ア．-4
    • イ．4
    • ウ．9
    • エ．-9

    正解：イ．4

    解説：垂直条件は内積a・b=0 である。3×x+2×(-6)=0、3x-12=0、3x=12、x=4 となる。内積が0なら直交する。

44. 問44．a=(1,2)とb=(4,x)が垂直であるとき、xの値を求めよ。

    • ア．2
    • イ．-8
    • ウ．-2
    • エ．8

    正解：ウ．-2

    解説：垂直条件は内積a・b=0 である。1×4+2×x=0、4+2x=0、2x=-4、x=-2 となる。内積が0で直交する。

45. 問45．2点A(1,2)、B(5,4)について、ベクトルABを成分で求めよ。

    • ア．(6,6)
    • イ．(4,2)
    • ウ．(-4,-2)
    • エ．(4,-2)

    正解：イ．(4,2)

    解説：AB=（終点B-始点A）で求める。AB=(5-1,4-2)=(4,2) となる。各成分は終点から始点を引いて計算する。

46. 問46．2点A(2,1)、B(2,5)を結ぶ線分ABの中点Mの座標を求めよ。

    • ア．(2,4)
    • イ．(2,3)
    • ウ．(4,6)
    • エ．(2,2)

    正解：イ．(2,3)

    解説：中点の座標は ((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2) である。M=((2+2)/2,(1+5)/2)=(4/2,6/2)=(2,3) となる。

47. 問47．2点A(1,2)、B(7,8)を結ぶ線分を1:2に内分する点Pの座標を求めよ。

    • ア．(3,4)
    • イ．(5,6)
    • ウ．(4,5)
    • エ．(3,6)

    正解：ア．(3,4)

    解説：m:nの内分点は ((nx_1+mx_2)/(m+n),(ny_1+my_2)/(m+n))。P=((2×1+1×7)/3,(2×2+1×8)/3)=(9/3,12/3)=(3,4) となる。

48. 問48．空間ベクトルa=(1,2,2)の大きさ|a|を求めよ。

    • ア．5
    • イ．3
    • ウ．√5
    • エ．9

    正解：イ．3

    解説：空間ベクトルの大きさは |a|=√(x^2+y^2+z^2) である。|a|=√(1^2+2^2+2^2)=√(1+4+4)=√9=3 となる。

49. 問49．空間ベクトルa=(2,1,2)、b=(1,3,-1)のとき、内積a・bを求めよ。

    • ア．7
    • イ．1
    • ウ．3
    • エ．5

    正解：ウ．3

    解説：空間の内積は a・b=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2 である。a・b=2×1+1×3+2×(-1)=2+3-2=3 となる。z成分も忘れず加える。

50. 問50．空間の2点A(1,0,2)、B(4,3,2)について、ベクトルABを成分で求めよ。

    • ア．(5,3,4)
    • イ．(3,3,0)
    • ウ．(-3,-3,0)
    • エ．(3,3,4)

    正解：イ．(3,3,0)

    解説：AB=（終点B-始点A）で各成分を計算する。AB=(4-1,3-0,2-2)=(3,3,0) となる。z成分は0になる。

51. 問51．等差数列の一般項は a_n=a_1+(n-1)d で表される。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。初項a_1に公差dを(n-1)回加えると第n項になる。例えば a_1=2,d=3 なら a_4=2+3×3=11 となる。

52. 問52．等差数列の初項から第n項までの和は S_n=n(a_1+a_n) で表される。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは S_n=n(a_1+a_n)/2 であり2で割る必要がある。例えば1から5の和は 5×(1+5)/2=15 となる。

53. 問53．等比数列の一般項は a_n=a_1 r^n で表される。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは a_n=a_1 r^(n-1) であり指数はn-1である。例えば a_1=3,r=2 なら a_4=3×2^3=24 となる。

54. 問54．公比r≠1の等比数列の和は S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) で表される。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。r≠1のとき成り立つ等比数列の和の公式である。例えば a_1=2,r=3,n=3 なら 2×(27-1)/2=26 となる。

55. 問55．Σ_(k=1)^(n) k = n(n-1)/2 が成り立つ。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは Σk=n(n+1)/2 である。例えば n=4 なら 4×5/2=10=1+2+3+4 となり、n(n-1)/2では合わない。

56. 問56．Σ_(k=1)^(n) k^2 = {n(n+1)/2}^2 が成り立つ。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6 である。{n(n+1)/2}^2 はΣk^3すなわち立方和の公式である。

57. 問57．Σ_(k=1)^(n) c = cn が成り立つ（cは定数）。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。kに依存しない定数cをn回加えるのでcnになる。例えば Σ_(k=1)^(5) 3=3×5=15 となる。これは定数の和の基本公式である。

58. 問58．Σ_(k=1)^(n) k^3 = {n(n+1)/2}^2 が成り立つ。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。立方の和はΣkの2乗に等しいという公式である。例えば n=3 なら 6^2=36=1+8+27 と一致する。

59. 問59．階差数列b_nは b_n=a_(n+1)-a_n で定義される。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。隣り合う項の差をとった数列が階差数列である。例えば数列1,4,9,16の階差数列は3,5,7となる。元の数列の規則を調べるのに役立つ。

60. 問60．漸化式a_(n+1)=a_n+d（dは定数）は等比数列を表す。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは a_(n+1)=a_n+d は公差dの等差数列を表す。等比数列は a_(n+1)=r a_n の形で表される。

61. 問61．漸化式a_(n+1)=r a_n（r≠0）は公比rの等比数列を表す。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。各項が前項のr倍になるので公比rの等比数列である。例えば a_(n+1)=2a_n は公比2の等比数列となる。

62. 問62．数学的帰納法では、n=1で成立を示し、n=kで成立を仮定してn=k+1で成立を示せば全自然数で成立する。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。基礎(n=1)と帰納段階(k→k+1)の2段階によって、全ての自然数についての成立を証明する手法である。

63. 問63．ベクトルa=(x,y)の大きさは |a|=x^2+y^2 で表される。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは |a|=√(x^2+y^2) であり平方根が必要である。例えば a=(3,4) なら |a|=√25=5 となる。

64. 問64．a=(a_1,a_2)、b=(b_1,b_2)の内積は a・b=a_1 b_1+a_2 b_2 で計算できる。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。対応する成分どうしの積の和が内積である。例えば (1,2)・(3,4)=1×3+2×4=11 となる。

65. 問65．ベクトルの内積は a・b=|a||b|sinθ で計算できる（θはなす角）。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは a・b=|a||b|cosθ でありcosを用いる。sinではなくcosを使う点に注意が必要である。

66. 問66．0でない2つのベクトルが垂直であるとき、その内積は0である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。θ=90°でcos90°=0 なので a・b=|a||b|×0=0 となる。逆に内積が0なら2つのベクトルは垂直である。

67. 問67．0でない2つのベクトルが平行であるとき、その内積は必ず0である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは平行（θ=0°または180°）のとき内積は|a||b|または-|a||b|であり0ではない。0になるのは垂直のときである。

68. 問68．a=(a_1,a_2)、b=(b_1,b_2)が平行であるための条件は a_1 b_2-a_2 b_1=0 である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。成分の交差積の差が0なら平行である。例えば (2,4)と(1,2)は 2×2-4×1=0 なので平行である。

69. 問69．a=(a_1,a_2)、b=(b_1,b_2)が垂直であるための条件は a_1 b_1+a_2 b_2=0 である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。垂直条件は内積が0、すなわち a_1 b_1+a_2 b_2=0 である。これは内積の成分計算が0になることを意味する。

70. 問70．なす角θが90°<θ≦180°のとき、内積a・bは常に正である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは90°<θ≦180°ではcosθ<0 なので内積a・b=|a||b|cosθは負である。内積が正になるのは鋭角のときである。

71. 問71．線分ABをm:nに外分する点の位置ベクトルは (na+mb)/(m+n) である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは外分点は (-na+mb)/(m-n) である。(na+mb)/(m+n) は内分点の公式であり符号と分母が異なる。

72. 問72．空間ベクトルa=(x,y,z)の大きさは |a|=√(x^2+y^2+z^2) で表される。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。空間でも各成分の平方和の平方根が大きさである。例えば a=(1,2,2) なら |a|=√9=3 となる。

73. 問73．空間ベクトルa=(a_1,a_2,a_3)、b=(b_1,b_2,b_3)の内積はz成分を無視して a・b=a_1 b_1+a_2 b_2 で計算する。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは a・b=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 でありz成分も加える。空間でも全成分の積の和が内積である。

74. 問74．等差数列で初項a_1=5、公差d=0のとき、すべての項は5になる。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。公差0なので a_n=5+(n-1)×0=5 となる。全ての項が初項に等しい定数列となるからである。

75. 問75．ベクトルの実数倍kaの大きさは |ka|=k|a| である（kは任意の実数）。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは |ka|=|k||a| であり、kの絶対値を掛ける。例えば k=-2 のとき |(-2)a|=2|a| となり負にはならないからである。