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数検1級（実用数学技能検定 1級）「微分方程式」の一問一答

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📖 数検1級（実用数学技能検定 1級）「微分方程式」の全75問と解説（一覧）

数検1級（実用数学技能検定 1級）の微分方程式に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

  1. 問1．微分方程式 dy/dx = 3y の一般解を求めよ（Cは任意定数）。

    • ア．y=Ce^(3x)
    • イ．y=Ce^x
    • ウ．y=3x+C
    • エ．y=Ce^(x^2)

    正解：ア．y=Ce^(3x)

    解説：変数分離。dy/y=3dx → log|y|=3x+C → y=Ce^(3x)。検算: y'=3Ce^(3x)=3y で原式成立。

  2. 問2．微分方程式 dy/dx = -2y の一般解を求めよ。

    • ア．y=Ce^(2x)
    • イ．y=Ce^(-2x)
    • ウ．y=-2x+C
    • エ．y=Ce^(-x)

    正解：イ．y=Ce^(-2x)

    解説：変数分離。dy/y=-2dx → log|y|=-2x+C → y=Ce^(-2x)。検算: y'=-2Ce^(-2x)=-2y で成立。

  3. 問3．微分方程式 dy/dx = xy の一般解を求めよ。

    • ア．y=Ce^(x^2)
    • イ．y=Ce^x
    • ウ．y=Ce^(x^2/2)
    • エ．y=Cx^2

    正解：ウ．y=Ce^(x^2/2)

    解説：変数分離。dy/y=x dx → log|y|=x^2/2+C → y=Ce^(x^2/2)。検算: y'=Cx e^(x^2/2)=xy で成立。

  4. 問4．微分方程式 dy/dx = y/x（x>0）の一般解を求めよ。

    • ア．y=C/x
    • イ．y=Cx^2
    • ウ．y=C+x
    • エ．y=Cx

    正解：エ．y=Cx

    解説：変数分離。dy/y=dx/x → log|y|=log|x|+C → y=Cx。検算: y'=C=y/x で成立。

  5. 問5．微分方程式 dy/dx = e^x の一般解を求めよ。

    • ア．y=e^x+C
    • イ．y=Ce^x
    • ウ．y=e^x
    • エ．y=xe^x+C

    正解：ア．y=e^x+C

    解説：直接積分。y=∫e^x dx=e^x+C。検算: y'=e^x で成立。

  6. 問6．微分方程式 dy/dx = 2x の一般解を求めよ。

    • ア．y=2x^2+C
    • イ．y=x^2+C
    • ウ．y=2+C
    • エ．y=x^2

    正解：イ．y=x^2+C

    解説：直接積分。y=∫2x dx=x^2+C。検算: y'=2x で成立。

  7. 問7．微分方程式 dy/dx = y^2 の一般解を求めよ。

    • ア．y=1/(x+C)
    • イ．y=Ce^(x^2)
    • ウ．y=-1/(x+C)
    • エ．y=(x+C)^2

    正解：ウ．y=-1/(x+C)

    解説：変数分離。dy/y^2=dx → -1/y=x+C → y=-1/(x+C)。検算: y'=1/(x+C)^2=y^2 で成立。

  8. 問8．微分方程式 dy/dx = (1+y^2) の一般解を求めよ。

    • ア．y=sin(x+C)
    • イ．y=arctan(x+C)
    • ウ．y=e^(x+C)
    • エ．y=tan(x+C)

    正解：エ．y=tan(x+C)

    解説：変数分離。dy/(1+y^2)=dx → arctan y=x+C → y=tan(x+C)。検算: y'=sec^2(x+C)=1+tan^2(x+C)=1+y^2。

  9. 問9．微分方程式 dy/dx = y cos x の一般解を求めよ。

    • ア．y=Ce^(sin x)
    • イ．y=Ce^(cos x)
    • ウ．y=C sin x
    • エ．y=Ce^(-sin x)

    正解：ア．y=Ce^(sin x)

    解説：変数分離。dy/y=cos x dx → log|y|=sin x+C → y=Ce^(sin x)。検算: y'=Ccos x e^(sin x)=y cos x。

  10. 問10．初期条件 y(0)=1 をみたす dy/dx=2y の解を求めよ。

    • ア．y=2e^x
    • イ．y=e^(2x)
    • ウ．y=e^x
    • エ．y=2e^(2x)

    正解：イ．y=e^(2x)

    解説：一般解 y=Ce^(2x)。y(0)=C=1 → y=e^(2x)。検算: y'=2e^(2x)=2y, y(0)=1 で成立。

  11. 問11．初期条件 y(0)=3 をみたす dy/dx=-y の解を求めよ。

    • ア．y=3e^x
    • イ．y=e^(-3x)
    • ウ．y=3e^(-x)
    • エ．y=-3e^(-x)

    正解：ウ．y=3e^(-x)

    解説：一般解 y=Ce^(-x)。y(0)=C=3 → y=3e^(-x)。検算: y'=-3e^(-x)=-y, y(0)=3。

  12. 問12．微分方程式 dy/dx + y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=Ce^x
    • イ．y=Cx
    • ウ．y=C-x
    • エ．y=Ce^(-x)

    正解：エ．y=Ce^(-x)

    解説：dy/dx=-y, 変数分離で y=Ce^(-x)。検算: y'+y=-Ce^(-x)+Ce^(-x)=0 で成立。

  13. 問13．1階線形 dy/dx + y = x の一般解を求めよ。

    • ア．y=x-1+Ce^(-x)
    • イ．y=x+1+Ce^(-x)
    • ウ．y=x-1+Ce^x
    • エ．y=x+Ce^(-x)

    正解：ア．y=x-1+Ce^(-x)

    解説：積分因子 e^x。(e^x y)'=x e^x → e^x y=x e^x-e^x+C → y=x-1+Ce^(-x)。検算: y'+y=(1-Ce^(-x))+(x-1+Ce^(-x))=x。

  14. 問14．1階線形 dy/dx + y = e^x の一般解を求めよ。

    • ア．y=e^x+Ce^(-x)
    • イ．y=e^x/2+Ce^(-x)
    • ウ．y=e^x/2+Ce^x
    • エ．y=2e^x+Ce^(-x)

    正解：イ．y=e^x/2+Ce^(-x)

    解説：積分因子 e^x。(e^x y)'=e^(2x) → e^x y=e^(2x)/2+C → y=e^x/2+Ce^(-x)。検算: y'+y=(e^x/2-Ce^(-x))+(e^x/2+Ce^(-x))=e^x。

  15. 問15．1階線形 dy/dx - y = e^(2x) の一般解を求めよ。

    • ア．y=e^(2x)+Ce^(-x)
    • イ．y=e^x+Ce^(2x)
    • ウ．y=e^(2x)+Ce^x
    • エ．y=2e^(2x)+Ce^x

    正解：ウ．y=e^(2x)+Ce^x

    解説：積分因子 e^(-x)。(e^(-x)y)'=e^x → e^(-x)y=e^x+C → y=e^(2x)+Ce^x。検算: y'-y=(2e^(2x)+Ce^x)-(e^(2x)+Ce^x)=e^(2x)。

  16. 問16．1階線形 dy/dx + 2y = 4 の一般解を求めよ。

    • ア．y=4+Ce^(-2x)
    • イ．y=2+Ce^(2x)
    • ウ．y=2+Ce^(-x)
    • エ．y=2+Ce^(-2x)

    正解：エ．y=2+Ce^(-2x)

    解説：積分因子 e^(2x)。(e^(2x)y)'=4e^(2x) → e^(2x)y=2e^(2x)+C → y=2+Ce^(-2x)。検算: y'+2y=-2Ce^(-2x)+2(2+Ce^(-2x))=4。

  17. 問17．1階線形 dy/dx + (1/x)y = 1（x>0）の一般解を求めよ。

    • ア．y=x/2+C/x
    • イ．y=x/2+Cx
    • ウ．y=x+C/x
    • エ．y=x^2/2+C

    正解：ア．y=x/2+C/x

    解説：積分因子 x。(xy)'=x → xy=x^2/2+C → y=x/2+C/x。検算: y'+(1/x)y=(1/2-C/x^2)+(1/2+C/x^2)=1。

  18. 問18．1階線形 dy/dx + 3y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=Ce^(3x)
    • イ．y=Ce^(-3x)
    • ウ．y=C-3x
    • エ．y=Ce^(-x/3)

    正解：イ．y=Ce^(-3x)

    解説：変数分離で y=Ce^(-3x)。検算: y'+3y=-3Ce^(-3x)+3Ce^(-3x)=0 で成立。

  19. 問19．1階線形 x dy/dx + y = x^2（x>0）の一般解を求めよ。

    • ア．y=x^2/3+Cx
    • イ．y=x^3/3+C
    • ウ．y=x^2/3+C/x
    • エ．y=x^2+C/x

    正解：ウ．y=x^2/3+C/x

    解説：(xy)'=x^2 → xy=x^3/3+C → y=x^2/3+C/x。検算: x y'+y=x(2x/3-C/x^2)+(x^2/3+C/x)=2x^2/3-C/x+x^2/3+C/x=x^2。

  20. 問20．同次形 dy/dx = (x+y)/x（x>0）の一般解を求めよ。

    • ア．y=x log x
    • イ．y=Cx+x
    • ウ．y=log x+Cx
    • エ．y=x(log x+C)

    正解：エ．y=x(log x+C)

    解説：y=vx とおくと v+xv'=1+v → xv'=1 → v=log x+C → y=x(log x+C)。検算: y'=log x+C+1=(x+y)/x=1+v。成立。

  21. 問21．同次形 dy/dx = (x^2+y^2)/(xy)（x>0）について y^2 を求めると次のどれか。

    • ア．y^2=x^2(2log x+C)
    • イ．y^2=2x log x+C
    • ウ．y^2=x^2 log x
    • エ．y^2=Cx^2

    正解：ア．y^2=x^2(2log x+C)

    解説：y=vx: v+xv'=(1+v^2)/v → xv'=1/v → v dv=dx/x → v^2/2=log x+C → y^2=x^2(2log x+C)。検算略（標準形）。

  22. 問22．2階同次 y'' - 5y' + 6y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^(-2x)+C2e^(-3x)
    • イ．y=C1e^(2x)+C2e^(3x)
    • ウ．y=(C1+C2x)e^(2x)
    • エ．y=C1cos2x+C2sin3x

    正解：イ．y=C1e^(2x)+C2e^(3x)

    解説：特性方程式 t^2-5t+6=(t-2)(t-3)=0 → t=2,3。y=C1e^(2x)+C2e^(3x)。検算: 各基本解を代入し0。

  23. 問23．2階同次 y'' - 3y' + 2y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)
    • イ．y=(C1+C2x)e^x
    • ウ．y=C1e^x+C2e^(2x)
    • エ．y=C1cos x+C2sin x

    正解：ウ．y=C1e^x+C2e^(2x)

    解説：t^2-3t+2=(t-1)(t-2)=0 → t=1,2。y=C1e^x+C2e^(2x)。検算: 基本解を代入し0。

  24. 問24．2階同次 y'' - 4y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1cos2x+C2sin2x
    • イ．y=(C1+C2x)e^(2x)
    • ウ．y=C1e^(4x)+C2e^(-4x)
    • エ．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)

    正解：エ．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)

    解説：t^2-4=0 → t=±2。y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)。検算: y''=4C1e^(2x)+4C2e^(-2x)=4y。成立。

  25. 問25．2階同次 y'' + y' - 6y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^(-3x)+C2e^(2x)
    • イ．y=C1e^(3x)+C2e^(-2x)
    • ウ．y=(C1+C2x)e^(2x)
    • エ．y=C1cos x+C2sin x

    正解：ア．y=C1e^(-3x)+C2e^(2x)

    解説：t^2+t-6=(t+3)(t-2)=0 → t=-3,2。y=C1e^(-3x)+C2e^(2x)。検算: 基本解代入で0。

  26. 問26．2階同次 y'' - 4y' + 4y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)
    • イ．y=(C1+C2x)e^(2x)
    • ウ．y=(C1+C2x)e^(-2x)
    • エ．y=C1cos2x+C2sin2x

    正解：イ．y=(C1+C2x)e^(2x)

    解説：t^2-4t+4=(t-2)^2=0 重解 t=2。y=(C1+C2x)e^(2x)。検算: 重解形が基本解。

  27. 問27．2階同次 y'' + 6y' + 9y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=(C1+C2x)e^(3x)
    • イ．y=C1e^(-3x)+C2e^(3x)
    • ウ．y=(C1+C2x)e^(-3x)
    • エ．y=C1cos3x+C2sin3x

    正解：ウ．y=(C1+C2x)e^(-3x)

    解説：t^2+6t+9=(t+3)^2=0 重解 t=-3。y=(C1+C2x)e^(-3x)。検算: 重解形。

  28. 問28．2階同次 y'' - 2y' + y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^x+C2e^(-x)
    • イ．y=(C1+C2x)e^(-x)
    • ウ．y=C1cos x+C2sin x
    • エ．y=(C1+C2x)e^x

    正解：エ．y=(C1+C2x)e^x

    解説：t^2-2t+1=(t-1)^2=0 重解 t=1。y=(C1+C2x)e^x。検算: 重解形。

  29. 問29．2階同次 y'' + y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1cos x+C2sin x
    • イ．y=C1e^x+C2e^(-x)
    • ウ．y=(C1+C2x)cos x
    • エ．y=C1e^(ix)+C2

    正解：ア．y=C1cos x+C2sin x

    解説：t^2+1=0 → t=±i。y=C1cos x+C2sin x。検算: y''=-C1cos x-C2sin x=-y。成立。

  30. 問30．2階同次 y'' + 4y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)
    • イ．y=C1cos2x+C2sin2x
    • ウ．y=C1cos x+C2sin x
    • エ．y=(C1+C2x)cos2x

    正解：イ．y=C1cos2x+C2sin2x

    解説：t^2+4=0 → t=±2i。y=C1cos2x+C2sin2x。検算: y''=-4(C1cos2x+C2sin2x)=-4y。成立。

  31. 問31．2階同次 y'' + 9y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^(3x)+C2e^(-3x)
    • イ．y=C1cos9x+C2sin9x
    • ウ．y=C1cos3x+C2sin3x
    • エ．y=(C1+C2x)e^(3x)

    正解：ウ．y=C1cos3x+C2sin3x

    解説：t^2+9=0 → t=±3i。y=C1cos3x+C2sin3x。検算: y''=-9y。成立。

  32. 問32．2階同次 y'' - 2y' + 5y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=e^(2x)(C1cos x+C2sin x)
    • イ．y=C1e^x+C2e^(5x)
    • ウ．y=e^(-x)(C1cos2x+C2sin2x)
    • エ．y=e^x(C1cos2x+C2sin2x)

    正解：エ．y=e^x(C1cos2x+C2sin2x)

    解説：t^2-2t+5=0 → t=1±2i。y=e^x(C1cos2x+C2sin2x)。検算: 複素根 α±βi で e^(αx)(cos βx,sin βx)。

  33. 問33．2階同次 y'' + 2y' + 2y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=e^(-x)(C1cos x+C2sin x)
    • イ．y=e^x(C1cos x+C2sin x)
    • ウ．y=e^(-x)(C1cos2x+C2sin2x)
    • エ．y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)

    正解：ア．y=e^(-x)(C1cos x+C2sin x)

    解説：t^2+2t+2=0 → t=-1±i。y=e^(-x)(C1cos x+C2sin x)。検算: α=-1,β=1。成立。

  34. 問34．2階同次 y'' + 4y' + 5y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=e^(2x)(C1cos x+C2sin x)
    • イ．y=e^(-2x)(C1cos x+C2sin x)
    • ウ．y=e^(-2x)(C1cos2x+C2sin2x)
    • エ．y=C1e^(-2x)+C2e^(-x)

    正解：イ．y=e^(-2x)(C1cos x+C2sin x)

    解説：t^2+4t+5=0 → t=-2±i。y=e^(-2x)(C1cos x+C2sin x)。検算: α=-2,β=1。成立。

  35. 問35．2階同次 y'' - 6y' + 9y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^(3x)+C2e^(-3x)
    • イ．y=(C1+C2x)e^(-3x)
    • ウ．y=(C1+C2x)e^(3x)
    • エ．y=C1cos3x+C2sin3x

    正解：ウ．y=(C1+C2x)e^(3x)

    解説：t^2-6t+9=(t-3)^2=0 重解 t=3。y=(C1+C2x)e^(3x)。検算: 重解形。

  36. 問36．非同次 y'' - 3y' + 2y = 2 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^x+C2e^(2x)+2
    • イ．y=C1e^x+C2e^(2x)+x
    • ウ．y=C1e^x+C2e^(2x)
    • エ．y=C1e^x+C2e^(2x)+1

    正解：エ．y=C1e^x+C2e^(2x)+1

    解説：同次解 C1e^x+C2e^(2x)。特殊解 y=1（2y=2）。一般解 y=C1e^x+C2e^(2x)+1。検算: y''-3y'+2y=2·1=2。

  37. 問37．非同次 y'' - y = 3 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^x+C2e^(-x)-3
    • イ．y=C1e^x+C2e^(-x)+3
    • ウ．y=C1cos x+C2sin x-3
    • エ．y=C1e^x+C2e^(-x)+3x

    正解：ア．y=C1e^x+C2e^(-x)-3

    解説：同次解 C1e^x+C2e^(-x)。特殊解 y=-3（-y=3）。一般解 y=C1e^x+C2e^(-x)-3。検算: y''-y=0-(-3)=3。

  38. 問38．非同次 y'' + y = x の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1cos x+C2sin x+x^2
    • イ．y=C1cos x+C2sin x+x
    • ウ．y=C1e^x+C2e^(-x)+x
    • エ．y=C1cos x+C2sin x-x

    正解：イ．y=C1cos x+C2sin x+x

    解説：同次解 C1cos x+C2sin x。特殊解 y=x（y''=0, y''+y=x）。一般解 y=C1cos x+C2sin x+x。検算: 0+x=x。

  39. 問39．非同次 y'' - 4y = 8 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)+2
    • イ．y=C1cos2x+C2sin2x-2
    • ウ．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-2
    • エ．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-8

    正解：ウ．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-2

    解説：同次解 C1e^(2x)+C2e^(-2x)。特殊解 y=-2（-4y=8）。一般解 y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-2。検算: 0-4(-2)=8。

  40. 問40．非同次 y'' + 4y = 8x の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1cos2x+C2sin2x+8x
    • イ．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)+2x
    • ウ．y=C1cos2x+C2sin2x+x
    • エ．y=C1cos2x+C2sin2x+2x

    正解：エ．y=C1cos2x+C2sin2x+2x

    解説：同次解 C1cos2x+C2sin2x。特殊解 y=2x（y''=0, 4y=8x）。一般解 y=C1cos2x+C2sin2x+2x。検算: 0+8x=8x。

  41. 問41．非同次 y'' - 3y' + 2y = e^(3x) の特殊解を求めよ。

    • ア．y=e^(3x)/2
    • イ．y=e^(3x)
    • ウ．y=e^(3x)/3
    • エ．y=xe^(3x)/2

    正解：ア．y=e^(3x)/2

    解説：y=Ae^(3x) と仮定。(9-9+2)Ae^(3x)=2Ae^(3x)=e^(3x) → A=1/2。特殊解 y=e^(3x)/2。検算: 2·(e^(3x)/2)=e^(3x)。

  42. 問42．非同次 y'' - y' - 2y = 4 の特殊解を求めよ。

    • ア．y=2
    • イ．y=-2
    • ウ．y=4
    • エ．y=-4

    正解：イ．y=-2

    解説：y=A定数と仮定。-2A=4 → A=-2。特殊解 y=-2。検算: 0-0-2(-2)=4。

  43. 問43．非同次 y'' + y = 2e^x の特殊解を求めよ。

    • ア．y=2e^x
    • イ．y=e^x/2
    • ウ．y=e^x
    • エ．y=xe^x

    正解：ウ．y=e^x

    解説：y=Ae^x と仮定。Ae^x+Ae^x=2Ae^x=2e^x → A=1。特殊解 y=e^x。検算: e^x+e^x=2e^x。

  44. 問44．非同次 y'' - 4y' + 4y = 2 の特殊解を求めよ。

    • ア．y=2
    • イ．y=1
    • ウ．y=1/4
    • エ．y=1/2

    正解：エ．y=1/2

    解説：y=A定数と仮定。4A=2 → A=1/2。特殊解 y=1/2。検算: 0-0+4·(1/2)=2。

  45. 問45．非同次 y'' + 2y' + y = 4 の一般解を求めよ。

    • ア．y=(C1+C2x)e^(-x)+4
    • イ．y=(C1+C2x)e^x+4
    • ウ．y=C1e^(-x)+C2e^x+4
    • エ．y=(C1+C2x)e^(-x)+2

    正解：ア．y=(C1+C2x)e^(-x)+4

    解説：同次解 (C1+C2x)e^(-x)（重解-1）。特殊解 y=4（y=4で y=4）。一般解 y=(C1+C2x)e^(-x)+4。検算: 0+0+4=4。

  46. 問46．ベルヌーイ型の微分方程式 dy/dx + y = y^2 を u=1/y とおいて解く。u が満たす線形微分方程式はどれか。

    • ア．du/dx+u=1
    • イ．du/dx-u=-1
    • ウ．du/dx-u=1
    • エ．du/dx+u=-1

    正解：イ．du/dx-u=-1

    解説：u=1/y とおくと du/dx=−(1/y^2)(dy/dx)。原式の両辺を −y^2 で割ると −(1/y^2)(dy/dx)−1/y=−1、すなわち du/dx−u=−1 となる。一般に dy/dx+p(x)y=g(x)y^a は u=y^(1−a) とおくと du/dx+(1−a)p(x)u=(1−a)g(x) になり、a=2・p=1・g=1 を代入しても du/dx−u=−1 が得られる。du/dx+u=1 は du/dx=−(1/y^2)(dy/dx) の負号を落とした形、du/dx−u=1 と du/dx+u=−1 は符号の一部だけを反転させた形である。

    根拠： 常微分方程式 講義ノート 第4回「一階常微分方程式の応用、二階微分方程式」（京都大学 基礎物理学研究所サイト掲載の講義資料） 4.1 ベルヌーイの方程式：式(4.1)〜(4.5)（u=y^(1−a) で u′+(1−a)p(x)u=(1−a)g(x)）

  47. 問47．完全微分方程式 (2x+y)dx+(x+2y)dy=0 のポテンシャル F(x,y) を求めよ（=Cが解）。

    • ア．F=x^2+2xy+y^2
    • イ．F=x^2+xy+2y^2
    • ウ．F=x^2+xy+y^2
    • エ．F=2x^2+xy+y^2

    正解：ウ．F=x^2+xy+y^2

    解説：∂F/∂x=2x+y → F=x^2+xy+g(y)。∂F/∂y=x+g'(y)=x+2y → g=y^2。F=x^2+xy+y^2。検算: 偏微分で元式回復。

  48. 問48．完全微分方程式 (y)dx+(x)dy=0 の一般解を求めよ。

    • ア．x+y=C
    • イ．x^2+y^2=C
    • ウ．x/y=C
    • エ．xy=C

    正解：エ．xy=C

    解説：d(xy)=ydx+xdy=0 → xy=C。検算: 全微分が原式に一致。

  49. 問49．完全微分方程式 (2xy)dx+(x^2)dy=0 の一般解を求めよ。

    • ア．x^2 y=C
    • イ．xy^2=C
    • ウ．x^2+y^2=C
    • エ．xy=C

    正解：ア．x^2 y=C

    解説：d(x^2 y)=2xy dx+x^2 dy=0 → x^2 y=C。検算: 全微分が原式に一致。

  50. 問50．変数分離 dy/dx = y(1-y) の一般解（ロジスティック型）の形は次のどれか。

    • ア．y=Ce^x
    • イ．y=1/(1+Ce^(-x))
    • ウ．y=1-Ce^(-x)
    • エ．y=tan(x+C)

    正解：イ．y=1/(1+Ce^(-x))

    解説：部分分数 1/(y(1-y))=1/y+1/(1-y)。積分で log|y/(1-y)|=x+C → y=1/(1+Ce^(-x))。検算: 標準ロジスティック解。

  51. 問51．人口増加モデル dP/dt = 0.1P, P(0)=100 のとき P(t) を求めよ。

    • ア．P=100e^t
    • イ．P=100+0.1t
    • ウ．P=100e^(0.1t)
    • エ．P=100e^(10t)

    正解：ウ．P=100e^(0.1t)

    解説：一般解 P=Ce^(0.1t)。P(0)=C=100 → P=100e^(0.1t)。検算: P'=10e^(0.1t)=0.1P, P(0)=100。

  52. 問52．ニュートンの冷却法則 dT/dt = -k(T-20)。一般解 T(t) を求めよ（Cは任意定数）。

    • ア．T=20+Ce^(kt)
    • イ．T=Ce^(-kt)-20
    • ウ．T=20-Ce^(kt)
    • エ．T=20+Ce^(-kt)

    正解：エ．T=20+Ce^(-kt)

    解説：u=T-20 とおくと u'=-ku → u=Ce^(-kt) → T=20+Ce^(-kt)。検算: T'=-kCe^(-kt)=-k(T-20)。

  53. 問53．放射性崩壊 dN/dt = -λN, N(0)=N0 のとき N(t) を求めよ。

    • ア．N=N0e^(-λt)
    • イ．N=N0e^(λt)
    • ウ．N=N0-λt
    • エ．N=N0/(1+λt)

    正解：ア．N=N0e^(-λt)

    解説：N=Ce^(-λt), N(0)=C=N0 → N=N0e^(-λt)。検算: N'=-λN0e^(-λt)=-λN, N(0)=N0。

  54. 問54．初期値問題 y'=2x, y(1)=3 の解を求めよ。

    • ア．y=x^2+3
    • イ．y=x^2+2
    • ウ．y=x^2+1
    • エ．y=2x^2+1

    正解：イ．y=x^2+2

    解説：y=x^2+C。y(1)=1+C=3 → C=2 → y=x^2+2。検算: y'=2x, y(1)=3。

  55. 問55．初期値問題 y'+y=0, y(0)=5 の解を求めよ。

    • ア．y=5e^x
    • イ．y=e^(-5x)
    • ウ．y=5e^(-x)
    • エ．y=-5e^(-x)

    正解：ウ．y=5e^(-x)

    解説：y=Ce^(-x)。y(0)=C=5 → y=5e^(-x)。検算: y'+y=-5e^(-x)+5e^(-x)=0, y(0)=5。

  56. 問56．初期値問題 y''=0, y(0)=1, y'(0)=2 の解を求めよ。

    • ア．y=x+2
    • イ．y=2x+2
    • ウ．y=x^2+1
    • エ．y=2x+1

    正解：エ．y=2x+1

    解説：y''=0 → y=Ax+B。y'(0)=A=2, y(0)=B=1 → y=2x+1。検算: y''=0, y(0)=1, y'(0)=2。

  57. 問57．初期値問題 y''+y=0, y(0)=1, y'(0)=0 の解を求めよ。

    • ア．y=cos x
    • イ．y=sin x
    • ウ．y=cos x+sin x
    • エ．y=cos2x

    正解：ア．y=cos x

    解説：y=C1cos x+C2sin x。y(0)=C1=1, y'(0)=C2=0 → y=cos x。検算: y''=-cos x, y''+y=0, y(0)=1,y'(0)=0。

  58. 問58．初期値問題 y''+y=0, y(0)=0, y'(0)=1 の解を求めよ。

    • ア．y=cos x
    • イ．y=sin x
    • ウ．y=sin x+cos x
    • エ．y=tan x

    正解：イ．y=sin x

    解説：y=C1cos x+C2sin x。y(0)=C1=0, y'(0)=C2=1 → y=sin x。検算: y''+y=0, y(0)=0,y'(0)=1。

  59. 問59．初期値問題 y''-y=0, y(0)=2, y'(0)=0 の解を求めよ。

    • ア．y=2e^x
    • イ．y=e^x-e^(-x)
    • ウ．y=e^x+e^(-x)
    • エ．y=2cos x

    正解：ウ．y=e^x+e^(-x)

    解説：y=C1e^x+C2e^(-x)。y(0)=C1+C2=2, y'(0)=C1-C2=0 → C1=C2=1 → y=e^x+e^(-x)。検算: y''=y, y(0)=2,y'(0)=0。

  60. 問60．微分方程式 dy/dx = x/y の一般解を求めよ。

    • ア．y^2+x^2=C
    • イ．y=x+C
    • ウ．xy=C
    • エ．y^2-x^2=C

    正解：エ．y^2-x^2=C

    解説：y dy=x dx → y^2/2=x^2/2+C → y^2-x^2=C'。検算: 微分して 2yy'-2x=0 → y'=x/y。成立。

  61. 問61．微分方程式 dy/dx = -x/y の一般解を求めよ。

    • ア．x^2+y^2=C
    • イ．y^2-x^2=C
    • ウ．y=-x+C
    • エ．y/x=C

    正解：ア．x^2+y^2=C

    解説：y dy=-x dx → y^2/2=-x^2/2+C → x^2+y^2=C'。検算: 2x+2yy'=0 → y'=-x/y。成立（同心円）。

  62. 問62．微分方程式 dy/dx = e^(x-y) の一般解を求めよ。

    • ア．y=e^x+C
    • イ．y=log(e^x+C)
    • ウ．y=e^(x-y)+C
    • エ．y=log(e^x)+C

    正解：イ．y=log(e^x+C)

    解説：e^y dy=e^x dx → e^y=e^x+C → y=log(e^x+C)。検算: y'=e^x/(e^x+C)=e^x/e^y=e^(x-y)。成立。

  63. 問63．1階線形 dy/dx + 2xy = 2x の一般解を求めよ。

    • ア．y=1+Ce^(x^2)
    • イ．y=x+Ce^(-x^2)
    • ウ．y=1+Ce^(-x^2)
    • エ．y=2x+Ce^(-x^2)

    正解：ウ．y=1+Ce^(-x^2)

    解説：積分因子 e^(x^2)。(e^(x^2)y)'=2x e^(x^2) → e^(x^2)y=e^(x^2)+C → y=1+Ce^(-x^2)。検算: y'+2xy=-2xCe^(-x^2)+2x(1+Ce^(-x^2))=2x。

  64. 問64．1階線形 dy/dx - 2y = e^(2x) の一般解を求めよ。

    • ア．y=(x+C)e^(-2x)
    • イ．y=e^(2x)+Ce^(-2x)
    • ウ．y=xe^(2x)+C
    • エ．y=(x+C)e^(2x)

    正解：エ．y=(x+C)e^(2x)

    解説：積分因子 e^(-2x)。(e^(-2x)y)'=1 → e^(-2x)y=x+C → y=(x+C)e^(2x)。検算: y'-2y=(e^(2x)+2(x+C)e^(2x))-2(x+C)e^(2x)=e^(2x)。

  65. 問65．非同次 y'' - 2y' + y = e^x の特殊解の形（重解との共鳴）は次のどれか。

    • ア．y=x^2e^x/2
    • イ．y=xe^x/2
    • ウ．y=e^x/2
    • エ．y=x^2e^x

    正解：ア．y=x^2e^x/2

    解説：特性重解 t=1 で e^x が同次解。共鳴2重なので y=Ax^2e^x。代入で 2Ae^x=e^x → A=1/2, y=x^2e^x/2。検算: 共鳴2重。

  66. 問66．非同次 y'' + y = cos2x の特殊解を求めよ。

    • ア．y=cos2x/3
    • イ．y=-cos2x/3
    • ウ．y=-cos2x
    • エ．y=cos2x/5

    正解：イ．y=-cos2x/3

    解説：y=A cos2x と仮定。-4A cos2x+A cos2x=-3A cos2x=cos2x → A=-1/3。y=-cos2x/3。検算: -3·(-1/3)cos2x=cos2x。

  67. 問67．非同次 y'' - 4y = e^x の特殊解を求めよ。

    • ア．y=e^x/3
    • イ．y=e^x/5
    • ウ．y=-e^x/3
    • エ．y=-e^x/5

    正解：ウ．y=-e^x/3

    解説：y=Ae^x と仮定すると y''=Ae^x。Ae^x−4Ae^x=−3Ae^x=e^x → A=−1/3。y=−e^x/3。検算: (−e^x/3)−4·(−e^x/3)=e^x で成立。

  68. 問68．次は正しいか。「y''+y=0 の一般解は y=C1e^x+C2e^(-x) である」

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは、特性方程式 t^2+1=0 の根は ±i なので一般解は y=C1cos x+C2sin x。e^(±x) は y''-y=0 の解。

  69. 問69．次は正しいか。「dy/dx=ky（kは定数）の解は指数関数 y=Ce^(kx) で表される」

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。変数分離 dy/y=k dx より log|y|=kx+C, y=Ce^(kx)。検算: y'=kCe^(kx)=ky。

  70. 問70．次は正しいか。「特性方程式が重解 t=2 を持つとき、2階定数係数同次の一般解は y=(C1+C2x)e^(2x) である」

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。重解 t=r では基本解 e^(rx) と x e^(rx) をとり y=(C1+C2x)e^(rx)。検算: x e^(2x) も方程式を満たす。

  71. 問71．次は正しいか。「y'=y^2 の解は y=Ce^x である」

    正解：×（誤り）

    解説：誤り。正しくは、変数分離 dy/y^2=dx より -1/y=x+C, y=-1/(x+C)。指数関数にはならない。

  72. 問72．次は正しいか。「1階線形 y'+P(x)y=Q(x) の積分因子は e^(∫P dx) である」

    正解：○（正しい）

    解説：正しい。両辺に e^(∫P dx) を掛けると左辺が (e^(∫P dx) y)' になり積分できる。標準解法。

  73. 問73．非同次 y'' - 3y' + 2y = 4x の特殊解を求めよ。

    • ア．y=2x-3
    • イ．y=4x+3
    • ウ．y=2x+6
    • エ．y=2x+3

    正解：エ．y=2x+3

    解説：y=ax+b と仮定。y'=a,y''=0。0-3a+2(ax+b)=2ax+(2b-3a)=4x → a=2, 2b-3a=0→b=3。y=2x+3。検算: -3·2+2(2x+3)=4x。

  74. 問74．微分方程式 dy/dx = (1-y) の一般解を求めよ。

    • ア．y=1-Ce^(-x)
    • イ．y=1+Ce^x
    • ウ．y=Ce^(-x)-1
    • エ．y=1-Ce^x

    正解：ア．y=1-Ce^(-x)

    解説：変数分離 dy/(1-y)=dx → -log|1-y|=x+C → 1-y=Ce^(-x) → y=1-Ce^(-x)。検算: y'=Ce^(-x)=1-y。成立。

  75. 問75．2階同次 y'' - y' - 6y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^(-3x)+C2e^(2x)
    • イ．y=C1e^(3x)+C2e^(-2x)
    • ウ．y=(C1+C2x)e^(3x)
    • エ．y=C1cos x+C2sin x

    正解：イ．y=C1e^(3x)+C2e^(-2x)

    解説：t^2-t-6=(t-3)(t+2)=0 → t=3,-2。y=C1e^(3x)+C2e^(-2x)。検算: 基本解代入で0。