数検1級（実用数学技能検定 1級）「確率分布・統計的な推測」の一問一答

数検1級（実用数学技能検定 1級）の確率分布・統計的な推測に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．サイコロ1個を1回振るときの出目 X の期待値 E[X] を求めよ。

   • ア．7/2
   • イ．3
   • ウ．21
   • エ．7

   正解：ア．7/2

   解説：E[X]=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=7/2=3.5。検算: 対称性より(1+6)/2=3.5で一致。

2. 問2．サイコロ1個を1回振るときの出目 X の分散 V[X] を求めよ。

   • ア．35/12
   • イ．7/2
   • ウ．91/6
   • エ．35/6

   正解：ア．35/12

   解説：E[X^2]=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6。V[X]=91/6−(7/2)^2=91/6−147/12=35/12。検算: 35/12≒2.917で離散一様分布(n=6)の(n^2−1)/12=35/12と一致。

3. 問3．二項分布 B(10,0.2) に従う X の期待値 E[X] を求めよ。

   • ア．1.6
   • イ．0.2
   • ウ．5
   • エ．2

   正解：エ．2

   解説：E[X]=np=10·0.2=2。検算: 分散np(1−p)=1.6と整合的にE[X]=2。

4. 問4．二項分布 B(10,0.2) に従う X の分散 V[X] を求めよ。

   • ア．2
   • イ．0.8
   • ウ．1.6
   • エ．1.265

   正解：ウ．1.6

   解説：V[X]=np(1−p)=10·0.2·0.8=1.6。検算: 標準偏差√1.6≒1.265で妥当。

5. 問5．二項分布 B(100,0.5) に従う X の標準偏差を求めよ。

   • ア．25
   • イ．50
   • ウ．5
   • エ．2.5

   正解：ウ．5

   解説：V[X]=np(1−p)=100·0.5·0.5=25。標準偏差=√25=5。検算: 5^2=25=V[X]で一致。

6. 問6．ポアソン分布 Po(λ)=Po(3) に従う X の期待値 E[X] を求めよ。

   • ア．3
   • イ．9
   • ウ．√3
   • エ．1.5

   正解：ア．3

   解説：ポアソン分布は E[X]=λ=3。検算: 分散もλ=3で平均=分散の性質と整合。

7. 問7．ポアソン分布 Po(4) に従う X の分散 V[X] を求めよ。

   • ア．2
   • イ．16
   • ウ．4
   • エ．8

   正解：ウ．4

   解説：ポアソン分布は V[X]=λ=4。検算: 平均E[X]=λ=4とも一致(平均=分散)。

8. 問8．ポアソン分布 Po(2) に従う X が X=0 となる確率 P(X=0) を求めよ。e^(−2)≒0.1353 とする。

   • ア．0.2707
   • イ．0.0902
   • ウ．0.6767
   • エ．0.1353

   正解：エ．0.1353

   解説：P(X=0)=e^(−λ)λ^0/0!=e^(−2)≒0.1353。検算: λ^0/0!=1なのでe^(−2)そのもの。

9. 問9．ポアソン分布 Po(2) に従う X が X=1 となる確率 P(X=1) を求めよ。e^(−2)≒0.1353 とする。

   • ア．0.1353
   • イ．0.5413
   • ウ．0.0902
   • エ．0.2707

   正解：エ．0.2707

   解説：P(X=1)=e^(−2)·2^1/1!=0.1353·2=0.2707。検算: P(X=0)=0.1353の2倍で妥当。

10. 問10．標準正規分布 N(0,1) に従う Z について P(Z≦0) を求めよ。

    • ア．0
    • イ．1
    • ウ．0.25
    • エ．0.5

    正解：エ．0.5

    解説：標準正規分布は0について対称なのでP(Z≦0)=0.5。検算: 全確率1の半分=0.5。

11. 問11．正規分布 N(50,100) に従う X を標準化した値 Z は X=60 のときいくらか。

    • ア．0.5
    • イ．2
    • ウ．1
    • エ．10

    正解：ウ．1

    解説：標準偏差σ=√100=10。Z=(60−50)/10=1。検算: σ=10より1σ上方で Z=1。

12. 問12．正規分布 N(100,25) に従う X を標準化した値 Z は X=90 のときいくらか。

    • ア．−2
    • イ．2
    • ウ．−10
    • エ．−0.4

    正解：ア．−2

    解説：σ=√25=5。Z=(90−100)/5=−2。検算: 90は平均より2σ(=10)下なのでZ=−2。

13. 問13．標準正規分布 N(0,1) で P(Z≦1.96)=0.975 とするとき、P(Z>1.96) を求めよ。

    • ア．0.95
    • イ．0.05
    • ウ．0.975
    • エ．0.025

    正解：エ．0.025

    解説：P(Z>1.96)=1−0.975=0.025。検算: 上側と下側で0.975+0.025=1。

14. 問14．標準正規分布で P(Z≦1.96)=0.975 とするとき、P(−1.96≦Z≦1.96) を求めよ。

    • ア．0.975
    • イ．0.90
    • ウ．0.95
    • エ．0.99

    正解：ウ．0.95

    解説：対称性よりP(−1.96≦Z≦1.96)=2·0.975−1=0.95。検算: 両側0.025ずつ除くと1−0.05=0.95。

15. 問15．標準正規分布で Φ(1)=0.8413 とするとき、P(−1≦Z≦1) を求めよ。

    • ア．0.8413
    • イ．0.3174
    • ウ．0.6826
    • エ．0.9544

    正解：ウ．0.6826

    解説：P(−1≦Z≦1)=2Φ(1)−1=2·0.8413−1=0.6826。検算: 約68%で1σ範囲の経験則と一致。

16. 問16．指数分布 Exp(λ)(平均1/λ)で λ=2 のとき期待値 E[X] を求めよ。

    • ア．2
    • イ．0.25
    • ウ．1
    • エ．0.5

    正解：エ．0.5

    解説：指数分布の期待値E[X]=1/λ=1/2=0.5。検算: 分散1/λ^2=0.25, 標準偏差0.5でE[X]と一致。

17. 問17．指数分布 Exp(λ) で λ=2 のとき分散 V[X] を求めよ。

    • ア．0.5
    • イ．4
    • ウ．2
    • エ．0.25

    正解：エ．0.25

    解説：V[X]=1/λ^2=1/4=0.25。検算: 標準偏差√0.25=0.5=E[X]で指数分布の性質と一致。

18. 問18．確率密度関数 f(x)=cx (0≦x≦2, それ以外0) が正規化されるとき定数 c を求めよ。

    • ア．1/4
    • イ．1
    • ウ．1/2
    • エ．2

    正解：ウ．1/2

    解説：∫(0→2)cx dx=c[x^2/2]=c·2=2c=1 より c=1/2。検算: ∫(0→2)(1/2)x dx=(1/2)·2=1で正規化OK。

19. 問19．f(x)=1/2·x (0≦x≦2) を密度とする X の期待値 E[X]=∫xf(x)dx を求めよ。

    • ア．1
    • イ．2/3
    • ウ．2
    • エ．4/3

    正解：エ．4/3

    解説：E[X]=∫(0→2)x·(x/2)dx=(1/2)[x^3/3](0→2)=(1/2)(8/3)=4/3。検算: 右に偏った三角分布で平均>1は妥当。

20. 問20．区間[0,a]の連続一様分布の期待値が3のとき a を求めよ。

    • ア．3
    • イ．12
    • ウ．6
    • エ．1.5

    正解：ウ．6

    解説：一様分布U(0,a)の期待値はa/2=3より a=6。検算: U(0,6)の平均は(0+6)/2=3で一致。

21. 問21．区間[0,6]の連続一様分布の分散 V[X] を求めよ。

    • ア．3
    • イ．12
    • ウ．36
    • エ．6

    正解：ア．3

    解説：U(a,b)の分散は(b−a)^2/12=36/12=3。検算: (6−0)^2/12=3で公式と一致。

22. 問22．確率変数 X,Y が独立で V[X]=4, V[Y]=9 のとき V[X+Y] を求めよ。

    • ア．6
    • イ．36
    • ウ．5
    • エ．13

    正解：エ．13

    解説：独立ならV[X+Y]=V[X]+V[Y]=4+9=13。検算: 共分散0なので加法のみ。

23. 問23．確率変数 X,Y が独立で V[X]=4, V[Y]=9 のとき V[X−Y] を求めよ。

    • ア．−5
    • イ．5
    • ウ．13
    • エ．−13

    正解：ウ．13

    解説：独立ならV[X−Y]=V[X]+V[Y]=4+9=13。検算: 差でも分散は加算(係数の2乗は正)。

24. 問24．E[X]=2, V[X]=3 のとき E[X^2] を求めよ。

    • ア．5
    • イ．11
    • ウ．1
    • エ．7

    正解：エ．7

    解説：V[X]=E[X^2]−(E[X])^2 より E[X^2]=V[X]+(E[X])^2=3+4=7。検算: 7−4=3=V[X]で一致。

25. 問25．確率変数 X に対し Y=3X+2 とするとき E[Y] を E[X]=4 を用いて求めよ。

    • ア．12
    • イ．4
    • ウ．18
    • エ．14

    正解：エ．14

    解説：E[3X+2]=3E[X]+2=3·4+2=14。検算: 線形性で係数3倍+2。

26. 問26．確率変数 X に対し Y=3X+2 とするとき V[Y] を V[X]=5 を用いて求めよ。

    • ア．15
    • イ．17
    • ウ．47
    • エ．45

    正解：エ．45

    解説：V[aX+b]=a^2V[X]=9·5=45。検算: 定数2は分散に影響せず、係数3の2乗倍。

27. 問27．Cov(X,Y)=6, V[X]=4, V[Y]=9 のとき相関係数 ρ を求めよ。

    • ア．0.5
    • イ．6
    • ウ．0.25
    • エ．1

    正解：エ．1

    解説：ρ=Cov/(√V[X]·√V[Y])=6/(2·3)=1。検算: 6/6=1で完全相関。

28. 問28．Cov(X,Y)=−4, σ_X=2, σ_Y=4 のとき相関係数 ρ を求めよ。

    • ア．−0.5
    • イ．0.5
    • ウ．−4
    • エ．−2

    正解：ア．−0.5

    解説：ρ=Cov/(σ_X σ_Y)=−4/(2·4)=−0.5。検算: −4/8=−0.5で範囲[−1,1]内。

29. 問29．母分散 σ^2=36 の母集団から大きさ n=9 の標本を取るとき標本平均の分散を求めよ。

    • ア．36
    • イ．6
    • ウ．4
    • エ．2

    正解：ウ．4

    解説：標本平均の分散=σ^2/n=36/9=4。検算: 標準誤差√4=2=6/3で一致。

30. 問30．母標準偏差 σ=10 の母集団から大きさ n=25 の標本を取るとき標本平均の標準誤差を求めよ。

    • ア．10
    • イ．0.4
    • ウ．4
    • エ．2

    正解：エ．2

    解説：標準誤差=σ/√n=10/√25=10/5=2。検算: 分散σ^2/n=100/25=4, √4=2で一致。

31. 問31．データ {2,4,6,8,10} の標本平均を求めよ。

    • ア．5
    • イ．30
    • ウ．7
    • エ．6

    正解：エ．6

    解説：平均=(2+4+6+8+10)/5=30/5=6。検算: 中央値6とも一致(対称データ)。

32. 問32．データ {2,4,6,8,10} の不偏分散(n−1で割る)を求めよ。

    • ア．8
    • イ．40
    • ウ．6
    • エ．10

    正解：エ．10

    解説：平均6, 偏差平方和=16+4+0+4+16=40。不偏分散=40/(5−1)=10。検算: 標本分散40/5=8より不偏分散10は大きく妥当。

33. 問33．データ {2,4,6,8,10} の標本分散(nで割る)を求めよ。

    • ア．10
    • イ．40
    • ウ．16
    • エ．8

    正解：エ．8

    解説：偏差平方和=40, 標本分散=40/5=8。検算: 標準偏差√8≒2.83でデータ幅8に対し妥当。

34. 問34．独立同分布な X_1,…,X_4 が各 E[X_i]=5 のとき、和 S=X_1+…+X_4 の期待値 E[S] を求めよ。

    • ア．5
    • イ．9
    • ウ．25
    • エ．20

    正解：エ．20

    解説：E[S]=4·5=20。検算: 期待値は線形なので個別の和。

35. 問35．独立同分布な X_1,…,X_4 が各 V[X_i]=3 のとき、和 S=X_1+…+X_4 の分散 V[S] を求めよ。

    • ア．3
    • イ．7
    • ウ．12
    • エ．36

    正解：ウ．12

    解説：独立よりV[S]=4·3=12。検算: 共分散0なので分散は単純加算。

36. 問36．ベルヌーイ試行(成功確率 p=0.3)の1回の試行 X の分散 V[X] を求めよ。

    • ア．0.3
    • イ．0.7
    • ウ．0.21
    • エ．0.09

    正解：ウ．0.21

    解説：V[X]=p(1−p)=0.3·0.7=0.21。検算: B(1,0.3)の分散np(1−p)=0.21で一致。

37. 問37．幾何分布(初成功までの試行回数, p=0.25)の期待値 E[X] を求めよ。

    • ア．4
    • イ．0.25
    • ウ．2
    • エ．16

    正解：ア．4

    解説：幾何分布(試行回数版)の期待値E[X]=1/p=1/0.25=4。検算: 平均4回で1回成功はp=0.25と整合。

38. 問38．袋に赤3個白2個の玉。1個取り出すとき赤である確率を求めよ。

    • ア．2/5
    • イ．1/5
    • ウ．3/5
    • エ．3/2

    正解：ウ．3/5

    解説：P(赤)=3/(3+2)=3/5=0.6。検算: 白の確率2/5=0.4と合わせて1。

39. 問39．事象AとBが独立で P(A)=0.4, P(B)=0.5 のとき P(A∩B) を求めよ。

    • ア．0.2
    • イ．0.9
    • ウ．0.7
    • エ．0.1

    正解：ア．0.2

    解説：独立ならP(A∩B)=P(A)P(B)=0.4·0.5=0.2。検算: 0.2≦min(0.4,0.5)で妥当。

40. 問40．P(A)=0.3, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.1 のとき P(A∪B) を求めよ。

    • ア．0.8
    • イ．0.9
    • ウ．0.7
    • エ．0.6

    正解：ウ．0.7

    解説：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0.3+0.5−0.1=0.7。検算: 0.7≦1で妥当。

41. 問41．P(A)=0.6, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.2 のとき条件付き確率 P(B|A) を求めよ。

    • ア．1/3
    • イ．1/2
    • ウ．2/3
    • エ．1/5

    正解：ア．1/3

    解説：P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0.2/0.6=1/3。検算: 1/3≒0.333で範囲内。

42. 問42．P(A)=0.5, P(A∩B)=0.2 のとき条件付き確率 P(B|A) を求めよ。

    • ア．0.4
    • イ．0.1
    • ウ．0.7
    • エ．0.25

    正解：ア．0.4

    解説：P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0.2/0.5=0.4。検算: 0.4≦1で妥当。

43. 問43．病気の有病率1%、検査の感度(陽性|病気)=0.9、偽陽性率(陽性|健康)=0.1とする。検査陽性のときに病気である確率(ベイズ)を求めよ。

    • ア．0.0833
    • イ．0.9
    • ウ．0.5
    • エ．0.108

    正解：ア．0.0833

    解説：P(陽性)=0.01·0.9+0.99·0.1=0.009+0.099=0.108。P(病|陽)=0.009/0.108=1/12≒0.0833。検算: 0.009/0.108を約分すると1/12。

44. 問44．袋A(赤2白1)と袋B(赤1白3)があり、等確率で袋を選んで1個取る。赤が出たとき袋Aだった確率(ベイズ)を求めよ。

    • ア．8/11
    • イ．2/3
    • ウ．1/2
    • エ．3/11

    正解：ア．8/11

    解説：P(赤)=0.5·(2/3)+0.5·(1/4)=1/3+1/8=11/24。P(A|赤)=(1/3)/(11/24)=8/11。検算: (8/24)/(11/24)=8/11。

45. 問45．標準正規分布で Φ(1.645)=0.95 とするとき、母平均の信頼度90%区間に用いる両側の z 値はおよそいくらか。

    • ア．1.645
    • イ．1.96
    • ウ．2.576
    • エ．1.282

    正解：ア．1.645

    解説：信頼度90%は両側に5%ずつ残すのでz=1.645(片側0.95点)。検算: 1−0.90=0.10を2分し片側0.05、Φ^(−1)(0.95)=1.645。

46. 問46．母標準偏差 σ=20 既知、標本数 n=100、標本平均 50。信頼度95%(z=1.96)の母平均区間の幅の半分(誤差限界)を求めよ。

    • ア．1.96
    • イ．3.92
    • ウ．7.84
    • エ．2

    正解：イ．3.92

    解説：誤差限界=z·σ/√n=1.96·20/10=1.96·2=3.92。検算: σ/√n=20/10=2, ×1.96=3.92。

47. 問47．母標準偏差 σ=15 既知、n=25、標本平均 100。信頼度95%(z=1.96)の母平均の下側信頼限界を求めよ。

    • ア．94.12
    • イ．105.88
    • ウ．97
    • エ．103

    正解：ア．94.12

    解説：誤差限界=1.96·15/√25=1.96·3=5.88。下限=100−5.88=94.12。検算: σ/√n=15/5=3, ×1.96=5.88。

48. 問48．二項分布 B(5,0.5) に従う X が X=5 となる確率 P(X=5) を求めよ。

    • ア．1/16
    • イ．1/32
    • ウ．5/32
    • エ．1/5

    正解：イ．1/32

    解説：P(X=5)=C(5,5)(0.5)^5=1·(1/32)=1/32。検算: 全5回成功で(1/2)^5=1/32。

49. 問49．二項分布 B(4,0.5) に従う X が X=2 となる確率 P(X=2) を求めよ。

    • ア．1/4
    • イ．3/8
    • ウ．3/16
    • エ．1/2

    正解：イ．3/8

    解説：P(X=2)=C(4,2)(0.5)^4=6/16=3/8。検算: C(4,2)=6, (1/2)^4=1/16, 6/16=3/8。

50. 問50．二項分布 B(3,1/3) に従う X が X=0 となる確率 P(X=0) を求めよ。

    • ア．8/27
    • イ．1/27
    • ウ．2/3
    • エ．4/9

    正解：ア．8/27

    解説：P(X=0)=(2/3)^3=8/27。検算: 全3回失敗(失敗確率2/3)、(2/3)^3=8/27。

51. 問51．標準正規分布で Φ(2.576)=0.995 とするとき、信頼度99%の母平均区間に用いる両側 z 値はおよそいくらか。

    • ア．1.96
    • イ．1.645
    • ウ．2.576
    • エ．3.29

    正解：ウ．2.576

    解説：信頼度99%は両側計1%、片側0.5%なので上側0.995点 z=2.576。検算: Φ^(−1)(0.995)=2.576。

52. 問52．離散確率変数 X が値 0,1,2 をそれぞれ確率 0.5,0.3,0.2 でとるとき E[X] を求めよ。

    • ア．0.5
    • イ．1
    • ウ．0.7
    • エ．1.4

    正解：ウ．0.7

    解説：E[X]=0·0.5+1·0.3+2·0.2=0.3+0.4=0.7。検算: 確率和0.5+0.3+0.2=1で正当。

53. 問53．離散確率変数 X が値 0,1,2 をそれぞれ確率 0.5,0.3,0.2 でとるとき E[X^2] を求めよ。

    • ア．0.7
    • イ．1.1
    • ウ．1.4
    • エ．0.49

    正解：イ．1.1

    解説：E[X^2]=0·0.5+1·0.3+4·0.2=0.3+0.8=1.1。検算: 各値の2乗0,1,4に確率を掛けて合計。

54. 問54．離散確率変数 X が値 0,1,2 を確率 0.5,0.3,0.2 でとる。E[X]=0.7, E[X^2]=1.1 のとき V[X] を求めよ。

    • ア．0.49
    • イ．1.1
    • ウ．0.61
    • エ．0.7

    正解：ウ．0.61

    解説：V[X]=E[X^2]−(E[X])^2=1.1−0.49=0.61。検算: 1.1−0.7^2=1.1−0.49=0.61。

55. 問55．f(x)=2x (0≦x≦1, それ以外0) を密度とする X の期待値 E[X] を求めよ。

    • ア．1/2
    • イ．2/3
    • ウ．1/3
    • エ．1

    正解：イ．2/3

    解説：E[X]=∫(0→1)x·2x dx=2[x^3/3](0→1)=2/3。検算: ∫(0→1)2x dx=1で正規化済、右偏りで平均>0.5は妥当。

56. 問56．f(x)=2x (0≦x≦1) を密度とする X の E[X^2] を求めよ。

    • ア．1/2
    • イ．2/3
    • ウ．1/3
    • エ．1/4

    正解：ア．1/2

    解説：E[X^2]=∫(0→1)x^2·2x dx=2[x^4/4](0→1)=1/2。検算: 2·(1/4)=1/2。

57. 問57．f(x)=2x (0≦x≦1) を密度とする X の分散 V[X] を求めよ。E[X]=2/3, E[X^2]=1/2。

    • ア．1/9
    • イ．1/18
    • ウ．1/6
    • エ．1/3

    正解：イ．1/18

    解説：V[X]=1/2−(2/3)^2=1/2−4/9=9/18−8/18=1/18。検算: 1/2=9/18, 4/9=8/18, 差1/18。

58. 問58．超幾何分布的状況: 赤4白6の10個から2個同時に取るとき2個とも赤の確率を求めよ。

    • ア．2/15
    • イ．1/5
    • ウ．4/45
    • エ．6/15

    正解：ア．2/15

    解説：P=C(4,2)/C(10,2)=6/45=2/15。検算: C(4,2)=6, C(10,2)=45, 6/45=2/15。

59. 問59．赤4白6の10個から2個同時に取るとき赤白1個ずつの確率を求めよ。

    • ア．8/15
    • イ．2/15
    • ウ．4/15
    • エ．1/2

    正解：ア．8/15

    解説：P=C(4,1)C(6,1)/C(10,2)=24/45=8/15。検算: 4·6=24, /45=8/15。

60. 問60．確率変数の和 X+Y で Cov(X,Y)=3, V[X]=5, V[Y]=2 のとき V[X+Y] を求めよ。

    • ア．7
    • イ．13
    • ウ．10
    • エ．16

    正解：イ．13

    解説：V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2Cov(X,Y)=5+2+6=13。検算: 共分散正なので独立時(=7)より大きい13は妥当。

61. 問61．確率変数の差 X−Y で Cov(X,Y)=3, V[X]=5, V[Y]=2 のとき V[X−Y] を求めよ。

    • ア．13
    • イ．7
    • ウ．1
    • エ．−1

    正解：ウ．1

    解説：V[X−Y]=V[X]+V[Y]−2Cov(X,Y)=5+2−6=1。検算: 共分散正なので差の分散は小さくなり1。

62. 問62．標準正規分布で Φ(0.5)=0.6915 とするとき P(Z>0.5) を求めよ。

    • ア．0.6915
    • イ．0.3085
    • ウ．0.5
    • エ．0.1915

    正解：イ．0.3085

    解説：P(Z>0.5)=1−0.6915=0.3085。検算: 上側+下側0.6915=1。

63. 問63．標準正規分布で Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772 とするとき P(1≦Z≦2) を求めよ。

    • ア．0.1359
    • イ．0.8185
    • ウ．0.9772
    • エ．0.0228

    正解：ア．0.1359

    解説：P(1≦Z≦2)=Φ(2)−Φ(1)=0.9772−0.8413=0.1359。検算: 両者の差で0<0.1359<1。

64. 問64．正規分布 N(60,16) に従う X について P(X≦68) を求めよ。Φ(2)=0.9772 とする。

    • ア．0.8413
    • イ．0.9772
    • ウ．0.5
    • エ．0.0228

    正解：イ．0.9772

    解説：σ=√16=4, Z=(68−60)/4=2。P=Φ(2)=0.9772。検算: 68は平均+2σで上側0.0228残し0.9772。

65. 問65．正規分布 N(60,16) に従う X について P(X>64) を求めよ。Φ(1)=0.8413 とする。

    • ア．0.8413
    • イ．0.1587
    • ウ．0.5
    • エ．0.3413

    正解：イ．0.1587

    解説：Z=(64−60)/4=1, P(X>64)=1−Φ(1)=1−0.8413=0.1587。検算: +1σ上側で約15.87%。

66. 問66．二項分布 B(n,p) で E[X]=6, V[X]=4.8 のとき p を求めよ。

    • ア．0.8
    • イ．0.2
    • ウ．0.5
    • エ．0.3

    正解：イ．0.2

    解説：V[X]/E[X]=np(1−p)/(np)=1−p=4.8/6=0.8 より p=0.2。検算: 1−p=0.8でnp=6→n=30, np(1−p)=4.8で一致。

67. 問67．二項分布 B(n,p) で E[X]=6, V[X]=4.8, p=0.2 のとき n を求めよ。

    • ア．24
    • イ．30
    • ウ．12
    • エ．36

    正解：イ．30

    解説：np=6, p=0.2 より n=6/0.2=30。検算: np(1−p)=30·0.2·0.8=4.8で一致。

68. 問68．確率変数 X の積率母関数的性質は使わず、E[X]=3, E[X^2]=13 のとき標準偏差を求めよ。

    • ア．4
    • イ．2
    • ウ．√13
    • エ．3

    正解：イ．2

    解説：V[X]=13−9=4, 標準偏差=√4=2。検算: 2^2=4=V[X]で一致。

69. 問69．標本 n=4 のデータ {3,5,7,9} の不偏分散を求めよ。

    • ア．5
    • イ．20/3
    • ウ．20
    • エ．6

    正解：イ．20/3

    解説：平均=24/4=6, 偏差平方和=9+1+1+9=20, 不偏分散=20/(4−1)=20/3≒6.67。検算: 標本分散20/4=5より不偏分散は大きく20/3で妥当。

70. 問70．ポアソン分布 Po(λ) の標準偏差が2のとき λ を求めよ。

    • ア．2
    • イ．4
    • ウ．√2
    • エ．16

    正解：イ．4

    解説：分散=λ=標準偏差^2=4 より λ=4。検算: λ=4なら標準偏差√4=2で一致。

71. 問71．指数分布で平均が4のとき率パラメータ λ を求めよ。

    • ア．4
    • イ．0.25
    • ウ．0.5
    • エ．2

    正解：イ．0.25

    解説：平均=1/λ=4 より λ=1/4=0.25。検算: 1/0.25=4で平均一致。

72. 問72．標準正規分布の確率変数 Z について Z^2 の期待値 E[Z^2] を求めよ。

    • ア．0
    • イ．1
    • ウ．2
    • エ．0.5

    正解：イ．1

    解説：E[Z^2]=V[Z]+(E[Z])^2=1+0=1。検算: 標準正規はV[Z]=1, E[Z]=0なのでE[Z^2]=1。

73. 問73．コインを4回投げて表が出る回数 X(B(4,0.5))の期待値 E[X] を求めよ。

    • ア．1
    • イ．2
    • ウ．4
    • エ．0.5

    正解：イ．2

    解説：E[X]=np=4·0.5=2。検算: 対称分布の中心が2で妥当。

74. 問74．コインを4回投げて表が出る回数 X(B(4,0.5))の分散 V[X] を求めよ。

    • ア．2
    • イ．0.5
    • ウ．1
    • エ．4

    正解：ウ．1

    解説：V[X]=np(1−p)=4·0.5·0.5=1。検算: 標準偏差√1=1で妥当。

75. 問75．母比率の推定で標本数 n=400, 標本比率 p̂=0.5 のとき標準誤差 √(p̂(1−p̂)/n) を求めよ。

    • ア．0.05
    • イ．0.025
    • ウ．0.5
    • エ．0.0025

    正解：イ．0.025

    解説：√(0.5·0.5/400)=√(0.25/400)=√0.000625=0.025。検算: 0.025^2=0.000625で一致。