数検1級（実用数学技能検定 1級）「線形代数（行列・行列式・固有値）」の一問一答

数検1級（実用数学技能検定 1級）の線形代数（行列・行列式・固有値）に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．2次正方行列 A=[[3,1],[2,4]] の行列式 det(A) を求めよ。

   • ア．10
   • イ．14
   • ウ．8
   • エ．12

   正解：ア．10

   解説：det(A)=3·4−1·2=12−2=10。たすき掛けで計算。検算: トレース7, 固有値の積=det=10 と整合(λ^2−7λ+10=(λ−2)(λ−5))。

2. 問2．2次正方行列 A=[[5,2],[3,4]] の行列式 det(A) を求めよ。

   • ア．20
   • イ．14
   • ウ．26
   • エ．11

   正解：イ．14

   解説：det(A)=5·4−2·3=20−6=14。検算: 固有方程式 λ^2−9λ+14=(λ−2)(λ−7), 積=14 と一致。

3. 問3．3次正方行列 A=[[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]] の行列式 det(A) を求めよ。

   • ア．0
   • イ．−1
   • ウ．1
   • エ．5

   正解：ウ．1

   解説：サラスで 1(0−24)−2(0−20)+3(0−5)=−24+40−15=1。検算: 第1列で余因子展開 1·(1·0−4·6)−0+5·(2·4−3·1)=−24+5·5=−24+25=1 と一致。

4. 問4．行列の積 [[1,2],[3,4]]·[[0,1],[1,0]] を求めよ。

   • ア．[[1,2],[4,3]]
   • イ．[[1,2],[3,4]]
   • ウ．[[2,1],[3,4]]
   • エ．[[2,1],[4,3]]

   正解：エ．[[2,1],[4,3]]

   解説：右からの列交換になる。1行: (1·0+2·1, 1·1+2·0)=(2,1)。2行: (3·0+4·1,3·1+4·0)=(4,3)。よって[[2,1],[4,3]]。検算: 各成分を再計算し一致。

5. 問5．行列 A=[[2,0],[0,3]] の3乗 A^3 を求めよ。

   • ア．[[8,0],[0,27]]
   • イ．[[6,0],[0,9]]
   • ウ．[[8,0],[0,9]]
   • エ．[[6,0],[0,27]]

   正解：ア．[[8,0],[0,27]]

   解説：対角行列のべき乗は各対角成分のべき乗。2^3=8, 3^3=27。よって[[8,0],[0,27]]。検算: A^2=[[4,0],[0,9]], A^2·A=[[8,0],[0,27]] と一致。

6. 問6．2次正方行列 A=[[4,7],[2,6]] の逆行列を求めよ。

   • ア．(1/10)[[6,7],[2,4]]
   • イ．(1/10)[[6,−7],[−2,4]]
   • ウ．(1/10)[[−6,7],[2,−4]]
   • エ．(1/10)[[4,7],[2,6]]

   正解：イ．(1/10)[[6,−7],[−2,4]]

   解説：A=[[a,b],[c,d]] の逆行列は、行列式 ad−bc≠0 のとき (1/(ad−bc))[[d,−b],[−c,a]]（行列式で割り、対角成分を入れ替え、残りの成分の符号を変える）。ここでは det=4·6−7·2=10 なので A^(-1)=(1/10)[[6,−7],[−2,4]]。検算: A·A^(-1)=(1/10)[[24−14,−28+28],[12−12,−14+24]]=[[1,0],[0,1]]。[[6,7],[2,4]] は符号の変え忘れ、[[−6,7],[2,−4]] は符号を変える成分の取り違え、[[4,7],[2,6]] は A を行列式で割っただけのもの。

   根拠： 京都大学OCW ILAS教材作成チーム「2次の正則行列と特異行列」（2015年3月） 3ページ 命題（正則⇔ad−bc≠0、A^(-1)=1/(ad−bc)(d −b; −c a)）・5ページ「2次の逆行列（覚え方）」（割って→入れ替え→符号を変える）

7. 問7．行列 A=[[1,2],[2,4]] の階数(rank)を求めよ。

   • ア．0
   • イ．2
   • ウ．1
   • エ．3

   正解：ウ．1

   解説：第2行=第1行×2なので行は1次従属。det=1·4−2·2=0。独立な行は1本。rank=1。検算: 0でない小行列の最大次数は1次(成分1)なので rank=1 と一致。

8. 問8．行列 A=[[2,1],[1,2]] の固有値をすべて求めよ。

   • ア．λ=−1, 3
   • イ．λ=2, 2
   • ウ．λ=0, 4
   • エ．λ=1, 3

   正解：エ．λ=1, 3

   解説：det(A−λI)=(2−λ)^2−1=λ^2−4λ+3=(λ−1)(λ−3)=0。λ=1,3。検算: 和=4=トレース, 積=3=det と一致。

9. 問9．行列 A=[[3,0],[0,5]] のトレース tr(A) を求めよ。

   • ア．8
   • イ．15
   • ウ．2
   • エ．0

   正解：ア．8

   解説：トレースは対角成分の和。3+5=8。検算: 固有値3,5の和=8=トレース と一致。

10. 問10．連立方程式 2x+y=5, x+3y=10 をクラメルの公式で解いたとき x の値を求めよ。

    • ア．2
    • イ．1
    • ウ．3
    • エ．5

    正解：イ．1

    解説：係数行列式 D=2·3−1·1=5。D_x=det[[5,1],[10,3]]=15−10=5。x=D_x/D=5/5=1。検算: 元式に x=1,y=3 代入: 2+3=5, 1+9=10 成立。

11. 問11．ベクトル a=(1,2,2) のノルム |a| を求めよ。

    • ア．9
    • イ．√5
    • ウ．3
    • エ．2√2

    正解：ウ．3

    解説：|a|=√(1^2+2^2+2^2)=√(1+4+4)=√9=3。検算: 9の平方根は3, 整数で確認。

12. 問12．ベクトル a=(1,2,3), b=(4,5,6) の内積 a·b を求めよ。

    • ア．36
    • イ．30
    • ウ．28
    • エ．32

    正解：エ．32

    解説：a·b=1·4+2·5+3·6=4+10+18=32。検算: 各項を再加算 4+10=14, 14+18=32 と一致。

13. 問13．行列 A=[[2,1],[0,3]] に対しケイリー・ハミルトンの定理が与える等式 A^2−5A+7I=O は成り立つか。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。固有方程式は λ^2−5λ+6=0 なので、ケイリー・ハミルトンの定理より A^2−5A+6I=O が成り立つ。+7I では成立しない。検算: tr=5, det=6 より λ^2−5λ+6。

14. 問14．行列 A=[[6,2],[2,3]] の行列式 det(A) を求めよ。

    • ア．14
    • イ．18
    • ウ．22
    • エ．10

    正解：ア．14

    解説：det=6·3−2·2=18−4=14。検算: 固有方程式 λ^2−9λ+14, 積14 と一致。

15. 問15．3次の行列式 det[[2,0,1],[1,3,2],[0,1,1]] を求めよ。

    • ア．5
    • イ．3
    • ウ．7
    • エ．1

    正解：イ．3

    解説：第1列展開: 2·(3·1−2·1)−1·(0·1−1·1)+0=2·1−1·(−1)=2+1=3。検算: サラスの方法で 6+0+1−(0+4+0)=7−4=3 と一致。

16. 問16．行列 A=[[1,1],[0,1]] の n乗 A^n の(1,2)成分を求めよ。

    • ア．2n
    • イ．n^2
    • ウ．n
    • エ．1

    正解：ウ．n

    解説：A^n=[[1,n],[0,1]]。(1,2)成分はn。検算: A^2=[[1,2],[0,1]], A^3=[[1,3],[0,1]] と帰納的に一致。

17. 問17．行列 A=[[0,−1],[1,0]] の固有値をすべて求めよ。

    • ア．λ=1, −1
    • イ．λ=±1
    • ウ．λ=0, 1
    • エ．λ=±i

    正解：エ．λ=±i

    解説：det(A−λI)=λ^2+1=0。λ=±i。検算: トレース0=固有値の和(i+(−i)=0), det=1=積(i·(−i)=1) と一致。

18. 問18．単位行列 I (2次) とゼロ行列 O について A+O=A は任意の2次行列で成り立つ。

    正解：○（正しい）

    解説：ゼロ行列を加えても各成分は不変なので A+O=A は常に成立。検算: 成分ごとに a_ij+0=a_ij と一致。

19. 問19．行列 A=[[2,4],[1,2]] は逆行列を持つか。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは、det(A)=2·2−4·1=4−4=0 なので A は正則でなく逆行列を持たない。検算: 第2行×2=第1行で1次従属、rank=1<2 で非正則と一致。

20. 問20．行列 A=[[4,2],[1,3]] の固有値をすべて求めよ。

    • ア．λ=2, 5
    • イ．λ=1, 6
    • ウ．λ=3, 4
    • エ．λ=2, 4

    正解：ア．λ=2, 5

    解説：det(A−λI)=(4−λ)(3−λ)−2=λ^2−7λ+10=(λ−2)(λ−5)=0。λ=2,5。検算: 和7=トレース, 積10=det(=12−2=10) と一致。

21. 問21．連立方程式 3x+2y=7, x−y=−1 を解いたときの y の値を求めよ。

    • ア．1
    • イ．2
    • ウ．3
    • エ．−1

    正解：イ．2

    解説：D=3·(−1)−2·1=−5。D_y=det[[3,7],[1,−1]]=−3−7=−10。y=−10/−5=2。検算: x−y=−1→x=1, 3·1+2·2=7 成立。

22. 問22．行列の積 [[1,0,2],[0,3,1]]·[[2],[1],[0]] を求めよ。

    • ア．[[4],[3]]
    • イ．[[2],[4]]
    • ウ．[[2],[3]]
    • エ．[[2],[1]]

    正解：ウ．[[2],[3]]

    解説：(2×3)·(3×1)=(2×1)。1行: 1·2+0·1+2·0=2。2行: 0·2+3·1+1·0=3。よって[[2],[3]]。検算: 各内積を再計算し一致。

23. 問23．ベクトル a=(2,−1,2) と b=(1,2,2) の内積 a·b を求めよ。

    • ア．−4
    • イ．8
    • ウ．0
    • エ．4

    正解：エ．4

    解説：a·b=2·1+(−1)·2+2·2=2−2+4=4。検算: 順に 2−2=0, 0+4=4 と一致。

24. 問24．行列 A=[[1,2,1],[2,4,2],[3,6,3]] の階数(rank)を求めよ。

    • ア．1
    • イ．2
    • ウ．3
    • エ．0

    正解：ア．1

    解説：全行が(1,2,1)の定数倍(2倍,3倍)で互いに比例。独立行は1本。rank=1。検算: 任意の2次小行列式が0(例 det[[1,2],[2,4]]=0)で rank=1 と一致。

25. 問25．行列 A=[[5,4],[2,3]] のトレースと行列式の組を求めよ。

    • ア．tr=8, det=15
    • イ．tr=8, det=7
    • ウ．tr=7, det=8
    • エ．tr=10, det=7

    正解：イ．tr=8, det=7

    解説：tr=5+3=8。det=5·3−4·2=15−8=7。検算: 固有方程式 λ^2−8λ+7=(λ−1)(λ−7), 和8積7 と一致。

26. 問26．行列 A=[[2,1],[1,2]] を対角化したとき得られる対角行列 D を求めよ(固有値を昇順に並べる)。

    • ア．[[3,0],[0,1]]
    • イ．[[2,0],[0,2]]
    • ウ．[[1,0],[0,3]]
    • エ．[[0,0],[0,4]]

    正解：ウ．[[1,0],[0,3]]

    解説：固有値はλ=1,3(λ^2−4λ+3)。対角化により D=diag(1,3)。検算: tr(D)=4=tr(A), det(D)=3=det(A) と一致。

27. 問27．行列 A=[[7,0],[0,7]] のとき A^2 を求めよ。

    • ア．[[7,0],[0,49]]
    • イ．[[14,0],[0,14]]
    • ウ．[[49,0],[0,7]]
    • エ．[[49,0],[0,49]]

    正解：エ．[[49,0],[0,49]]

    解説：A=7I なので A^2=49I=[[49,0],[0,49]]。検算: 対角成分 7·7=49, 非対角0 と一致。

28. 問28．3次正方行列 A=[[1,0,0],[0,2,0],[0,0,3]] の行列式を求めよ。

    • ア．6
    • イ．5
    • ウ．9
    • エ．0

    正解：ア．6

    解説：対角行列の行列式は対角成分の積。1·2·3=6。検算: 固有値1,2,3の積=6 と一致。

29. 問29．行列 A=[[3,4],[0,3]] の固有値をすべて求めよ。

    • ア．λ=3, 4
    • イ．λ=3 (重解)
    • ウ．λ=0, 3
    • エ．λ=3, 7

    正解：イ．λ=3 (重解)

    解説：上三角行列の固有値は対角成分。重複してλ=3(重解)。検算: 固有方程式(3−λ)^2=0→λ=3(重複)と一致。

30. 問30．ベクトル a=(1,0,0), b=(1,1,0) は直交するか。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。a·b=1·1+0·1+0·0=1≠0 なので直交しない。内積が0でないため直交ではない。検算: 成分積の和=1。

31. 問31．連立方程式 x+y+z=6, 2y+z=5, 3z=9 を解いたときの x の値を求めよ。

    • ア．1
    • イ．3
    • ウ．2
    • エ．4

    正解：ウ．2

    解説：後退代入: z=3, 2y+3=5→y=1, x+1+3=6→x=2。検算: x+y+z=2+1+3=6 成立。

32. 問32．行列 A=[[2,3],[1,4]] に対し A^2 を求めよ。

    • ア．[[7,15],[6,19]]
    • イ．[[7,18],[6,16]]
    • ウ．[[4,9],[1,16]]
    • エ．[[7,18],[6,19]]

    正解：エ．[[7,18],[6,19]]

    解説：A^2: (1,1)=2·2+3·1=7, (1,2)=2·3+3·4=18, (2,1)=1·2+4·1=6, (2,2)=1·3+4·4=19。[[7,18],[6,19]]。検算: tr(A^2)=26=固有値の二乗和。固有値λ^2−6λ+5→1,5, 1+25=26 と一致。

33. 問33．行列 A=[[1,2],[3,4]] のトレース tr(A) を求めよ。

    • ア．5
    • イ．10
    • ウ．3
    • エ．4

    正解：ア．5

    解説：対角成分の和 1+4=5。検算: 固有方程式 λ^2−5λ−2, 和5 と一致。

34. 問34．行列式の性質: 2つの行を入れ替えても行列式の符号は変化しない。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。行(または列)の入れ替えは行列式の符号を反転させる(−1倍)。符号が変化しないというのは誤り。

35. 問35．行列 A=[[1,−2],[3,k]] が正則でない(逆行列を持たない)ような k の値を求めよ。

    • ア．6
    • イ．−6
    • ウ．−2
    • エ．3

    正解：イ．−6

    解説：det=1·k−(−2)·3=k+6=0 のとき非正則。よってk=−6。検算: k=−6 で det=−6+6=0、第1行×(−3)=第2行で従属、一致。

36. 問36．行列 A=[[0,2],[2,0]] の固有値をすべて求めよ。

    • ア．λ=2, 2
    • イ．λ=0, 4
    • ウ．λ=2, −2
    • エ．λ=±√2

    正解：ウ．λ=2, −2

    解説：det(A−λI)=λ^2−4=0。λ=±2。検算: トレース0=和(2+(−2)), det=−4=積(2·(−2)) と一致。

37. 問37．行列の積 [[2,1],[0,1]]·[[1,3],[2,0]] を求めよ。

    • ア．[[4,3],[2,0]]
    • イ．[[4,6],[2,3]]
    • ウ．[[2,3],[2,0]]
    • エ．[[4,6],[2,0]]

    正解：エ．[[4,6],[2,0]]

    解説：(1,1)=2·1+1·2=4, (1,2)=2·3+1·0=6, (2,1)=0+2=2, (2,2)=0+0=0。[[4,6],[2,0]]。検算: 各内積再確認、一致。

38. 問38．ベクトル a=(3,4) のノルム |a| を求めよ。

    • ア．5
    • イ．7
    • ウ．√7
    • エ．25

    正解：ア．5

    解説：|a|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。検算: 3-4-5 の直角三角形比、整数5 で一致。

39. 問39．3次の行列式 det[[1,2,0],[0,1,3],[2,0,1]] を求めよ。

    • ア．7
    • イ．13
    • ウ．11
    • エ．1

    正解：イ．13

    解説：第1行展開: 1·(1·1−3·0)−2·(0·1−3·2)+0=1+12=13。検算: サラスの方法で 1+12+0−(0+0+0)=13 と一致。

40. 問40．行列 A=[[2,0,0],[1,2,0],[0,1,2]] の固有値(重複度込み)を求めよ。

    • ア．λ=2, 2, 1
    • イ．λ=2, 1, 0
    • ウ．λ=2 (重複度3)
    • エ．λ=6 (単根)

    正解：ウ．λ=2 (重複度3)

    解説：下三角なので固有値は対角成分2,2,2(三重解)。検算: 固有方程式(2−λ)^3=0→λ=2(重複度3)と一致。

41. 問41．ベクトル a=(1,1), b=(2,2) は1次独立か。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。det[[1,2],[1,2]]=1·2−2·1=0 で、b=2a と平行。よって1次従属であり1次独立ではない。検算: 行列式0→従属。

42. 問42．行列 A=[[1,2],[2,1]] の逆行列を求めよ。

    • ア．(1/3)[[−1,−2],[−2,−1]]
    • イ．(1/3)[[1,2],[2,1]]
    • ウ．(1/3)[[1,−2],[−2,1]]
    • エ．(1/3)[[−1,2],[2,−1]]

    正解：エ．(1/3)[[−1,2],[2,−1]]

    解説：det=1−4=−3。A^(-1)=(1/−3)[[1,−2],[−2,1]]=(1/3)[[−1,2],[2,−1]]。検算: A·A^(-1)=(1/3)[[−1+4,2−2],[−2+2,4−1]]=(1/3)[[3,0],[0,3]]=I と一致。

43. 問43．連立方程式 4x+3y=18, 2x+y=8 を解いたときの x の値を求めよ。

    • ア．3
    • イ．4
    • ウ．2
    • エ．6

    正解：ア．3

    解説：D=4·1−3·2=−2。D_x=det[[18,3],[8,1]]=18−24=−6。x=−6/−2=3。検算: 2·3+y=8→y=2, 4·3+3·2=18 成立。

44. 問44．行列 A=[[1,0],[0,−1]] のとき A^2 を求めよ。

    • ア．[[1,0],[0,−1]]
    • イ．[[1,0],[0,1]]
    • ウ．[[−1,0],[0,1]]
    • エ．[[1,0],[0,2]]

    正解：イ．[[1,0],[0,1]]

    解説：A^2=diag(1^2,(−1)^2)=diag(1,1)=I=[[1,0],[0,1]]。検算: 1·1=1, (−1)·(−1)=1 で単位行列、一致。

45. 問45．行列 A=[[3,1],[0,2]] の行列式を余因子展開で求めよ。

    • ア．3
    • イ．5
    • ウ．6
    • エ．7

    正解：ウ．6

    解説：上三角なので対角積 3·2=6。検算: 一般式 3·2−1·0=6 と一致。

46. 問46．行列 A=[[2,2],[2,2]] の固有値をすべて求めよ。

    • ア．λ=2, −2
    • イ．λ=2, 2
    • ウ．λ=4, 4
    • エ．λ=0, 4

    正解：エ．λ=0, 4

    解説：det(A−λI)=(2−λ)^2−4=λ^2−4λ=λ(λ−4)=0。λ=0,4。検算: 和4=トレース, 積0=det(=4−4=0) と一致。

47. 問47．ベクトル a=(2,3) と b=(−3,2) の内積 a·b を求めよ。

    • ア．0
    • イ．12
    • ウ．−12
    • エ．6

    正解：ア．0

    解説：a·b=2·(−3)+3·2=−6+6=0。内積0より直交。検算: 各項 −6, +6 の和0 と一致。

48. 問48．行列 A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]] の階数(rank)を求めよ。

    • ア．2
    • イ．1
    • ウ．3
    • エ．0

    正解：イ．1

    解説：全行が同一(1,1,1)で独立行は1本。rank=1。検算: 任意の2次小行列式が0(全成分1)で rank=1 と一致。

49. 問49．ケイリー・ハミルトンの定理によれば、n次正方行列 A はその固有多項式に代入するとゼロ行列になる。

    正解：○（正しい）

    解説：ケイリー・ハミルトンの定理: 固有多項式 φ(λ)=det(λI−A) に対し φ(A)=O が成り立つ。検算: 2次 A=[[2,1],[0,3]] で A^2−5A+6I=O を成分計算し成立、定理と一致。

50. 問50．行列 A=[[5,−2],[−2,8]] のトレースを求めよ。

    • ア．3
    • イ．36
    • ウ．13
    • エ．−4

    正解：ウ．13

    解説：対角成分の和 5+8=13。検算: 固有値の和=トレースで一致(固有方程式 λ^2−13λ+36)。

51. 問51．行列 A=[[1,2],[0,1]] の逆行列を求めよ。

    • ア．[[−1,2],[0,−1]]
    • イ．[[1,2],[0,1]]
    • ウ．[[1,0],[−2,1]]
    • エ．[[1,−2],[0,1]]

    正解：エ．[[1,−2],[0,1]]

    解説：det=1。A^(-1)=[[1,−2],[0,1]]。検算: A·A^(-1)=[[1,−2+2],[0,1]]=[[1,0],[0,1]]=I と一致。

52. 問52．3次の行列式 det[[3,1,0],[1,3,1],[0,1,3]] を求めよ。

    • ア．21
    • イ．27
    • ウ．18
    • エ．24

    正解：ア．21

    解説：第1行展開: 3·(3·3−1·1)−1·(1·3−1·0)+0=3·8−1·3=24−3=21。検算: 三重対角の漸化式 D3=3D2−D1, D1=3,D2=8 →3·8−3=21 と一致。

53. 問53．行列 A=[[6,−2],[−2,6]] の固有値をすべて求めよ。

    • ア．λ=6, 6
    • イ．λ=4, 8
    • ウ．λ=2, 10
    • エ．λ=4, 6

    正解：イ．λ=4, 8

    解説：対称行列。固有値=6±2=4,8(対角6, 非対角−2の循環型)。det(A−λI)=(6−λ)^2−4=0→λ=6±2。λ=4,8。検算: 和12=トレース, 積32=det(36−4) と一致。

54. 問54．行列の積 [[1,2],[3,4]]·[[2,0],[1,2]] の(1,1)成分を求めよ。

    • ア．8
    • イ．2
    • ウ．4
    • エ．6

    正解：ウ．4

    解説：(1,1)=1·2+2·1=2+2=4。検算: 第1行(1,2)と第1列(2,1)の内積=4 と一致。

55. 問55．ベクトル a=(1,2,2,4) のノルム |a| を求めよ。

    • ア．25
    • イ．7
    • ウ．√21
    • エ．5

    正解：エ．5

    解説：|a|=√(1+4+4+16)=√25=5。検算: 1+4=5, +4=9, +16=25, √25=5 と一致。

56. 問56．行列 A=[[2,1],[0,2]] は対角化可能か。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは、固有値2(重複度2)だが、A−2I=[[0,1],[0,0]]の階数1で固有ベクトル空間は1次元しかなく、独立な固有ベクトルが2本取れないため対角化不可能。検算: ジョルダンブロックの非自明型で対角化不可と一致。

57. 問57．連立方程式 x+2y=4, 3x+4y=10 をクラメルで解いたときの y の値を求めよ。

    • ア．1
    • イ．2
    • ウ．3
    • エ．4

    正解：ア．1

    解説：D=1·4−2·3=−2。D_y=det[[1,4],[3,10]]=10−12=−2。y=−2/−2=1。検算: x+2·1=4→x=2, 3·2+4·1=10 成立。

58. 問58．行列 A=[[4,0,0],[0,4,0],[0,0,4]] のとき A^2 のトレースを求めよ。

    • ア．12
    • イ．48
    • ウ．64
    • エ．16

    正解：イ．48

    解説：A=4I, A^2=16I, トレース=16·3=48。検算: 各対角成分4^2=16, 3個で48 と一致。

59. 問59．行列 A=[[1,2],[2,4]] の固有値をすべて求めよ。

    • ア．λ=2, 3
    • イ．λ=1, 4
    • ウ．λ=0, 5
    • エ．λ=5, 5

    正解：ウ．λ=0, 5

    解説：det(A−λI)=(1−λ)(4−λ)−4=λ^2−5λ=λ(λ−5)=0。λ=0,5。検算: 和5=トレース, 積0=det(4−4=0, rank1のため0固有値) と一致。

60. 問60．行列 A=[[2,−1],[−1,2]] の行列式を求めよ。

    • ア．2
    • イ．5
    • ウ．4
    • エ．3

    正解：エ．3

    解説：det=2·2−(−1)·(−1)=4−1=3。検算: 固有値は1と3で、その積1×3=3が行列式と一致する。

61. 問61．行列 A=[[3,2],[2,3]] を対角化したときの対角行列(固有値昇順)を求めよ。

    • ア．[[1,0],[0,5]]
    • イ．[[3,0],[0,3]]
    • ウ．[[5,0],[0,1]]
    • エ．[[1,0],[0,3]]

    正解：ア．[[1,0],[0,5]]

    解説：固有値=3±2=1,5。D=diag(1,5)。検算: tr=6=tr(A), det=5=det(A)(9−4) と一致。

62. 問62．ベクトル a=(1,2,3), b=(2,4,6) は1次独立か。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは、b=2a で一方が他方の定数倍なので1次従属(従属)である。検算: a,bを並べた行列のrankは1で2未満、独立でないと一致。

63. 問63．行列の積 [[1,1],[1,1]]^2 を求めよ。

    • ア．[[1,1],[1,1]]
    • イ．[[2,2],[2,2]]
    • ウ．[[2,2],[2,4]]
    • エ．[[4,4],[4,4]]

    正解：イ．[[2,2],[2,2]]

    解説：(1,1)=1·1+1·1=2, 全成分が2。[[2,2],[2,2]]。検算: 各内積1·1+1·1=2で全成分一致。固有値0,2→A^2固有値0,4, tr(A^2)=4=2+2 と一致。

64. 問64．行列 A=[[2,0,1],[0,3,0],[1,0,2]] の行列式を求めよ。

    • ア．6
    • イ．12
    • ウ．9
    • エ．3

    正解：ウ．9

    解説：第2行で展開: 3·det[[2,1],[1,2]]=3·(4−1)=3·3=9。検算: サラス 2·3·2+0+0−(1·3·1+0+0)=12−3=9 と一致。

65. 問65．行列 A=[[5,4],[1,2]] の固有値をすべて求めよ。

    • ア．λ=1, 5
    • イ．λ=2, 5
    • ウ．λ=3, 4
    • エ．λ=1, 6

    正解：エ．λ=1, 6

    解説：det(A−λI)=(5−λ)(2−λ)−4=λ^2−7λ+6=(λ−1)(λ−6)=0。λ=1,6。検算: 和7=トレース, 積6=det(10−4) と一致。

66. 問66．ベクトル a=(2,2,1) のノルム |a| を求めよ。

    • ア．3
    • イ．√5
    • ウ．9
    • エ．5

    正解：ア．3

    解説：|a|=√(4+4+1)=√9=3。検算: 4+4=8, +1=9, √9=3 と一致。

67. 問67．行列 A=[[1,3],[2,2]] の行列式を求めよ。

    • ア．4
    • イ．−4
    • ウ．2
    • エ．−2

    正解：イ．−4

    解説：det=1·2−3·2=2−6=−4。検算: 固有方程式 λ^2−3λ−4=(λ−4)(λ+1), 積=−4=det と一致。

68. 問68．連立方程式 5x+2y=16, 3x+4y=18 を解いたときの x の値を求めよ。

    • ア．4
    • イ．3
    • ウ．2
    • エ．1

    正解：ウ．2

    解説：D=5·4−2·3=14。D_x=det[[16,2],[18,4]]=64−36=28。x=28/14=2。検算: 5·2+2y=16→y=3, 3·2+4·3=18 成立。

69. 問69．行列 A=[[2,1],[1,2]] の逆行列を求めよ。

    • ア．(1/3)[[−2,1],[1,−2]]
    • イ．(1/3)[[2,1],[1,2]]
    • ウ．(1/3)[[1,−2],[−2,1]]
    • エ．(1/3)[[2,−1],[−1,2]]

    正解：エ．(1/3)[[2,−1],[−1,2]]

    解説：det=4−1=3。A^(-1)=(1/3)[[2,−1],[−1,2]]。検算: A·A^(-1)=(1/3)[[4−1,−2+2],[2−2,−1+4]]=(1/3)[[3,0],[0,3]]=I と一致。

70. 問70．行列 A=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] の行列式を求めよ。

    • ア．0
    • イ．1
    • ウ．−3
    • エ．6

    正解：ア．0

    解説：各行が等差で1次従属(行2−行1=行3−行2=(3,3,3))。det=0。検算: サラス 45+84+96−(105+48+72)=225−225=0 と一致。

71. 問71．行列 A=[[2,0],[0,2]] の固有値をすべて求めよ。

    • ア．λ=0, 2
    • イ．λ=2 (重複度2)
    • ウ．λ=2, 4
    • エ．λ=±2

    正解：イ．λ=2 (重複度2)

    解説：スカラー行列2Iなので固有値は2(重複度2)。検算: (2−λ)^2=0→λ=2(重根)と一致。

72. 問72．行列 A=[[1,4],[1,1]] のトレースと行列式の組を求めよ。

    • ア．tr=3, det=−3
    • イ．tr=2, det=3
    • ウ．tr=2, det=−3
    • エ．tr=2, det=−4

    正解：ウ．tr=2, det=−3

    解説：tr=1+1=2。det=1·1−4·1=−3。検算: 固有方程式 λ^2−2λ−3=(λ−3)(λ+1), 和2積−3 と一致。

73. 問73．ベクトル a=(1,0,1) と b=(0,1,0) は直交するか。

    正解：○（正しい）

    解説：a·b=1·0+0·1+1·0=0。内積0より直交する。検算: 全項0で和0、直交条件と一致。

74. 問74．行列 A=[[3,−1],[2,0]] のケイリー・ハミルトンによる関係式 A^2−3A+2I=O は成り立つか。

    正解：○（正しい）

    解説：tr=3, det=3·0−(−1)·2=2。固有多項式 λ^2−3λ+2。よって A^2−3A+2I=O。検算: A^2=[[3·3+(−1)·2,3·(−1)],[2·3,2·(−1)]]=[[7,−3],[6,−2]], 3A=[[9,−3],[6,0]], A^2−3A+2I=[[7−9+2,−3+3],[0,−2+2]]=O と一致。

75. 問75．行列 A=[[4,2],[3,−1]] の行列式を求めよ。

    • ア．10
    • イ．−4
    • ウ．2
    • エ．−10

    正解：エ．−10

    解説：det=4·(−1)−2·3=−4−6=−10。検算: 固有方程式 λ^2−3λ−10=(λ−5)(λ+2), 積−10=det と一致。