数検1級（実用数学技能検定 1級）「複素数・複素関数・級数」の一問一答

数検1級（実用数学技能検定 1級）の複素数・複素関数・級数に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．複素数 z=1+i の絶対値 |z| を求めよ。

   • ア．√3
   • イ．2
   • ウ．1
   • エ．√2

   正解：エ．√2

   解説：|1+i|=√(1^2+1^2)=√2。検算: z·z̄=(1+i)(1−i)=1−i^2=2、|z|=√2 と一致。

2. 問2．複素数 z=3+4i の絶対値 |z| を求めよ。

   • ア．7
   • イ．12
   • ウ．5
   • エ．25

   正解：ウ．5

   解説：|3+4i|=√(3^2+4^2)=√25=5。検算: z·z̄=(3+4i)(3−4i)=9+16=25、√25=5。

3. 問3．複素数 z=2−3i の共役複素数 z̄ を求めよ。

   • ア．−2+3i
   • イ．−2−3i
   • ウ．2+3i
   • エ．3+2i

   正解：ウ．2+3i

   解説：共役は虚部の符号を反転して 2+3i。検算: z+z̄=4(実数)、z−z̄=−6i(純虚数)で整合。

4. 問4．(1+i)(2−i) を計算せよ。

   • ア．1+3i
   • イ．2−i
   • ウ．3+i
   • エ．3−i

   正解：ウ．3+i

   解説：(1+i)(2−i)=2−i+2i−i^2=2+i+1=3+i。検算: 絶対値 √2·√5=√10、|3+i|=√10 で一致。

5. 問5．複素数 (3+2i)+(1−5i) を計算せよ。

   • ア．4−7i
   • イ．4+7i
   • ウ．2−3i
   • エ．4−3i

   正解：エ．4−3i

   解説：実部 3+1=4、虚部 2−5=−3 で 4−3i。検算: 実虚を分けて加算、4−3i。

6. 問6．1/(1+i) を a+bi の形にせよ。

   • ア．1/2+(1/2)i
   • イ．1−i
   • ウ．1/2−(1/2)i
   • エ．2−2i

   正解：ウ．1/2−(1/2)i

   解説：分母分子に共役 1−i を掛け (1−i)/((1+i)(1−i))=(1−i)/2=1/2−(1/2)i。検算: (1+i)(1/2−i/2)=1/2−i/2+i/2−i^2/2=1/2+1/2=1。

7. 問7．複素数 z=−1+√3 i の絶対値 |z| を求めよ。

   • ア．√2
   • イ．√3
   • ウ．4
   • エ．2

   正解：エ．2

   解説：|z|=√((−1)^2+(√3)^2)=√(1+3)=2。検算: z·z̄=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4、√4=2。

8. 問8．複素数 z=−1+√3 i の偏角 arg z（0≦arg z<2π）を求めよ。

   • ア．π/3
   • イ．5π/6
   • ウ．2π/3
   • エ．4π/3

   正解：ウ．2π/3

   解説：実部−1・虚部√3>0 で第2象限、tanθ=√3/(−1)。θ=π−π/3=2π/3。検算: cos(2π/3)=−1/2,sin=√3/2、2(−1/2+√3/2 i)=−1+√3i。

9. 問9．複素数 z=1−i の偏角 arg z（−π<arg z≦π）を求めよ。

   • ア．−π/4
   • イ．3π/4
   • ウ．π/4
   • エ．−3π/4

   正解：ア．−π/4

   解説：実部1>0・虚部−1<0 で第4象限。arg z=−π/4。検算: √2(cos(−π/4)+isin(−π/4))=√2(√2/2−√2/2 i)=1−i。

10. 問10．複素数 z=√3+i を極形式 r(cosθ+isinθ) で表したときの r を求めよ。

    • ア．√2
    • イ．2
    • ウ．4
    • エ．√3

    正解：イ．2

    解説：r=√((√3)^2+1^2)=√4=2。検算: z·z̄=(√3+i)(√3−i)=3+1=4、√4=2。

11. 問11．複素数 z=√3+i の偏角 arg z（0≦arg z<2π）を求めよ。

    • ア．π/3
    • イ．π/4
    • ウ．π/6
    • エ．5π/6

    正解：ウ．π/6

    解説：第1象限、tanθ=1/√3 より θ=π/6。検算: 2(cos(π/6)+isin(π/6))=2(√3/2+i/2)=√3+i。

12. 問12．ド・モアブルの定理を用いて (cos(π/6)+isin(π/6))^3 を求めよ。

    • ア．i
    • イ．1
    • ウ．−1
    • エ．−i

    正解：ア．i

    解説：(cosθ+isinθ)^3=cos3θ+isin3θ。3·π/6=π/2 で cos(π/2)+isin(π/2)=i。検算: 累乗で偏角3倍・絶対値1のまま、i。

13. 問13．(1+i)^4 を計算せよ。

    • ア．−4
    • イ．4
    • ウ．4i
    • エ．−4i

    正解：ア．−4

    解説：(1+i)^2=2i、(2i)^2=4i^2=−4。検算: 極形式 √2·e^(iπ/4) を4乗で (√2)^4·e^(iπ)=4·(−1)=−4。

14. 問14．(1+i)^8 を計算せよ。

    • ア．16
    • イ．−16
    • ウ．16i
    • エ．256

    正解：ア．16

    解説：(1+i)^2=2i、((1+i)^2)^4=(2i)^4=16·i^4=16。検算: 極形式 (√2)^8·e^(i·8·π/4)=16·e^(i2π)=16。

15. 問15．i^2026 を計算せよ。

    • ア．1
    • イ．i
    • ウ．−1
    • エ．−i

    正解：ウ．−1

    解説：i は周期4。2026=4·506+2 より i^2026=i^2=−1。検算: i^2024=(i^4)^506=1、×i^2=−1。

16. 問16．i^2027 を計算せよ。

    • ア．1
    • イ．−i
    • ウ．i
    • エ．−1

    正解：イ．−i

    解説：2027=4·506+3 より i^2027=i^3=−i。検算: i^2026=−1、×i=−i。

17. 問17．1 の3乗根（x^3=1 の解）のうち、1 でないものの1つは ω=(−1+√3 i)/2 である。ω^3 を求めよ。

    • ア．ω
    • イ．1
    • ウ．−1
    • エ．i

    正解：イ．1

    解説：ω=e^(i2π/3) より ω^3=e^(i2π)=1。検算: 1の3乗根なので定義より x^3=1、ω^3=1。

18. 問18．1 の3乗根 ω=(−1+√3 i)/2 について、1+ω+ω^2 の値を求めよ。

    • ア．1
    • イ．0
    • ウ．−1
    • エ．3

    正解：イ．0

    解説：x^3−1=(x−1)(x^2+x+1)、ω は x^2+x+1=0 の解なので 1+ω+ω^2=0。検算: ω^2=ω̄=(−1−√3i)/2、1+(−1+√3i)/2+(−1−√3i)/2=1−1=0。

19. 問19．x^2=i を満たす複素数 x の1つを求めよ。

    • ア．(√2/2)(1+i)
    • イ．1+i
    • ウ．i
    • エ．(1+i)/2

    正解：ア．(√2/2)(1+i)

    解説：i=e^(iπ/2) の平方根は e^(iπ/4)=cos45°+isin45°=(√2/2)(1+i)。検算: ((√2/2)(1+i))^2=(1/2)(1+i)^2=(1/2)(2i)=i。

20. 問20．オイラーの公式により e^(iπ) の値を求めよ。

    • ア．−1
    • イ．1
    • ウ．i
    • エ．0

    正解：ア．−1

    解説：e^(iπ)=cosπ+isinπ=−1+0i=−1。検算: e^(iπ)+1=0(オイラーの等式)で整合。

21. 問21．オイラーの公式により e^(iπ/2) の値を求めよ。

    • ア．i
    • イ．−1
    • ウ．1
    • エ．−i

    正解：ア．i

    解説：e^(iπ/2)=cos(π/2)+isin(π/2)=0+i=i。検算: (e^(iπ/2))^2=e^(iπ)=−1、i^2=−1 と一致。

22. 問22．無限等比級数 Σ[n=0,∞] (1/3)^n の和を求めよ。

    • ア．1/2
    • イ．2
    • ウ．3
    • エ．3/2

    正解：エ．3/2

    解説：初項1・公比1/3(|r|<1)。和=1/(1−1/3)=1/(2/3)=3/2。検算: 1+1/3+1/9+…→3/2。

23. 問23．無限等比級数 Σ[n=1,∞] (1/2)^n の和を求めよ。

    • ア．3/2
    • イ．2
    • ウ．1/2
    • エ．1

    正解：エ．1

    解説：初項1/2・公比1/2。和=(1/2)/(1−1/2)=(1/2)/(1/2)=1。検算: 1/2+1/4+1/8+…→1。

24. 問24．無限等比級数 Σ[n=0,∞] (−1/2)^n の和を求めよ。

    • ア．3/2
    • イ．2
    • ウ．1/3
    • エ．2/3

    正解：エ．2/3

    解説：初項1・公比−1/2(|r|<1)。和=1/(1−(−1/2))=1/(3/2)=2/3。検算: 1−1/2+1/4−…→2/3。

25. 問25．無限等比級数 Σ[n=0,∞] (2/3)^n の和を求めよ。

    • ア．2
    • イ．3
    • ウ．3/2
    • エ．5/3

    正解：イ．3

    解説：初項1・公比2/3。和=1/(1−2/3)=1/(1/3)=3。検算: 1+2/3+4/9+…→3。

26. 問26．等比級数 Σ[n=0,∞] r^n が収束するための公比 r の条件はどれか。

    • ア．r>0
    • イ．|r|≦1
    • ウ．|r|<1
    • エ．|r|>1

    正解：ウ．|r|<1

    解説：無限等比級数は |r|<1 のとき収束し和は 1/(1−r)。検算: r=1で発散(項が1のまま)、|r|≧1で発散。

27. 問27．無限等比級数 Σ[n=0,∞] 3·(1/4)^n の和を求めよ。

    • ア．16/3
    • イ．3
    • ウ．12
    • エ．4

    正解：エ．4

    解説：初項3・公比1/4。和=3/(1−1/4)=3/(3/4)=4。検算: 3+3/4+3/16+…→4。

28. 問28．複素等比級数 Σ[n=0,∞] (i/2)^n の和を求めよ。

    • ア．(4+2i)/5
    • イ．2/(2+i)
    • ウ．1+i
    • エ．(4−2i)/5

    正解：ア．(4+2i)/5

    解説：公比 i/2、|i/2|=1/2<1 で収束。和=1/(1−i/2)=2/(2−i)=2(2+i)/5=(4+2i)/5。検算: (2−i)((4+2i)/5)=(8+4i−4i−2i^2)/5=(8+2)/5=2、和×(1−i/2)=1。

29. 問29．級数 Σ[n=1,∞] 1/n は収束するか。

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは、調和級数 Σ1/n は発散する(部分和が log n のように無限大に発散)。

30. 問30．級数 Σ[n=1,∞] 1/n^2 は収束する。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。p級数 Σ1/n^p は p>1 で収束。p=2>1 より収束し和は π^2/6。

31. 問31．ダランベールの比判定法で Σ a_n の lim|a_(n+1)/a_n|=L が L<1 のとき級数はどうなるか。

    • ア．絶対収束する
    • イ．発散する
    • ウ．判定できない
    • エ．条件収束のみ

    正解：ア．絶対収束する

    解説：比の極限 L<1 のとき絶対収束する。検算: L>1 で発散、L=1 で判定不能。

32. 問32．ダランベールの比判定法で lim|a_(n+1)/a_n|=L が L>1 のとき級数はどうなるか。

    • ア．発散する
    • イ．絶対収束する
    • ウ．必ず収束する
    • エ．和は0

    正解：ア．発散する

    解説：L>1 のとき一般項が0に収束せず発散する。検算: 比が1超で項が増大、発散。

33. 問33．級数 Σ[n=0,∞] 1/n! にダランベール比判定を適用すると lim|a_(n+1)/a_n| はいくつか。

    • ア．e
    • イ．1
    • ウ．0
    • エ．∞

    正解：ウ．0

    解説：a_(n+1)/a_n=n!/(n+1)!=1/(n+1)→0。検算: 極限0<1で収束、和はe。

34. 問34．べき級数 Σ[n=0,∞] x^n/n! の和(関数)は何か。

    • ア．e^x
    • イ．1/(1−x)
    • ウ．sin x
    • エ．ln(1+x)

    正解：ア．e^x

    解説：これは e^x のテイラー展開。検算: 各項を微分しても同形(d/dx Σx^n/n!=Σx^(n−1)/(n−1)!)で e^x の性質を満たす。

35. 問35．e^x のマクローリン展開 Σ a_n x^n における x^3 の係数 a_3 を求めよ。

    • ア．1/3
    • イ．1/6
    • ウ．1/2
    • エ．1

    正解：イ．1/6

    解説：e^x=Σx^n/n! より x^3 の係数は 1/3!=1/6。検算: f'''(0)/3!、f'''(x)=e^x、f'''(0)=1、1/6。

36. 問36．sin x のマクローリン展開における x^3 の係数を求めよ。

    • ア．1/6
    • イ．−1/6
    • ウ．−1/2
    • エ．1/3

    正解：イ．−1/6

    解説：sin x=x−x^3/3!+x^5/5!−… より x^3 の係数は −1/6。検算: f'''(0)/3!、(sin)'''=−cos、−cos0=−1、−1/6。

37. 問37．cos x のマクローリン展開における x^2 の係数を求めよ。

    • ア．1/2
    • イ．−1/2
    • ウ．−1/6
    • エ．1

    正解：イ．−1/2

    解説：cos x=1−x^2/2!+x^4/4!−… より x^2 の係数は −1/2。検算: f''(0)/2!、(cos)''=−cos、−cos0=−1、−1/2。

38. 問38．1/(1−x) のマクローリン展開 Σ a_n x^n における x^n の係数 a_n を求めよ。

    • ア．1
    • イ．1/n!
    • ウ．n
    • エ．1/n

    正解：ア．1

    解説：1/(1−x)=Σ x^n(|x|<1)より a_n=1。検算: 等比級数の和の公式そのもの、全係数1。

39. 問39．べき級数 Σ[n=0,∞] x^n の収束半径 R を求めよ。

    • ア．∞
    • イ．0
    • ウ．1
    • エ．2

    正解：ウ．1

    解説：等比級数で |x|<1 のとき収束。収束半径 R=1。検算: 比判定 |x^(n+1)/x^n|=|x|<1 ⇔ |x|<1。

40. 問40．べき級数 Σ[n=0,∞] x^n/n! の収束半径 R を求めよ。

    • ア．∞
    • イ．0
    • ウ．1
    • エ．e

    正解：ア．∞

    解説：比 |x|/(n+1)→0<1 が任意の x で成立し全平面で収束。R=∞。検算: e^x は全実数で定義。

41. 問41．べき級数 Σ[n=0,∞] n! x^n の収束半径 R を求めよ。

    • ア．0
    • イ．1
    • ウ．∞
    • エ．1/2

    正解：ア．0

    解説：比 |a_(n+1)/a_n|·|x|=(n+1)|x|→∞(x≠0)。x=0以外で発散、R=0。検算: 階乗の増大が指数より速い。

42. 問42．べき級数 Σ[n=1,∞] x^n/n の収束半径 R を求めよ。

    • ア．1
    • イ．0
    • ウ．∞
    • エ．2

    正解：ア．1

    解説：比 |a_(n+1)/a_n|=n/(n+1)→1 より R=1。検算: x=1で調和級数発散、x=−1で交代級数収束、半径1。

43. 問43．べき級数 Σ[n=0,∞] (x^n)/(2^n) の収束半径 R を求めよ。

    • ア．1
    • イ．2
    • ウ．1/2
    • エ．∞

    正解：イ．2

    解説：公比 x/2、|x/2|<1 ⇔ |x|<2 で収束。R=2。検算: 比 |a_(n+1)/a_n|=1/2、R=1/(1/2)=2。

44. 問44．べき級数 Σ[n=0,∞] (3^n)x^n の収束半径 R を求めよ。

    • ア．3
    • イ．∞
    • ウ．1
    • エ．1/3

    正解：エ．1/3

    解説：公比 3x、|3x|<1 ⇔ |x|<1/3。R=1/3。検算: 比 |a_(n+1)/a_n|=3、R=1/3。

45. 問45．複素数 z=4i の絶対値 |z| を求めよ。

    • ア．2
    • イ．16
    • ウ．4
    • エ．4i

    正解：ウ．4

    解説：純虚数 4i は |0+4i|=√(0+16)=4。検算: z·z̄=(4i)(−4i)=−16i^2=16、√16=4。

46. 問46．複素数 z=4i の偏角 arg z（0≦arg z<2π）を求めよ。

    • ア．0
    • イ．3π/2
    • ウ．π
    • エ．π/2

    正解：エ．π/2

    解説：正の虚軸上なので arg=π/2。検算: 4(cos(π/2)+isin(π/2))=4(0+i)=4i。

47. 問47．複素数 z=−5 の偏角 arg z（0≦arg z<2π）を求めよ。

    • ア．0
    • イ．π
    • ウ．π/2
    • エ．3π/2

    正解：イ．π

    解説：負の実軸上なので arg=π。検算: 5(cosπ+isinπ)=5(−1+0i)=−5。

48. 問48．(2+3i)−(5−i) を計算せよ。

    • ア．7+2i
    • イ．−3+4i
    • ウ．−3+2i
    • エ．3+4i

    正解：イ．−3+4i

    解説：実部 2−5=−3、虚部 3−(−1)=4 で −3+4i。検算: 逆に (−3+4i)+(5−i)=2+3i で戻る。

49. 問49．(2+i)^2 を計算せよ。

    • ア．3+4i
    • イ．5+4i
    • ウ．4+4i
    • エ．3+2i

    正解：ア．3+4i

    解説：(2+i)^2=4+4i+i^2=4+4i−1=3+4i。検算: |2+i|^2=5、|3+4i|=5 で絶対値整合。

50. 問50．複素数 z=2(cos(π/3)+isin(π/3)) を直交形式 a+bi で表せ。

    • ア．1−√3 i
    • イ．√3+i
    • ウ．2+2i
    • エ．1+√3 i

    正解：エ．1+√3 i

    解説：cos(π/3)=1/2,sin(π/3)=√3/2 より 2(1/2+(√3/2)i)=1+√3 i。検算: |1+√3i|=√(1+3)=2=r。

51. 問51．(cosθ+isinθ)(cosφ+isinφ) を簡単にせよ。

    • ア．cosθcosφ+isinθsinφ
    • イ．cos(θ−φ)+isin(θ−φ)
    • ウ．cos(θ+φ)+isin(θ+φ)
    • エ．cos(θφ)+isin(θφ)

    正解：ウ．cos(θ+φ)+isin(θ+φ)

    解説：極形式の積は偏角の和: cos(θ+φ)+isin(θ+φ)。検算: 三角関数の加法定理で展開すると一致。

52. 問52．極形式の商 [r1(cosα+isinα)]/[r2(cosβ+isinβ)] の偏角を求めよ。

    • ア．αβ
    • イ．α+β
    • ウ．α−β
    • エ．β−α(の絶対値のみ)

    正解：ウ．α−β

    解説：商では偏角は引き算 α−β、絶対値は r1/r2。検算: 積の逆操作で偏角は差。

53. 問53．x^2=−9 を満たす複素数 x をすべて求めよ。

    • ア．x=±3i
    • イ．x=±3
    • ウ．x=3i のみ
    • エ．x=±9i

    正解：ア．x=±3i

    解説：x^2=−9 ⇔ x=±3i。検算: (3i)^2=9i^2=−9、(−3i)^2=−9。

54. 問54．x^2−2x+5=0 を解け。

    • ア．2±i
    • イ．1±2i
    • ウ．−1±2i
    • エ．1±4i

    正解：イ．1±2i

    解説：x=(2±√(4−20))/2=(2±√(−16))/2=(2±4i)/2=1±2i。検算: (1+2i)+(1−2i)=2=和、(1+2i)(1−2i)=1+4=5=積、係数一致。

55. 問55．1 の4乗根（x^4=1 の解）をすべて求めよ。

    • ア．1, i のみ
    • イ．1, −1
    • ウ．i, −i
    • エ．1, i, −1, −i

    正解：エ．1, i, −1, −i

    解説：x^4=1 の解は 1,i,−1,−i(単位円上を90°刻み)。検算: i^4=1,(−1)^4=1,(−i)^4=1。

56. 問56．オイラーの公式から e^(−iπ/2) の値を求めよ。

    • ア．i
    • イ．1
    • ウ．−i
    • エ．−1

    正解：ウ．−i

    解説：e^(−iπ/2)=cos(−π/2)+isin(−π/2)=0−i=−i。検算: e^(iπ/2)=i の共役で−i。

57. 問57．e^(iθ) と e^(−iθ) を用いて cosθ を表すと？

    • ア．(e^(iθ)−e^(−iθ))/2
    • イ．(e^(iθ)+e^(−iθ))/2
    • ウ．(e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i)
    • エ．e^(iθ)·e^(−iθ)

    正解：イ．(e^(iθ)+e^(−iθ))/2

    解説：オイラーの公式の和: e^(iθ)+e^(−iθ)=2cosθ より cosθ=(e^(iθ)+e^(−iθ))/2。検算: 加えると虚部が打ち消し2cosθ。

58. 問58．e^(iθ) と e^(−iθ) を用いて sinθ を表すと？

    • ア．(e^(iθ)+e^(−iθ))/(2i)
    • イ．(e^(iθ)+e^(−iθ))/2
    • ウ．(e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i)
    • エ．(e^(iθ)−e^(−iθ))/2

    正解：ウ．(e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i)

    解説：差: e^(iθ)−e^(−iθ)=2isinθ より sinθ=(e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i)。検算: 引くと実部消え 2isinθ。

59. 問59．|e^(iθ)| の値を求めよ（θは実数）。

    • ア．0
    • イ．θ
    • ウ．e^θ
    • エ．1

    正解：エ．1

    解説：|cosθ+isinθ|=√(cos^2θ+sin^2θ)=1。検算: e^(iθ)·e^(−iθ)=e^0=1、|e^(iθ)|^2=1。

60. 問60．複素数 z に対し z·z̄ を簡単にせよ。

    • ア．|z|
    • イ．|z|^2
    • ウ．z^2
    • エ．2a

    正解：イ．|z|^2

    解説：z=a+bi のとき z·z̄=(a+bi)(a−bi)=a^2+b^2=|z|^2。検算: 1+i なら (1+i)(1−i)=2=|1+i|^2。

61. 問61．(√3+i)^6 を計算せよ。

    • ア．64
    • イ．−64
    • ウ．64i
    • エ．−64i

    正解：イ．−64

    解説：√3+i=2e^(iπ/6)。6乗で 2^6·e^(iπ)=64·(−1)=−64。検算: 偏角6·π/6=π、絶対値64、−64。

62. 問62．(1−i)^2 を計算せよ。

    • ア．−2
    • イ．2i
    • ウ．−2i
    • エ．2

    正解：ウ．−2i

    解説：(1−i)^2=1−2i+i^2=1−2i−1=−2i。検算: |1−i|^2=2、|−2i|=2 で整合。

63. 問63．複素数の累乗根: x^3=8 の実数解でない解の絶対値はいくつか。

    • ア．8
    • イ．2
    • ウ．√2
    • エ．4

    正解：イ．2

    解説：x^3=8 の解は絶対値 |x|=8^(1/3)=2(3解すべて)。検算: 2e^(i2π/3) など、絶対値はすべて2。

64. 問64．無限等比級数 Σ[n=0,∞] (0.9)^n の和を求めよ。

    • ア．∞
    • イ．9
    • ウ．1
    • エ．10

    正解：エ．10

    解説：公比0.9<1。和=1/(1−0.9)=1/0.1=10。検算: 1+0.9+0.81+…→10。

65. 問65．循環小数 0.333… を無限等比級数の和として求めよ。

    • ア．2/3
    • イ．3/10
    • ウ．1/9
    • エ．1/3

    正解：エ．1/3

    解説：0.3+0.03+…=初項0.3公比0.1、和=0.3/(1−0.1)=0.3/0.9=1/3。検算: 1/3=0.333…で一致。

66. 問66．級数 Σ[n=1,∞] 1/(n(n+1)) の和を求めよ。

    • ア．1/2
    • イ．1
    • ウ．2
    • エ．∞

    正解：イ．1

    解説：1/(n(n+1))=1/n−1/(n+1) の望遠鏡和。部分和 1−1/(N+1)→1。検算: 1/2+1/6+1/12+…→1。

67. 問67．ln(1+x) のマクローリン展開における x の係数（1次の係数）を求めよ。

    • ア．−1
    • イ．1
    • ウ．1/2
    • エ．0

    正解：イ．1

    解説：ln(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−… より x の係数は 1。検算: f'(0)、(ln(1+x))'=1/(1+x)、x=0で1。

68. 問68．ln(1+x) のマクローリン展開における x^2 の係数を求めよ。

    • ア．−1/2
    • イ．1/2
    • ウ．1
    • エ．−1

    正解：ア．−1/2

    解説：ln(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−… より x^2 の係数は −1/2。検算: f''(0)/2!、f''=−1/(1+x)^2、−1/2。

69. 問69．e^x のマクローリン展開における x^2 の係数を求めよ。

    • ア．2
    • イ．1
    • ウ．1/6
    • エ．1/2

    正解：エ．1/2

    解説：e^x=Σx^n/n! より x^2 の係数は 1/2!=1/2。検算: f''(0)/2!=1/2。

70. 問70．sin x のマクローリン展開における x^5 の係数を求めよ。

    • ア．1/5
    • イ．−1/120
    • ウ．1/24
    • エ．1/120

    正解：エ．1/120

    解説：sin x=x−x^3/3!+x^5/5!−… より x^5 の係数は 1/120(=1/5!)。検算: 5!=120、係数1/120。

71. 問71．べき級数 Σ[n=0,∞] x^n/3^n が収束する x の範囲（収束半径）の R を求めよ。

    • ア．∞
    • イ．1/3
    • ウ．1
    • エ．3

    正解：エ．3

    解説：公比 x/3、|x/3|<1 ⇔ |x|<3。R=3。検算: 比 |a_(n+1)/a_n|=1/3、R=3。

72. 問72．べき級数 Σ[n=1,∞] x^n/n^2 の収束半径 R を求めよ。

    • ア．∞
    • イ．0
    • ウ．1
    • エ．2

    正解：ウ．1

    解説：比 |a_(n+1)/a_n|=n^2/(n+1)^2→1 より R=1。検算: x=±1でΣ1/n^2収束だが半径は1。

73. 問73．複素数 z̄ が z の共役のとき、z+z̄ は常に実数である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。z=a+bi なら z+z̄=(a+bi)+(a−bi)=2a で虚部が消え実数。

74. 問74．|z|=0 となるのは z=0 のときに限る。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。|z|=√(a^2+b^2)=0 ⇔ a=b=0 ⇔ z=0。検算: 平方和が0は両方0のみ。

75. 問75．複素数 z=1+i について z^2=2i である。

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i−1=2i。検算: |1+i|^2=2、|2i|=2 で整合。