数検2級（実用数学技能検定 2級）「指数関数・対数関数・微分積分」の一問一答

数検2級（実用数学技能検定 2級）の指数関数・対数関数・微分積分に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．2^3 × 2^4 を計算せよ。

   • ア．128
   • イ．64
   • ウ．256
   • エ．49

   正解：ア．128

   解説：指数法則 a^m×a^n=a^(m+n) より 2^3×2^4=2^(3+4)=2^7=128。

2. 問2．(2^3)^2 を計算せよ。

   • ア．32
   • イ．64
   • ウ．128
   • エ．12

   正解：イ．64

   解説：指数法則 (a^m)^n=a^(mn) より (2^3)^2=2^(3×2)=2^6=64。

3. 問3．5^0 の値を求めよ。

   • ア．0
   • イ．5
   • ウ．1
   • エ．未定義

   正解：ウ．1

   解説：0でない数の0乗は1と定義される。よって 5^0=1。

4. 問4．2^(-3) の値を求めよ。

   • ア．8
   • イ．-8
   • ウ．-1/8
   • エ．1/8

   正解：エ．1/8

   解説：負の指数は a^(-n)=1/a^n より 2^(-3)=1/2^3=1/8。

5. 問5．9^(1/2) の値を求めよ。

   • ア．3
   • イ．4.5
   • ウ．81
   • エ．1/3

   正解：ア．3

   解説：a^(1/2)=√a より 9^(1/2)=√9=3。

6. 問6．16^(3/4) の値を求めよ。

   • ア．12
   • イ．64
   • ウ．4
   • エ．8

   正解：エ．8

   解説：16=2^4 より 16^(3/4)=(2^4)^(3/4)=2^(4×3/4)=2^3=8。

7. 問7．(1/2)^(-2) の値を求めよ。

   • ア．4
   • イ．1/4
   • ウ．-4
   • エ．-1/4

   正解：ア．4

   解説：(1/2)^(-2)=2^2=4。負の指数で逆数を取り2乗する。

8. 問8．√[3]{8} × √[3]{27} を計算せよ（√[3]はそれぞれ3乗根）。

   • ア．5
   • イ．35
   • ウ．6
   • エ．9

   正解：ウ．6

   解説：√[3]{8}=2, √[3]{27}=3 より 2×3=6。

9. 問9．指数方程式 2^x=8 を解け。

   • ア．2
   • イ．3
   • ウ．4
   • エ．8

   正解：イ．3

   解説：8=2^3 より 2^x=2^3。底が等しいので指数を比較し x=3。

10. 問10．指数方程式 3^x=1/9 を解け。

    • ア．2
    • イ．1/2
    • ウ．-2
    • エ．-1/2

    正解：ウ．-2

    解説：1/9=3^(-2) より 3^x=3^(-2)。指数を比較して x=-2。

11. 問11．指数方程式 4^x=8 を解け。

    • ア．2
    • イ．1/2
    • ウ．2/3
    • エ．3/2

    正解：エ．3/2

    解説：4=2^2, 8=2^3 より 2^(2x)=2^3。2x=3 だから x=3/2。

12. 問12．指数不等式 (1/2)^x < 1/8 を満たすxの範囲を求めよ。

    • ア．x<3
    • イ．x>3
    • ウ．x<-3
    • エ．x>-3

    正解：イ．x>3

    解説：1/8=(1/2)^3 より (1/2)^x<(1/2)^3。底1/2<1で減少関数なので不等号が逆転し x>3。

13. 問13．log_2 8 の値を求めよ。

    • ア．2
    • イ．16
    • ウ．3
    • エ．4

    正解：ウ．3

    解説：log_2 8=x とすると 2^x=8=2^3。よって x=3。

14. 問14．log_10 1000 の値を求めよ。

    • ア．3
    • イ．2
    • ウ．4
    • エ．100

    正解：ア．3

    解説：log_10 1000=x とすると 10^x=1000=10^3。よって x=3。

15. 問15．log_2 2 の値を求めよ。

    • ア．0
    • イ．2
    • ウ．1/2
    • エ．1

    正解：エ．1

    解説：log_a a=1（a^1=aだから）。よって log_2 2=1。

16. 問16．log_2 6 + log_2 (2/3) を計算せよ。

    • ア．1
    • イ．2
    • ウ．3
    • エ．4

    正解：イ．2

    解説：log_a M+log_a N=log_a(MN) より log_2(6×2/3)=log_2 4=2。

17. 問17．log_3 18 - log_3 2 を計算せよ。

    • ア．1
    • イ．9
    • ウ．2
    • エ．3

    正解：ウ．2

    解説：log_a M-log_a N=log_a(M/N) より log_3(18/2)=log_3 9=2。

18. 問18．log_2 (8^2) を計算せよ。

    • ア．3
    • イ．9
    • ウ．16
    • エ．6

    正解：エ．6

    解説：log_a M^p=p log_a M より log_2 8^2=2 log_2 8=2×3=6。

19. 問19．log_9 27 の値を求めよ。

    • ア．3/2
    • イ．2/3
    • ウ．3
    • エ．1/3

    正解：ア．3/2

    解説：log_9 27=log_3 27/log_3 9=3/2。底を3に変換して計算する。

20. 問20．対数方程式 log_2 x = 3 を解け。

    • ア．6
    • イ．8
    • ウ．9
    • エ．16

    正解：イ．8

    解説：log_2 x=3 は 2^3=x を意味する。よって x=8。

21. 問21．対数方程式 log_3 x = -2 を解け。

    • ア．-9
    • イ．9
    • ウ．1/9
    • エ．-1/9

    正解：ウ．1/9

    解説：log_3 x=-2 は 3^(-2)=x を意味する。よって x=1/9。

22. 問22．対数不等式 log_2 x < 4（x>0）を満たすxの範囲を求めよ。

    • ア．x>16
    • イ．0<x<8
    • ウ．x>8
    • エ．0<x<16

    正解：エ．0<x<16

    解説：4=log_2 16 より log_2 x<log_2 16。底2>1で増加なので x<16。真数条件x>0と合わせ 0<x<16。

23. 問23．log_10 2=0.301 とするとき log_10 4 の値を求めよ。

    • ア．0.602
    • イ．0.301
    • ウ．0.903
    • エ．1.204

    正解：ア．0.602

    解説：log_10 4=log_10 2^2=2 log_10 2=2×0.301=0.602。

24. 問24．log_10 2=0.301 とするとき log_10 5 の値を求めよ。

    • ア．0.301
    • イ．0.699
    • ウ．0.602
    • エ．0.5

    正解：イ．0.699

    解説：log_10 5=log_10(10/2)=log_10 10-log_10 2=1-0.301=0.699。

25. 問25．関数 f(x)=x^2 の導関数 f'(x) を求めよ。

    • ア．x
    • イ．x^2
    • ウ．2x
    • エ．2x^2

    正解：ウ．2x

    解説：x^n の微分は nx^(n-1)。よって f'(x)=2x^(2-1)=2x。

26. 問26．関数 f(x)=x^3 の導関数 f'(x) を求めよ。

    • ア．3x
    • イ．x^2
    • ウ．3x^3
    • エ．3x^2

    正解：エ．3x^2

    解説：x^n の微分は nx^(n-1)。よって f'(x)=3x^(3-1)=3x^2。

27. 問27．関数 y=x^2+3x の導関数 y' を求めよ。

    • ア．x+3
    • イ．2x+3
    • ウ．2x+3x
    • エ．2x

    正解：イ．2x+3

    解説：各項を微分。x^2は2x、3xは3。よって y'=2x+3。

28. 問28．関数 y=2x^3-4x+1 の導関数 y' を求めよ。

    • ア．6x^2-4x
    • イ．2x^2-4
    • ウ．6x^2-4
    • エ．6x^2-4+1

    正解：ウ．6x^2-4

    解説：2x^3→6x^2、-4x→-4、定数1→0。よって y'=6x^2-4。

29. 問29．f(x)=x^2 のとき f'(3) の値を求めよ。

    • ア．9
    • イ．3
    • ウ．12
    • エ．6

    正解：エ．6

    解説：f'(x)=2x。これに x=3 を代入し f'(3)=2×3=6。

30. 問30．f(x)=x^3-3x のとき f'(2) の値を求めよ。

    • ア．9
    • イ．6
    • ウ．12
    • エ．5

    正解：ア．9

    解説：f'(x)=3x^2-3。x=2を代入し f'(2)=3×4-3=12-3=9。

31. 問31．曲線 y=x^2 上の点(1,1)における接線の方程式を求めよ。

    • ア．y=2x+1
    • イ．y=x-1
    • ウ．y=2x-1
    • エ．y=2x

    正解：ウ．y=2x-1

    解説：傾き y'(1)=2。接線は y-1=2(x-1) より y=2x-1。

32. 問32．曲線 y=x^2-2x 上の点(3,3)における接線の方程式を求めよ。

    • ア．y=4x+9
    • イ．y=4x-3
    • ウ．y=2x-3
    • エ．y=4x-9

    正解：エ．y=4x-9

    解説：y'=2x-2。x=3で傾き4。接線 y-3=4(x-3) より y=4x-9。

33. 問33．曲線 y=x^3 上の点(2,8)における接線の傾きを求めよ。

    • ア．12
    • イ．6
    • ウ．8
    • エ．24

    正解：ア．12

    解説：y'=3x^2。x=2で y'(2)=3×4=12。接線の傾きは12。

34. 問34．関数 y=x^2-4x+5 が極小値をとるxの値を求めよ。

    • ア．1
    • イ．2
    • ウ．4
    • エ．-2

    正解：イ．2

    解説：y'=2x-4=0 より x=2。下に凸の放物線なのでx=2で極小。

35. 問35．関数 y=x^3-3x の極大値をとるxの値を求めよ。

    • ア．1
    • イ．0
    • ウ．3
    • エ．-1

    正解：エ．-1

    解説：y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0 より x=±1。増減表より x=-1 で極大。

36. 問36．関数 y=x^3-3x の極大値を求めよ。

    • ア．2
    • イ．-2
    • ウ．0
    • エ．-1

    正解：ア．2

    解説：x=-1で極大。y=(-1)^3-3×(-1)=-1+3=2。極大値は2。

37. 問37．関数 y=x^3-3x の極小値を求めよ。

    • ア．2
    • イ．-2
    • ウ．0
    • エ．-3

    正解：イ．-2

    解説：y'=3x^2-3=0 より x=±1。x=1で極小。y=1^3-3×1=1-3=-2。

38. 問38．不定積分 ∫(2x)dx を求めよ。

    • ア．2x^2+C
    • イ．2+C
    • ウ．x^2+C
    • エ．x^2

    正解：ウ．x^2+C

    解説：∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C より ∫2x dx=2×x^2/2+C=x^2+C。

39. 問39．不定積分 ∫(3x^2)dx を求めよ。

    • ア．3x^3+C
    • イ．6x+C
    • ウ．x^3
    • エ．x^3+C

    正解：エ．x^3+C

    解説：∫3x^2 dx=3×x^3/3+C=x^3+C。べき乗を1上げ次数で割る。

40. 問40．不定積分 ∫(2x+1)dx を求めよ。

    • ア．x^2+x+C
    • イ．2x^2+x+C
    • ウ．x^2+1+C
    • エ．2+C

    正解：ア．x^2+x+C

    解説：∫2x dx=x^2、∫1 dx=x。よって ∫(2x+1)dx=x^2+x+C。

41. 問41．不定積分 ∫(x^2-2x)dx を求めよ。

    • ア．x^3-x^2+C
    • イ．x^3/3-x^2+C
    • ウ．x^3/3-2x^2+C
    • エ．2x-2+C

    正解：イ．x^3/3-x^2+C

    解説：∫x^2 dx=x^3/3、∫2x dx=x^2。よって x^3/3-x^2+C。

42. 問42．不定積分 ∫(4)dx を求めよ。

    • ア．4+C
    • イ．x+C
    • ウ．4x+C
    • エ．4x

    正解：ウ．4x+C

    解説：定数の積分は ∫a dx=ax+C。よって ∫4 dx=4x+C。

43. 問43．定積分 ∫[0→2](3x^2)dx を求めよ。

    • ア．4
    • イ．12
    • ウ．6
    • エ．8

    正解：エ．8

    解説：∫3x^2 dx=x^3。[x^3]を0から2で評価し 2^3-0^3=8。

44. 問44．定積分 ∫[1→3](2x)dx を求めよ。

    • ア．8
    • イ．6
    • ウ．9
    • エ．4

    正解：ア．8

    解説：∫2x dx=x^2。[x^2]を1から3で 3^2-1^2=9-1=8。

45. 問45．定積分 ∫[0→1](x^2)dx を求めよ。

    • ア．1
    • イ．1/3
    • ウ．1/2
    • エ．1/4

    正解：イ．1/3

    解説：∫x^2 dx=x^3/3。0から1で 1^3/3-0=1/3。

46. 問46．定積分 ∫[-1→1](x^2)dx を求めよ。

    • ア．0
    • イ．2
    • ウ．2/3
    • エ．1/3

    正解：ウ．2/3

    解説：∫x^2 dx=x^3/3。1^3/3-(-1)^3/3=1/3-(-1/3)=2/3。

47. 問47．定積分 ∫[1→2](2x+3)dx を求めよ。

    • ア．6
    • イ．5
    • ウ．7
    • エ．8

    正解：ア．6

    解説：∫(2x+3)dx=x^2+3x。[x^2+3x]を1から2で (4+6)-(1+3)=10-4=6。

48. 問48．定積分 ∫[0→3](x^2-2x)dx を求めよ。

    • ア．3
    • イ．0
    • ウ．6
    • エ．9

    正解：イ．0

    解説：∫(x^2-2x)dx=x^3/3-x^2。0から3で (27/3-9)-0=9-9=0。

49. 問49．曲線 y=x^2 と x軸、x=0からx=2 で囲まれた部分の面積を求めよ。

    • ア．8/3
    • イ．4/3
    • ウ．4
    • エ．8

    正解：ア．8/3

    解説：面積=∫[0→2]x^2 dx=[x^3/3]=8/3-0=8/3。

50. 問50．曲線 y=x^2 と直線 x=0、x=3 および x軸で囲まれた面積を求めよ。

    • ア．6
    • イ．9
    • ウ．12
    • エ．27

    正解：イ．9

    解説：面積=∫[0→3]x^2 dx=[x^3/3]=27/3-0=9。

51. 問51．指数法則 a^m × a^n = a^(m+n) は正しい式である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。同じ底のべき乗の積は指数を足す。例: 2^2×2^3=2^5=32。

52. 問52．(a^m)^n = a^(m+n) である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは (a^m)^n=a^(mn)（指数の積）。例: (2^2)^3=2^6=64。

53. 問53．a^0 = 1（a≠0）である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。0でない数の0乗は1と定義される。例: 5^0=1, 100^0=1。

54. 問54．a^(-n) = 1/a^n である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。負の指数は逆数を表す。例: 2^(-3)=1/2^3=1/8。

55. 問55．a^(1/2) = 2a である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは a^(1/2)=√a（aの平方根）。例: 9^(1/2)=√9=3。

56. 問56．a^(m/n) = √[n]{a^m}（n乗根）である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。有理数指数は累乗根で表せる。例: 8^(2/3)=√[3]{8^2}=√[3]{64}=4。

57. 問57．2^(-2) = -4 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは 2^(-2)=1/2^2=1/4。負の指数は符号反転ではなく逆数を意味する。

58. 問58．log_a(MN) = log_a M + log_a N である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。積の対数は対数の和。例: log_2(4×8)=log_2 4+log_2 8=2+3=5。

59. 問59．log_a(M/N) = log_a M - log_a N である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。商の対数は対数の差。例: log_2(8/2)=log_2 8-log_2 2=3-1=2。

60. 問60．log_a(M+N) = log_a M + log_a N である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは log_a(MN)=log_a M+log_a N。和の対数を分解する公式は存在しない。

61. 問61．log_a M^p = p log_a M である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。真数のべきは対数の前に出せる。例: log_2 8^2=2 log_2 8=2×3=6。

62. 問62．log_a 1 = 0 である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。a^0=1 だから log_a 1=0。底に関わらず成立する。

63. 問63．log_a a = a である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは log_a a=1（a^1=aだから）。底と真数が等しい対数の値は1。

64. 問64．底の変換公式は log_a b = log_c b / log_c a である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。底をcに変換する公式。例: log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2。

65. 問65．log_3 9 = 3 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは log_3 9=2（3^2=9だから）。log_3 27 なら3となる。

66. 問66．常用対数とは底を10とする対数 log_10 x のことである。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。底10の対数を常用対数という。桁数計算などに用いられる。

67. 問67．x^n を微分すると nx^(n-1) になる。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。べき関数の微分公式。例: x^3 を微分すると 3x^2。

68. 問68．x^2 を微分すると x になる。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは x^2 を微分すると 2x。nx^(n-1) で n=2 より 2x^1=2x。

69. 問69．定数を微分すると0になる。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。定数項の変化率は0なので導関数は0。例: y=5 なら y'=0。

70. 問70．微分可能な関数 f(x) が x=a で極値をとるならば、f'(a)=0 である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。微分可能な関数では、極大・極小となる点で接線が水平になり f'(a)=0 が成り立つ。ただし逆は成り立たない（例: y=x^3 は x=0 で f'(0)=0 だが極値をとらない）。

71. 問71．曲線上の点における接線の傾きは、その点での微分係数に等しい。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。接線の傾きは f'(a)（その点での微分係数）で与えられる。

72. 問72．∫(2x)dx = 2x^2 + C である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは ∫2x dx=x^2+C。2×x^2/2=x^2 となるため係数は1。

73. 問73．∫(3x^2)dx = x^3 + C である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。3×x^3/3=x^3。よって ∫3x^2 dx=x^3+C。

74. 問74．定積分 ∫[a→b]f(x)dx の値は積分定数Cに依存する。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは定積分は F(b)-F(a) で計算され、Cは引き算で消えるため依存しない。

75. 問75．曲線 y=f(x)（f(x)≥0）と x軸、x=a、x=b で囲まれた面積は ∫[a→b]f(x)dx で求められる。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。区間で f(x)≥0 なら定積分の値がそのまま面積を表す。