数検1級（実用数学技能検定 1級）「微分法（偏微分・多変数）」の一問一答

数検1級（実用数学技能検定 1級）の微分法（偏微分・多変数）に関する一問一答（全75問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．f(x,y)=x^2·y+3y^2 のとき、偏導関数 ∂f/∂x を求めよ。

   • ア．2xy
   • イ．x^2+6y
   • ウ．2xy+3y^2
   • エ．2x+6y

   正解：ア．2xy

   解説：yを定数とみてxで微分。∂f/∂x=2xy。検算: 3y^2はx無関係で0, x^2yは2xy。

2. 問2．f(x,y)=x^2·y+3y^2 のとき、偏導関数 ∂f/∂y を求めよ。

   • ア．2xy
   • イ．x^2+6y
   • ウ．x^2
   • エ．6y

   正解：イ．x^2+6y

   解説：xを定数とみてyで微分。x^2y→x^2, 3y^2→6y。∂f/∂y=x^2+6y。検算: y=0でx^2, 一致。

3. 問3．d/dx [ x·e^x ] を求めよ。

   • ア．x e^x
   • イ．e^x
   • ウ．(1+x)e^x
   • エ．(x−1)e^x

   正解：ウ．(1+x)e^x

   解説：積の微分。(x)'e^x+x(e^x)'=e^x+xe^x=(1+x)e^x。検算: x=0で値1, 一致。

4. 問4．d/dx [ sin(3x) ] を求めよ。

   • ア．cos(3x)
   • イ．−3cos(3x)
   • ウ．3sin(3x)
   • エ．3cos(3x)

   正解：エ．3cos(3x)

   解説：連鎖律。cos(3x)·3=3cos(3x)。検算: x=0で3, sin(3x)≈3xの傾き3と一致。

5. 問5．d/dx [ e^(x^2) ] を求めよ。

   • ア．2x·e^(x^2)
   • イ．e^(x^2)
   • ウ．2x·e^(2x)
   • エ．x^2·e^(x^2)

   正解：ア．2x·e^(x^2)

   解説：連鎖律。e^(x^2)·2x=2x·e^(x^2)。検算: x=0で0, 偶関数の微分は奇関数で符号一致。

6. 問6．d/dx [ log(x^2+1) ] を求めよ。（logは自然対数）

   • ア．1/(x^2+1)
   • イ．2x/(x^2+1)
   • ウ．2x/(x^2+1)^2
   • エ．x/(x^2+1)

   正解：イ．2x/(x^2+1)

   解説：連鎖律。(x^2+1)'/(x^2+1)=2x/(x^2+1)。検算: x=1で2/2=1。

7. 問7．d/dx [ tan(x) ] を求めよ。

   • ア．1/sin^2 x
   • イ．−1/cos^2 x
   • ウ．1/cos^2 x
   • エ．tan^2 x

   正解：ウ．1/cos^2 x

   解説：tan'x=sec^2 x=1/cos^2 x。検算: x=0で1, tanの傾き1と一致。

8. 問8．d/dx [ arcsin(x) ] を求めよ。

   • ア．−1/√(1−x^2)
   • イ．1/(1+x^2)
   • ウ．1/√(1+x^2)
   • エ．1/√(1−x^2)

   正解：エ．1/√(1−x^2)

   解説：逆三角の公式。1/√(1−x^2)。検算: x=0で1。

9. 問9．d/dx [ arctan(x) ] を求めよ。

   • ア．1/(1+x^2)
   • イ．1/√(1−x^2)
   • ウ．−1/(1+x^2)
   • エ．x/(1+x^2)

   正解：ア．1/(1+x^2)

   解説：逆三角の公式。1/(1+x^2)。検算: x=0で1。

10. 問10．d/dx [ x^3·sin x ] を求めよ。

    • ア．3x^2 cos x
    • イ．3x^2 sin x + x^3 cos x
    • ウ．x^3 cos x
    • エ．3x^2 sin x − x^3 cos x

    正解：イ．3x^2 sin x + x^3 cos x

    解説：積の微分。3x^2 sin x + x^3 cos x。検算: x項展開で最低次3x^2·x=3x^3一致。

11. 問11．d/dx [ (2x+1)/(x−1) ] を求めよ。

    • ア．3/(x−1)^2
    • イ．−1/(x−1)^2
    • ウ．−3/(x−1)^2
    • エ．(4x−1)/(x−1)^2

    正解：ウ．−3/(x−1)^2

    解説：商の微分。{2(x−1)−(2x+1)}/(x−1)^2=(2x−2−2x−1)/(x−1)^2=−3/(x−1)^2。検算: 分子−3。

12. 問12．f(x,y)=sin(xy) のとき ∂f/∂x を求めよ。

    • ア．cos(xy)
    • イ．x cos(xy)
    • ウ．y sin(xy)
    • エ．y cos(xy)

    正解：エ．y cos(xy)

    解説：yを定数, 連鎖律。cos(xy)·y=y cos(xy)。検算: 対称性より∂f/∂y=x cos(xy)。

13. 問13．f(x,y)=x^3+y^3−3xy のとき ∂f/∂x を求めよ。

    • ア．3x^2−3y
    • イ．3x^2−3xy
    • ウ．3x^2
    • エ．3x^2+3y^2

    正解：ア．3x^2−3y

    解説：yを定数。3x^2−3y。検算: ∂f/∂y=3y^2−3xと対称。

14. 問14．d^2/dx^2 [ sin x ] を求めよ。

    • ア．sin x
    • イ．−sin x
    • ウ．−cos x
    • エ．cos x

    正解：イ．−sin x

    解説：sin'=cos, cos'=−sin。よって−sin x。検算: 周期4回でsinに戻る。

15. 問15．d^2/dx^2 [ e^(2x) ] を求めよ。

    • ア．2e^(2x)
    • イ．e^(2x)
    • ウ．4e^(2x)
    • エ．8e^(2x)

    正解：ウ．4e^(2x)

    解説：1階2e^(2x), 2階4e^(2x)。検算: n階で2^n e^(2x), n=2で4。

16. 問16．d/dx [ √x ] を求めよ。

    • ア．1/√x
    • イ．2√x
    • ウ．−1/(2√x)
    • エ．1/(2√x)

    正解：エ．1/(2√x)

    解説：x^(1/2)の微分。(1/2)x^(−1/2)=1/(2√x)。検算: x=1で1/2。

17. 問17．d/dx [ 1/x ] を求めよ。

    • ア．−1/x^2
    • イ．1/x^2
    • ウ．−1/x
    • エ．log x

    正解：ア．−1/x^2

    解説：x^(−1)の微分。−x^(−2)=−1/x^2。検算: x=1で−1。

18. 問18．f(x)=e^x のマクローリン展開で x^3 の係数を求めよ。

    • ア．1/3
    • イ．1/6
    • ウ．1/2
    • エ．1

    正解：イ．1/6

    解説：e^x=Σx^n/n!。x^3係数は1/3!=1/6。検算: f'''(0)/3!=1/6。

19. 問19．f(x)=sin x のマクローリン展開で x^3 の係数を求めよ。

    • ア．1/6
    • イ．−1/3
    • ウ．−1/6
    • エ．1/2

    正解：ウ．−1/6

    解説：sin x=x−x^3/3!+…。x^3係数は−1/6。検算: f'''(0)=−cos0=−1, /3!=−1/6。

20. 問20．f(x)=cos x のマクローリン展開で x^2 の係数を求めよ。

    • ア．1/2
    • イ．−1
    • ウ．1/4
    • エ．−1/2

    正解：エ．−1/2

    解説：cos x=1−x^2/2!+…。x^2係数は−1/2。検算: f''(0)=−1, /2!=−1/2。

21. 問21．f(x)=log(1+x) のマクローリン展開で x^2 の係数を求めよ。

    • ア．−1/2
    • イ．1/2
    • ウ．−1
    • エ．1/3

    正解：ア．−1/2

    解説：log(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−…。x^2係数は−1/2。検算: f''(0)=−1/(1+0)^2=−1, /2!=−1/2。

22. 問22．f(x,y)=x^2+xy+y^2 の2階偏導関数 ∂²f/∂x∂y を求めよ。

    • ア．2
    • イ．1
    • ウ．x+y
    • エ．0

    正解：イ．1

    解説：∂f/∂x=2x+y, これをyで偏微分→1。検算: ∂f/∂y=x+2y, xで偏微分→1で一致。

23. 問23．f(x,y)=x^3 y^2 の ∂²f/∂x∂y を求めよ。

    • ア．3x^2 y^2
    • イ．6xy
    • ウ．6x^2 y
    • エ．2x^3

    正解：ウ．6x^2 y

    解説：∂f/∂x=3x^2 y^2, yで偏微分→6x^2 y。検算: ∂f/∂y=2x^3 y, xで偏微分→6x^2 y一致。

24. 問24．f(x,y)=x^2+y^2 の全微分 df を求めよ。

    • ア．2x dx
    • イ．(x^2+y^2)d
    • ウ．2(x+y)d
    • エ．2x dx + 2y dy

    正解：エ．2x dx + 2y dy

    解説：df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=2x dx+2y dy。検算: 各偏微分2x,2y。

25. 問25．f(x,y)=x^2 y の点(1,2)における勾配 ∇f を求めよ。

    • ア．(4,1)
    • イ．(2,1)
    • ウ．(4,2)
    • エ．(1,4)

    正解：ア．(4,1)

    解説：∇f=(2xy, x^2)=(2·1·2,1)=(4,1)。検算: ∂f/∂x=2xy=4, ∂f/∂y=x^2=1。

26. 問26．d/dx [ x^x ] を求めよ（x>0）。

    • ア．x·x^(x−1)
    • イ．x^x(log x+1)
    • ウ．x^x log x
    • エ．x^x

    正解：イ．x^x(log x+1)

    解説：対数微分。log y=x log x, y'/y=log x+1, y'=x^x(log x+1)。検算: x=1で1·(0+1)=1。

27. 問27．z=f(x,y), x=t^2, y=t のとき dz/dt を連鎖律で表すと？

    • ア．f_x + f_y
    • イ．2t(f_x+f_y)
    • ウ．2t·f_x + f_y
    • エ．t·f_x + f_y

    正解：ウ．2t·f_x + f_y

    解説：dz/dt=(∂f/∂x)(dx/dt)+(∂f/∂y)(dy/dt)=2t·f_x+f_y。検算: dx/dt=2t, dy/dt=1。

28. 問28．曲線 x^2+y^2=25 上で dy/dx を陰関数微分で求めよ。

    • ア．x/y
    • イ．−y/x
    • ウ．y/x
    • エ．−x/y

    正解：エ．−x/y

    解説：両辺微分 2x+2y y'=0, y'=−x/y。検算: 円の接線傾きは半径に垂直で−x/y。

29. 問29．f(x)=x^3−3x の停留点における x の値をすべて含む選択肢を選べ。

    • ア．x=±1
    • イ．x=0
    • ウ．x=±√3
    • エ．x=1のみ

    正解：ア．x=±1

    解説：f'=3x^2−3=0→x^2=1→x=±1。検算: f'(1)=0, f'(−1)=0。

30. 問30．f(x)=x^3−3x について x=1 は極大か極小か。

    • ア．極大
    • イ．極小
    • ウ．変曲点
    • エ．判定不能

    正解：イ．極小

    解説：f''=6x, f''(1)=6>0より極小。検算: f(1)=−2, 近傍より小さい。

31. 問31．d/dx [ cos(x^2) ] を求めよ。

    • ア．−sin(x^2)
    • イ．2x sin(x^2)
    • ウ．−2x sin(x^2)
    • エ．−2x cos(x^2)

    正解：ウ．−2x sin(x^2)

    解説：連鎖律。−sin(x^2)·2x=−2x sin(x^2)。検算: x=0で0。

32. 問32．d/dx [ e^x·cos x ] を求めよ。

    • ア．e^x(cos x + sin x)
    • イ．−e^x sin x
    • ウ．e^x cos x
    • エ．e^x(cos x − sin x)

    正解：エ．e^x(cos x − sin x)

    解説：積の微分。e^x cos x + e^x(−sin x)=e^x(cos x−sin x)。検算: x=0で1·(1−0)=1。

33. 問33．d/dx [ log(sin x) ] を求めよ。

    • ア．cot x
    • イ．tan x
    • ウ．1/sin x
    • エ．cos x

    正解：ア．cot x

    解説：連鎖律。cos x/sin x=cot x。検算: 1/sin x·cos x=cot x。

34. 問34．f(x,y)=e^(x+2y) の ∂f/∂y を求めよ。

    • ア．e^(x+2y)
    • イ．2e^(x+2y)
    • ウ．2e^(2y)
    • エ．e^(x+2y)/2

    正解：イ．2e^(x+2y)

    解説：連鎖律, xを定数。e^(x+2y)·2=2e^(x+2y)。検算: ∂f/∂x=e^(x+2y)。

35. 問35．d/dx [ (x^2+1)^5 ] を求めよ。

    • ア．5(x^2+1)^4
    • イ．10x(x^2+1)^5
    • ウ．10x(x^2+1)^4
    • エ．2x(x^2+1)^4

    正解：ウ．10x(x^2+1)^4

    解説：連鎖律。5(x^2+1)^4·2x=10x(x^2+1)^4。検算: x=0で0。

36. 問36．d/dx [ arccos(x) ] を求めよ。

    • ア．1/√(1−x^2)
    • イ．−1/(1+x^2)
    • ウ．1/√(1+x^2)
    • エ．−1/√(1−x^2)

    正解：エ．−1/√(1−x^2)

    解説：逆三角の公式。−1/√(1−x^2)。検算: arcsinとは符号が逆。

37. 問37．f(x)=e^x のマクローリン展開で x^4 の係数を求めよ。

    • ア．1/24
    • イ．1/12
    • ウ．1/6
    • エ．1/4

    正解：ア．1/24

    解説：1/4!=1/24。検算: e^x=Σx^n/n!, n=4で1/24。

38. 問38．d^3/dx^3 [ x^4 ] を求めよ。

    • ア．12x^2
    • イ．24x
    • ウ．24
    • エ．4x^3

    正解：イ．24x

    解説：4x^3→12x^2→24x。検算: n階微分でx^(4−n)·4·3·2…, 3階で24x。

39. 問39．f(x,y)=x/y の ∂f/∂y を求めよ。

    • ア．1/y
    • イ．x/y^2
    • ウ．−x/y^2
    • エ．−1/y^2

    正解：ウ．−x/y^2

    解説：x定数, y^(−1)の微分。x·(−y^(−2))=−x/y^2。検算: ∂f/∂x=1/y。

40. 問40．d/dx [ sinh x ] を求めよ。

    • ア．−cosh x
    • イ．sinh x
    • ウ．−sinh x
    • エ．cosh x

    正解：エ．cosh x

    解説：sinh x=(e^x−e^(−x))/2, 微分=(e^x+e^(−x))/2=cosh x。検算: x=0で1。

41. 問41．d/dx [ cosh x ] を求めよ。

    • ア．sinh x
    • イ．cosh x
    • ウ．−sinh x
    • エ．tanh x

    正解：ア．sinh x

    解説：cosh x=(e^x+e^(−x))/2, 微分=(e^x−e^(−x))/2=sinh x。検算: x=0で0。

42. 問42．f(x,y)=x^2+y^2 の点(3,4)における勾配ベクトルの大きさ |∇f| を求めよ。

    • ア．√50
    • イ．10
    • ウ．14
    • エ．100

    正解：イ．10

    解説：∇f=(2x,2y)=(6,8), |∇f|=√(36+64)=√100=10。検算: √(6^2+8^2)=10。

43. 問43．d/dx [ x·log x ] を求めよ（x>0）。

    • ア．log x
    • イ．1/x
    • ウ．log x + 1
    • エ．x log x

    正解：ウ．log x + 1

    解説：積の微分。log x+x·(1/x)=log x+1。検算: x=1でlog1+1=1。

44. 問44．d/dx [ tan(2x) ] を求めよ。

    • ア．1/cos^2(2x)
    • イ．2 tan(2x)
    • ウ．2/sin^2(2x)
    • エ．2/cos^2(2x)

    正解：エ．2/cos^2(2x)

    解説：連鎖律。sec^2(2x)·2=2/cos^2(2x)。検算: x=0で2/1=2。

45. 問45．f(x,y)=ln(x^2+y^2) の ∂f/∂x を求めよ。

    • ア．2x/(x^2+y^2)
    • イ．x/(x^2+y^2)
    • ウ．2x/(x^2+y^2)^2
    • エ．1/(x^2+y^2)

    正解：ア．2x/(x^2+y^2)

    解説：連鎖律。2x/(x^2+y^2)。検算: 対称性より∂f/∂y=2y/(x^2+y^2)。

46. 問46．f(x)=√x のテイラー展開を x=1 まわりで考えるとき、1次の項の係数 f'(1) を求めよ。

    • ア．1
    • イ．1/2
    • ウ．1/4
    • エ．2

    正解：イ．1/2

    解説：f'(x)=1/(2√x), f'(1)=1/2。検算: √1.01≈1.005, 傾き0.5。

47. 問47．d/dx [ e^(sin x) ] を求めよ。

    • ア．e^(sin x)
    • イ．sin x·e^(sin x)
    • ウ．cos x·e^(sin x)
    • エ．cos x·e^(cos x)

    正解：ウ．cos x·e^(sin x)

    解説：連鎖律。e^(sin x)·cos x=cos x·e^(sin x)。検算: x=0でe^0·1=1。

48. 問48．d/dx [ x^2·e^(−x) ] を求めよ。

    • ア．e^(−x)(2x + x^2)
    • イ．2x e^(−x)
    • ウ．−x^2 e^(−x)
    • エ．e^(−x)(2x − x^2)

    正解：エ．e^(−x)(2x − x^2)

    解説：積の微分。2x e^(−x)+x^2(−e^(−x))=e^(−x)(2x−x^2)。検算: x=0で0。

49. 問49．f(x,y)=x^2 y^3 の ∂²f/∂x² を求めよ。

    • ア．2y^3
    • イ．6x^2 y
    • ウ．2x y^3
    • エ．6xy^2

    正解：ア．2y^3

    解説：∂f/∂x=2x y^3, 再びxで→2y^3。検算: yを定数とみた2回微分。

50. 問50．f(x,y)=x^2 y^3 の ∂²f/∂y² を求めよ。

    • ア．6x y^2
    • イ．6x^2 y
    • ウ．3x^2 y^2
    • エ．2x^2 y

    正解：イ．6x^2 y

    解説：∂f/∂y=3x^2 y^2, 再びyで→6x^2 y。検算: yの2階で3·2=6。

51. 問51．陰関数 x^3+y^3=6xy について dy/dx を求めよ。

    • ア．(x^2−2y)/(y^2−2x)
    • イ．(2y−x^2)/(2x−y^2)
    • ウ．(2y−x^2)/(y^2−2x)
    • エ．(x^2+2y)/(y^2+2x)

    正解：ウ．(2y−x^2)/(y^2−2x)

    解説：微分 3x^2+3y^2 y'=6y+6x y'。整理 y'=(6y−3x^2)/(3y^2−6x)=(2y−x^2)/(y^2−2x)。検算: 分子分母3で約分。

52. 問52．f(x)=x^4−2x^2 の停留点 x=0 は極大・極小・どちらでもないのいずれか。

    • ア．極小
    • イ．変曲点
    • ウ．判定不能
    • エ．極大

    正解：エ．極大

    解説：f'=4x^3−4x=4x(x^2−1), x=0で0。f''=12x^2−4, f''(0)=−4<0より極大。検算: f(0)=0, x=±0.5でf<0。

53. 問53．f(x)=x^4−2x^2 の停留点 x=1 は極大か極小か。

    • ア．極小
    • イ．極大
    • ウ．変曲点
    • エ．判定不能

    正解：ア．極小

    解説：f''=12x^2−4, f''(1)=8>0より極小。検算: f(1)=−1で近傍最小。

54. 問54．d/dx [ log_10 x ] を求めよ（常用対数）。

    • ア．1/x
    • イ．1/(x ln10)
    • ウ．ln10/x
    • エ．1/(x log10)

    正解：イ．1/(x ln10)

    解説：log_10 x=ln x/ln10, 微分=1/(x ln10)。検算: 底変換公式。

55. 問55．d/dx [ (sin x)^2 ] を求めよ。

    • ア．2 sin x
    • イ．2 cos x
    • ウ．sin(2x)
    • エ．cos(2x)

    正解：ウ．sin(2x)

    解説：連鎖律。2 sin x cos x=sin(2x)。検算: 倍角公式と一致。

56. 問56．d/dx [ x/(1+x^2) ] を求めよ。

    • ア．(1+x^2)/(1+x^2)^2
    • イ．(x^2−1)/(1+x^2)^2
    • ウ．1/(1+x^2)
    • エ．(1−x^2)/(1+x^2)^2

    正解：エ．(1−x^2)/(1+x^2)^2

    解説：商の微分。{(1+x^2)−x·2x}/(1+x^2)^2=(1−x^2)/(1+x^2)^2。検算: x=0で1。

57. 問57．d/dx [ 3^x ] を求めよ。

    • ア．3^x ln3
    • イ．x·3^(x−1)
    • ウ．3^x
    • エ．3^x/ln3

    正解：ア．3^x ln3

    解説：a^x の微分=a^x ln a。3^x ln3。検算: x=0でln3。

58. 問58．f(x,y)=x^3 y + x y^3 の ∂²f/∂x∂y を求めよ。

    • ア．3x^2 y + 3y^2
    • イ．3x^2 + 3y^2
    • ウ．6xy
    • エ．x^2+y^2

    正解：イ．3x^2 + 3y^2

    解説：∂f/∂x=3x^2 y+y^3, yで→3x^2+3y^2。検算: ∂f/∂y=x^3+3xy^2, xで→3x^2+3y^2一致。

59. 問59．d/dx [ √(1+x^2) ] を求めよ。

    • ア．1/√(1+x^2)
    • イ．x/(1+x^2)
    • ウ．x/√(1+x^2)
    • エ．2x/√(1+x^2)

    正解：ウ．x/√(1+x^2)

    解説：連鎖律。(1/2)(1+x^2)^(−1/2)·2x=x/√(1+x^2)。検算: x=0で0。

60. 問60．f(x)=cos x のマクローリン展開で x^4 の係数を求めよ。

    • ア．−1/24
    • イ．1/12
    • ウ．−1/2
    • エ．1/24

    正解：エ．1/24

    解説：cos x=1−x^2/2!+x^4/4!−…。x^4係数は1/24。検算: f''''(0)=1, /4!=1/24。

61. 問61．d/dx [ e^(−x^2/2) ] を求めよ。

    • ア．−x·e^(−x^2/2)
    • イ．x·e^(−x^2/2)
    • ウ．−e^(−x^2/2)
    • エ．−x^2 e^(−x^2/2)

    正解：ア．−x·e^(−x^2/2)

    解説：連鎖律。e^(−x^2/2)·(−x)=−x·e^(−x^2/2)。検算: x=0で0, 正規分布密度の導関数。

62. 問62．f(x,y)=x^2−y^2 の点(1,1)における勾配 ∇f を求めよ。

    • ア．(2,2)
    • イ．(2,−2)
    • ウ．(−2,2)
    • エ．(2,−1)

    正解：イ．(2,−2)

    解説：∇f=(2x,−2y)=(2,−2)。検算: ∂f/∂x=2x=2, ∂f/∂y=−2y=−2。

63. 問63．d/dx [ arctan(2x) ] を求めよ。

    • ア．1/(1+4x^2)
    • イ．2/(1+2x^2)
    • ウ．2/(1+4x^2)
    • エ．2x/(1+4x^2)

    正解：ウ．2/(1+4x^2)

    解説：連鎖律。2/(1+(2x)^2)=2/(1+4x^2)。検算: x=0で2。

64. 問64．d/dx [ x·arctan x ] を求めよ。

    • ア．arctan x
    • イ．x/(1+x^2)
    • ウ．1/(1+x^2)
    • エ．arctan x + x/(1+x^2)

    正解：エ．arctan x + x/(1+x^2)

    解説：積の微分。arctan x + x/(1+x^2)。検算: x=0で0+0=0。

65. 問65．f(x,y)=cos(x^2+y^2) の ∂f/∂x を求めよ。

    • ア．−2x sin(x^2+y^2)
    • イ．−sin(x^2+y^2)
    • ウ．2x sin(x^2+y^2)
    • エ．−2x cos(x^2+y^2)

    正解：ア．−2x sin(x^2+y^2)

    解説：連鎖律, yを定数。−sin(x^2+y^2)·2x=−2x sin(x^2+y^2)。検算: 対称性で∂f/∂y=−2y sin(…)。

66. 問66．d^2/dx^2 [ log x ] を求めよ（x>0）。

    • ア．1/x^2
    • イ．−1/x^2
    • ウ．1/x
    • エ．−1/x

    正解：イ．−1/x^2

    解説：1階1/x, 2階−1/x^2。検算: (x^(−1))'=−x^(−2)。

67. 問67．d/dx [ (3x−1)^4 ] を求めよ。

    • ア．4(3x−1)^3
    • イ．12(3x−1)^4
    • ウ．12(3x−1)^3
    • エ．3(3x−1)^3

    正解：ウ．12(3x−1)^3

    解説：連鎖律。4(3x−1)^3·3=12(3x−1)^3。検算: x=1/3で0。

68. 問68．f(x,y)=x^2 y のとき、点(2,3)での全微分 df を dx,dy で表せ。

    • ア．12 dx
    • イ．6 dx + 4 dy
    • ウ．4 dx + 12 dy
    • エ．12 dx + 4 dy

    正解：エ．12 dx + 4 dy

    解説：df=2xy dx+x^2 dy=2·2·3 dx+4 dy=12dx+4dy。検算: ∂f/∂x=12, ∂f/∂y=4。

69. 問69．d/dx [ 1/(x^2+1) ] を求めよ。

    • ア．−2x/(x^2+1)^2
    • イ．2x/(x^2+1)^2
    • ウ．−1/(x^2+1)^2
    • エ．−2x/(x^2+1)

    正解：ア．−2x/(x^2+1)^2

    解説：(x^2+1)^(−1)の微分。−(x^2+1)^(−2)·2x=−2x/(x^2+1)^2。検算: x=0で0。

70. 問70．d/dx [ tanh x ] を求めよ。

    • ア．1/sinh^2 x
    • イ．1/cosh^2 x
    • ウ．tanh^2 x
    • エ．−1/cosh^2 x

    正解：イ．1/cosh^2 x

    解説：tanh'x=1−tanh^2 x=1/cosh^2 x=sech^2 x。検算: x=0で1。

71. 問71．f(x)=1/(1−x) のマクローリン展開で x^3 の係数を求めよ。

    • ア．1/6
    • イ．1/3
    • ウ．1
    • エ．−1

    正解：ウ．1

    解説：1/(1−x)=1+x+x^2+x^3+…。x^3係数は1。検算: 等比級数。

72. 問72．d/dx [ sin x · cos x ] を求めよ。

    • ア．sin(2x)
    • イ．2cos(2x)
    • ウ．cos^2 x
    • エ．cos(2x)

    正解：エ．cos(2x)

    解説：sin x cos x=(1/2)sin2x, 微分=cos2x。または積の微分cos^2−sin^2=cos2x。検算: x=0で1。

73. 問73．f(x,y,z)=x y z の ∂f/∂z を求めよ。

    • ア．xy
    • イ．xyz
    • ウ．yz
    • エ．xz

    正解：ア．xy

    解説：x,yを定数。∂f/∂z=xy。検算: 対称性で∂f/∂x=yz。

74. 問74．曲線 y=x^3 上の点(1,1)での接線の傾きを求めよ。

    • ア．1
    • イ．3
    • ウ．2
    • エ．6

    正解：イ．3

    解説：y'=3x^2, x=1で3。検算: 接線傾き=導関数値。

75. 問75．f(x)=x^2 e^x の x=0 における2階導関数 f''(0) を求めよ。

    • ア．0
    • イ．1
    • ウ．2
    • エ．4

    正解：ウ．2

    解説：f'=2xe^x+x^2 e^x=e^x(2x+x^2), f''=e^x(2x+x^2)+e^x(2+2x)=e^x(x^2+4x+2), f''(0)=2。検算: マクローリンx^2項係数1, f''(0)/2!=1→f''(0)=2。