数検2級（実用数学技能検定 2級）「式と証明・複素数・高次方程式」の一問一答

数検2級（実用数学技能検定 2級）の式と証明・複素数・高次方程式に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．x^3 - 1 を因数分解せよ。

   • ア．(x-1)(x^2-x+1)
   • イ．(x-1)(x^2+x+1)
   • ウ．(x+1)(x^2-x+1)
   • エ．(x-1)(x^2+x-1)

   正解：イ．(x-1)(x^2+x+1)

   解説：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) より、x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)。展開すると x^3+x^2+x-x^2-x-1=x^3-1。

2. 問2．x^3 + 8 を因数分解せよ。

   • ア．(x+2)(x^2+2x+4)
   • イ．(x-2)(x^2+2x+4)
   • ウ．(x+2)(x^2+4)
   • エ．(x+2)(x^2-2x+4)

   正解：エ．(x+2)(x^2-2x+4)

   解説：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)。8=2^3 なので x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)。展開で x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8=x^3+8。

3. 問3．8x^3 - 27 を因数分解せよ。

   • ア．(2x-3)(4x^2-6x+9)
   • イ．(2x+3)(4x^2-6x+9)
   • ウ．(2x-3)(4x^2+9)
   • エ．(2x-3)(4x^2+6x+9)

   正解：エ．(2x-3)(4x^2+6x+9)

   解説：8x^3=(2x)^3, 27=3^3。a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) より (2x-3)((2x)^2+2x・3+3^2)=(2x-3)(4x^2+6x+9)。

4. 問4．(x+2)^3 を展開せよ。

   • ア．x^3+8
   • イ．x^3+6x^2+8x+12
   • ウ．x^3+3x^2+6x+8
   • エ．x^3+6x^2+12x+8

   正解：エ．x^3+6x^2+12x+8

   解説：(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。x^3+3・x^2・2+3・x・4+8=x^3+6x^2+12x+8。

5. 問5．(x-1)^3 を展開せよ。

   • ア．x^3-3x^2+3x-1
   • イ．x^3-1
   • ウ．x^3+3x^2-3x-1
   • エ．x^3-3x^2-3x-1

   正解：ア．x^3-3x^2+3x-1

   解説：(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3。x^3-3x^2+3x-1。

6. 問6．(2x+1)^3 を展開せよ。

   • ア．8x^3+6x^2+12x+1
   • イ．8x^3+12x^2+6x+1
   • ウ．8x^3+1
   • エ．2x^3+12x^2+6x+1

   正解：イ．8x^3+12x^2+6x+1

   解説：(2x)^3+3(2x)^2・1+3(2x)・1+1=8x^3+12x^2+6x+1。

7. 問7．a^3 + b^3 + c^3 - 3abc を因数分解せよ。

   • ア．(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)
   • イ．(a-b-c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
   • ウ．(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
   • エ．(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)

   正解：ウ．(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

   解説：有名な因数分解公式 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)。

8. 問8．(x+1)(x^2-x+1) を展開せよ。

   • ア．x^3-1
   • イ．x^3+1
   • ウ．x^3+x^2+1
   • エ．x^3+2x+1

   正解：イ．x^3+1

   解説：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) の形（a=x,b=1）。よって x^3+1。

9. 問9．27x^3 + 1 を因数分解せよ。

   • ア．(3x+1)(9x^2+3x+1)
   • イ．(3x+1)(9x^2-3x+1)
   • ウ．(3x-1)(9x^2+3x+1)
   • エ．(3x+1)(3x^2-3x+1)

   正解：イ．(3x+1)(9x^2-3x+1)

   解説：27x^3=(3x)^3。a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) より (3x+1)(9x^2-3x+1)。

10. 問10．二項定理により (x+y)^4 を展開したときの x^2y^2 の係数を求めよ。

    • ア．6
    • イ．4
    • ウ．12
    • エ．1

    正解：ア．6

    解説：(x+y)^4 の一般項は C(4,r)x^(4-r)y^r。x^2y^2 は r=2 で C(4,2)=4!/(2!2!)=6。

11. 問11．(x+2)^5 を展開したときの x^3 の係数を求めよ。

    • ア．80
    • イ．10
    • ウ．32
    • エ．40

    正解：エ．40

    解説：一般項 C(5,r)x^(5-r)2^r。x^3 は 5-r=3 すなわち r=2。C(5,2)・2^2=10・4=40。

12. 問12．(2x-1)^4 を展開したときの x^2 の係数を求めよ。

    • ア．-24
    • イ．24
    • ウ．12
    • エ．16

    正解：イ．24

    解説：一般項 C(4,r)(2x)^(4-r)(-1)^r。x^2 は 4-r=2, r=2。C(4,2)・2^2・(-1)^2=6・4・1=24。

13. 問13．(1+x)^6 を展開したときの x^4 の係数を求めよ。

    • ア．15
    • イ．20
    • ウ．6
    • エ．30

    正解：ア．15

    解説：一般項 C(6,r)x^r。x^4 は r=4。C(6,4)=C(6,2)=15。

14. 問14．パスカルの三角形において、(a+b)^5 の展開の各項の係数を左から並べたものとして正しいものを選べ。

    • ア．1,4,6,4,1
    • イ．1,5,15,15,5,1
    • ウ．1,6,15,20,15,6,1
    • エ．1,5,10,10,5,1

    正解：エ．1,5,10,10,5,1

    解説：C(5,0)〜C(5,5)=1,5,10,10,5,1。係数の和は 2^5=32（1+5+10+10+5+1=32）で確認できる。

15. 問15．(x - 1/x)^6 を展開したときの定数項を求めよ。

    • ア．20
    • イ．-15
    • ウ．15
    • エ．-20

    正解：エ．-20

    解説：一般項 C(6,r)x^(6-r)(-1/x)^r=C(6,r)(-1)^r x^(6-2r)。定数項は 6-2r=0, r=3。C(6,3)(-1)^3=20・(-1)=-20。

16. 問16．整式 P(x)=x^3-2x^2+3x-1 を (x-2) で割った余りを求めよ。

    • ア．3
    • イ．-1
    • ウ．5
    • エ．1

    正解：ウ．5

    解説：剰余の定理より余りは P(2)=8-8+6-1=5。

17. 問17．整式 P(x)=2x^3+x^2-5x+3 を (x+1) で割った余りを求めよ。

    • ア．-7
    • イ．1
    • ウ．7
    • エ．5

    正解：ウ．7

    解説：剰余の定理より P(-1)=2(-1)+1+5+3=-2+1+5+3=7。

18. 問18．整式 P(x)=x^3+ax+2 が (x-1) で割り切れるとき、定数 a の値を求めよ。

    • ア．-3
    • イ．3
    • ウ．-1
    • エ．1

    正解：ア．-3

    解説：因数定理より P(1)=0。1+a+2=0 なので a=-3。

19. 問19．整式 P(x)=x^3-3x+k が (x+2) を因数にもつとき、定数 k の値を求めよ。

    • ア．-2
    • イ．14
    • ウ．-14
    • エ．2

    正解：エ．2

    解説：因数定理より P(-2)=0。(-2)^3-3(-2)+k=-8+6+k=-2+k=0 なので k=2。

20. 問20．整式 P(x)=x^2+ax+b を (x-1) で割ると余り3、(x+2) で割ると余り0 のとき、a の値を求めよ。

    • ア．2
    • イ．0
    • ウ．-1
    • エ．1

    正解：ア．2

    解説：P(1)=1+a+b=3, P(-2)=4-2a+b=0。辺々引くと (1+a+b)-(4-2a+b)=3 → -3+3a=3 → a=2。

21. 問21．x^3 - 6x^2 + 11x - 6 を因数分解せよ。

    • ア．(x+1)(x+2)(x+3)
    • イ．(x-1)(x-2)(x+3)
    • ウ．(x-1)(x+2)(x-3)
    • エ．(x-1)(x-2)(x-3)

    正解：エ．(x-1)(x-2)(x-3)

    解説：P(1)=1-6+11-6=0 より (x-1) で割ると x^2-5x+6=(x-2)(x-3)。よって (x-1)(x-2)(x-3)。

22. 問22．x^3 + 2x^2 - x - 2 を因数分解せよ。

    • ア．(x+1)(x+1)(x+2)
    • イ．(x-1)(x-1)(x+2)
    • ウ．(x-1)(x+1)(x+2)
    • エ．(x-1)(x+1)(x-2)

    正解：ウ．(x-1)(x+1)(x+2)

    解説：x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^2-1)=(x+2)(x-1)(x+1)。

23. 問23．x^3 - 7x + 6 を因数分解せよ。

    • ア．(x-1)(x+2)(x-3)
    • イ．(x-1)(x-2)(x+3)
    • ウ．(x+1)(x-2)(x-3)
    • エ．(x-1)(x-2)(x-3)

    正解：イ．(x-1)(x-2)(x+3)

    解説：P(1)=1-7+6=0。(x-1) で割ると x^2+x-6=(x-2)(x+3)。よって (x-1)(x-2)(x+3)。検算: 定数項 (-1)(-2)(3)=6。

24. 問24．分数式 (x^2-1)/(x^2+2x+1) を約分せよ（x≠-1）。

    • ア．(x-1)/(x+1)
    • イ．(x+1)/(x-1)
    • ウ．(x-1)/(x-1)
    • エ．x-1

    正解：ア．(x-1)/(x+1)

    解説：分子 x^2-1=(x-1)(x+1)、分母 x^2+2x+1=(x+1)^2。約分して (x-1)/(x+1)。

25. 問25．分数式の和 1/x + 1/(x+1) を一つの分数にまとめよ。

    • ア．2/(2x+1)
    • イ．(2x+1)/(x(x+1))
    • ウ．(x+1)/(x(x+1))
    • エ．1/(x(x+1))

    正解：イ．(2x+1)/(x(x+1))

    解説：通分して ((x+1)+x)/(x(x+1))=(2x+1)/(x(x+1))。

26. 問26．x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+a) が恒等式となるとき、定数 a の値を求めよ。

    • ア．1
    • イ．3
    • ウ．2
    • エ．-2

    正解：ウ．2

    解説：右辺展開 x^2+(a+1)x+a。係数比較で a+1=3, a=2。定数項 a=2 とも一致。

27. 問27．等式 a(x+1)+b(x-1)=3x+1 が x についての恒等式となるとき、a の値を求めよ。

    • ア．2
    • イ．1
    • ウ．3
    • エ．-1

    正解：ア．2

    解説：左辺=(a+b)x+(a-b)。係数比較 a+b=3, a-b=1。辺々足して 2a=4, a=2。

28. 問28．i^2 の値を求めよ（i は虚数単位）。

    • ア．-1
    • イ．1
    • ウ．i
    • エ．-i

    正解：ア．-1

    解説：虚数単位 i は2乗すると -1 になる数として定義される。したがって i^2=-1 である。これは複素数計算の最も基本となる関係式である。

29. 問29．i^3 を簡単にせよ。

    • ア．i
    • イ．-1
    • ウ．-i
    • エ．1

    正解：ウ．-i

    解説：i^3=i^2・i と分解する。i^2=-1 なので i^3=(-1)・i=-i。i の累乗は i, -1, -i, 1 を周期4で繰り返すことを利用する。

30. 問30．i^4 を簡単にせよ。

    • ア．-1
    • イ．i
    • ウ．1
    • エ．-i

    正解：ウ．1

    解説：i^4=(i^2)^2 と変形できる。i^2=-1 なので (-1)^2=1。i の累乗は i, -1, -i, 1 の周期4で循環し、i^4 で1に戻る。

31. 問31．(2+3i)+(1-5i) を計算せよ。

    • ア．3+2i
    • イ．1-2i
    • ウ．3-2i
    • エ．3-8i

    正解：ウ．3-2i

    解説：実部 2+1=3、虚部 3+(-5)=-2。よって 3-2i。

32. 問32．(4+i)-(2-3i) を計算せよ。

    • ア．2+4i
    • イ．2-2i
    • ウ．6+4i
    • エ．2+i

    正解：ア．2+4i

    解説：実部 4-2=2、虚部 1-(-3)=1+3=4。よって 2+4i。

33. 問33．(1+2i)(3-i) を計算せよ。

    • ア．5+5i
    • イ．3-2i
    • ウ．1+5i
    • エ．5-5i

    正解：ア．5+5i

    解説：3-i+6i-2i^2=3+5i-2(-1)=3+5i+2=5+5i。

34. 問34．(2+i)^2 を計算せよ。

    • ア．3+4i
    • イ．4+4i
    • ウ．5+4i
    • エ．3-4i

    正解：ア．3+4i

    解説：(2+i)^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i。

35. 問35．(3+2i)(3-2i) を計算せよ。

    • ア．5
    • イ．13
    • ウ．9+4i
    • エ．13i

    正解：イ．13

    解説：共役の積 (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=9+4=13。

36. 問36．複素数 3-4i の共役複素数を求めよ。

    • ア．-3+4i
    • イ．3+4i
    • ウ．-3-4i
    • エ．4-3i

    正解：イ．3+4i

    解説：共役複素数は虚部の符号を変えるので 3-4i の共役は 3+4i。

37. 問37．(1+i)/(1-i) を a+bi の形にせよ。

    • ア．1
    • イ．-i
    • ウ．1+i
    • エ．i

    正解：エ．i

    解説：分母分子に (1+i) を掛ける。(1+i)^2/((1-i)(1+i))=(1+2i+i^2)/(1+1)=2i/2=i。

38. 問38．2/(1+i) を a+bi の形にせよ。

    • ア．1+i
    • イ．2-2i
    • ウ．1-i
    • エ．-1+i

    正解：ウ．1-i

    解説：分母分子に (1-i) を掛ける。2(1-i)/((1+i)(1-i))=2(1-i)/2=1-i。

39. 問39．複素数 z=3+4i の絶対値 |z| を求めよ。

    • ア．7
    • イ．√7
    • ウ．25
    • エ．5

    正解：エ．5

    解説：|z|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。

40. 問40．複素数 1-√3 i の絶対値を求めよ。

    • ア．4
    • イ．2
    • ウ．√2
    • エ．√3

    正解：イ．2

    解説：|1-√3 i|=√(1^2+(√3)^2)=√(1+3)=√4=2。

41. 問41．2次方程式 x^2 - 5x + 6 = 0 の2つの解の和を求めよ。

    • ア．6
    • イ．5
    • ウ．-5
    • エ．1

    正解：イ．5

    解説：解と係数の関係より 解の和=-(-5)/1=5。実際の解 2,3 の和も5。

42. 問42．2次方程式 x^2 - 5x + 6 = 0 の2つの解の積を求めよ。

    • ア．5
    • イ．-6
    • ウ．6
    • エ．1

    正解：ウ．6

    解説：解と係数の関係より 解の積=6/1=6。解 2,3 の積も6。

43. 問43．2次方程式 2x^2 + 3x - 4 = 0 の2解の和を求めよ。

    • ア．3/2
    • イ．-2
    • ウ．-3/2
    • エ．2

    正解：ウ．-3/2

    解説：解と係数の関係より 和=-b/a=-3/2。

44. 問44．2次方程式 2x^2 + 3x - 4 = 0 の2解の積を求めよ。

    • ア．-2
    • イ．2
    • ウ．-3/2
    • エ．4

    正解：ア．-2

    解説：解と係数の関係より 積=c/a=-4/2=-2。

45. 問45．2次方程式 x^2 + px + 12 = 0 の2解が 3 と 4 であるとき、定数 p の値を求めよ。

    • ア．7
    • イ．-12
    • ウ．-7
    • エ．12

    正解：ウ．-7

    解説：解の和=3+4=7=-p より p=-7。積=12 も c=12 と一致。

46. 問46．2数 2 と 5 を解とする2次方程式（x^2の係数1）を選べ。

    • ア．x^2+7x+10=0
    • イ．x^2-7x-10=0
    • ウ．x^2-3x+10=0
    • エ．x^2-7x+10=0

    正解：エ．x^2-7x+10=0

    解説：和=7、積=10 より x^2-(和)x+(積)=x^2-7x+10=0。

47. 問47．2次方程式 x^2 - 4x + k = 0 が重解をもつとき、定数 k の値を求めよ。

    • ア．-4
    • イ．4
    • ウ．2
    • エ．16

    正解：イ．4

    解説：判別式 D=(-4)^2-4・1・k=16-4k=0 より k=4。

48. 問48．2次方程式 x^2 + 6x + k = 0 が異なる2つの実数解をもつような k の範囲を求めよ。

    • ア．k>9
    • イ．k<9
    • ウ．k<-9
    • エ．k>-9

    正解：イ．k<9

    解説：D=36-4k>0 より 4k<36, k<9。

49. 問49．2次方程式 x^2 - 2x + 5 = 0 の判別式 D の符号として正しいものを選べ。

    • ア．D=0（重解）
    • イ．D>0（異なる2実数解）
    • ウ．D=1
    • エ．D<0（異なる2つの虚数解）

    正解：エ．D<0（異なる2つの虚数解）

    解説：D=(-2)^2-4・1・5=4-20=-16<0。よって異なる2つの虚数解をもつ。

50. 問50．2次方程式 x^2 + 2x + 2 = 0 の解を求めよ。

    • ア．x=-1±i
    • イ．x=1±i
    • ウ．x=-1±2i
    • エ．x=-2±i

    正解：ア．x=-1±i

    解説：解の公式 x=(-2±√(4-8))/2=(-2±√(-4))/2=(-2±2i)/2=-1±i。

51. 問51．剰余の定理より、整式 P(x) を (x-a) で割った余りは P(a) に等しい。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。剰余の定理：P(x) を1次式 (x-a) で割った余りは P(a)。例えば P(x)=x^2 を (x-3) で割った余りは P(3)=9。

52. 問52．因数定理より、P(a)=0 ならば整式 P(x) は (x-a) を因数にもつ。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。因数定理：P(a)=0 ⇔ (x-a) が P(x) の因数。剰余の定理の特別な場合である。

53. 問53．複素数 a+bi の共役複素数は a-bi である（a, b は実数）。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。共役複素数は虚部の符号を反転させたもの。a+bi の共役は a-bi。

54. 問54．a+b=2, ab=3 のとき、a^2+b^2=-2 である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-6=-2。a,b は虚数になるが式の値としては成立する。

55. 問55．2次方程式の判別式 D=b^2-4ac が D<0 のとき、その方程式は異なる2つの虚数解をもつ。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。D>0で異なる2実数解、D=0で重解、D<0で異なる2つの虚数解（共役複素数）をもつ。

56. 問56．x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4) である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) で a=x, b=2。展開すると x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8=x^3+8。

57. 問57．解と係数の関係より、x^2+px+q=0 の2解の和は -p、積は q である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。2解を α,β とすると α+β=-p、αβ=q（x^2の係数が1のとき）。

58. 問58．(1+i)^2 = 2i である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i。

59. 問59．a>0, b>0 のとき、相加平均と相乗平均の関係は (a+b)/2 ≧ √(ab) であり、等号は a=b のとき成立する。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。相加相乗平均の不等式。等号成立条件は2数が等しい（a=b）とき。

60. 問60．(x+y)^4 の展開において x^2y^2 の係数は 6 である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。一般項 C(4,r)x^(4-r)y^r で r=2、C(4,2)=6。パスカルの三角形の 1,4,6,4,1 とも一致。

61. 問61．整式 P(x) が (x-2) で割り切れるならば、P(2)=0 である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。因数定理より (x-2) を因数にもつ ⇔ P(2)=0。割り切れるとは余り0、すなわち P(2)=0。

62. 問62．x>0 のとき、x+1/x の最小値は 2 である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。相加相乗平均より x+1/x≧2√(x・1/x)=2。等号は x=1 のとき。最小値2。

63. 問63．(2+3i)+(1-3i) = 3 である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。実部 2+1=3、虚部 3+(-3)=0。よって 3+0i=3。

64. 問64．虚数単位 i について、i^2 = 1 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは i^2=-1 である。i は2乗すると -1 になる数として定義される。

65. 問65．(a+b)^3 = a^3 + b^3 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。中間の 3a^2b+3ab^2 を落としてはならない。

66. 問66．x^3-1 = (x-1)(x^2-x+1) である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)。a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) より中央は +x。

67. 問67．複素数 3+4i の絶対値は 7 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは |3+4i|=√(3^2+4^2)=√25=5 である。実部と虚部の単純な和ではない。

68. 問68．二項定理において、(a+b)^n の展開式の各項の係数の和は n^2 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは 2^n である。a=b=1 を代入すると (1+1)^n=2^n が係数の和に等しい。

69. 問69．2次方程式 x^2-4x+4=0 は異なる2つの実数解をもつ。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは重解をもつ。判別式 D=16-16=0 なので重解（x=2）。異なる2つの実数解ではない。

70. 問70．x^3+y^3 = (x+y)(x^2+xy+y^2) である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)。中央の符号は -xy。

71. 問71．x^2+x+1=0 は実数解をもつ。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは実数解をもたない。判別式 D=1-4=-3<0 なので、異なる2つの虚数解をもつ。

72. 問72．(x-1)(x^2+x+1) を展開すると x^3+1 になる。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは x^3-1 になる。a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) の形（a=x,b=1）。

73. 問73．判別式 D>0 のとき、2次方程式は重解をもつ。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは D>0 で異なる2つの実数解をもつ。重解をもつのは D=0 のとき。

74. 問74．複素数 (3+2i)(3-2i) を計算すると 5 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは (3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=9+4=13 である。共役の積は a^2+b^2 になる。

75. 問75．2次方程式 x^2-5x+6=0 の2解の積は -6 である。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは積は 6 である。解と係数の関係より積=c/a=6/1=6。実際の解 2,3 の積も6。