数検2級（実用数学技能検定 2級）全分野の一問一答

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📖 数検2級（実用数学技能検定 2級）「全分野」の全375問と解説（一覧）

数検2級（実用数学技能検定 2級）の全分野に関する一問一答（全375問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

問1．5人を1列に並べる方法は何通りか。
- ア．60
- イ．720
- ウ．24
- エ．120
正解：エ．120

解説：異なる5人を1列に並べる順列の総数は 5! 通りである。5!=5×4×3×2×1=120 と計算できる。したがって並べ方は120通りとなる。
問2．異なる7冊の本から3冊を選んで1列に並べる方法は何通りか。
- ア．35
- イ．343
- ウ．21
- エ．210
正解：エ．210

解説：選んで並べるので順列 7P3 で計算する。7P3=7×6×5=210 となる。組合せではなく並べる順序を区別する点に注意する。
問3．異なる8人から3人を選ぶ組合せは何通りか。
- ア．336
- イ．24
- ウ．56
- エ．112
正解：ウ．56

解説：順序を区別しない選び方なので組合せ 8C3 で求める。8C3=(8×7×6)/(3×2×1)=336/6=56 となる。よって56通りである。
問4．男子4人、女子3人から、男子2人と女子2人を選ぶ方法は何通りか。
- ア．18
- イ．12
- ウ．9
- エ．36
正解：ア．18

解説：男子の選び方は 4C2=6 通り、女子の選び方は 3C2=3 通りである。積の法則により 6×3=18 通りとなる。
問5．6人を円形に並べる円順列は何通りか。
- ア．720
- イ．60
- ウ．24
- エ．120
正解：エ．120

解説：n人の円順列は回転して一致する並びを同一とみなすので (n-1)! 通りである。6人なら (6-1)!=5!=120 となる。よって120通りである。
問6．3種類の文字O,X,△から1つずつ自由に選んで4個並べる重複順列は何通りか。
- ア．12
- イ．64
- ウ．81
- エ．27
正解：ウ．81

解説：重複を許すので各位置に3通りの選び方があり、4個並べるので 3^4 通りである。3^4=81 となる。よって81通りである。
問7．1個のサイコロを1回投げるとき、3以上の目が出る確率を求めよ。
- ア．1/2
- イ．5/6
- ウ．1/3
- エ．2/3
正解：エ．2/3

解説：全事象は6通りである。3以上の目は3,4,5,6の4通りなので、確率は 4/6=2/3 となる。約分を忘れないようにする。
問8．2個のサイコロを投げ、出る目の和が7になる確率を求めよ。
- ア．1/9
- イ．5/36
- ウ．1/6
- エ．1/12
正解：ウ．1/6

解説：全事象は6×6=36通りである。和が7になるのは(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)の6通りなので 6/36=1/6 となる。
問9．赤玉3個、白玉5個の入った袋から1個取り出すとき、赤玉が出る確率を求めよ。
- ア．3/5
- イ．5/8
- ウ．3/8
- エ．1/3
正解：ウ．3/8

解説：袋には全部で3+5=8個の玉があり、そのうち赤玉は3個である。したがって赤玉が出る確率は 3/8 となる。
問10．2枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも1枚が表となる確率を求めよ。
- ア．1/2
- イ．2/3
- ウ．1/4
- エ．3/4
正解：エ．3/4

解説：余事象は2枚とも裏である。その確率は (1/2)×(1/2)=1/4 なので、求める確率は 1-1/4=3/4 となる。余事象の利用が有効である。
問11．1個のサイコロを2回投げ、少なくとも1回6の目が出る確率を求めよ。
- ア．1/6
- イ．25/36
- ウ．1/3
- エ．11/36
正解：エ．11/36

解説：余事象は2回とも6以外である。その確率は (5/6)×(5/6)=25/36 なので、求める確率は 1-25/36=11/36 となる。
問12．袋に当たり2本、はずれ8本のくじがある。1本引くとき当たる確率を求めよ。
- ア．1/5
- イ．1/4
- ウ．4/5
- エ．3/4
正解：ア．1/5

解説：くじは全部で2+8=10本あり、どの1本を引くことも同様に確からしい。当たりは2本なので、当たる確率は2/10=1/5である。1/4は当たりの本数をはずれの本数で割った値（2/8）、4/5ははずれを引く確率（1−1/5）、3/4は当たる確率を1/4と誤ったうえで1から引いた値で、どれも当たる確率ではない。確率は「求める場合の数÷起こりうるすべての場合の数」で、分母は全部の本数になる。約分も忘れないようにする。

根拠：文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編」第2学年 D(2) 場合の数を基にして得られる確率（同様に確からしいことに着目し、起こり得る場合の数を基にして確率を求める）PDF 127〜128ページ／日本数学検定協会「数学検定2級」検定の内容検定の内容（上位級は下位級の内容を含む。確率）
問13．事象Aの確率が0.3、事象Bの確率が0.5で、AとBが排反のとき、AまたはBが起こる確率を求めよ。
- ア．0.15
- イ．0.2
- ウ．0.65
- エ．0.8
正解：エ．0.8

解説：排反事象では加法定理 P(A∪B)=P(A)+P(B) が成り立つ。0.3+0.5=0.8 となる。共通部分がないので単純に足せばよい。
問14．1から10までの整数から1つ選ぶとき、偶数または5の倍数である確率を求めよ。
- ア．1/2
- イ．2/5
- ウ．7/10
- エ．3/5
正解：エ．3/5

解説：偶数は5個、5の倍数は5と10の2個、両方を満たす10は1個である。P=(5+2-1)/10=6/10=3/5 となる。重複を引くこと。
問15．Aが的に当てる確率は0.6、Bは0.5で、互いに独立に1回ずつ撃つ。2人とも当てる確率を求めよ。
- ア．0.3
- イ．1.1
- ウ．0.8
- エ．0.11
正解：ア．0.3

解説：独立試行なので積事象の確率は確率の積で求められる。0.6×0.5=0.3 となる。独立であるから単純に掛け合わせればよい。
問16．1個のサイコロを3回投げ、すべて偶数の目が出る確率を求めよ。
- ア．1/2
- イ．1/27
- ウ．1/216
- エ．1/8
正解：エ．1/8

解説：サイコロの偶数の目は2・4・6の3通りなので、1回で偶数が出る確率は 3/6=1/2 である。3回の投げは互いに独立なので、各回の確率を掛け合わせて (1/2)^3=1/8 となる。1/2 は1回分の確率のままで3回分を掛けていない値、1/27 は1回で偶数が出る確率を1/3と誤った値、1/216 は特定の1つの目が3回続けて出る確率 (1/6)^3 で、どれも「3回とも偶数」の確率ではない。
問17．1個のサイコロを4回投げ、1の目がちょうど2回出る確率を求めよ。
- ア．25/216
- イ．1/36
- ウ．5/72
- エ．25/1296
正解：ア．25/216

解説：反復試行の確率である。4C2×(1/6)^2×(5/6)^2=6×(1/36)×(25/36)=150/1296=25/216 となる。組合せの係数を忘れないこと。
問18．1枚の硬貨を5回投げ、表がちょうど3回出る確率を求めよ。
- ア．3/16
- イ．5/32
- ウ．1/2
- エ．5/16
正解：エ．5/16

解説：反復試行の確率である。5C3×(1/2)^3×(1/2)^2=10×(1/8)×(1/4)=10/32=5/16 となる。最後に約分すること。
問19．当たる確率が1/3の試行を3回行い、ちょうど1回当たる確率を求めよ。
- ア．2/9
- イ．8/27
- ウ．1/3
- エ．4/9
正解：エ．4/9

解説：反復試行の確率である。3C1×(1/3)^1×(2/3)^2=3×(1/3)×(4/9)=12/27=4/9 となる。はずれの確率2/3も2乗する。
問20．袋に赤玉4個、白玉6個ある。1個取り出し赤玉だった。残りからもう1個取るとき赤玉である確率を求めよ。
- ア．1/3
- イ．2/5
- ウ．4/9
- エ．1/2
正解：ア．1/3

解説：1回目に赤玉を取った後、残りは赤3個白6個の計9個である。2回目に赤玉が出る条件付き確率は 3/9=1/3 となる。
問21．病気である人が検査で陽性となる確率0.9を条件付き確率の記号で表すとき、最も適切なものを選べ(陽性をA、病気をBとする)。
- ア．P(A∩B)
- イ．P(B|A)
- ウ．P(A∪B)
- エ．P(A|B)
正解：エ．P(A|B)

解説：病気である事象Bという条件のもとで陽性となる事象Aの確率なので、条件付き確率 P(A|B) で表す。値は0.9である。
問22．事象A,Bについて P(A)=0.5、P(A∩B)=0.2 のとき、条件付き確率 P(B|A) を求めよ。
- ア．0.2
- イ．0.7
- ウ．0.1
- エ．0.4
正解：エ．0.4

解説：条件付き確率の定義 P(B|A)=P(A∩B)/P(A) を用いる。0.2/0.5=0.4 となる。分母にP(A)、分子に積事象の確率を置く。
問23．あるくじは1/5の確率で100円、4/5の確率で0円もらえる。賞金の期待値を求めよ。
- ア．20
- イ．50
- ウ．100
- エ．80
正解：ア．20

解説：期待値は各値とその確率の積の総和で求める。100×(1/5)+0×(4/5)=20+0=20 円となる。確率で重みづけして加える。
問24．1個のサイコロを1回投げ、出た目の数だけ得点がもらえる。得点の期待値を求めよ。
- ア．3.5
- イ．3
- ウ．4
- エ．21
正解：ア．3.5

解説：各目1〜6が確率1/6で出る。期待値は (1+2+3+4+5+6)×(1/6)=21/6=3.5 となる。和21を6で割ることで求められる。
問25．0,1,2,3の4個の数字から異なる3個を使って3桁の整数を作る。何個できるか。
- ア．18
- イ．24
- ウ．12
- エ．27
正解：ア．18

解説：百の位は0以外の3通りである。残り3個から十の位と一の位を 3P2=6 通りで並べる。3×6=18 個となる。先頭の0に注意する。
問26．MATHの4文字をすべて並べる方法は何通りか。
- ア．12
- イ．16
- ウ．24
- エ．256
正解：ウ．24

解説：M,A,T,Hの4文字はすべて異なるので順列 4! 通りである。4!=4×3×2×1=24 となる。重複する文字がない点に注意する。
問27．赤、青、黄、緑の4色から2色を選ぶ組合せは何通りか。
- ア．6
- イ．12
- ウ．8
- エ．4
正解：ア．6

解説：順序を区別しない選び方なので組合せ 4C2 で求める。4C2=(4×3)/(2×1)=12/2=6 となる。よって6通りである。
問28．正八角形の8つの頂点から3点を選んで三角形を作る。三角形は何個できるか。
- ア．24
- イ．336
- ウ．56
- エ．28
正解：ウ．56

解説：正八角形の頂点に同一直線上の3点はないので、8点から3点を選ぶ 8C3 がそのまま三角形の個数となる。8C3=56 個である。
問29．10人から委員長1人と副委員長1人を選ぶ方法は何通りか。
- ア．45
- イ．90
- ウ．100
- エ．20
正解：イ．90

解説：役職が異なるので並べる順序を区別する順列で考える。10P2=10×9=90 となる。委員長と副委員長は区別される点に注意する。
問30．1,2,3,4,5の5枚のカードから3枚選び3桁の整数を作る。偶数は何個できるか。
- ア．24
- イ．12
- ウ．36
- エ．60
正解：ア．24

解説：偶数になるには一の位が2か4の2通りである。残り4枚から百の位と十の位を 4P2=12 通りで並べる。2×12=24 個となる。
問31．データ 2,4,6,8,10 の平均値を求めよ。
- ア．5
- イ．6
- ウ．7
- エ．30
正解：イ．6

解説：平均値はデータの総和を個数で割って求める。(2+4+6+8+10)/5=30/5=6 となる。よって平均値は6である。
問32．データ 3,5,7,9,11 の分散を求めよ。
- ア．8
- イ．10
- ウ．4
- エ．16
正解：ア．8

解説：平均は7である。各偏差は-4,-2,0,2,4で、その2乗の和は16+4+0+4+16=40となる。分散は40/5=8 となる。
問33．分散が9であるデータの標準偏差を求めよ。
- ア．81
- イ．4.5
- ウ．3
- エ．9
正解：ウ．3

解説：標準偏差σは分散の正の平方根として定義される。分散が9なので √9=3 となる。標準偏差は3である。
問34．データ 1,3,3,6,7 の中央値を求めよ。
- ア．3
- イ．4
- ウ．6
- エ．3.5
正解：ア．3

解説：データを小さい順に並べると1,3,3,6,7である。データ数は5個と奇数なので中央の3番目の値が中央値で、3となる。
問35．データ 2,3,3,3,5,8 の最頻値を求めよ。
- ア．5
- イ．3
- ウ．4
- エ．8
正解：イ．3

解説：最頻値は最も多く現れる値である。3が3回出現しており他の値より多いので、最頻値は3となる。出現回数を数えて判断する。
問36．データ 4,2,8,6 の中央値を求めよ。
- ア．4
- イ．6
- ウ．5
- エ．5.5
正解：ウ．5

解説：小さい順に並べると2,4,6,8である。データ数は4個と偶数なので中央2つ4と6の平均をとり (4+6)/2=5 となる。
問37．データ 1,2,3,4,5,6,7,8 の第1四分位数Q1を求めよ。
- ア．2
- イ．2.5
- ウ．3
- エ．4.5
正解：イ．2.5

解説：下半分のデータは1,2,3,4である。その中央2つ2と3の平均がQ1なので (2+3)/2=2.5 となる。下位データの中央値を求める。
問38．データ 1,2,3,4,5,6,7,8 の四分位範囲を求めよ。
- ア．3
- イ．4
- ウ．5
- エ．7
正解：イ．4

解説：Q1は下半分の中央で2.5、Q3は上半分5,6,7,8の中央(6+7)/2=6.5である。四分位範囲はQ3-Q1=6.5-2.5=4 となる。
問39．あるデータの最大値が20、最小値が4のとき、範囲(レンジ)を求めよ。
- ア．24
- イ．12
- ウ．16
- エ．5
正解：ウ．16

解説：範囲(レンジ)は最大値と最小値の差で求める。20-4=16 となる。データの散らばりの最も基本的な指標である。
問40．2つの変量x,yの共分散が6、xの標準偏差が3、yの標準偏差が4のとき、相関係数を求めよ。
- ア．0.5
- イ．2
- ウ．0.25
- エ．1
正解：ア．0.5

解説：相関係数rは共分散を両変量の標準偏差の積で割って求める。6/(3×4)=6/12=0.5 となる。-1から1の範囲に収まる。
問41．相関係数rがとりうる値の範囲として正しいものを選べ。
- ア．0≦r≦1
- イ．-1≦r≦1
- ウ．-∞<r<∞
- エ．-1≦r≦0
正解：イ．-1≦r≦1

解説：相関係数は -1≦r≦1 の範囲の値をとる。r=1で完全な正の相関、r=-1で完全な負の相関、r=0で相関なしを表す。
問42．散布図において点が右上がりにほぼ直線状に分布しているとき、相関について最も適切なものを選べ。
- ア．負の相関
- イ．強い正の相関
- ウ．相関なし
- エ．弱い負の相関
正解：イ．強い正の相関

解説：右上がりはxが増えるとyも増える関係を示し正の相関である。点が直線状に近いほど相関は強いので、強い正の相関といえる。
問43．データ全体の各値を一律2倍すると、標準偏差はどうなるか。
- ア．変わらない
- イ．2倍になる
- ウ．4倍になる
- エ．1/2倍になる
正解：イ．2倍になる

解説：各値をa倍すると標準偏差は|a|倍になる性質がある。2倍するので標準偏差も2倍となる。なお分散は2^2=4倍になる。
問44．データの各値に一律で5を加えると、分散はどうなるか。
- ア．5増える
- イ．25倍になる
- ウ．変わらない
- エ．5倍になる
正解：ウ．変わらない

解説：全データに定数を加えても平均も同じだけ増えるため各値の偏差は変わらない。よって分散は変化しない。これは重要な性質である。
問45．確率変数Xが値1,2,3をそれぞれ確率1/2,1/4,1/4でとるとき、期待値E(X)を求めよ。
- ア．2
- イ．7/4
- ウ．3/2
- エ．9/4
正解：イ．7/4

解説：期待値は値と確率の積の総和である。E(X)=1×(1/2)+2×(1/4)+3×(1/4)=1/2+1/2+3/4=7/4 となる。通分して計算する。
問46．確率変数Xの期待値が3のとき、Y=2X+1で定まるYの期待値E(Y)を求めよ。
- ア．6
- イ．7
- ウ．4
- エ．3
正解：イ．7

解説：期待値の線形性より E(2X+1)=2E(X)+1 が成り立つ。2×3+1=7 となる。定数倍と定数の加算はそのまま期待値に反映される。
問47．確率変数Xの分散がV(X)=4のとき、Y=3Xで定まるYの分散V(Y)を求めよ。
- ア．12
- イ．7
- ウ．36
- エ．16
正解：ウ．36

解説：分散の性質より V(aX)=a^2 V(X) が成り立つ。V(3X)=3^2×4=9×4=36 となる。係数は2乗されてかかる点に注意する。
問48．二項分布 B(100,1/5) に従う確率変数Xの平均(期待値)を求めよ。
- ア．16
- イ．20
- ウ．25
- エ．80
正解：イ．20

解説：二項分布B(n,p)の平均はnpで求められる。n=100、p=1/5なので 100×(1/5)=20 となる。平均は試行回数と確率の積である。
問49．二項分布 B(100,1/5) に従う確率変数Xの分散を求めよ。
- ア．20
- イ．16
- ウ．80
- エ．4
正解：イ．16

解説：二項分布B(n,p)の分散はnp(1-p)で求められる。100×(1/5)×(4/5)=20×(4/5)=16 となる。1-pをかけ忘れないこと。
問50．確率変数Zが標準正規分布N(0,1)に従うとき、その平均と標準偏差の組として正しいものを選べ。
- ア．平均0,標準偏差0
- イ．平均1,標準偏差1
- ウ．平均0,標準偏差1
- エ．平均1,標準偏差0
正解：ウ．平均0,標準偏差1

解説：標準正規分布N(0,1)は平均0、分散1の正規分布である。標準偏差は分散の正の平方根で √1=1 なので、平均0かつ標準偏差1となる。
問51．nPr は異なるn個からr個を取り出して1列に並べる順列の総数を表す。

正解：○（正しい）

解説：nPrは異なるn個からr個を選んで並べる順列を表し、nPr=n×(n-1)×…×(n-r+1) の積で計算できる。記述は正しい。
問52．nCr = nC(n+r) が成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは nCr=nC(n-r) である。r個を選ぶことは残りのn-r個を選ぶことに対応するためであり、n+rではない。
問53．0! は0であると定義される。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは 0!=1 と定義される。これは組合せや順列の公式が成り立つようにするための約束であり、0ではない。
問54．n人を円形に並べる円順列の総数は (n-1)! 通りである。

正解：○（正しい）

解説：円順列では回転して一致する並びを同一とみなすため、1人を固定して残りを並べると考え、総数は (n-1)! 通りとなる。正しい。
問55．互いに排反な事象A,Bについて P(A∪B)=P(A)+P(B) が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：排反な事象は同時に起こらず共通部分の確率が0なので、加法定理は P(A∪B)=P(A)+P(B) となる。記述は正しい。
問56．任意の事象Aの確率P(A)は0以上2以下の値をとる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは確率は必ず 0≦P(A)≦1 の範囲に収まる。空事象は0、全事象は1であり、1を超えることはない。2以下ではない。
問57．事象Aの余事象をA'とすると P(A')=1+P(A) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは P(A')=1-P(A) である。余事象の確率は全体1から元の事象の確率を引いて求める。1を足すのではない。
問58．独立な2つの事象A,Bについて P(A∩B)=P(A)×P(B) が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：事象が独立であるとき、両方が同時に起こる積事象の確率は各確率の積 P(A∩B)=P(A)×P(B) で求められる。記述は正しい。
問59．条件付き確率は P(B|A)=P(A∩B)/P(A) で定義される(ただしP(A)>0)。

正解：○（正しい）

解説：事象Aが起こったという条件のもとでBが起こる条件付き確率は P(B|A)=P(A∩B)/P(A) と定義される。記述は正しい。
問60．1個のサイコロを1回投げるとき、出る目の数の期待値は3である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは (1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5 であり、出る目の期待値は3.5である。3ではない点に注意する。
問61．標準偏差は分散の正の平方根である。

正解：○（正しい）

解説：標準偏差σは分散の正の平方根として定義される。分散を計算してその平方根をとることで散らばりを元の単位で表せる。記述は正しい。
問62．分散は各データの偏差の2乗の平均値である。

正解：○（正しい）

解説：分散は偏差(各値から平均を引いた値)を2乗したものの平均値として定義される。散らばりの大きさを表す。記述は正しい。
問63．中央値はデータの平均値と必ず一致する。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは中央値と平均値は一般に一致しない。左右対称な分布では近づくが、非対称な分布では両者は異なる値になる。
問64．最頻値はデータの中で最も多く現れる値である。

正解：○（正しい）

解説：最頻値(モード)はデータの中で出現する頻度が最も高い値のことである。度数分布では度数最大の階級の値を指す。記述は正しい。
問65．四分位範囲は第1四分位数から第3四分位数を引いた値である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは四分位範囲はQ3-Q1で求める。大きい方のQ3から小さい方のQ1を引くので、Q1-Q3とすると符号が逆になる。
問66．相関係数は必ず0以上の値をとる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは相関係数rは -1≦r≦1 の範囲の値をとり、負の相関がある場合は負の値になる。常に0以上とは限らない。
問67．データの全ての値に同じ定数を加えても分散は変わらない。

正解：○（正しい）

解説：全データに定数を加えると平均も同じだけ動くため各値の偏差は変化しない。したがって分散は不変である。記述は正しい。
問68．データの全ての値を3倍すると、標準偏差は9倍になる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは各値をa倍すると標準偏差は|a|倍になるので、3倍では標準偏差も3倍である。9倍になるのは分散の方である。
問69．確率変数Xについて E(2X+3)=2E(X)+3 が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：期待値の線形性より E(aX+b)=aE(X)+b が成り立つので、E(2X+3)=2E(X)+3 となる。記述は正しい。
問70．確率変数Xの分散について V(2X)=2V(X) が成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは V(aX)=a^2 V(X) なので V(2X)=2^2 V(X)=4V(X) となる。係数は2乗されてかかるため2倍ではない。
問71．二項分布 B(n,p) に従う確率変数の平均は np である。

正解：○（正しい）

解説：二項分布B(n,p)に従う確率変数の平均(期待値)は試行回数と確率の積npで与えられる。重要な公式である。記述は正しい。
問72．二項分布 B(n,p) に従う確率変数の分散は np である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは二項分布B(n,p)の分散は np(1-p) である。npは平均(期待値)を表すものであり分散ではない点に注意する。
問73．標準正規分布N(0,1)の平均は0、分散は1である。

正解：○（正しい）

解説：標準正規分布N(0,1)は記号の通り平均0、分散1の正規分布である。一般の正規分布を標準化するとこの分布に従う。記述は正しい。
問74．正規分布の確率密度曲線は平均を軸として左右非対称である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは正規分布の確率密度曲線は平均を軸として左右対称な釣鐘型(ベル型)である。非対称ではない点に注意する。
問75．重複順列で、異なるn種類から重複を許してr個取って並べる総数は n^r 通りである。

正解：○（正しい）

解説：重複を許す並べ方では各位置にn通りの選択があり、それをr個分掛け合わせるので総数は n^r 通りとなる。記述は正しい。
問76．x^3 - 1 を因数分解せよ。
- ア．(x-1)(x^2-x+1)
- イ．(x-1)(x^2+x+1)
- ウ．(x+1)(x^2-x+1)
- エ．(x-1)(x^2+x-1)
正解：イ．(x-1)(x^2+x+1)

解説：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) より、x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)。展開すると x^3+x^2+x-x^2-x-1=x^3-1。
問77．x^3 + 8 を因数分解せよ。
- ア．(x+2)(x^2+2x+4)
- イ．(x-2)(x^2+2x+4)
- ウ．(x+2)(x^2+4)
- エ．(x+2)(x^2-2x+4)
正解：エ．(x+2)(x^2-2x+4)

解説：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)。8=2^3 なので x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)。展開で x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8=x^3+8。
問78．8x^3 - 27 を因数分解せよ。
- ア．(2x-3)(4x^2-6x+9)
- イ．(2x+3)(4x^2-6x+9)
- ウ．(2x-3)(4x^2+9)
- エ．(2x-3)(4x^2+6x+9)
正解：エ．(2x-3)(4x^2+6x+9)

解説：8x^3=(2x)^3, 27=3^3。a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) より (2x-3)((2x)^2+2x・3+3^2)=(2x-3)(4x^2+6x+9)。
問79．(x+2)^3 を展開せよ。
- ア．x^3+8
- イ．x^3+6x^2+8x+12
- ウ．x^3+3x^2+6x+8
- エ．x^3+6x^2+12x+8
正解：エ．x^3+6x^2+12x+8

解説：(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。x^3+3・x^2・2+3・x・4+8=x^3+6x^2+12x+8。
問80．(x-1)^3 を展開せよ。
- ア．x^3-3x^2+3x-1
- イ．x^3-1
- ウ．x^3+3x^2-3x-1
- エ．x^3-3x^2-3x-1
正解：ア．x^3-3x^2+3x-1

解説：(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3。x^3-3x^2+3x-1。
問81．(2x+1)^3 を展開せよ。
- ア．8x^3+6x^2+12x+1
- イ．8x^3+12x^2+6x+1
- ウ．8x^3+1
- エ．2x^3+12x^2+6x+1
正解：イ．8x^3+12x^2+6x+1

解説：(2x)^3+3(2x)^2・1+3(2x)・1+1=8x^3+12x^2+6x+1。
問82．a^3 + b^3 + c^3 - 3abc を因数分解せよ。
- ア．(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)
- イ．(a-b-c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
- ウ．(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
- エ．(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)
正解：ウ．(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

解説：有名な因数分解公式 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)。
問83．(x+1)(x^2-x+1) を展開せよ。
- ア．x^3-1
- イ．x^3+1
- ウ．x^3+x^2+1
- エ．x^3+2x+1
正解：イ．x^3+1

解説：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) の形（a=x,b=1）。よって x^3+1。
問84．27x^3 + 1 を因数分解せよ。
- ア．(3x+1)(9x^2+3x+1)
- イ．(3x+1)(9x^2-3x+1)
- ウ．(3x-1)(9x^2+3x+1)
- エ．(3x+1)(3x^2-3x+1)
正解：イ．(3x+1)(9x^2-3x+1)

解説：27x^3=(3x)^3。a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) より (3x+1)(9x^2-3x+1)。
問85．二項定理により (x+y)^4 を展開したときの x^2y^2 の係数を求めよ。
- ア．6
- イ．4
- ウ．12
- エ．1
正解：ア．6

解説：(x+y)^4 の一般項は C(4,r)x^(4-r)y^r。x^2y^2 は r=2 で C(4,2)=4!/(2!2!)=6。
問86．(x+2)^5 を展開したときの x^3 の係数を求めよ。
- ア．80
- イ．10
- ウ．32
- エ．40
正解：エ．40

解説：一般項 C(5,r)x^(5-r)2^r。x^3 は 5-r=3 すなわち r=2。C(5,2)・2^2=10・4=40。
問87．(2x-1)^4 を展開したときの x^2 の係数を求めよ。
- ア．-24
- イ．24
- ウ．12
- エ．16
正解：イ．24

解説：一般項 C(4,r)(2x)^(4-r)(-1)^r。x^2 は 4-r=2, r=2。C(4,2)・2^2・(-1)^2=6・4・1=24。
問88．(1+x)^6 を展開したときの x^4 の係数を求めよ。
- ア．15
- イ．20
- ウ．6
- エ．30
正解：ア．15

解説：一般項 C(6,r)x^r。x^4 は r=4。C(6,4)=C(6,2)=15。
問89．パスカルの三角形において、(a+b)^5 の展開の各項の係数を左から並べたものとして正しいものを選べ。
- ア．1,4,6,4,1
- イ．1,5,15,15,5,1
- ウ．1,6,15,20,15,6,1
- エ．1,5,10,10,5,1
正解：エ．1,5,10,10,5,1

解説：C(5,0)〜C(5,5)=1,5,10,10,5,1。係数の和は 2^5=32（1+5+10+10+5+1=32）で確認できる。
問90．(x - 1/x)^6 を展開したときの定数項を求めよ。
- ア．20
- イ．-15
- ウ．15
- エ．-20
正解：エ．-20

解説：一般項 C(6,r)x^(6-r)(-1/x)^r=C(6,r)(-1)^r x^(6-2r)。定数項は 6-2r=0, r=3。C(6,3)(-1)^3=20・(-1)=-20。
問91．整式 P(x)=x^3-2x^2+3x-1 を (x-2) で割った余りを求めよ。
- ア．3
- イ．-1
- ウ．5
- エ．1
正解：ウ．5

解説：剰余の定理より余りは P(2)=8-8+6-1=5。
問92．整式 P(x)=2x^3+x^2-5x+3 を (x+1) で割った余りを求めよ。
- ア．-7
- イ．1
- ウ．7
- エ．5
正解：ウ．7

解説：剰余の定理より P(-1)=2(-1)+1+5+3=-2+1+5+3=7。
問93．整式 P(x)=x^3+ax+2 が (x-1) で割り切れるとき、定数 a の値を求めよ。
- ア．-3
- イ．3
- ウ．-1
- エ．1
正解：ア．-3

解説：因数定理より P(1)=0。1+a+2=0 なので a=-3。
問94．整式 P(x)=x^3-3x+k が (x+2) を因数にもつとき、定数 k の値を求めよ。
- ア．-2
- イ．14
- ウ．-14
- エ．2
正解：エ．2

解説：因数定理より P(-2)=0。(-2)^3-3(-2)+k=-8+6+k=-2+k=0 なので k=2。
問95．整式 P(x)=x^2+ax+b を (x-1) で割ると余り3、(x+2) で割ると余り0 のとき、a の値を求めよ。
- ア．2
- イ．0
- ウ．-1
- エ．1
正解：ア．2

解説：P(1)=1+a+b=3, P(-2)=4-2a+b=0。辺々引くと (1+a+b)-(4-2a+b)=3 → -3+3a=3 → a=2。
問96．x^3 - 6x^2 + 11x - 6 を因数分解せよ。
- ア．(x+1)(x+2)(x+3)
- イ．(x-1)(x-2)(x+3)
- ウ．(x-1)(x+2)(x-3)
- エ．(x-1)(x-2)(x-3)
正解：エ．(x-1)(x-2)(x-3)

解説：P(1)=1-6+11-6=0 より (x-1) で割ると x^2-5x+6=(x-2)(x-3)。よって (x-1)(x-2)(x-3)。
問97．x^3 + 2x^2 - x - 2 を因数分解せよ。
- ア．(x+1)(x+1)(x+2)
- イ．(x-1)(x-1)(x+2)
- ウ．(x-1)(x+1)(x+2)
- エ．(x-1)(x+1)(x-2)
正解：ウ．(x-1)(x+1)(x+2)

解説：x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^2-1)=(x+2)(x-1)(x+1)。
問98．x^3 - 7x + 6 を因数分解せよ。
- ア．(x-1)(x+2)(x-3)
- イ．(x-1)(x-2)(x+3)
- ウ．(x+1)(x-2)(x-3)
- エ．(x-1)(x-2)(x-3)
正解：イ．(x-1)(x-2)(x+3)

解説：P(1)=1-7+6=0。(x-1) で割ると x^2+x-6=(x-2)(x+3)。よって (x-1)(x-2)(x+3)。検算: 定数項 (-1)(-2)(3)=6。
問99．分数式 (x^2-1)/(x^2+2x+1) を約分せよ（x≠-1）。
- ア．(x-1)/(x+1)
- イ．(x+1)/(x-1)
- ウ．(x-1)/(x-1)
- エ．x-1
正解：ア．(x-1)/(x+1)

解説：分子 x^2-1=(x-1)(x+1)、分母 x^2+2x+1=(x+1)^2。約分して (x-1)/(x+1)。
問100．分数式の和 1/x + 1/(x+1) を一つの分数にまとめよ。
- ア．2/(2x+1)
- イ．(2x+1)/(x(x+1))
- ウ．(x+1)/(x(x+1))
- エ．1/(x(x+1))
正解：イ．(2x+1)/(x(x+1))

解説：通分して ((x+1)+x)/(x(x+1))=(2x+1)/(x(x+1))。
問101．x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+a) が恒等式となるとき、定数 a の値を求めよ。
- ア．1
- イ．3
- ウ．2
- エ．-2
正解：ウ．2

解説：右辺展開 x^2+(a+1)x+a。係数比較で a+1=3, a=2。定数項 a=2 とも一致。
問102．等式 a(x+1)+b(x-1)=3x+1 が x についての恒等式となるとき、a の値を求めよ。
- ア．2
- イ．1
- ウ．3
- エ．-1
正解：ア．2

解説：左辺=(a+b)x+(a-b)。係数比較 a+b=3, a-b=1。辺々足して 2a=4, a=2。
問103．i^2 の値を求めよ（i は虚数単位）。
- ア．-1
- イ．1
- ウ．i
- エ．-i
正解：ア．-1

解説：虚数単位 i は2乗すると -1 になる数として定義される。したがって i^2=-1 である。これは複素数計算の最も基本となる関係式である。
問104．i^3 を簡単にせよ。
- ア．i
- イ．-1
- ウ．-i
- エ．1
正解：ウ．-i

解説：i^3=i^2・i と分解する。i^2=-1 なので i^3=(-1)・i=-i。i の累乗は i, -1, -i, 1 を周期4で繰り返すことを利用する。
問105．i^4 を簡単にせよ。
- ア．-1
- イ．i
- ウ．1
- エ．-i
正解：ウ．1

解説：i^4=(i^2)^2 と変形できる。i^2=-1 なので (-1)^2=1。i の累乗は i, -1, -i, 1 の周期4で循環し、i^4 で1に戻る。
問106．(2+3i)+(1-5i) を計算せよ。
- ア．3+2i
- イ．1-2i
- ウ．3-2i
- エ．3-8i
正解：ウ．3-2i

解説：実部 2+1=3、虚部 3+(-5)=-2。よって 3-2i。
問107．(4+i)-(2-3i) を計算せよ。
- ア．2+4i
- イ．2-2i
- ウ．6+4i
- エ．2+i
正解：ア．2+4i

解説：実部 4-2=2、虚部 1-(-3)=1+3=4。よって 2+4i。
問108．(1+2i)(3-i) を計算せよ。
- ア．5+5i
- イ．3-2i
- ウ．1+5i
- エ．5-5i
正解：ア．5+5i

解説：3-i+6i-2i^2=3+5i-2(-1)=3+5i+2=5+5i。
問109．(2+i)^2 を計算せよ。
- ア．3+4i
- イ．4+4i
- ウ．5+4i
- エ．3-4i
正解：ア．3+4i

解説：(2+i)^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i。
問110．(3+2i)(3-2i) を計算せよ。
- ア．5
- イ．13
- ウ．9+4i
- エ．13i
正解：イ．13

解説：共役の積 (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=9+4=13。
問111．複素数 3-4i の共役複素数を求めよ。
- ア．-3+4i
- イ．3+4i
- ウ．-3-4i
- エ．4-3i
正解：イ．3+4i

解説：共役複素数は虚部の符号を変えるので 3-4i の共役は 3+4i。
問112．(1+i)/(1-i) を a+bi の形にせよ。
- ア．1
- イ．-i
- ウ．1+i
- エ．i
正解：エ．i

解説：分母分子に (1+i) を掛ける。(1+i)^2/((1-i)(1+i))=(1+2i+i^2)/(1+1)=2i/2=i。
問113．2/(1+i) を a+bi の形にせよ。
- ア．1+i
- イ．2-2i
- ウ．1-i
- エ．-1+i
正解：ウ．1-i

解説：分母分子に (1-i) を掛ける。2(1-i)/((1+i)(1-i))=2(1-i)/2=1-i。
問114．複素数 z=3+4i の絶対値 |z| を求めよ。
- ア．7
- イ．√7
- ウ．25
- エ．5
正解：エ．5

解説：|z|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。
問115．複素数 1-√3 i の絶対値を求めよ。
- ア．4
- イ．2
- ウ．√2
- エ．√3
正解：イ．2

解説：|1-√3 i|=√(1^2+(√3)^2)=√(1+3)=√4=2。
問116．2次方程式 x^2 - 5x + 6 = 0 の2つの解の和を求めよ。
- ア．6
- イ．5
- ウ．-5
- エ．1
正解：イ．5

解説：解と係数の関係より解の和=-(-5)/1=5。実際の解 2,3 の和も5。
問117．2次方程式 x^2 - 5x + 6 = 0 の2つの解の積を求めよ。
- ア．5
- イ．-6
- ウ．6
- エ．1
正解：ウ．6

解説：解と係数の関係より解の積=6/1=6。解 2,3 の積も6。
問118．2次方程式 2x^2 + 3x - 4 = 0 の2解の和を求めよ。
- ア．3/2
- イ．-2
- ウ．-3/2
- エ．2
正解：ウ．-3/2

解説：解と係数の関係より和=-b/a=-3/2。
問119．2次方程式 2x^2 + 3x - 4 = 0 の2解の積を求めよ。
- ア．-2
- イ．2
- ウ．-3/2
- エ．4
正解：ア．-2

解説：解と係数の関係より積=c/a=-4/2=-2。
問120．2次方程式 x^2 + px + 12 = 0 の2解が 3 と 4 であるとき、定数 p の値を求めよ。
- ア．7
- イ．-12
- ウ．-7
- エ．12
正解：ウ．-7

解説：解の和=3+4=7=-p より p=-7。積=12 も c=12 と一致。
問121．2数 2 と 5 を解とする2次方程式（x^2の係数1）を選べ。
- ア．x^2+7x+10=0
- イ．x^2-7x-10=0
- ウ．x^2-3x+10=0
- エ．x^2-7x+10=0
正解：エ．x^2-7x+10=0

解説：和=7、積=10 より x^2-(和)x+(積)=x^2-7x+10=0。
問122．2次方程式 x^2 - 4x + k = 0 が重解をもつとき、定数 k の値を求めよ。
- ア．-4
- イ．4
- ウ．2
- エ．16
正解：イ．4

解説：判別式 D=(-4)^2-4・1・k=16-4k=0 より k=4。
問123．2次方程式 x^2 + 6x + k = 0 が異なる2つの実数解をもつような k の範囲を求めよ。
- ア．k>9
- イ．k<9
- ウ．k<-9
- エ．k>-9
正解：イ．k<9

解説：D=36-4k>0 より 4k<36, k<9。
問124．2次方程式 x^2 - 2x + 5 = 0 の判別式 D の符号として正しいものを選べ。
- ア．D=0（重解）
- イ．D>0（異なる2実数解）
- ウ．D=1
- エ．D<0（異なる2つの虚数解）
正解：エ．D<0（異なる2つの虚数解）

解説：D=(-2)^2-4・1・5=4-20=-16<0。よって異なる2つの虚数解をもつ。
問125．2次方程式 x^2 + 2x + 2 = 0 の解を求めよ。
- ア．x=-1±i
- イ．x=1±i
- ウ．x=-1±2i
- エ．x=-2±i
正解：ア．x=-1±i

解説：解の公式 x=(-2±√(4-8))/2=(-2±√(-4))/2=(-2±2i)/2=-1±i。
問126．剰余の定理より、整式 P(x) を (x-a) で割った余りは P(a) に等しい。

正解：○（正しい）

解説：正しい。剰余の定理：P(x) を1次式 (x-a) で割った余りは P(a)。例えば P(x)=x^2 を (x-3) で割った余りは P(3)=9。
問127．因数定理より、P(a)=0 ならば整式 P(x) は (x-a) を因数にもつ。

正解：○（正しい）

解説：正しい。因数定理：P(a)=0 ⇔ (x-a) が P(x) の因数。剰余の定理の特別な場合である。
問128．複素数 a+bi の共役複素数は a-bi である（a, b は実数）。

正解：○（正しい）

解説：正しい。共役複素数は虚部の符号を反転させたもの。a+bi の共役は a-bi。
問129．a+b=2, ab=3 のとき、a^2+b^2=-2 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-6=-2。a,b は虚数になるが式の値としては成立する。
問130．2次方程式の判別式 D=b^2-4ac が D<0 のとき、その方程式は異なる2つの虚数解をもつ。

正解：○（正しい）

解説：正しい。D>0で異なる2実数解、D=0で重解、D<0で異なる2つの虚数解（共役複素数）をもつ。
問131．x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4) である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) で a=x, b=2。展開すると x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8=x^3+8。
問132．解と係数の関係より、x^2+px+q=0 の2解の和は -p、積は q である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。2解を α,β とすると α+β=-p、αβ=q（x^2の係数が1のとき）。
問133．(1+i)^2 = 2i である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i。
問134．a>0, b>0 のとき、相加平均と相乗平均の関係は (a+b)/2 ≧ √(ab) であり、等号は a=b のとき成立する。

正解：○（正しい）

解説：正しい。相加相乗平均の不等式。等号成立条件は2数が等しい（a=b）とき。
問135．(x+y)^4 の展開において x^2y^2 の係数は 6 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。一般項 C(4,r)x^(4-r)y^r で r=2、C(4,2)=6。パスカルの三角形の 1,4,6,4,1 とも一致。
問136．整式 P(x) が (x-2) で割り切れるならば、P(2)=0 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。因数定理より (x-2) を因数にもつ ⇔ P(2)=0。割り切れるとは余り0、すなわち P(2)=0。
問137．x>0 のとき、x+1/x の最小値は 2 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。相加相乗平均より x+1/x≧2√(x・1/x)=2。等号は x=1 のとき。最小値2。
問138．(2+3i)+(1-3i) = 3 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。実部 2+1=3、虚部 3+(-3)=0。よって 3+0i=3。
問139．虚数単位 i について、i^2 = 1 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは i^2=-1 である。i は2乗すると -1 になる数として定義される。
問140．(a+b)^3 = a^3 + b^3 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。中間の 3a^2b+3ab^2 を落としてはならない。
問141．x^3-1 = (x-1)(x^2-x+1) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)。a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) より中央は +x。
問142．複素数 3+4i の絶対値は 7 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは |3+4i|=√(3^2+4^2)=√25=5 である。実部と虚部の単純な和ではない。
問143．二項定理において、(a+b)^n の展開式の各項の係数の和は n^2 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは 2^n である。a=b=1 を代入すると (1+1)^n=2^n が係数の和に等しい。
問144．2次方程式 x^2-4x+4=0 は異なる2つの実数解をもつ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは重解をもつ。判別式 D=16-16=0 なので重解（x=2）。異なる2つの実数解ではない。
問145．x^3+y^3 = (x+y)(x^2+xy+y^2) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)。中央の符号は -xy。
問146．x^2+x+1=0 は実数解をもつ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは実数解をもたない。判別式 D=1-4=-3<0 なので、異なる2つの虚数解をもつ。
問147．(x-1)(x^2+x+1) を展開すると x^3+1 になる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは x^3-1 になる。a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) の形（a=x,b=1）。
問148．判別式 D>0 のとき、2次方程式は重解をもつ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは D>0 で異なる2つの実数解をもつ。重解をもつのは D=0 のとき。
問149．複素数 (3+2i)(3-2i) を計算すると 5 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは (3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=9+4=13 である。共役の積は a^2+b^2 になる。
問150．2次方程式 x^2-5x+6=0 の2解の積は -6 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは積は 6 である。解と係数の関係より積=c/a=6/1=6。実際の解 2,3 の積も6。
問151．2^3 × 2^4 を計算せよ。
- ア．128
- イ．64
- ウ．256
- エ．49
正解：ア．128

解説：指数法則 a^m×a^n=a^(m+n) より 2^3×2^4=2^(3+4)=2^7=128。
問152．(2^3)^2 を計算せよ。
- ア．32
- イ．64
- ウ．128
- エ．12
正解：イ．64

解説：指数法則 (a^m)^n=a^(mn) より (2^3)^2=2^(3×2)=2^6=64。
問153．5^0 の値を求めよ。
- ア．0
- イ．5
- ウ．1
- エ．未定義
正解：ウ．1

解説：0でない数の0乗は1と定義される。よって 5^0=1。
問154．2^(-3) の値を求めよ。
- ア．8
- イ．-8
- ウ．-1/8
- エ．1/8
正解：エ．1/8

解説：負の指数は a^(-n)=1/a^n より 2^(-3)=1/2^3=1/8。
問155．9^(1/2) の値を求めよ。
- ア．3
- イ．4.5
- ウ．81
- エ．1/3
正解：ア．3

解説：a^(1/2)=√a より 9^(1/2)=√9=3。
問156．16^(3/4) の値を求めよ。
- ア．12
- イ．64
- ウ．4
- エ．8
正解：エ．8

解説：16=2^4 より 16^(3/4)=(2^4)^(3/4)=2^(4×3/4)=2^3=8。
問157．(1/2)^(-2) の値を求めよ。
- ア．4
- イ．1/4
- ウ．-4
- エ．-1/4
正解：ア．4

解説：(1/2)^(-2)=2^2=4。負の指数で逆数を取り2乗する。
問158．√[3]{8} × √[3]{27} を計算せよ（√[3]はそれぞれ3乗根）。
- ア．5
- イ．35
- ウ．6
- エ．9
正解：ウ．6

解説：√[3]{8}=2, √[3]{27}=3 より 2×3=6。
問159．指数方程式 2^x=8 を解け。
- ア．2
- イ．3
- ウ．4
- エ．8
正解：イ．3

解説：8=2^3 より 2^x=2^3。底が等しいので指数を比較し x=3。
問160．指数方程式 3^x=1/9 を解け。
- ア．2
- イ．1/2
- ウ．-2
- エ．-1/2
正解：ウ．-2

解説：1/9=3^(-2) より 3^x=3^(-2)。指数を比較して x=-2。
問161．指数方程式 4^x=8 を解け。
- ア．2
- イ．1/2
- ウ．2/3
- エ．3/2
正解：エ．3/2

解説：4=2^2, 8=2^3 より 2^(2x)=2^3。2x=3 だから x=3/2。
問162．指数不等式 (1/2)^x < 1/8 を満たすxの範囲を求めよ。
- ア．x<3
- イ．x>3
- ウ．x<-3
- エ．x>-3
正解：イ．x>3

解説：1/8=(1/2)^3 より (1/2)^x<(1/2)^3。底1/2<1で減少関数なので不等号が逆転し x>3。
問163．log_2 8 の値を求めよ。
- ア．2
- イ．16
- ウ．3
- エ．4
正解：ウ．3

解説：log_2 8=x とすると 2^x=8=2^3。よって x=3。
問164．log_10 1000 の値を求めよ。
- ア．3
- イ．2
- ウ．4
- エ．100
正解：ア．3

解説：log_10 1000=x とすると 10^x=1000=10^3。よって x=3。
問165．log_2 2 の値を求めよ。
- ア．0
- イ．2
- ウ．1/2
- エ．1
正解：エ．1

解説：log_a a=1（a^1=aだから）。よって log_2 2=1。
問166．log_2 6 + log_2 (2/3) を計算せよ。
- ア．1
- イ．2
- ウ．3
- エ．4
正解：イ．2

解説：log_a M+log_a N=log_a(MN) より log_2(6×2/3)=log_2 4=2。
問167．log_3 18 - log_3 2 を計算せよ。
- ア．1
- イ．9
- ウ．2
- エ．3
正解：ウ．2

解説：log_a M-log_a N=log_a(M/N) より log_3(18/2)=log_3 9=2。
問168．log_2 (8^2) を計算せよ。
- ア．3
- イ．9
- ウ．16
- エ．6
正解：エ．6

解説：log_a M^p=p log_a M より log_2 8^2=2 log_2 8=2×3=6。
問169．log_9 27 の値を求めよ。
- ア．3/2
- イ．2/3
- ウ．3
- エ．1/3
正解：ア．3/2

解説：log_9 27=log_3 27/log_3 9=3/2。底を3に変換して計算する。
問170．対数方程式 log_2 x = 3 を解け。
- ア．6
- イ．8
- ウ．9
- エ．16
正解：イ．8

解説：log_2 x=3 は 2^3=x を意味する。よって x=8。
問171．対数方程式 log_3 x = -2 を解け。
- ア．-9
- イ．9
- ウ．1/9
- エ．-1/9
正解：ウ．1/9

解説：log_3 x=-2 は 3^(-2)=x を意味する。よって x=1/9。
問172．対数不等式 log_2 x < 4（x>0）を満たすxの範囲を求めよ。
- ア．x>16
- イ．0<x<8
- ウ．x>8
- エ．0<x<16
正解：エ．0<x<16

解説：4=log_2 16 より log_2 x<log_2 16。底2>1で増加なので x<16。真数条件x>0と合わせ 0<x<16。
問173．log_10 2=0.301 とするとき log_10 4 の値を求めよ。
- ア．0.602
- イ．0.301
- ウ．0.903
- エ．1.204
正解：ア．0.602

解説：log_10 4=log_10 2^2=2 log_10 2=2×0.301=0.602。
問174．log_10 2=0.301 とするとき log_10 5 の値を求めよ。
- ア．0.301
- イ．0.699
- ウ．0.602
- エ．0.5
正解：イ．0.699

解説：log_10 5=log_10(10/2)=log_10 10-log_10 2=1-0.301=0.699。
問175．関数 f(x)=x^2 の導関数 f'(x) を求めよ。
- ア．x
- イ．x^2
- ウ．2x
- エ．2x^2
正解：ウ．2x

解説：x^n の微分は nx^(n-1)。よって f'(x)=2x^(2-1)=2x。
問176．関数 f(x)=x^3 の導関数 f'(x) を求めよ。
- ア．3x
- イ．x^2
- ウ．3x^3
- エ．3x^2
正解：エ．3x^2

解説：x^n の微分は nx^(n-1)。よって f'(x)=3x^(3-1)=3x^2。
問177．関数 y=x^2+3x の導関数 y' を求めよ。
- ア．x+3
- イ．2x+3
- ウ．2x+3x
- エ．2x
正解：イ．2x+3

解説：各項を微分。x^2は2x、3xは3。よって y'=2x+3。
問178．関数 y=2x^3-4x+1 の導関数 y' を求めよ。
- ア．6x^2-4x
- イ．2x^2-4
- ウ．6x^2-4
- エ．6x^2-4+1
正解：ウ．6x^2-4

解説：2x^3→6x^2、-4x→-4、定数1→0。よって y'=6x^2-4。
問179．f(x)=x^2 のとき f'(3) の値を求めよ。
- ア．9
- イ．3
- ウ．12
- エ．6
正解：エ．6

解説：f'(x)=2x。これに x=3 を代入し f'(3)=2×3=6。
問180．f(x)=x^3-3x のとき f'(2) の値を求めよ。
- ア．9
- イ．6
- ウ．12
- エ．5
正解：ア．9

解説：f'(x)=3x^2-3。x=2を代入し f'(2)=3×4-3=12-3=9。
問181．曲線 y=x^2 上の点(1,1)における接線の方程式を求めよ。
- ア．y=2x+1
- イ．y=x-1
- ウ．y=2x-1
- エ．y=2x
正解：ウ．y=2x-1

解説：傾き y'(1)=2。接線は y-1=2(x-1) より y=2x-1。
問182．曲線 y=x^2-2x 上の点(3,3)における接線の方程式を求めよ。
- ア．y=4x+9
- イ．y=4x-3
- ウ．y=2x-3
- エ．y=4x-9
正解：エ．y=4x-9

解説：y'=2x-2。x=3で傾き4。接線 y-3=4(x-3) より y=4x-9。
問183．曲線 y=x^3 上の点(2,8)における接線の傾きを求めよ。
- ア．12
- イ．6
- ウ．8
- エ．24
正解：ア．12

解説：y'=3x^2。x=2で y'(2)=3×4=12。接線の傾きは12。
問184．関数 y=x^2-4x+5 が極小値をとるxの値を求めよ。
- ア．1
- イ．2
- ウ．4
- エ．-2
正解：イ．2

解説：y'=2x-4=0 より x=2。下に凸の放物線なのでx=2で極小。
問185．関数 y=x^3-3x の極大値をとるxの値を求めよ。
- ア．1
- イ．0
- ウ．3
- エ．-1
正解：エ．-1

解説：y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0 より x=±1。増減表より x=-1 で極大。
問186．関数 y=x^3-3x の極大値を求めよ。
- ア．2
- イ．-2
- ウ．0
- エ．-1
正解：ア．2

解説：x=-1で極大。y=(-1)^3-3×(-1)=-1+3=2。極大値は2。
問187．関数 y=x^3-3x の極小値を求めよ。
- ア．2
- イ．-2
- ウ．0
- エ．-3
正解：イ．-2

解説：y'=3x^2-3=0 より x=±1。x=1で極小。y=1^3-3×1=1-3=-2。
問188．不定積分 ∫(2x)dx を求めよ。
- ア．2x^2+C
- イ．2+C
- ウ．x^2+C
- エ．x^2
正解：ウ．x^2+C

解説：∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C より ∫2x dx=2×x^2/2+C=x^2+C。
問189．不定積分 ∫(3x^2)dx を求めよ。
- ア．3x^3+C
- イ．6x+C
- ウ．x^3
- エ．x^3+C
正解：エ．x^3+C

解説：∫3x^2 dx=3×x^3/3+C=x^3+C。べき乗を1上げ次数で割る。
問190．不定積分 ∫(2x+1)dx を求めよ。
- ア．x^2+x+C
- イ．2x^2+x+C
- ウ．x^2+1+C
- エ．2+C
正解：ア．x^2+x+C

解説：∫2x dx=x^2、∫1 dx=x。よって ∫(2x+1)dx=x^2+x+C。
問191．不定積分 ∫(x^2-2x)dx を求めよ。
- ア．x^3-x^2+C
- イ．x^3/3-x^2+C
- ウ．x^3/3-2x^2+C
- エ．2x-2+C
正解：イ．x^3/3-x^2+C

解説：∫x^2 dx=x^3/3、∫2x dx=x^2。よって x^3/3-x^2+C。
問192．不定積分 ∫(4)dx を求めよ。
- ア．4+C
- イ．x+C
- ウ．4x+C
- エ．4x
正解：ウ．4x+C

解説：定数の積分は ∫a dx=ax+C。よって ∫4 dx=4x+C。
問193．定積分 ∫[0→2](3x^2)dx を求めよ。
- ア．4
- イ．12
- ウ．6
- エ．8
正解：エ．8

解説：∫3x^2 dx=x^3。[x^3]を0から2で評価し 2^3-0^3=8。
問194．定積分 ∫[1→3](2x)dx を求めよ。
- ア．8
- イ．6
- ウ．9
- エ．4
正解：ア．8

解説：∫2x dx=x^2。[x^2]を1から3で 3^2-1^2=9-1=8。
問195．定積分 ∫[0→1](x^2)dx を求めよ。
- ア．1
- イ．1/3
- ウ．1/2
- エ．1/4
正解：イ．1/3

解説：∫x^2 dx=x^3/3。0から1で 1^3/3-0=1/3。
問196．定積分 ∫[-1→1](x^2)dx を求めよ。
- ア．0
- イ．2
- ウ．2/3
- エ．1/3
正解：ウ．2/3

解説：∫x^2 dx=x^3/3。1^3/3-(-1)^3/3=1/3-(-1/3)=2/3。
問197．定積分 ∫[1→2](2x+3)dx を求めよ。
- ア．6
- イ．5
- ウ．7
- エ．8
正解：ア．6

解説：∫(2x+3)dx=x^2+3x。[x^2+3x]を1から2で (4+6)-(1+3)=10-4=6。
問198．定積分 ∫[0→3](x^2-2x)dx を求めよ。
- ア．3
- イ．0
- ウ．6
- エ．9
正解：イ．0

解説：∫(x^2-2x)dx=x^3/3-x^2。0から3で (27/3-9)-0=9-9=0。
問199．曲線 y=x^2 と x軸、x=0からx=2 で囲まれた部分の面積を求めよ。
- ア．8/3
- イ．4/3
- ウ．4
- エ．8
正解：ア．8/3

解説：面積=∫[0→2]x^2 dx=[x^3/3]=8/3-0=8/3。
問200．曲線 y=x^2 と直線 x=0、x=3 および x軸で囲まれた面積を求めよ。
- ア．6
- イ．9
- ウ．12
- エ．27
正解：イ．9

解説：面積=∫[0→3]x^2 dx=[x^3/3]=27/3-0=9。
問201．指数法則 a^m × a^n = a^(m+n) は正しい式である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。同じ底のべき乗の積は指数を足す。例: 2^2×2^3=2^5=32。
問202．(a^m)^n = a^(m+n) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは (a^m)^n=a^(mn)（指数の積）。例: (2^2)^3=2^6=64。
問203．a^0 = 1（a≠0）である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。0でない数の0乗は1と定義される。例: 5^0=1, 100^0=1。
問204．a^(-n) = 1/a^n である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。負の指数は逆数を表す。例: 2^(-3)=1/2^3=1/8。
問205．a^(1/2) = 2a である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは a^(1/2)=√a（aの平方根）。例: 9^(1/2)=√9=3。
問206．a^(m/n) = √[n]{a^m}（n乗根）である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。有理数指数は累乗根で表せる。例: 8^(2/3)=√[3]{8^2}=√[3]{64}=4。
問207．2^(-2) = -4 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは 2^(-2)=1/2^2=1/4。負の指数は符号反転ではなく逆数を意味する。
問208．log_a(MN) = log_a M + log_a N である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。積の対数は対数の和。例: log_2(4×8)=log_2 4+log_2 8=2+3=5。
問209．log_a(M/N) = log_a M - log_a N である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。商の対数は対数の差。例: log_2(8/2)=log_2 8-log_2 2=3-1=2。
問210．log_a(M+N) = log_a M + log_a N である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは log_a(MN)=log_a M+log_a N。和の対数を分解する公式は存在しない。
問211．log_a M^p = p log_a M である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。真数のべきは対数の前に出せる。例: log_2 8^2=2 log_2 8=2×3=6。
問212．log_a 1 = 0 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。a^0=1 だから log_a 1=0。底に関わらず成立する。
問213．log_a a = a である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは log_a a=1（a^1=aだから）。底と真数が等しい対数の値は1。
問214．底の変換公式は log_a b = log_c b / log_c a である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。底をcに変換する公式。例: log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2。
問215．log_3 9 = 3 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは log_3 9=2（3^2=9だから）。log_3 27 なら3となる。
問216．常用対数とは底を10とする対数 log_10 x のことである。

正解：○（正しい）

解説：正しい。底10の対数を常用対数という。桁数計算などに用いられる。
問217．x^n を微分すると nx^(n-1) になる。

正解：○（正しい）

解説：正しい。べき関数の微分公式。例: x^3 を微分すると 3x^2。
問218．x^2 を微分すると x になる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは x^2 を微分すると 2x。nx^(n-1) で n=2 より 2x^1=2x。
問219．定数を微分すると0になる。

正解：○（正しい）

解説：正しい。定数項の変化率は0なので導関数は0。例: y=5 なら y'=0。
問220．微分可能な関数 f(x) が x=a で極値をとるならば、f'(a)=0 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。微分可能な関数では、極大・極小となる点で接線が水平になり f'(a)=0 が成り立つ。ただし逆は成り立たない（例: y=x^3 は x=0 で f'(0)=0 だが極値をとらない）。
問221．曲線上の点における接線の傾きは、その点での微分係数に等しい。

正解：○（正しい）

解説：正しい。接線の傾きは f'(a)（その点での微分係数）で与えられる。
問222．∫(2x)dx = 2x^2 + C である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは ∫2x dx=x^2+C。2×x^2/2=x^2 となるため係数は1。
問223．∫(3x^2)dx = x^3 + C である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。3×x^3/3=x^3。よって ∫3x^2 dx=x^3+C。
問224．定積分 ∫[a→b]f(x)dx の値は積分定数Cに依存する。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは定積分は F(b)-F(a) で計算され、Cは引き算で消えるため依存しない。
問225．曲線 y=f(x)（f(x)≥0）と x軸、x=a、x=b で囲まれた面積は ∫[a→b]f(x)dx で求められる。

正解：○（正しい）

解説：正しい。区間で f(x)≥0 なら定積分の値がそのまま面積を表す。
問226．初項3、公差4の等差数列の第10項a_10を求めよ。
- ア．43
- イ．40
- ウ．36
- エ．39
正解：エ．39

解説：等差数列の一般項は a_n=a+(n-1)d である。a=3,d=4,n=10を代入すると a_10=3+(10-1)×4=3+9×4=3+36=39 となる。
問227．初項5、公差-3の等差数列の第7項a_7を求めよ。
- ア．-16
- イ．-10
- ウ．-13
- エ．13
正解：ウ．-13

解説：一般項 a_n=a+(n-1)d に a=5,d=-3,n=7 を代入する。a_7=5+(7-1)×(-3)=5+6×(-3)=5-18=-13 となる。
問228．初項2、公差5の等差数列で第n項が42となるとき、nの値を求めよ。
- ア．8
- イ．10
- ウ．7
- エ．9
正解：エ．9

解説：a_n=2+(n-1)×5=42 を解く。両辺から2を引くと 5(n-1)=40、よって n-1=8、したがって n=9 となる。
問229．第3項が11、第7項が23である等差数列の公差dを求めよ。
- ア．4
- イ．2
- ウ．6
- エ．3
正解：エ．3

解説：等差数列では a_7-a_3=(7-3)d が成り立つ。23-11=4d より 12=4d、したがって公差 d=3 となる。
問230．初項4、公差3の等差数列の初項から第10項までの和S_10を求めよ。
- ア．170
- イ．180
- ウ．165
- エ．175
正解：エ．175

解説：和の公式 S_n=n/2{2a+(n-1)d} に代入する。S_10=10/2×{2×4+9×3}=5×(8+27)=5×35=175 となる。
問231．初項1、公差2の等差数列1,3,5,…の初項から第n項までの和S_nを求めよ。
- ア．n(n+1)
- イ．n^2
- ウ．2n^2
- エ．n(n+1)/2
正解：イ．n^2

解説：S_n=n/2{2a+(n-1)d} に a=1,d=2 を代入すると S_n=n/2×{2+2(n-1)}=n/2×2n=n^2 となる。奇数の和は平方数になる。
問232．初項50、公差-4の等差数列の初項から第n項までの和が最大となるときの最大値を求めよ。
- ア．338
- イ．350
- ウ．336
- エ．300
正解：ア．338

解説：a_n=50+(n-1)(-4)=54-4n。a_n≧0 となるのは n≦13.5、すなわち第13項まで正である。S_13=13/2×(2×50+12×(-4))=13/2×52=338 が最大値となる。
問233．初項3、公比2の等比数列の第5項a_5を求めよ。
- ア．96
- イ．24
- ウ．32
- エ．48
正解：エ．48

解説：等比数列の一般項は a_n=a r^(n-1) である。a=3,r=2,n=5 を代入すると a_5=3×2^(5-1)=3×2^4=3×16=48 となる。
問234．初項1、公比3の等比数列の第4項a_4を求めよ。
- ア．27
- イ．81
- ウ．9
- エ．12
正解：ア．27

解説：一般項 a_n=a r^(n-1) に a=1,r=3,n=4 を代入する。a_4=1×3^(4-1)=3^3=27 となる。
問235．初項2、公比-2の等比数列の第4項a_4を求めよ。
- ア．16
- イ．-8
- ウ．8
- エ．-16
正解：エ．-16

解説：一般項 a_n=a r^(n-1) に a=2,r=-2,n=4 を代入する。a_4=2×(-2)^3=2×(-8)=-16 となる。負の公比なので符号に注意する。
問236．第2項が6、第4項が54である等比数列の公比r(r>0)を求めよ。
- ア．9
- イ．2
- ウ．6
- エ．3
正解：エ．3

解説：等比数列では a_4/a_2=r^2 が成り立つ。54/6=9=r^2 であり、r>0 という条件から r=3 となる。
問237．初項2、公比3の等比数列の初項から第4項までの和S_4を求めよ。
- ア．80
- イ．78
- ウ．82
- エ．40
正解：ア．80

解説：和の公式 S_n=a(r^n-1)/(r-1) に代入する。S_4=2×(3^4-1)/(3-1)=2×(81-1)/2=2×80/2=80 となる。
問238．初項3、公比2の等比数列の初項から第5項までの和S_5を求めよ。
- ア．96
- イ．90
- ウ．31
- エ．93
正解：エ．93

解説：和の公式 S_n=a(r^n-1)/(r-1) に代入する。S_5=3×(2^5-1)/(2-1)=3×(32-1)/1=3×31=93 となる。
問239．初項1、公比1/2の等比数列の初項から第4項までの和S_4を求めよ。
- ア．7/8
- イ．15/8
- ウ．16/15
- エ．2
正解：イ．15/8

解説：公式 S_n=a(1-r^n)/(1-r) を用いる。S_4=1×(1-(1/2)^4)/(1-1/2)=(1-1/16)/(1/2)=(15/16)×2=15/8 となる。
問240．Σ_(k=1)^(n) k を表す公式として正しいものを選べ。
- ア．n(n+1)(2n+1)/6
- イ．n^2
- ウ．n(n-1)/2
- エ．n(n+1)/2
正解：エ．n(n+1)/2

解説：1からnまでの自然数の和は Σk=n(n+1)/2 である。例えば n=5 のとき 5×6/2=15=1+2+3+4+5 と一致する。
問241．Σ_(k=1)^(10) k の値を求めよ。
- ア．50
- イ．45
- ウ．100
- エ．55
正解：エ．55

解説：公式 Σk=n(n+1)/2 に n=10 を代入する。Σ_(k=1)^(10) k=10×11/2=110/2=55 となる。1から10までの和である。
問242．Σ_(k=1)^(n) k^2 を表す公式として正しいものを選べ。
- ア．n(n+1)(2n+1)/6
- イ．n(n+1)/2
- ウ．{n(n+1)/2}^2
- エ．n^2(n+1)/2
正解：ア．n(n+1)(2n+1)/6

解説：平方の和の公式は Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6 である。例えば n=3 のとき 3×4×7/6=14=1+4+9 と一致する。
問243．Σ_(k=1)^(5) k^2 の値を求めよ。
- ア．30
- イ．50
- ウ．60
- エ．55
正解：エ．55

解説：公式 Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6 に n=5 を代入する。5×6×11/6=330/6=55 となる。1^2+…+5^2=55 と一致する。
問244．Σ_(k=1)^(n) k^3 を表す公式として正しいものを選べ。
- ア．{n(n+1)/2}^2
- イ．n(n+1)(2n+1)/6
- ウ．n(n+1)/2
- エ．n^2(n+1)^2
正解：ア．{n(n+1)/2}^2

解説：立方の和の公式は Σk^3={n(n+1)/2}^2 であり、これは Σk の2乗に等しい。例えば n=3 なら 6^2=36=1+8+27 と一致する。
問245．定数3のn個の和、すなわちΣ_(k=1)^(n) 3 の値を求めよ。
- ア．3
- イ．n
- ウ．3n
- エ．3n(n+1)/2
正解：ウ．3n

解説：定数cのΣは Σc=cn となる。よって Σ3=3n である。例えば n=4 なら 3+3+3+3=12=3×4 と一致する。
問246．Σ_(k=1)^(n) (2k+1) を計算した結果を選べ。
- ア．n(n+2)
- イ．n(n+1)
- ウ．n^2
- エ．2n(n+1)
正解：ア．n(n+2)

解説：Σ(2k+1)=2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n(n+1)+n=n^2+2n=n(n+2) となる。Σの線形性を使って分解する。
問247．Σ_(k=1)^(n) k(k+1) を計算した結果を選べ。
- ア．n(n+1)(n+2)/6
- イ．n(n+1)/2
- ウ．n(n+1)(2n+1)/6
- エ．n(n+1)(n+2)/3
正解：エ．n(n+1)(n+2)/3

解説：Σ(k^2+k)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1){(2n+1)+3}/6=n(n+1)(2n+4)/6=n(n+1)(n+2)/3 となる。
問248．数列1,4,9,16,…の階差数列の第3項を求めよ。
- ア．5
- イ．9
- ウ．7
- エ．6
正解：ウ．7

解説：階差数列は b_n=a_(n+1)-a_n で定義される。元の数列1,4,9,16の階差は3,5,7,…となり、第3項は a_4-a_3=16-9=7 である。
問249．数列2,3,5,8,12,…の階差数列を求めよ。
- ア．1,2,3,4,…
- イ．1,1,1,1,…
- ウ．2,3,4,5,…
- エ．1,2,4,8,…
正解：ア．1,2,3,4,…

解説：隣り合う項の差をとると 3-2=1、5-3=2、8-5=3、12-8=4 となる。したがって階差数列は 1,2,3,4,… である。
問250．階差数列がb_n=2nであり初項a_1=3である数列{a_n}について、a_4を求めよ。
- ア．13
- イ．11
- ウ．15
- エ．17
正解：ウ．15

解説：a_n=a_1+Σ_(k=1)^(n-1)b_k で求める。a_4=a_1+(b_1+b_2+b_3)=3+(2+4+6)=3+12=15 となる。階差を足し上げる。
問251．漸化式a_(n+1)=a_n+3、a_1=2で定まる数列の一般項a_nを求めよ。
- ア．3n-1
- イ．3n+2
- ウ．3n-2
- エ．2n+1
正解：ア．3n-1

解説：各項に3を加えるので公差3の等差数列である。一般項は a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1 となる。
問252．漸化式a_(n+1)=2a_n、a_1=3で定まる数列の一般項a_nを求めよ。
- ア．3×2^n
- イ．3×2^(n-1)
- ウ．2×3^(n-1)
- エ．2n×3
正解：イ．3×2^(n-1)

解説：各項が前項の2倍になるので公比2の等比数列である。一般項は a_n=a_1 r^(n-1)=3×2^(n-1) となる。
問253．漸化式a_(n+1)=a_n+4、a_1=1で定まる数列のa_5を求めよ。
- ア．16
- イ．21
- ウ．17
- エ．13
正解：ウ．17

解説：公差4の等差数列なので一般項は a_n=1+(n-1)×4=4n-3 である。a_5=4×5-3=20-3=17 となる。
問254．漸化式a_(n+1)=3a_n、a_1=2で定まる数列のa_4を求めよ。
- ア．18
- イ．54
- ウ．162
- エ．48
正解：イ．54

解説：公比3の等比数列なので一般項は a_n=2×3^(n-1) である。a_4=2×3^(4-1)=2×3^3=2×27=54 となる。
問255．ベクトルa=(3,4)の大きさ|a|を求めよ。
- ア．7
- イ．5
- ウ．√7
- エ．25
正解：イ．5

解説：平面ベクトルの大きさは |a|=√(x^2+y^2) で求める。|a|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5 となる。三平方の定理による。
問256．ベクトルa=(1,2)の大きさ|a|を求めよ。
- ア．3
- イ．5
- ウ．√5
- エ．√3
正解：ウ．√5

解説：大きさの公式 |a|=√(x^2+y^2) に代入する。|a|=√(1^2+2^2)=√(1+4)=√5 となる。これ以上簡単にできない。
問257．a=(2,3)、b=(1,-1)のとき、a+bを成分で求めよ。
- ア．(3,2)
- イ．(1,4)
- ウ．(3,-2)
- エ．(2,3)
正解：ア．(3,2)

解説：ベクトルの和は対応する成分どうしを加える。a+b=(2+1,3+(-1))=(3,2) となる。x成分とy成分を別々に計算する。
問258．a=(4,1)、b=(1,3)のとき、a-bを成分で求めよ。
- ア．(5,4)
- イ．(3,2)
- ウ．(3,-2)
- エ．(-3,2)
正解：ウ．(3,-2)

解説：ベクトルの差は対応する成分どうしを引く。a-b=(4-1,1-3)=(3,-2) となる。順序を間違えないよう注意する。
問259．a=(2,-1)のとき、3aを成分で求めよ。
- ア．(5,2)
- イ．(6,3)
- ウ．(2,-3)
- エ．(6,-3)
正解：エ．(6,-3)

解説：ベクトルの実数倍は各成分にその実数を掛ける。3a=(3×2,3×(-1))=(6,-3) となる。大きさは3倍になる。
問260．a=(1,2)、b=(3,-1)のとき、内積a・bを求めよ。
- ア．5
- イ．1
- ウ．-1
- エ．2
正解：イ．1

解説：平面ベクトルの内積は a・b=x_1 x_2+y_1 y_2 で計算する。a・b=1×3+2×(-1)=3-2=1 となる。
問261．a=(2,3)、b=(4,1)のとき、内積a・bを求めよ。
- ア．5
- イ．14
- ウ．11
- エ．7
正解：ウ．11

解説：内積の公式 a・b=x_1 x_2+y_1 y_2 に代入する。a・b=2×4+3×1=8+3=11 となる。成分の積の和である。
問262．a=(3,-2)、b=(1,2)のとき、内積a・bを求めよ。
- ア．-1
- イ．1
- ウ．5
- エ．-5
正解：ア．-1

解説：内積の公式 a・b=x_1 x_2+y_1 y_2 に代入する。a・b=3×1+(-2)×2=3-4=-1 となる。符号に注意して計算する。
問263．|a|=2、|b|=3、なす角θ=60°のとき内積a・bを求めよ。
- ア．6
- イ．3
- ウ．√3
- エ．3√3
正解：イ．3

解説：内積の定義 a・b=|a||b|cosθ を用いる。a・b=2×3×cos60°=6×(1/2)=3 となる。cos60°=1/2 である。
問264．|a|=4、|b|=5、なす角θ=90°のとき内積a・bを求めよ。
- ア．20
- イ．9
- ウ．0
- エ．1
正解：ウ．0

解説：内積 a・b=|a||b|cosθ を用いる。cos90°=0 なので a・b=4×5×0=0 となる。垂直なベクトルの内積は0である。
問265．a=(1,1)、b=(1,0)のなす角θを求めよ。
- ア．45°
- イ．30°
- ウ．60°
- エ．90°
正解：ア．45°

解説：cosθ=(a・b)/(|a||b|)=(1×1+1×0)/(√2×1)=1/√2 となる。これを満たす角は θ=45° である。
問266．a=(2,4)、b=(1,2)は平行である。a=kbを満たす実数kを求めよ。
- ア．1
- イ．3
- ウ．2
- エ．1/2
正解：ウ．2

解説：a=kb より (2,4)=(k,2k) となる。x成分から 2=k×1 で k=2、y成分も 4=2×2 で一致する。よって k=2 である。
問267．a=(2,3)とb=(x,-6)が平行であるとき、xの値を求めよ。
- ア．-4
- イ．4
- ウ．-9
- エ．9
正解：ア．-4

解説：平行条件は x_1 y_2-x_2 y_1=0 である。2×(-6)-x×3=0、-12-3x=0、3x=-12、x=-4 となる。
問268．a=(3,2)とb=(x,-6)が垂直であるとき、xの値を求めよ。
- ア．-4
- イ．4
- ウ．9
- エ．-9
正解：イ．4

解説：垂直条件は内積a・b=0 である。3×x+2×(-6)=0、3x-12=0、3x=12、x=4 となる。内積が0なら直交する。
問269．a=(1,2)とb=(4,x)が垂直であるとき、xの値を求めよ。
- ア．2
- イ．-8
- ウ．-2
- エ．8
正解：ウ．-2

解説：垂直条件は内積a・b=0 である。1×4+2×x=0、4+2x=0、2x=-4、x=-2 となる。内積が0で直交する。
問270．2点A(1,2)、B(5,4)について、ベクトルABを成分で求めよ。
- ア．(6,6)
- イ．(4,2)
- ウ．(-4,-2)
- エ．(4,-2)
正解：イ．(4,2)

解説：AB=（終点B-始点A）で求める。AB=(5-1,4-2)=(4,2) となる。各成分は終点から始点を引いて計算する。
問271．2点A(2,1)、B(2,5)を結ぶ線分ABの中点Mの座標を求めよ。
- ア．(2,4)
- イ．(2,3)
- ウ．(4,6)
- エ．(2,2)
正解：イ．(2,3)

解説：中点の座標は ((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2) である。M=((2+2)/2,(1+5)/2)=(4/2,6/2)=(2,3) となる。
問272．2点A(1,2)、B(7,8)を結ぶ線分を1:2に内分する点Pの座標を求めよ。
- ア．(3,4)
- イ．(5,6)
- ウ．(4,5)
- エ．(3,6)
正解：ア．(3,4)

解説：m:nの内分点は ((nx_1+mx_2)/(m+n),(ny_1+my_2)/(m+n))。P=((2×1+1×7)/3,(2×2+1×8)/3)=(9/3,12/3)=(3,4) となる。
問273．空間ベクトルa=(1,2,2)の大きさ|a|を求めよ。
- ア．5
- イ．3
- ウ．√5
- エ．9
正解：イ．3

解説：空間ベクトルの大きさは |a|=√(x^2+y^2+z^2) である。|a|=√(1^2+2^2+2^2)=√(1+4+4)=√9=3 となる。
問274．空間ベクトルa=(2,1,2)、b=(1,3,-1)のとき、内積a・bを求めよ。
- ア．7
- イ．1
- ウ．3
- エ．5
正解：ウ．3

解説：空間の内積は a・b=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2 である。a・b=2×1+1×3+2×(-1)=2+3-2=3 となる。z成分も忘れず加える。
問275．空間の2点A(1,0,2)、B(4,3,2)について、ベクトルABを成分で求めよ。
- ア．(5,3,4)
- イ．(3,3,0)
- ウ．(-3,-3,0)
- エ．(3,3,4)
正解：イ．(3,3,0)

解説：AB=（終点B-始点A）で各成分を計算する。AB=(4-1,3-0,2-2)=(3,3,0) となる。z成分は0になる。
問276．等差数列の一般項は a_n=a_1+(n-1)d で表される。

正解：○（正しい）

解説：正しい。初項a_1に公差dを(n-1)回加えると第n項になる。例えば a_1=2,d=3 なら a_4=2+3×3=11 となる。
問277．等差数列の初項から第n項までの和は S_n=n(a_1+a_n) で表される。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは S_n=n(a_1+a_n)/2 であり2で割る必要がある。例えば1から5の和は 5×(1+5)/2=15 となる。
問278．等比数列の一般項は a_n=a_1 r^n で表される。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは a_n=a_1 r^(n-1) であり指数はn-1である。例えば a_1=3,r=2 なら a_4=3×2^3=24 となる。
問279．公比r≠1の等比数列の和は S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) で表される。

正解：○（正しい）

解説：正しい。r≠1のとき成り立つ等比数列の和の公式である。例えば a_1=2,r=3,n=3 なら 2×(27-1)/2=26 となる。
問280．Σ_(k=1)^(n) k = n(n-1)/2 が成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは Σk=n(n+1)/2 である。例えば n=4 なら 4×5/2=10=1+2+3+4 となり、n(n-1)/2では合わない。
問281．Σ_(k=1)^(n) k^2 = {n(n+1)/2}^2 が成り立つ。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6 である。{n(n+1)/2}^2 はΣk^3すなわち立方和の公式である。
問282．Σ_(k=1)^(n) c = cn が成り立つ（cは定数）。

正解：○（正しい）

解説：正しい。kに依存しない定数cをn回加えるのでcnになる。例えば Σ_(k=1)^(5) 3=3×5=15 となる。これは定数の和の基本公式である。
問283．Σ_(k=1)^(n) k^3 = {n(n+1)/2}^2 が成り立つ。

正解：○（正しい）

解説：正しい。立方の和はΣkの2乗に等しいという公式である。例えば n=3 なら 6^2=36=1+8+27 と一致する。
問284．階差数列b_nは b_n=a_(n+1)-a_n で定義される。

正解：○（正しい）

解説：正しい。隣り合う項の差をとった数列が階差数列である。例えば数列1,4,9,16の階差数列は3,5,7となる。元の数列の規則を調べるのに役立つ。
問285．漸化式a_(n+1)=a_n+d（dは定数）は等比数列を表す。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは a_(n+1)=a_n+d は公差dの等差数列を表す。等比数列は a_(n+1)=r a_n の形で表される。
問286．漸化式a_(n+1)=r a_n（r≠0）は公比rの等比数列を表す。

正解：○（正しい）

解説：正しい。各項が前項のr倍になるので公比rの等比数列である。例えば a_(n+1)=2a_n は公比2の等比数列となる。
問287．数学的帰納法では、n=1で成立を示し、n=kで成立を仮定してn=k+1で成立を示せば全自然数で成立する。

正解：○（正しい）

解説：正しい。基礎(n=1)と帰納段階(k→k+1)の2段階によって、全ての自然数についての成立を証明する手法である。
問288．ベクトルa=(x,y)の大きさは |a|=x^2+y^2 で表される。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは |a|=√(x^2+y^2) であり平方根が必要である。例えば a=(3,4) なら |a|=√25=5 となる。
問289．a=(a_1,a_2)、b=(b_1,b_2)の内積は a・b=a_1 b_1+a_2 b_2 で計算できる。

正解：○（正しい）

解説：正しい。対応する成分どうしの積の和が内積である。例えば (1,2)・(3,4)=1×3+2×4=11 となる。
問290．ベクトルの内積は a・b=|a||b|sinθ で計算できる（θはなす角）。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは a・b=|a||b|cosθ でありcosを用いる。sinではなくcosを使う点に注意が必要である。
問291．0でない2つのベクトルが垂直であるとき、その内積は0である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。θ=90°でcos90°=0 なので a・b=|a||b|×0=0 となる。逆に内積が0なら2つのベクトルは垂直である。
問292．0でない2つのベクトルが平行であるとき、その内積は必ず0である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは平行（θ=0°または180°）のとき内積は|a||b|または-|a||b|であり0ではない。0になるのは垂直のときである。
問293．a=(a_1,a_2)、b=(b_1,b_2)が平行であるための条件は a_1 b_2-a_2 b_1=0 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。成分の交差積の差が0なら平行である。例えば (2,4)と(1,2)は 2×2-4×1=0 なので平行である。
問294．a=(a_1,a_2)、b=(b_1,b_2)が垂直であるための条件は a_1 b_1+a_2 b_2=0 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。垂直条件は内積が0、すなわち a_1 b_1+a_2 b_2=0 である。これは内積の成分計算が0になることを意味する。
問295．なす角θが90°<θ≦180°のとき、内積a・bは常に正である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは90°<θ≦180°ではcosθ<0 なので内積a・b=|a||b|cosθは負である。内積が正になるのは鋭角のときである。
問296．線分ABをm:nに外分する点の位置ベクトルは (na+mb)/(m+n) である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは外分点は (-na+mb)/(m-n) である。(na+mb)/(m+n) は内分点の公式であり符号と分母が異なる。
問297．空間ベクトルa=(x,y,z)の大きさは |a|=√(x^2+y^2+z^2) で表される。

正解：○（正しい）

解説：正しい。空間でも各成分の平方和の平方根が大きさである。例えば a=(1,2,2) なら |a|=√9=3 となる。
問298．空間ベクトルa=(a_1,a_2,a_3)、b=(b_1,b_2,b_3)の内積はz成分を無視して a・b=a_1 b_1+a_2 b_2 で計算する。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは a・b=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 でありz成分も加える。空間でも全成分の積の和が内積である。
問299．等差数列で初項a_1=5、公差d=0のとき、すべての項は5になる。

正解：○（正しい）

解説：正しい。公差0なので a_n=5+(n-1)×0=5 となる。全ての項が初項に等しい定数列となるからである。
問300．ベクトルの実数倍kaの大きさは |ka|=k|a| である（kは任意の実数）。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは |ka|=|k||a| であり、kの絶対値を掛ける。例えば k=-2 のとき |(-2)a|=2|a| となり負にはならないからである。
問301．2点A(1,2), B(4,6)間の距離を求めよ。
- ア．5
- イ．3
- ウ．7
- エ．√41
正解：ア．5

解説：AB=√((4-1)^2+(6-2)^2)=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。
問302．2点A(-2,3), B(3,-9)間の距離を求めよ。
- ア．11
- イ．13
- ウ．12
- エ．√194
正解：イ．13

解説：AB=√((3-(-2))^2+(-9-3)^2)=√(5^2+(-12)^2)=√(25+144)=√169=13。
問303．2点A(2,-1), B(-1,3)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点の座標を求めよ。
- ア．(1, 1/3)
- イ．(0, 1)
- ウ．(0, 5/3)
- エ．(-1, 5/3)
正解：ウ．(0, 5/3)

解説：内分点=((1・2+2・(-1))/(2+1), (1・(-1)+2・3)/3)=((2-2)/3,(-1+6)/3)=(0, 5/3)。
問304．2点A(1,2), B(4,8)を結ぶ線分ABを2:1に外分する点の座標を求めよ。
- ア．(-2, -4)
- イ．(5, 10)
- ウ．(7, 10)
- エ．(7, 14)
正解：エ．(7, 14)

解説：外分点=((-1・1+2・4)/(2-1), (-1・2+2・8)/(2-1))=((-1+8)/1,(-2+16)/1)=(7, 14)。
問305．3点A(1,2), B(5,4), C(3,6)を頂点とする三角形の重心の座標を求めよ。
- ア．(3, 4)
- イ．(9, 12)
- ウ．(3, 3)
- エ．(4, 4)
正解：ア．(3, 4)

解説：重心=((1+5+3)/3,(2+4+6)/3)=(9/3,12/3)=(3, 4)。
問306．2点(2,3), (6,11)を通る直線の方程式を求めよ。
- ア．y=2x+1
- イ．y=2x-1
- ウ．y=3x-3
- エ．y=x+1
正解：イ．y=2x-1

解説：傾き=(11-3)/(6-2)=8/4=2。y-3=2(x-2)より y=2x-1。
問307．点(2,5)を通り傾き-3の直線の方程式を求めよ。
- ア．y=-3x+5
- イ．y=-3x-1
- ウ．y=-3x+11
- エ．y=3x-1
正解：ウ．y=-3x+11

解説：y-5=-3(x-2)より y=-3x+6+5=-3x+11。
問308．直線 y=2x+1 に平行で点(1,4)を通る直線の方程式を求めよ。
- ア．y=2x+4
- イ．y=-x/2+9/2
- ウ．y=2x-2
- エ．y=2x+2
正解：エ．y=2x+2

解説：平行なので傾きは2。y-4=2(x-1)より y=2x-2+4=2x+2。
問309．2直線 y=ax+1 と y=3x-2 が平行であるとき、定数aの値を求めよ。
- ア．3
- イ．-3
- ウ．-1/3
- エ．1/3
正解：ア．3

解説：2直線が平行になる条件は傾きが等しいこと。y=ax+1の傾きはa、y=3x-2の傾きは3。a=3となる。切片は異なるので一致はしない。
問310．2直線 y=ax+2 と y=2x-1 が垂直であるとき、定数aの値を求めよ。
- ア．1/2
- イ．-1/2
- ウ．-2
- エ．2
正解：イ．-1/2

解説：2直線が垂直になる条件は傾きの積が-1。y=ax+2の傾きはa、y=2x-1の傾きは2。a・2=-1を解いてa=-1/2となる。
問311．点(0,0)と直線 3x+4y-10=0 の距離を求めよ。
- ア．10
- イ．2
- ウ．5
- エ．10/7
正解：イ．2

解説：距離=|3・0+4・0-10|/√(3^2+4^2)=10/√25=10/5=2。
問312．点(2,1)と直線 4x-3y+1=0 の距離を求めよ。
- ア．6
- イ．5/6
- ウ．6/5
- エ．6/7
正解：ウ．6/5

解説：距離=|4・2-3・1+1|/√(4^2+(-3)^2)=|8-3+1|/√25=6/5。
問313．中心(2,-3), 半径4の円の方程式を求めよ。
- ア．(x+2)^2+(y-3)^2=16
- イ．(x-2)^2+(y+3)^2=4
- ウ．(x-2)^2+(y-3)^2=16
- エ．(x-2)^2+(y+3)^2=16
正解：エ．(x-2)^2+(y+3)^2=16

解説：中心(a,b)半径rの円は(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。よって(x-2)^2+(y+3)^2=16。
問314．円 (x-1)^2+(y+2)^2=9 の中心と半径を求めよ。
- ア．中心(1,-2), 半径3
- イ．中心(-1,2), 半径3
- ウ．中心(1,-2), 半径9
- エ．中心(-1,2), 半径9
正解：ア．中心(1,-2), 半径3

解説：標準形(x-a)^2+(y-b)^2=r^2より中心(1,-2), 半径√9=3。
問315．円 x^2+y^2-6x+4y-3=0 の中心と半径を求めよ。
- ア．中心(-3,2), 半径4
- イ．中心(3,-2), 半径4
- ウ．中心(3,-2), 半径16
- エ．中心(-3,2), 半径16
正解：イ．中心(3,-2), 半径4

解説：x^2+y^2-6x+4y-3=0 を平方完成すると、(x-3)^2-9+(y+2)^2-4-3=0 より (x-3)^2+(y+2)^2=16 となる。円の方程式 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 と比べて、中心は (3,-2)、半径は r^2=16 の正の平方根で4である。中心を (-3,2) とするのは、かっこの中の数の符号をそのまま中心の座標にした誤りで、半径を16とするのは r^2 の値を半径と取り違えた誤りである。

根拠：日本数学検定協会「数学検定2級」検定の内容検定の内容（高校2年程度）：点と直線、円の方程式、軌跡と領域ほか
問316．円 x^2+y^2-2x+8y+8=0 の半径を求めよ。
- ア．9
- イ．√17
- ウ．3
- エ．1
正解：ウ．3

解説：(x-1)^2-1+(y+4)^2-16+8=0より(x-1)^2+(y+4)^2=9。半径=√9=3。
問317．2点(1,0), (5,0)を直径の両端とする円の方程式を求めよ。
- ア．(x-3)^2+y^2=16
- イ．(x-2)^2+y^2=4
- ウ．(x-2)^2+y^2=16
- エ．(x-3)^2+y^2=4
正解：エ．(x-3)^2+y^2=4

解説：直径の両端が(1,0)と(5,0)なので、円の中心は2点の中点で ((1+5)/2, (0+0)/2)＝(3,0)。半径は直径の長さの半分で、直径の長さは5−1＝4だから半径は2。中心(a,b)、半径rの円の方程式は (x−a)^2+(y−b)^2＝r^2 なので、(x−3)^2+y^2＝4 となる。右辺を16とするのは、直径の長さ4を半径として2乗した誤り。中心を(2,0)とするのは、中点ではなく2点間の距離の半分（2）をx座標にした誤りである。

根拠：日本数学検定協会「数学検定2級」検定の内容検定の内容：点と直線、円の方程式、軌跡と領域ほか（高校2年程度）
問318．円 x^2+y^2=25 と直線 y=x+1 の位置関係を判定せよ。
- ア．異なる2点で交わる
- イ．接する
- ウ．共有点をもたない
- エ．一致する
正解：ア．異なる2点で交わる

解説：中心(0,0)と直線x-y+1=0の距離=|0-0+1|/√2=1/√2≒0.71。半径5より小さいので2点で交わる。
問319．円 x^2+y^2=4 と直線 y=x+2√2 の位置関係を判定せよ。
- ア．異なる2点で交わる
- イ．共有点をもたない
- ウ．中心を通る
- エ．接する
正解：エ．接する

解説：中心(0,0)と直線x-y+2√2=0の距離=|2√2|/√2=2。半径2と等しいので接する。
問320．円 x^2+y^2=9 と直線 y=2x+10 の位置関係を判定せよ。
- ア．接する
- イ．異なる2点で交わる
- ウ．共有点をもたない
- エ．中心を通る
正解：ウ．共有点をもたない

解説：中心(0,0)と直線2x-y+10=0の距離=|10|/√(4+1)=10/√5=2√5≒4.47。半径3より大きいので共有点なし。
問321．円 x^2+y^2=10 上の点(1,3)における接線の方程式を求めよ。
- ア．3x+y=10
- イ．x+3y=√10
- ウ．x-3y=10
- エ．x+3y=10
正解：エ．x+3y=10

解説：円x^2+y^2=r^2上の点(x1,y1)の接線はx1・x+y1・y=r^2。よって1・x+3・y=10、x+3y=10。
問322．円 x^2+y^2=25 上の点(3,-4)における接線の方程式を求めよ。
- ア．3x-4y=25
- イ．3x+4y=25
- ウ．-3x+4y=25
- エ．3x-4y=5
正解：ア．3x-4y=25

解説：接線はx1・x+y1・y=r^2より3x+(-4)y=25、すなわち3x-4y=25。
問323．120°を弧度法で表せ。
- ア．3π/4
- イ．2π/3
- ウ．5π/6
- エ．π/3
正解：イ．2π/3

解説：180°=π(ラジアン)。120°=120/180・π=2π/3。
問324．弧度法で 5π/6 を度数法で表せ。
- ア．135°
- イ．120°
- ウ．150°
- エ．165°
正解：ウ．150°

解説：弧度法と度数法の変換はπ(ラジアン)=180°を用いる。5π/6=(5/6)・180°=5・30°=150°。πを180°に置き換えて計算すればよい。
問325．半径3, 中心角 π/3 の扇形の弧の長さを求めよ。
- ア．3π
- イ．π/3
- ウ．9π
- エ．π
正解：エ．π

解説：扇形の弧の長さは中心角θ(ラジアン)を用いて l=rθ。半径r=3, 中心角θ=π/3を代入すると l=3・(π/3)=π。
問326．半径4, 中心角 π/6 の扇形の面積を求めよ。
- ア．4π/3
- イ．2π/3
- ウ．8π/3
- エ．4π
正解：ア．4π/3

解説：扇形の面積 S=(1/2)r^2θ=(1/2)・16・π/6=8π/6=4π/3。
問327．sinθ=3/5 で θ が鋭角のとき、cosθ の値を求めよ。
- ア．-4/5
- イ．4/5
- ウ．3/4
- エ．5/4
正解：イ．4/5

解説：sin^2θ+cos^2θ=1より cos^2θ=1-9/25=16/25。θは鋭角でcosθ>0だから cosθ=4/5。
問328．cosθ=-5/13 で θ が第2象限の角のとき、sinθ の値を求めよ。
- ア．-12/13
- イ．5/12
- ウ．12/13
- エ．13/12
正解：ウ．12/13

解説：sin^2θ=1-25/169=144/169。第2象限でsinθ>0だから sinθ=12/13。
問329．tanθ=2 のとき、1/cos^2θ の値を求めよ。
- ア．4
- イ．3
- ウ．1/5
- エ．5
正解：エ．5

解説：1+tan^2θ=1/cos^2θ より 1/cos^2θ=1+2^2=5。
問330．sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ を用いて sin75° の値を求めよ。
- ア．(√6+√2)/4
- イ．(√6-√2)/4
- ウ．(√3+1)/4
- エ．(√6+√2)/2
正解：ア．(√6+√2)/4

解説：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。
問331．cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ を用いて cos15° の値を求めよ。
- ア．(√6-√2)/4
- イ．(√6+√2)/4
- ウ．(√3-1)/4
- エ．(√6+√2)/2
正解：イ．(√6+√2)/4

解説：cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。
問332．tanの加法定理を用いて tan75° の値を求めよ。
- ア．2-√3
- イ．√3
- ウ．2+√3
- エ．1+√3
正解：ウ．2+√3

解説：tan75°=tan(45°+30°)=(1+1/√3)/(1-1・1/√3)=(√3+1)/(√3-1)=(√3+1)^2/2=(4+2√3)/2=2+√3。
問333．sinα=4/5(αは鋭角), cosβ=5/13(βは鋭角)のとき、sin(α+β) の値を求めよ。
- ア．16/65
- イ．33/65
- ウ．63/65
- エ．56/65
正解：エ．56/65

解説：cosα=3/5, sinβ=12/13。sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(4/5)(5/13)+(3/5)(12/13)=(20+36)/65=56/65。
問334．sinθ=3/5(θは鋭角)のとき、sin2θ の値を求めよ。
- ア．24/25
- イ．7/25
- ウ．-7/25
- エ．12/25
正解：ア．24/25

解説：cosθ=4/5。sin2θ=2sinθcosθ=2・(3/5)(4/5)=24/25。
問335．cosθ=1/3 のとき、cos2θ の値を求めよ。
- ア．7/9
- イ．-7/9
- ウ．-1/9
- エ．2/9
正解：イ．-7/9

解説：cos2θ=2cos^2θ-1=2・(1/9)-1=2/9-1=-7/9。
問336．sin15° を半角の公式で求めよ（sin15°>0）。
- ア．√(2+√3)/2
- イ．(2-√3)/4
- ウ．√(2-√3)/4
- エ．√(2-√3)/2
正解：エ．√(2-√3)/2

解説：sin^2(θ/2)=(1-cosθ)/2。θ=30°としてsin^2 15°=(1-√3/2)/2=(2-√3)/4。sin15°=√(2-√3)/2。
問337．sinθ+√3 cosθ を r sin(θ+α) の形に合成せよ（rは正、-π<α≦π）。
- ア．2sin(θ+π/3)
- イ．2sin(θ+π/6)
- ウ．2sin(θ-π/3)
- エ．√3 sin(θ+π/6)
正解：ア．2sin(θ+π/3)

解説：r=√(1^2+(√3)^2)=2。cosα=1/2, sinα=√3/2よりα=π/3。よって2sin(θ+π/3)。
問338．√3 sinθ+cosθ を r sin(θ+α) の形に合成せよ（rは正、-π<α≦π）。
- ア．2sin(θ+π/3)
- イ．2sin(θ+π/6)
- ウ．2sin(θ-π/6)
- エ．√2 sin(θ+π/4)
正解：イ．2sin(θ+π/6)

解説：r=√((√3)^2+1^2)=2。cosα=√3/2, sinα=1/2よりα=π/6。よって2sin(θ+π/6)。
問339．関数 y=sin2θ の周期を求めよ。
- ア．2π
- イ．4π
- ウ．π
- エ．π/2
正解：ウ．π

解説：y=sin(kθ)の周期は2π/|k|。k=2より周期=2π/2=π。
問340．関数 y=cos(θ/3) の周期を求めよ。
- ア．6π
- イ．2π/3
- ウ．3π
- エ．2π
正解：ア．6π

解説：y=cos(kθ)の周期は2π/|k|。k=1/3より周期=2π/(1/3)=6π。
問341．0≦θ<2π において sinθ=1/2 を満たす θ をすべて求めよ。
- ア．π/6, 7π/6
- イ．π/3, 2π/3
- ウ．5π/6, 7π/6
- エ．π/6, 5π/6
正解：エ．π/6, 5π/6

解説：sinθ=1/2となるのは第1・第2象限。θ=π/6 と π-π/6=5π/6。
問342．0≦θ<2π において cosθ=-1/2 を満たす θ をすべて求めよ。
- ア．π/3, 5π/3
- イ．2π/3, 5π/3
- ウ．2π/3, 4π/3
- エ．π/6, 11π/6
正解：ウ．2π/3, 4π/3

解説：cosθ=-1/2となるのは第2・第3象限。基準角π/3より θ=π-π/3=2π/3 と π+π/3=4π/3。
問343．0≦θ<2π において 2sinθ-1>0 を満たす θ の範囲を求めよ。
- ア．0≦θ<π/6
- イ．π/6<θ<5π/6
- ウ．5π/6<θ<2π
- エ．π/3<θ<2π/3
正解：イ．π/6<θ<5π/6

解説：sinθ>1/2。sinθ=1/2となるのはπ/6, 5π/6。よってπ/6<θ<5π/6。
問344．不等式 x+2y-4>0 の表す領域は直線 x+2y-4=0 のどちら側か。
- ア．直線の上側（原点を含まない）
- イ．直線の下側（原点を含む）
- ウ．直線の下側（原点を含まない）
- エ．直線の上側（原点を含む）
正解：ア．直線の上側（原点を含まない）

解説：y>(-x+4)/2と変形すると直線の上側。原点(0,0)を代入すると0+0-4=-4<0で不成立。よって原点を含まない上側。
問345．不等式 x^2+y^2<9 の表す領域はどれか。
- ア．中心原点・半径3の円の外部
- イ．中心原点・半径3の円の内部（境界含まず）
- ウ．中心原点・半径9の円の内部
- エ．中心原点・半径3の円周上
正解：イ．中心原点・半径3の円の内部（境界含まず）

解説：x^2+y^2=9は中心原点・半径3の円。x^2+y^2<9は円の内部（境界を含まない）。
問346．3点A(1,1), B(4,2), C(2,5)を頂点とする三角形ABCの面積を求めよ。
- ア．11
- イ．13/2
- ウ．11/2
- エ．7
正解：ウ．11/2

解説：S=(1/2)|x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)|=(1/2)|1(2-5)+4(5-1)+2(1-2)|=(1/2)|-3+16-2|=11/2。
問347．2直線 2x+y-5=0 と x-y-1=0 の交点の座標を求めよ。
- ア．(1, 2)
- イ．(2, -1)
- ウ．(3, 2)
- エ．(2, 1)
正解：エ．(2, 1)

解説：辺々加えると3x-6=0よりx=2。x-y-1=0に代入し2-y-1=0よりy=1。交点(2,1)。
問348．tanθ=-3/4 で θ が第2象限の角のとき、sinθ の値を求めよ。
- ア．3/5
- イ．-3/5
- ウ．4/5
- エ．-4/5
正解：ア．3/5

解説：1+tan^2θ=1/cos^2θ=1+9/16=25/16よりcos^2θ=16/25。第2象限でcosθ<0だからcosθ=-4/5。sinθ=tanθ・cosθ=(-3/4)(-4/5)=3/5。
問349．0≦θ<2π において sinθ=cosθ を満たす θ をすべて求めよ。
- ア．π/4, 3π/4
- イ．π/4, 5π/4
- ウ．3π/4, 7π/4
- エ．π/4, 7π/4
正解：イ．π/4, 5π/4

解説：両辺をcosθで割るとtanθ=1（cosθ=0は不適）。θ=π/4, 5π/4。
問350．2点(1,3), (5,7)を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式を求めよ。
- ア．y=x+2
- イ．y=-x+2
- ウ．y=-x+8
- エ．y=-x+5
正解：ウ．y=-x+8

解説：中点(3,5)。線分の傾き=(7-3)/(5-1)=1なので垂直二等分線の傾きは-1。y-5=-1(x-3)よりy=-x+8。
問351．sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。これはサインの加法定理。例えばsin75°=sin(45°+30°)の計算に用いる。
問352．cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。和のときは符号がマイナスになる。
問353．sin2θ=2sinθcosθ である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。これはサインの2倍角の公式。sin(θ+θ)の加法定理から導かれる。
問354．cos2θ=2cos^2θ+1 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは cos2θ=2cos^2θ-1。符号がマイナスである。cos^2θ-sin^2θ, 1-2sin^2θ とも書ける。
問355．sin^2θ+cos^2θ=1 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。三角関数の相互関係の基本公式。単位円上の点の座標から導かれる。
問356．1+tan^2θ=1/sin^2θ である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは 1+tan^2θ=1/cos^2θ。両辺をcos^2θで割って導かれる。
問357．180°を弧度法で表すと π ラジアンである。

正解：○（正しい）

解説：正しい。半円の弧の長さは半径×πで、180°=πラジアンが基準となる。
問358．90°を弧度法で表すと π/3 ラジアンである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは π/2 ラジアン。90°=90/180・π=π/2。π/3は60°にあたる。
問359．半径r, 中心角θ(ラジアン)の扇形の弧の長さは l=rθ である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。弧度法での弧の長さの公式。中心角と半径の積で求まる。
問360．半径r, 中心角θ(ラジアン)の扇形の面積は S=r^2θ である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは S=(1/2)r^2θ。または S=(1/2)rl（lは弧の長さ）で求める。
問361．2点(x1,y1), (x2,y2)間の距離は √((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。座標平面上の2点間の距離の公式。三平方の定理から導かれる。
問362．2点A(x1,y1), B(x2,y2)を m:n に内分する点は ((nx1+mx2)/(m+n), (ny1+my2)/(m+n)) である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。内分点の公式。比の係数が反対側の座標にかかる点に注意。
問363．中心(a,b), 半径rの円の方程式は (x-a)^2+(y-b)^2=r である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは (x-a)^2+(y-b)^2=r^2。右辺は半径の2乗である。
問364．円 x^2+y^2=r^2 上の点(x1,y1)における接線の方程式は x1・x+y1・y=r^2 である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。原点中心の円の接線公式。x^2をx1・xに、y^2をy1・yに置き換える。
問365．2直線が垂直であるための条件は、傾きの積が1に等しいことである。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは傾きの積が-1に等しいこと。例えば傾き2と-1/2は積が-1で垂直。
問366．2直線が平行であるための条件は、2直線の傾きが等しいことである。

正解：○（正しい）

解説：正しい。傾きが等しく切片が異なれば平行。一致する場合も傾きは等しい。
問367．点(x0,y0)と直線 ax+by+c=0 の距離は |ax0+by0+c|/√(a^2+b^2) である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。点と直線の距離の公式。分子は絶対値、分母は係数の2乗和の平方根。
問368．円と直線の位置関係で、中心と直線の距離が半径より大きいとき、円と直線は2点で交わる。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは距離が半径より大きいとき共有点なし。距離<半径のとき2点で交わる。
問369．三角関数の合成 a sinθ+b cosθ=r sin(θ+α) において r=√(a^2+b^2) である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。合成の振幅rは係数の2乗和の平方根。αはcosα=a/r, sinα=b/rで定まる。
問370．関数 y=sin(kθ) (k>0) の周期は 2πk である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは 2π/|k|。例えばy=sin2θの周期はπ、y=sin(θ/2)の周期は4π。
問371．半角の公式より sin^2(θ/2)=(1+cosθ)/2 である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは sin^2(θ/2)=(1-cosθ)/2。cos^2(θ/2)=(1+cosθ)/2 と混同しないこと。
問372．不等式 y>f(x) の表す領域は、曲線 y=f(x) の上側の部分（境界を含まない）である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。yがf(x)より大きい領域は曲線の上側。不等号にイコールがないので境界は含まない。
問373．不等式 x^2+y^2>r^2 (r>0) の表す領域は、中心が原点で半径rの円の内部である。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは円の外部。x^2+y^2<r^2 が内部、x^2+y^2>r^2 が外部を表す。
問374．tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) である。

正解：○（正しい）

解説：正しい。タンジェントの加法定理。分母の符号がマイナスである点に注意。
問375．2点を結ぶ線分を t:(1-t) (0<t<1) に内分する点は、線分の外部（延長上）にある。

正解：×（誤り）

解説：誤り。正しくは、0<t<1 のとき t:(1-t) に内分する点は線分上（両端の間）にある。線分の延長上にあるのは外分点である。

数検2級（実用数学技能検定 2級） 全分野の一問一答

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