数検1級（実用数学技能検定 1級） 全分野の一問一答

数検1級（実用数学技能検定 1級）の全分野に関する一問一答（全495問）の正解と解説の一覧です。上の一問一答で実際に解いてから、ここで復習・確認できます。

1. 問1．f(x,y)=x^2·y+3y^2 のとき、偏導関数 ∂f/∂x を求めよ。

   • ア．2xy
   • イ．x^2+6y
   • ウ．2xy+3y^2
   • エ．2x+6y

   正解：ア．2xy

   解説：yを定数とみてxで微分。∂f/∂x=2xy。検算: 3y^2はx無関係で0, x^2yは2xy。

2. 問2．f(x,y)=x^2·y+3y^2 のとき、偏導関数 ∂f/∂y を求めよ。

   • ア．2xy
   • イ．x^2+6y
   • ウ．x^2
   • エ．6y

   正解：イ．x^2+6y

   解説：xを定数とみてyで微分。x^2y→x^2, 3y^2→6y。∂f/∂y=x^2+6y。検算: y=0でx^2, 一致。

3. 問3．d/dx [ x·e^x ] を求めよ。

   • ア．x e^x
   • イ．e^x
   • ウ．(1+x)e^x
   • エ．(x−1)e^x

   正解：ウ．(1+x)e^x

   解説：積の微分。(x)'e^x+x(e^x)'=e^x+xe^x=(1+x)e^x。検算: x=0で値1, 一致。

4. 問4．d/dx [ sin(3x) ] を求めよ。

   • ア．cos(3x)
   • イ．−3cos(3x)
   • ウ．3sin(3x)
   • エ．3cos(3x)

   正解：エ．3cos(3x)

   解説：連鎖律。cos(3x)·3=3cos(3x)。検算: x=0で3, sin(3x)≈3xの傾き3と一致。

5. 問5．d/dx [ e^(x^2) ] を求めよ。

   • ア．2x·e^(x^2)
   • イ．e^(x^2)
   • ウ．2x·e^(2x)
   • エ．x^2·e^(x^2)

   正解：ア．2x·e^(x^2)

   解説：連鎖律。e^(x^2)·2x=2x·e^(x^2)。検算: x=0で0, 偶関数の微分は奇関数で符号一致。

6. 問6．d/dx [ log(x^2+1) ] を求めよ。（logは自然対数）

   • ア．1/(x^2+1)
   • イ．2x/(x^2+1)
   • ウ．2x/(x^2+1)^2
   • エ．x/(x^2+1)

   正解：イ．2x/(x^2+1)

   解説：連鎖律。(x^2+1)'/(x^2+1)=2x/(x^2+1)。検算: x=1で2/2=1。

7. 問7．d/dx [ tan(x) ] を求めよ。

   • ア．1/sin^2 x
   • イ．−1/cos^2 x
   • ウ．1/cos^2 x
   • エ．tan^2 x

   正解：ウ．1/cos^2 x

   解説：tan'x=sec^2 x=1/cos^2 x。検算: x=0で1, tanの傾き1と一致。

8. 問8．d/dx [ arcsin(x) ] を求めよ。

   • ア．−1/√(1−x^2)
   • イ．1/(1+x^2)
   • ウ．1/√(1+x^2)
   • エ．1/√(1−x^2)

   正解：エ．1/√(1−x^2)

   解説：逆三角の公式。1/√(1−x^2)。検算: x=0で1。

9. 問9．d/dx [ arctan(x) ] を求めよ。

   • ア．1/(1+x^2)
   • イ．1/√(1−x^2)
   • ウ．−1/(1+x^2)
   • エ．x/(1+x^2)

   正解：ア．1/(1+x^2)

   解説：逆三角の公式。1/(1+x^2)。検算: x=0で1。

10. 問10．d/dx [ x^3·sin x ] を求めよ。

    • ア．3x^2 cos x
    • イ．3x^2 sin x + x^3 cos x
    • ウ．x^3 cos x
    • エ．3x^2 sin x − x^3 cos x

    正解：イ．3x^2 sin x + x^3 cos x

    解説：積の微分。3x^2 sin x + x^3 cos x。検算: x項展開で最低次3x^2·x=3x^3一致。

11. 問11．d/dx [ (2x+1)/(x−1) ] を求めよ。

    • ア．3/(x−1)^2
    • イ．−1/(x−1)^2
    • ウ．−3/(x−1)^2
    • エ．(4x−1)/(x−1)^2

    正解：ウ．−3/(x−1)^2

    解説：商の微分。{2(x−1)−(2x+1)}/(x−1)^2=(2x−2−2x−1)/(x−1)^2=−3/(x−1)^2。検算: 分子−3。

12. 問12．f(x,y)=sin(xy) のとき ∂f/∂x を求めよ。

    • ア．cos(xy)
    • イ．x cos(xy)
    • ウ．y sin(xy)
    • エ．y cos(xy)

    正解：エ．y cos(xy)

    解説：yを定数, 連鎖律。cos(xy)·y=y cos(xy)。検算: 対称性より∂f/∂y=x cos(xy)。

13. 問13．f(x,y)=x^3+y^3−3xy のとき ∂f/∂x を求めよ。

    • ア．3x^2−3y
    • イ．3x^2−3xy
    • ウ．3x^2
    • エ．3x^2+3y^2

    正解：ア．3x^2−3y

    解説：yを定数。3x^2−3y。検算: ∂f/∂y=3y^2−3xと対称。

14. 問14．d^2/dx^2 [ sin x ] を求めよ。

    • ア．sin x
    • イ．−sin x
    • ウ．−cos x
    • エ．cos x

    正解：イ．−sin x

    解説：sin'=cos, cos'=−sin。よって−sin x。検算: 周期4回でsinに戻る。

15. 問15．d^2/dx^2 [ e^(2x) ] を求めよ。

    • ア．2e^(2x)
    • イ．e^(2x)
    • ウ．4e^(2x)
    • エ．8e^(2x)

    正解：ウ．4e^(2x)

    解説：1階2e^(2x), 2階4e^(2x)。検算: n階で2^n e^(2x), n=2で4。

16. 問16．d/dx [ √x ] を求めよ。

    • ア．1/√x
    • イ．2√x
    • ウ．−1/(2√x)
    • エ．1/(2√x)

    正解：エ．1/(2√x)

    解説：x^(1/2)の微分。(1/2)x^(−1/2)=1/(2√x)。検算: x=1で1/2。

17. 問17．d/dx [ 1/x ] を求めよ。

    • ア．−1/x^2
    • イ．1/x^2
    • ウ．−1/x
    • エ．log x

    正解：ア．−1/x^2

    解説：x^(−1)の微分。−x^(−2)=−1/x^2。検算: x=1で−1。

18. 問18．f(x)=e^x のマクローリン展開で x^3 の係数を求めよ。

    • ア．1/3
    • イ．1/6
    • ウ．1/2
    • エ．1

    正解：イ．1/6

    解説：e^x=Σx^n/n!。x^3係数は1/3!=1/6。検算: f'''(0)/3!=1/6。

19. 問19．f(x)=sin x のマクローリン展開で x^3 の係数を求めよ。

    • ア．1/6
    • イ．−1/3
    • ウ．−1/6
    • エ．1/2

    正解：ウ．−1/6

    解説：sin x=x−x^3/3!+…。x^3係数は−1/6。検算: f'''(0)=−cos0=−1, /3!=−1/6。

20. 問20．f(x)=cos x のマクローリン展開で x^2 の係数を求めよ。

    • ア．1/2
    • イ．−1
    • ウ．1/4
    • エ．−1/2

    正解：エ．−1/2

    解説：cos x=1−x^2/2!+…。x^2係数は−1/2。検算: f''(0)=−1, /2!=−1/2。

21. 問21．f(x)=log(1+x) のマクローリン展開で x^2 の係数を求めよ。

    • ア．−1/2
    • イ．1/2
    • ウ．−1
    • エ．1/3

    正解：ア．−1/2

    解説：log(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−…。x^2係数は−1/2。検算: f''(0)=−1/(1+0)^2=−1, /2!=−1/2。

22. 問22．f(x,y)=x^2+xy+y^2 の2階偏導関数 ∂²f/∂x∂y を求めよ。

    • ア．2
    • イ．1
    • ウ．x+y
    • エ．0

    正解：イ．1

    解説：∂f/∂x=2x+y, これをyで偏微分→1。検算: ∂f/∂y=x+2y, xで偏微分→1で一致。

23. 問23．f(x,y)=x^3 y^2 の ∂²f/∂x∂y を求めよ。

    • ア．3x^2 y^2
    • イ．6xy
    • ウ．6x^2 y
    • エ．2x^3

    正解：ウ．6x^2 y

    解説：∂f/∂x=3x^2 y^2, yで偏微分→6x^2 y。検算: ∂f/∂y=2x^3 y, xで偏微分→6x^2 y一致。

24. 問24．f(x,y)=x^2+y^2 の全微分 df を求めよ。

    • ア．2x dx
    • イ．(x^2+y^2)d
    • ウ．2(x+y)d
    • エ．2x dx + 2y dy

    正解：エ．2x dx + 2y dy

    解説：df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=2x dx+2y dy。検算: 各偏微分2x,2y。

25. 問25．f(x,y)=x^2 y の点(1,2)における勾配 ∇f を求めよ。

    • ア．(4,1)
    • イ．(2,1)
    • ウ．(4,2)
    • エ．(1,4)

    正解：ア．(4,1)

    解説：∇f=(2xy, x^2)=(2·1·2,1)=(4,1)。検算: ∂f/∂x=2xy=4, ∂f/∂y=x^2=1。

26. 問26．d/dx [ x^x ] を求めよ（x>0）。

    • ア．x·x^(x−1)
    • イ．x^x(log x+1)
    • ウ．x^x log x
    • エ．x^x

    正解：イ．x^x(log x+1)

    解説：対数微分。log y=x log x, y'/y=log x+1, y'=x^x(log x+1)。検算: x=1で1·(0+1)=1。

27. 問27．z=f(x,y), x=t^2, y=t のとき dz/dt を連鎖律で表すと？

    • ア．f_x + f_y
    • イ．2t(f_x+f_y)
    • ウ．2t·f_x + f_y
    • エ．t·f_x + f_y

    正解：ウ．2t·f_x + f_y

    解説：dz/dt=(∂f/∂x)(dx/dt)+(∂f/∂y)(dy/dt)=2t·f_x+f_y。検算: dx/dt=2t, dy/dt=1。

28. 問28．曲線 x^2+y^2=25 上で dy/dx を陰関数微分で求めよ。

    • ア．x/y
    • イ．−y/x
    • ウ．y/x
    • エ．−x/y

    正解：エ．−x/y

    解説：両辺微分 2x+2y y'=0, y'=−x/y。検算: 円の接線傾きは半径に垂直で−x/y。

29. 問29．f(x)=x^3−3x の停留点における x の値をすべて含む選択肢を選べ。

    • ア．x=±1
    • イ．x=0
    • ウ．x=±√3
    • エ．x=1のみ

    正解：ア．x=±1

    解説：f'=3x^2−3=0→x^2=1→x=±1。検算: f'(1)=0, f'(−1)=0。

30. 問30．f(x)=x^3−3x について x=1 は極大か極小か。

    • ア．極大
    • イ．極小
    • ウ．変曲点
    • エ．判定不能

    正解：イ．極小

    解説：f''=6x, f''(1)=6>0より極小。検算: f(1)=−2, 近傍より小さい。

31. 問31．d/dx [ cos(x^2) ] を求めよ。

    • ア．−sin(x^2)
    • イ．2x sin(x^2)
    • ウ．−2x sin(x^2)
    • エ．−2x cos(x^2)

    正解：ウ．−2x sin(x^2)

    解説：連鎖律。−sin(x^2)·2x=−2x sin(x^2)。検算: x=0で0。

32. 問32．d/dx [ e^x·cos x ] を求めよ。

    • ア．e^x(cos x + sin x)
    • イ．−e^x sin x
    • ウ．e^x cos x
    • エ．e^x(cos x − sin x)

    正解：エ．e^x(cos x − sin x)

    解説：積の微分。e^x cos x + e^x(−sin x)=e^x(cos x−sin x)。検算: x=0で1·(1−0)=1。

33. 問33．d/dx [ log(sin x) ] を求めよ。

    • ア．cot x
    • イ．tan x
    • ウ．1/sin x
    • エ．cos x

    正解：ア．cot x

    解説：連鎖律。cos x/sin x=cot x。検算: 1/sin x·cos x=cot x。

34. 問34．f(x,y)=e^(x+2y) の ∂f/∂y を求めよ。

    • ア．e^(x+2y)
    • イ．2e^(x+2y)
    • ウ．2e^(2y)
    • エ．e^(x+2y)/2

    正解：イ．2e^(x+2y)

    解説：連鎖律, xを定数。e^(x+2y)·2=2e^(x+2y)。検算: ∂f/∂x=e^(x+2y)。

35. 問35．d/dx [ (x^2+1)^5 ] を求めよ。

    • ア．5(x^2+1)^4
    • イ．10x(x^2+1)^5
    • ウ．10x(x^2+1)^4
    • エ．2x(x^2+1)^4

    正解：ウ．10x(x^2+1)^4

    解説：連鎖律。5(x^2+1)^4·2x=10x(x^2+1)^4。検算: x=0で0。

36. 問36．d/dx [ arccos(x) ] を求めよ。

    • ア．1/√(1−x^2)
    • イ．−1/(1+x^2)
    • ウ．1/√(1+x^2)
    • エ．−1/√(1−x^2)

    正解：エ．−1/√(1−x^2)

    解説：逆三角の公式。−1/√(1−x^2)。検算: arcsinとは符号が逆。

37. 問37．f(x)=e^x のマクローリン展開で x^4 の係数を求めよ。

    • ア．1/24
    • イ．1/12
    • ウ．1/6
    • エ．1/4

    正解：ア．1/24

    解説：1/4!=1/24。検算: e^x=Σx^n/n!, n=4で1/24。

38. 問38．d^3/dx^3 [ x^4 ] を求めよ。

    • ア．12x^2
    • イ．24x
    • ウ．24
    • エ．4x^3

    正解：イ．24x

    解説：4x^3→12x^2→24x。検算: n階微分でx^(4−n)·4·3·2…, 3階で24x。

39. 問39．f(x,y)=x/y の ∂f/∂y を求めよ。

    • ア．1/y
    • イ．x/y^2
    • ウ．−x/y^2
    • エ．−1/y^2

    正解：ウ．−x/y^2

    解説：x定数, y^(−1)の微分。x·(−y^(−2))=−x/y^2。検算: ∂f/∂x=1/y。

40. 問40．d/dx [ sinh x ] を求めよ。

    • ア．−cosh x
    • イ．sinh x
    • ウ．−sinh x
    • エ．cosh x

    正解：エ．cosh x

    解説：sinh x=(e^x−e^(−x))/2, 微分=(e^x+e^(−x))/2=cosh x。検算: x=0で1。

41. 問41．d/dx [ cosh x ] を求めよ。

    • ア．sinh x
    • イ．cosh x
    • ウ．−sinh x
    • エ．tanh x

    正解：ア．sinh x

    解説：cosh x=(e^x+e^(−x))/2, 微分=(e^x−e^(−x))/2=sinh x。検算: x=0で0。

42. 問42．f(x,y)=x^2+y^2 の点(3,4)における勾配ベクトルの大きさ |∇f| を求めよ。

    • ア．√50
    • イ．10
    • ウ．14
    • エ．100

    正解：イ．10

    解説：∇f=(2x,2y)=(6,8), |∇f|=√(36+64)=√100=10。検算: √(6^2+8^2)=10。

43. 問43．d/dx [ x·log x ] を求めよ（x>0）。

    • ア．log x
    • イ．1/x
    • ウ．log x + 1
    • エ．x log x

    正解：ウ．log x + 1

    解説：積の微分。log x+x·(1/x)=log x+1。検算: x=1でlog1+1=1。

44. 問44．d/dx [ tan(2x) ] を求めよ。

    • ア．1/cos^2(2x)
    • イ．2 tan(2x)
    • ウ．2/sin^2(2x)
    • エ．2/cos^2(2x)

    正解：エ．2/cos^2(2x)

    解説：連鎖律。sec^2(2x)·2=2/cos^2(2x)。検算: x=0で2/1=2。

45. 問45．f(x,y)=ln(x^2+y^2) の ∂f/∂x を求めよ。

    • ア．2x/(x^2+y^2)
    • イ．x/(x^2+y^2)
    • ウ．2x/(x^2+y^2)^2
    • エ．1/(x^2+y^2)

    正解：ア．2x/(x^2+y^2)

    解説：連鎖律。2x/(x^2+y^2)。検算: 対称性より∂f/∂y=2y/(x^2+y^2)。

46. 問46．f(x)=√x のテイラー展開を x=1 まわりで考えるとき、1次の項の係数 f'(1) を求めよ。

    • ア．1
    • イ．1/2
    • ウ．1/4
    • エ．2

    正解：イ．1/2

    解説：f'(x)=1/(2√x), f'(1)=1/2。検算: √1.01≈1.005, 傾き0.5。

47. 問47．d/dx [ e^(sin x) ] を求めよ。

    • ア．e^(sin x)
    • イ．sin x·e^(sin x)
    • ウ．cos x·e^(sin x)
    • エ．cos x·e^(cos x)

    正解：ウ．cos x·e^(sin x)

    解説：連鎖律。e^(sin x)·cos x=cos x·e^(sin x)。検算: x=0でe^0·1=1。

48. 問48．d/dx [ x^2·e^(−x) ] を求めよ。

    • ア．e^(−x)(2x + x^2)
    • イ．2x e^(−x)
    • ウ．−x^2 e^(−x)
    • エ．e^(−x)(2x − x^2)

    正解：エ．e^(−x)(2x − x^2)

    解説：積の微分。2x e^(−x)+x^2(−e^(−x))=e^(−x)(2x−x^2)。検算: x=0で0。

49. 問49．f(x,y)=x^2 y^3 の ∂²f/∂x² を求めよ。

    • ア．2y^3
    • イ．6x^2 y
    • ウ．2x y^3
    • エ．6xy^2

    正解：ア．2y^3

    解説：∂f/∂x=2x y^3, 再びxで→2y^3。検算: yを定数とみた2回微分。

50. 問50．f(x,y)=x^2 y^3 の ∂²f/∂y² を求めよ。

    • ア．6x y^2
    • イ．6x^2 y
    • ウ．3x^2 y^2
    • エ．2x^2 y

    正解：イ．6x^2 y

    解説：∂f/∂y=3x^2 y^2, 再びyで→6x^2 y。検算: yの2階で3·2=6。

51. 問51．陰関数 x^3+y^3=6xy について dy/dx を求めよ。

    • ア．(x^2−2y)/(y^2−2x)
    • イ．(2y−x^2)/(2x−y^2)
    • ウ．(2y−x^2)/(y^2−2x)
    • エ．(x^2+2y)/(y^2+2x)

    正解：ウ．(2y−x^2)/(y^2−2x)

    解説：微分 3x^2+3y^2 y'=6y+6x y'。整理 y'=(6y−3x^2)/(3y^2−6x)=(2y−x^2)/(y^2−2x)。検算: 分子分母3で約分。

52. 問52．f(x)=x^4−2x^2 の停留点 x=0 は極大・極小・どちらでもないのいずれか。

    • ア．極小
    • イ．変曲点
    • ウ．判定不能
    • エ．極大

    正解：エ．極大

    解説：f'=4x^3−4x=4x(x^2−1), x=0で0。f''=12x^2−4, f''(0)=−4<0より極大。検算: f(0)=0, x=±0.5でf<0。

53. 問53．f(x)=x^4−2x^2 の停留点 x=1 は極大か極小か。

    • ア．極小
    • イ．極大
    • ウ．変曲点
    • エ．判定不能

    正解：ア．極小

    解説：f''=12x^2−4, f''(1)=8>0より極小。検算: f(1)=−1で近傍最小。

54. 問54．d/dx [ log_10 x ] を求めよ（常用対数）。

    • ア．1/x
    • イ．1/(x ln10)
    • ウ．ln10/x
    • エ．1/(x log10)

    正解：イ．1/(x ln10)

    解説：log_10 x=ln x/ln10, 微分=1/(x ln10)。検算: 底変換公式。

55. 問55．d/dx [ (sin x)^2 ] を求めよ。

    • ア．2 sin x
    • イ．2 cos x
    • ウ．sin(2x)
    • エ．cos(2x)

    正解：ウ．sin(2x)

    解説：連鎖律。2 sin x cos x=sin(2x)。検算: 倍角公式と一致。

56. 問56．d/dx [ x/(1+x^2) ] を求めよ。

    • ア．(1+x^2)/(1+x^2)^2
    • イ．(x^2−1)/(1+x^2)^2
    • ウ．1/(1+x^2)
    • エ．(1−x^2)/(1+x^2)^2

    正解：エ．(1−x^2)/(1+x^2)^2

    解説：商の微分。{(1+x^2)−x·2x}/(1+x^2)^2=(1−x^2)/(1+x^2)^2。検算: x=0で1。

57. 問57．d/dx [ 3^x ] を求めよ。

    • ア．3^x ln3
    • イ．x·3^(x−1)
    • ウ．3^x
    • エ．3^x/ln3

    正解：ア．3^x ln3

    解説：a^x の微分=a^x ln a。3^x ln3。検算: x=0でln3。

58. 問58．f(x,y)=x^3 y + x y^3 の ∂²f/∂x∂y を求めよ。

    • ア．3x^2 y + 3y^2
    • イ．3x^2 + 3y^2
    • ウ．6xy
    • エ．x^2+y^2

    正解：イ．3x^2 + 3y^2

    解説：∂f/∂x=3x^2 y+y^3, yで→3x^2+3y^2。検算: ∂f/∂y=x^3+3xy^2, xで→3x^2+3y^2一致。

59. 問59．d/dx [ √(1+x^2) ] を求めよ。

    • ア．1/√(1+x^2)
    • イ．x/(1+x^2)
    • ウ．x/√(1+x^2)
    • エ．2x/√(1+x^2)

    正解：ウ．x/√(1+x^2)

    解説：連鎖律。(1/2)(1+x^2)^(−1/2)·2x=x/√(1+x^2)。検算: x=0で0。

60. 問60．f(x)=cos x のマクローリン展開で x^4 の係数を求めよ。

    • ア．−1/24
    • イ．1/12
    • ウ．−1/2
    • エ．1/24

    正解：エ．1/24

    解説：cos x=1−x^2/2!+x^4/4!−…。x^4係数は1/24。検算: f''''(0)=1, /4!=1/24。

61. 問61．d/dx [ e^(−x^2/2) ] を求めよ。

    • ア．−x·e^(−x^2/2)
    • イ．x·e^(−x^2/2)
    • ウ．−e^(−x^2/2)
    • エ．−x^2 e^(−x^2/2)

    正解：ア．−x·e^(−x^2/2)

    解説：連鎖律。e^(−x^2/2)·(−x)=−x·e^(−x^2/2)。検算: x=0で0, 正規分布密度の導関数。

62. 問62．f(x,y)=x^2−y^2 の点(1,1)における勾配 ∇f を求めよ。

    • ア．(2,2)
    • イ．(2,−2)
    • ウ．(−2,2)
    • エ．(2,−1)

    正解：イ．(2,−2)

    解説：∇f=(2x,−2y)=(2,−2)。検算: ∂f/∂x=2x=2, ∂f/∂y=−2y=−2。

63. 問63．d/dx [ arctan(2x) ] を求めよ。

    • ア．1/(1+4x^2)
    • イ．2/(1+2x^2)
    • ウ．2/(1+4x^2)
    • エ．2x/(1+4x^2)

    正解：ウ．2/(1+4x^2)

    解説：連鎖律。2/(1+(2x)^2)=2/(1+4x^2)。検算: x=0で2。

64. 問64．d/dx [ x·arctan x ] を求めよ。

    • ア．arctan x
    • イ．x/(1+x^2)
    • ウ．1/(1+x^2)
    • エ．arctan x + x/(1+x^2)

    正解：エ．arctan x + x/(1+x^2)

    解説：積の微分。arctan x + x/(1+x^2)。検算: x=0で0+0=0。

65. 問65．f(x,y)=cos(x^2+y^2) の ∂f/∂x を求めよ。

    • ア．−2x sin(x^2+y^2)
    • イ．−sin(x^2+y^2)
    • ウ．2x sin(x^2+y^2)
    • エ．−2x cos(x^2+y^2)

    正解：ア．−2x sin(x^2+y^2)

    解説：連鎖律, yを定数。−sin(x^2+y^2)·2x=−2x sin(x^2+y^2)。検算: 対称性で∂f/∂y=−2y sin(…)。

66. 問66．d^2/dx^2 [ log x ] を求めよ（x>0）。

    • ア．1/x^2
    • イ．−1/x^2
    • ウ．1/x
    • エ．−1/x

    正解：イ．−1/x^2

    解説：1階1/x, 2階−1/x^2。検算: (x^(−1))'=−x^(−2)。

67. 問67．d/dx [ (3x−1)^4 ] を求めよ。

    • ア．4(3x−1)^3
    • イ．12(3x−1)^4
    • ウ．12(3x−1)^3
    • エ．3(3x−1)^3

    正解：ウ．12(3x−1)^3

    解説：連鎖律。4(3x−1)^3·3=12(3x−1)^3。検算: x=1/3で0。

68. 問68．f(x,y)=x^2 y のとき、点(2,3)での全微分 df を dx,dy で表せ。

    • ア．12 dx
    • イ．6 dx + 4 dy
    • ウ．4 dx + 12 dy
    • エ．12 dx + 4 dy

    正解：エ．12 dx + 4 dy

    解説：df=2xy dx+x^2 dy=2·2·3 dx+4 dy=12dx+4dy。検算: ∂f/∂x=12, ∂f/∂y=4。

69. 問69．d/dx [ 1/(x^2+1) ] を求めよ。

    • ア．−2x/(x^2+1)^2
    • イ．2x/(x^2+1)^2
    • ウ．−1/(x^2+1)^2
    • エ．−2x/(x^2+1)

    正解：ア．−2x/(x^2+1)^2

    解説：(x^2+1)^(−1)の微分。−(x^2+1)^(−2)·2x=−2x/(x^2+1)^2。検算: x=0で0。

70. 問70．d/dx [ tanh x ] を求めよ。

    • ア．1/sinh^2 x
    • イ．1/cosh^2 x
    • ウ．tanh^2 x
    • エ．−1/cosh^2 x

    正解：イ．1/cosh^2 x

    解説：tanh'x=1−tanh^2 x=1/cosh^2 x=sech^2 x。検算: x=0で1。

71. 問71．f(x)=1/(1−x) のマクローリン展開で x^3 の係数を求めよ。

    • ア．1/6
    • イ．1/3
    • ウ．1
    • エ．−1

    正解：ウ．1

    解説：1/(1−x)=1+x+x^2+x^3+…。x^3係数は1。検算: 等比級数。

72. 問72．d/dx [ sin x · cos x ] を求めよ。

    • ア．sin(2x)
    • イ．2cos(2x)
    • ウ．cos^2 x
    • エ．cos(2x)

    正解：エ．cos(2x)

    解説：sin x cos x=(1/2)sin2x, 微分=cos2x。または積の微分cos^2−sin^2=cos2x。検算: x=0で1。

73. 問73．f(x,y,z)=x y z の ∂f/∂z を求めよ。

    • ア．xy
    • イ．xyz
    • ウ．yz
    • エ．xz

    正解：ア．xy

    解説：x,yを定数。∂f/∂z=xy。検算: 対称性で∂f/∂x=yz。

74. 問74．曲線 y=x^3 上の点(1,1)での接線の傾きを求めよ。

    • ア．1
    • イ．3
    • ウ．2
    • エ．6

    正解：イ．3

    解説：y'=3x^2, x=1で3。検算: 接線傾き=導関数値。

75. 問75．f(x)=x^2 e^x の x=0 における2階導関数 f''(0) を求めよ。

    • ア．0
    • イ．1
    • ウ．2
    • エ．4

    正解：ウ．2

    解説：f'=2xe^x+x^2 e^x=e^x(2x+x^2), f''=e^x(2x+x^2)+e^x(2+2x)=e^x(x^2+4x+2), f''(0)=2。検算: マクローリンx^2項係数1, f''(0)/2!=1→f''(0)=2。

76. 問76．微分方程式 dy/dx = 3y の一般解を求めよ（Cは任意定数）。

    • ア．y=Ce^(3x)
    • イ．y=Ce^x
    • ウ．y=3x+C
    • エ．y=Ce^(x^2)

    正解：ア．y=Ce^(3x)

    解説：変数分離。dy/y=3dx → log|y|=3x+C → y=Ce^(3x)。検算: y'=3Ce^(3x)=3y で原式成立。

77. 問77．微分方程式 dy/dx = -2y の一般解を求めよ。

    • ア．y=Ce^(2x)
    • イ．y=Ce^(-2x)
    • ウ．y=-2x+C
    • エ．y=Ce^(-x)

    正解：イ．y=Ce^(-2x)

    解説：変数分離。dy/y=-2dx → log|y|=-2x+C → y=Ce^(-2x)。検算: y'=-2Ce^(-2x)=-2y で成立。

78. 問78．微分方程式 dy/dx = xy の一般解を求めよ。

    • ア．y=Ce^(x^2)
    • イ．y=Ce^x
    • ウ．y=Ce^(x^2/2)
    • エ．y=Cx^2

    正解：ウ．y=Ce^(x^2/2)

    解説：変数分離。dy/y=x dx → log|y|=x^2/2+C → y=Ce^(x^2/2)。検算: y'=Cx e^(x^2/2)=xy で成立。

79. 問79．微分方程式 dy/dx = y/x（x>0）の一般解を求めよ。

    • ア．y=C/x
    • イ．y=Cx^2
    • ウ．y=C+x
    • エ．y=Cx

    正解：エ．y=Cx

    解説：変数分離。dy/y=dx/x → log|y|=log|x|+C → y=Cx。検算: y'=C=y/x で成立。

80. 問80．微分方程式 dy/dx = e^x の一般解を求めよ。

    • ア．y=e^x+C
    • イ．y=Ce^x
    • ウ．y=e^x
    • エ．y=xe^x+C

    正解：ア．y=e^x+C

    解説：直接積分。y=∫e^x dx=e^x+C。検算: y'=e^x で成立。

81. 問81．微分方程式 dy/dx = 2x の一般解を求めよ。

    • ア．y=2x^2+C
    • イ．y=x^2+C
    • ウ．y=2+C
    • エ．y=x^2

    正解：イ．y=x^2+C

    解説：直接積分。y=∫2x dx=x^2+C。検算: y'=2x で成立。

82. 問82．微分方程式 dy/dx = y^2 の一般解を求めよ。

    • ア．y=1/(x+C)
    • イ．y=Ce^(x^2)
    • ウ．y=-1/(x+C)
    • エ．y=(x+C)^2

    正解：ウ．y=-1/(x+C)

    解説：変数分離。dy/y^2=dx → -1/y=x+C → y=-1/(x+C)。検算: y'=1/(x+C)^2=y^2 で成立。

83. 問83．微分方程式 dy/dx = (1+y^2) の一般解を求めよ。

    • ア．y=sin(x+C)
    • イ．y=arctan(x+C)
    • ウ．y=e^(x+C)
    • エ．y=tan(x+C)

    正解：エ．y=tan(x+C)

    解説：変数分離。dy/(1+y^2)=dx → arctan y=x+C → y=tan(x+C)。検算: y'=sec^2(x+C)=1+tan^2(x+C)=1+y^2。

84. 問84．微分方程式 dy/dx = y cos x の一般解を求めよ。

    • ア．y=Ce^(sin x)
    • イ．y=Ce^(cos x)
    • ウ．y=C sin x
    • エ．y=Ce^(-sin x)

    正解：ア．y=Ce^(sin x)

    解説：変数分離。dy/y=cos x dx → log|y|=sin x+C → y=Ce^(sin x)。検算: y'=Ccos x e^(sin x)=y cos x。

85. 問85．初期条件 y(0)=1 をみたす dy/dx=2y の解を求めよ。

    • ア．y=2e^x
    • イ．y=e^(2x)
    • ウ．y=e^x
    • エ．y=2e^(2x)

    正解：イ．y=e^(2x)

    解説：一般解 y=Ce^(2x)。y(0)=C=1 → y=e^(2x)。検算: y'=2e^(2x)=2y, y(0)=1 で成立。

86. 問86．初期条件 y(0)=3 をみたす dy/dx=-y の解を求めよ。

    • ア．y=3e^x
    • イ．y=e^(-3x)
    • ウ．y=3e^(-x)
    • エ．y=-3e^(-x)

    正解：ウ．y=3e^(-x)

    解説：一般解 y=Ce^(-x)。y(0)=C=3 → y=3e^(-x)。検算: y'=-3e^(-x)=-y, y(0)=3。

87. 問87．微分方程式 dy/dx + y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=Ce^x
    • イ．y=Cx
    • ウ．y=C-x
    • エ．y=Ce^(-x)

    正解：エ．y=Ce^(-x)

    解説：dy/dx=-y, 変数分離で y=Ce^(-x)。検算: y'+y=-Ce^(-x)+Ce^(-x)=0 で成立。

88. 問88．1階線形 dy/dx + y = x の一般解を求めよ。

    • ア．y=x-1+Ce^(-x)
    • イ．y=x+1+Ce^(-x)
    • ウ．y=x-1+Ce^x
    • エ．y=x+Ce^(-x)

    正解：ア．y=x-1+Ce^(-x)

    解説：積分因子 e^x。(e^x y)'=x e^x → e^x y=x e^x-e^x+C → y=x-1+Ce^(-x)。検算: y'+y=(1-Ce^(-x))+(x-1+Ce^(-x))=x。

89. 問89．1階線形 dy/dx + y = e^x の一般解を求めよ。

    • ア．y=e^x+Ce^(-x)
    • イ．y=e^x/2+Ce^(-x)
    • ウ．y=e^x/2+Ce^x
    • エ．y=2e^x+Ce^(-x)

    正解：イ．y=e^x/2+Ce^(-x)

    解説：積分因子 e^x。(e^x y)'=e^(2x) → e^x y=e^(2x)/2+C → y=e^x/2+Ce^(-x)。検算: y'+y=(e^x/2-Ce^(-x))+(e^x/2+Ce^(-x))=e^x。

90. 問90．1階線形 dy/dx - y = e^(2x) の一般解を求めよ。

    • ア．y=e^(2x)+Ce^(-x)
    • イ．y=e^x+Ce^(2x)
    • ウ．y=e^(2x)+Ce^x
    • エ．y=2e^(2x)+Ce^x

    正解：ウ．y=e^(2x)+Ce^x

    解説：積分因子 e^(-x)。(e^(-x)y)'=e^x → e^(-x)y=e^x+C → y=e^(2x)+Ce^x。検算: y'-y=(2e^(2x)+Ce^x)-(e^(2x)+Ce^x)=e^(2x)。

91. 問91．1階線形 dy/dx + 2y = 4 の一般解を求めよ。

    • ア．y=4+Ce^(-2x)
    • イ．y=2+Ce^(2x)
    • ウ．y=2+Ce^(-x)
    • エ．y=2+Ce^(-2x)

    正解：エ．y=2+Ce^(-2x)

    解説：積分因子 e^(2x)。(e^(2x)y)'=4e^(2x) → e^(2x)y=2e^(2x)+C → y=2+Ce^(-2x)。検算: y'+2y=-2Ce^(-2x)+2(2+Ce^(-2x))=4。

92. 問92．1階線形 dy/dx + (1/x)y = 1（x>0）の一般解を求めよ。

    • ア．y=x/2+C/x
    • イ．y=x/2+Cx
    • ウ．y=x+C/x
    • エ．y=x^2/2+C

    正解：ア．y=x/2+C/x

    解説：積分因子 x。(xy)'=x → xy=x^2/2+C → y=x/2+C/x。検算: y'+(1/x)y=(1/2-C/x^2)+(1/2+C/x^2)=1。

93. 問93．1階線形 dy/dx + 3y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=Ce^(3x)
    • イ．y=Ce^(-3x)
    • ウ．y=C-3x
    • エ．y=Ce^(-x/3)

    正解：イ．y=Ce^(-3x)

    解説：変数分離で y=Ce^(-3x)。検算: y'+3y=-3Ce^(-3x)+3Ce^(-3x)=0 で成立。

94. 問94．1階線形 x dy/dx + y = x^2（x>0）の一般解を求めよ。

    • ア．y=x^2/3+Cx
    • イ．y=x^3/3+C
    • ウ．y=x^2/3+C/x
    • エ．y=x^2+C/x

    正解：ウ．y=x^2/3+C/x

    解説：(xy)'=x^2 → xy=x^3/3+C → y=x^2/3+C/x。検算: x y'+y=x(2x/3-C/x^2)+(x^2/3+C/x)=2x^2/3-C/x+x^2/3+C/x=x^2。

95. 問95．同次形 dy/dx = (x+y)/x（x>0）の一般解を求めよ。

    • ア．y=x log x
    • イ．y=Cx+x
    • ウ．y=log x+Cx
    • エ．y=x(log x+C)

    正解：エ．y=x(log x+C)

    解説：y=vx とおくと v+xv'=1+v → xv'=1 → v=log x+C → y=x(log x+C)。検算: y'=log x+C+1=(x+y)/x=1+v。成立。

96. 問96．同次形 dy/dx = (x^2+y^2)/(xy)（x>0）について y^2 を求めると次のどれか。

    • ア．y^2=x^2(2log x+C)
    • イ．y^2=2x log x+C
    • ウ．y^2=x^2 log x
    • エ．y^2=Cx^2

    正解：ア．y^2=x^2(2log x+C)

    解説：y=vx: v+xv'=(1+v^2)/v → xv'=1/v → v dv=dx/x → v^2/2=log x+C → y^2=x^2(2log x+C)。検算略（標準形）。

97. 問97．2階同次 y'' - 5y' + 6y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^(-2x)+C2e^(-3x)
    • イ．y=C1e^(2x)+C2e^(3x)
    • ウ．y=(C1+C2x)e^(2x)
    • エ．y=C1cos2x+C2sin3x

    正解：イ．y=C1e^(2x)+C2e^(3x)

    解説：特性方程式 t^2-5t+6=(t-2)(t-3)=0 → t=2,3。y=C1e^(2x)+C2e^(3x)。検算: 各基本解を代入し0。

98. 問98．2階同次 y'' - 3y' + 2y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)
    • イ．y=(C1+C2x)e^x
    • ウ．y=C1e^x+C2e^(2x)
    • エ．y=C1cos x+C2sin x

    正解：ウ．y=C1e^x+C2e^(2x)

    解説：t^2-3t+2=(t-1)(t-2)=0 → t=1,2。y=C1e^x+C2e^(2x)。検算: 基本解を代入し0。

99. 問99．2階同次 y'' - 4y = 0 の一般解を求めよ。

    • ア．y=C1cos2x+C2sin2x
    • イ．y=(C1+C2x)e^(2x)
    • ウ．y=C1e^(4x)+C2e^(-4x)
    • エ．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)

    正解：エ．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)

    解説：t^2-4=0 → t=±2。y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)。検算: y''=4C1e^(2x)+4C2e^(-2x)=4y。成立。

100. 問100．2階同次 y'' + y' - 6y = 0 の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1e^(-3x)+C2e^(2x)
     • イ．y=C1e^(3x)+C2e^(-2x)
     • ウ．y=(C1+C2x)e^(2x)
     • エ．y=C1cos x+C2sin x

     正解：ア．y=C1e^(-3x)+C2e^(2x)

     解説：t^2+t-6=(t+3)(t-2)=0 → t=-3,2。y=C1e^(-3x)+C2e^(2x)。検算: 基本解代入で0。

101. 問101．2階同次 y'' - 4y' + 4y = 0 の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)
     • イ．y=(C1+C2x)e^(2x)
     • ウ．y=(C1+C2x)e^(-2x)
     • エ．y=C1cos2x+C2sin2x

     正解：イ．y=(C1+C2x)e^(2x)

     解説：t^2-4t+4=(t-2)^2=0 重解 t=2。y=(C1+C2x)e^(2x)。検算: 重解形が基本解。

102. 問102．2階同次 y'' + 6y' + 9y = 0 の一般解を求めよ。

     • ア．y=(C1+C2x)e^(3x)
     • イ．y=C1e^(-3x)+C2e^(3x)
     • ウ．y=(C1+C2x)e^(-3x)
     • エ．y=C1cos3x+C2sin3x

     正解：ウ．y=(C1+C2x)e^(-3x)

     解説：t^2+6t+9=(t+3)^2=0 重解 t=-3。y=(C1+C2x)e^(-3x)。検算: 重解形。

103. 問103．2階同次 y'' - 2y' + y = 0 の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1e^x+C2e^(-x)
     • イ．y=(C1+C2x)e^(-x)
     • ウ．y=C1cos x+C2sin x
     • エ．y=(C1+C2x)e^x

     正解：エ．y=(C1+C2x)e^x

     解説：t^2-2t+1=(t-1)^2=0 重解 t=1。y=(C1+C2x)e^x。検算: 重解形。

104. 問104．2階同次 y'' + y = 0 の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1cos x+C2sin x
     • イ．y=C1e^x+C2e^(-x)
     • ウ．y=(C1+C2x)cos x
     • エ．y=C1e^(ix)+C2

     正解：ア．y=C1cos x+C2sin x

     解説：t^2+1=0 → t=±i。y=C1cos x+C2sin x。検算: y''=-C1cos x-C2sin x=-y。成立。

105. 問105．2階同次 y'' + 4y = 0 の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)
     • イ．y=C1cos2x+C2sin2x
     • ウ．y=C1cos x+C2sin x
     • エ．y=(C1+C2x)cos2x

     正解：イ．y=C1cos2x+C2sin2x

     解説：t^2+4=0 → t=±2i。y=C1cos2x+C2sin2x。検算: y''=-4(C1cos2x+C2sin2x)=-4y。成立。

106. 問106．2階同次 y'' + 9y = 0 の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1e^(3x)+C2e^(-3x)
     • イ．y=C1cos9x+C2sin9x
     • ウ．y=C1cos3x+C2sin3x
     • エ．y=(C1+C2x)e^(3x)

     正解：ウ．y=C1cos3x+C2sin3x

     解説：t^2+9=0 → t=±3i。y=C1cos3x+C2sin3x。検算: y''=-9y。成立。

107. 問107．2階同次 y'' - 2y' + 5y = 0 の一般解を求めよ。

     • ア．y=e^(2x)(C1cos x+C2sin x)
     • イ．y=C1e^x+C2e^(5x)
     • ウ．y=e^(-x)(C1cos2x+C2sin2x)
     • エ．y=e^x(C1cos2x+C2sin2x)

     正解：エ．y=e^x(C1cos2x+C2sin2x)

     解説：t^2-2t+5=0 → t=1±2i。y=e^x(C1cos2x+C2sin2x)。検算: 複素根 α±βi で e^(αx)(cos βx,sin βx)。

108. 問108．2階同次 y'' + 2y' + 2y = 0 の一般解を求めよ。

     • ア．y=e^(-x)(C1cos x+C2sin x)
     • イ．y=e^x(C1cos x+C2sin x)
     • ウ．y=e^(-x)(C1cos2x+C2sin2x)
     • エ．y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)

     正解：ア．y=e^(-x)(C1cos x+C2sin x)

     解説：t^2+2t+2=0 → t=-1±i。y=e^(-x)(C1cos x+C2sin x)。検算: α=-1,β=1。成立。

109. 問109．2階同次 y'' + 4y' + 5y = 0 の一般解を求めよ。

     • ア．y=e^(2x)(C1cos x+C2sin x)
     • イ．y=e^(-2x)(C1cos x+C2sin x)
     • ウ．y=e^(-2x)(C1cos2x+C2sin2x)
     • エ．y=C1e^(-2x)+C2e^(-x)

     正解：イ．y=e^(-2x)(C1cos x+C2sin x)

     解説：t^2+4t+5=0 → t=-2±i。y=e^(-2x)(C1cos x+C2sin x)。検算: α=-2,β=1。成立。

110. 問110．2階同次 y'' - 6y' + 9y = 0 の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1e^(3x)+C2e^(-3x)
     • イ．y=(C1+C2x)e^(-3x)
     • ウ．y=(C1+C2x)e^(3x)
     • エ．y=C1cos3x+C2sin3x

     正解：ウ．y=(C1+C2x)e^(3x)

     解説：t^2-6t+9=(t-3)^2=0 重解 t=3。y=(C1+C2x)e^(3x)。検算: 重解形。

111. 問111．非同次 y'' - 3y' + 2y = 2 の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1e^x+C2e^(2x)+2
     • イ．y=C1e^x+C2e^(2x)+x
     • ウ．y=C1e^x+C2e^(2x)
     • エ．y=C1e^x+C2e^(2x)+1

     正解：エ．y=C1e^x+C2e^(2x)+1

     解説：同次解 C1e^x+C2e^(2x)。特殊解 y=1（2y=2）。一般解 y=C1e^x+C2e^(2x)+1。検算: y''-3y'+2y=2·1=2。

112. 問112．非同次 y'' - y = 3 の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1e^x+C2e^(-x)-3
     • イ．y=C1e^x+C2e^(-x)+3
     • ウ．y=C1cos x+C2sin x-3
     • エ．y=C1e^x+C2e^(-x)+3x

     正解：ア．y=C1e^x+C2e^(-x)-3

     解説：同次解 C1e^x+C2e^(-x)。特殊解 y=-3（-y=3）。一般解 y=C1e^x+C2e^(-x)-3。検算: y''-y=0-(-3)=3。

113. 問113．非同次 y'' + y = x の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1cos x+C2sin x+x^2
     • イ．y=C1cos x+C2sin x+x
     • ウ．y=C1e^x+C2e^(-x)+x
     • エ．y=C1cos x+C2sin x-x

     正解：イ．y=C1cos x+C2sin x+x

     解説：同次解 C1cos x+C2sin x。特殊解 y=x（y''=0, y''+y=x）。一般解 y=C1cos x+C2sin x+x。検算: 0+x=x。

114. 問114．非同次 y'' - 4y = 8 の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)+2
     • イ．y=C1cos2x+C2sin2x-2
     • ウ．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-2
     • エ．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-8

     正解：ウ．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-2

     解説：同次解 C1e^(2x)+C2e^(-2x)。特殊解 y=-2（-4y=8）。一般解 y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-2。検算: 0-4(-2)=8。

115. 問115．非同次 y'' + 4y = 8x の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1cos2x+C2sin2x+8x
     • イ．y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)+2x
     • ウ．y=C1cos2x+C2sin2x+x
     • エ．y=C1cos2x+C2sin2x+2x

     正解：エ．y=C1cos2x+C2sin2x+2x

     解説：同次解 C1cos2x+C2sin2x。特殊解 y=2x（y''=0, 4y=8x）。一般解 y=C1cos2x+C2sin2x+2x。検算: 0+8x=8x。

116. 問116．非同次 y'' - 3y' + 2y = e^(3x) の特殊解を求めよ。

     • ア．y=e^(3x)/2
     • イ．y=e^(3x)
     • ウ．y=e^(3x)/3
     • エ．y=xe^(3x)/2

     正解：ア．y=e^(3x)/2

     解説：y=Ae^(3x) と仮定。(9-9+2)Ae^(3x)=2Ae^(3x)=e^(3x) → A=1/2。特殊解 y=e^(3x)/2。検算: 2·(e^(3x)/2)=e^(3x)。

117. 問117．非同次 y'' - y' - 2y = 4 の特殊解を求めよ。

     • ア．y=2
     • イ．y=-2
     • ウ．y=4
     • エ．y=-4

     正解：イ．y=-2

     解説：y=A定数と仮定。-2A=4 → A=-2。特殊解 y=-2。検算: 0-0-2(-2)=4。

118. 問118．非同次 y'' + y = 2e^x の特殊解を求めよ。

     • ア．y=2e^x
     • イ．y=e^x/2
     • ウ．y=e^x
     • エ．y=xe^x

     正解：ウ．y=e^x

     解説：y=Ae^x と仮定。Ae^x+Ae^x=2Ae^x=2e^x → A=1。特殊解 y=e^x。検算: e^x+e^x=2e^x。

119. 問119．非同次 y'' - 4y' + 4y = 2 の特殊解を求めよ。

     • ア．y=2
     • イ．y=1
     • ウ．y=1/4
     • エ．y=1/2

     正解：エ．y=1/2

     解説：y=A定数と仮定。4A=2 → A=1/2。特殊解 y=1/2。検算: 0-0+4·(1/2)=2。

120. 問120．非同次 y'' + 2y' + y = 4 の一般解を求めよ。

     • ア．y=(C1+C2x)e^(-x)+4
     • イ．y=(C1+C2x)e^x+4
     • ウ．y=C1e^(-x)+C2e^x+4
     • エ．y=(C1+C2x)e^(-x)+2

     正解：ア．y=(C1+C2x)e^(-x)+4

     解説：同次解 (C1+C2x)e^(-x)（重解-1）。特殊解 y=4（y=4で y=4）。一般解 y=(C1+C2x)e^(-x)+4。検算: 0+0+4=4。

121. 問121．ベルヌーイ型の微分方程式 dy/dx + y = y^2 を u=1/y とおいて解く。u が満たす線形微分方程式はどれか。

     • ア．du/dx+u=1
     • イ．du/dx-u=-1
     • ウ．du/dx-u=1
     • エ．du/dx+u=-1

     正解：イ．du/dx-u=-1

     解説：u=1/y とおくと du/dx=−(1/y^2)(dy/dx)。原式の両辺を −y^2 で割ると −(1/y^2)(dy/dx)−1/y=−1、すなわち du/dx−u=−1 となる。一般に dy/dx+p(x)y=g(x)y^a は u=y^(1−a) とおくと du/dx+(1−a)p(x)u=(1−a)g(x) になり、a=2・p=1・g=1 を代入しても du/dx−u=−1 が得られる。du/dx+u=1 は du/dx=−(1/y^2)(dy/dx) の負号を落とした形、du/dx−u=1 と du/dx+u=−1 は符号の一部だけを反転させた形である。

     根拠： 常微分方程式 講義ノート 第4回「一階常微分方程式の応用、二階微分方程式」（京都大学 基礎物理学研究所サイト掲載の講義資料） 4.1 ベルヌーイの方程式：式(4.1)〜(4.5)（u=y^(1−a) で u′+(1−a)p(x)u=(1−a)g(x)）

122. 問122．完全微分方程式 (2x+y)dx+(x+2y)dy=0 のポテンシャル F(x,y) を求めよ（=Cが解）。

     • ア．F=x^2+2xy+y^2
     • イ．F=x^2+xy+2y^2
     • ウ．F=x^2+xy+y^2
     • エ．F=2x^2+xy+y^2

     正解：ウ．F=x^2+xy+y^2

     解説：∂F/∂x=2x+y → F=x^2+xy+g(y)。∂F/∂y=x+g'(y)=x+2y → g=y^2。F=x^2+xy+y^2。検算: 偏微分で元式回復。

123. 問123．完全微分方程式 (y)dx+(x)dy=0 の一般解を求めよ。

     • ア．x+y=C
     • イ．x^2+y^2=C
     • ウ．x/y=C
     • エ．xy=C

     正解：エ．xy=C

     解説：d(xy)=ydx+xdy=0 → xy=C。検算: 全微分が原式に一致。

124. 問124．完全微分方程式 (2xy)dx+(x^2)dy=0 の一般解を求めよ。

     • ア．x^2 y=C
     • イ．xy^2=C
     • ウ．x^2+y^2=C
     • エ．xy=C

     正解：ア．x^2 y=C

     解説：d(x^2 y)=2xy dx+x^2 dy=0 → x^2 y=C。検算: 全微分が原式に一致。

125. 問125．変数分離 dy/dx = y(1-y) の一般解（ロジスティック型）の形は次のどれか。

     • ア．y=Ce^x
     • イ．y=1/(1+Ce^(-x))
     • ウ．y=1-Ce^(-x)
     • エ．y=tan(x+C)

     正解：イ．y=1/(1+Ce^(-x))

     解説：部分分数 1/(y(1-y))=1/y+1/(1-y)。積分で log|y/(1-y)|=x+C → y=1/(1+Ce^(-x))。検算: 標準ロジスティック解。

126. 問126．人口増加モデル dP/dt = 0.1P, P(0)=100 のとき P(t) を求めよ。

     • ア．P=100e^t
     • イ．P=100+0.1t
     • ウ．P=100e^(0.1t)
     • エ．P=100e^(10t)

     正解：ウ．P=100e^(0.1t)

     解説：一般解 P=Ce^(0.1t)。P(0)=C=100 → P=100e^(0.1t)。検算: P'=10e^(0.1t)=0.1P, P(0)=100。

127. 問127．ニュートンの冷却法則 dT/dt = -k(T-20)。一般解 T(t) を求めよ（Cは任意定数）。

     • ア．T=20+Ce^(kt)
     • イ．T=Ce^(-kt)-20
     • ウ．T=20-Ce^(kt)
     • エ．T=20+Ce^(-kt)

     正解：エ．T=20+Ce^(-kt)

     解説：u=T-20 とおくと u'=-ku → u=Ce^(-kt) → T=20+Ce^(-kt)。検算: T'=-kCe^(-kt)=-k(T-20)。

128. 問128．放射性崩壊 dN/dt = -λN, N(0)=N0 のとき N(t) を求めよ。

     • ア．N=N0e^(-λt)
     • イ．N=N0e^(λt)
     • ウ．N=N0-λt
     • エ．N=N0/(1+λt)

     正解：ア．N=N0e^(-λt)

     解説：N=Ce^(-λt), N(0)=C=N0 → N=N0e^(-λt)。検算: N'=-λN0e^(-λt)=-λN, N(0)=N0。

129. 問129．初期値問題 y'=2x, y(1)=3 の解を求めよ。

     • ア．y=x^2+3
     • イ．y=x^2+2
     • ウ．y=x^2+1
     • エ．y=2x^2+1

     正解：イ．y=x^2+2

     解説：y=x^2+C。y(1)=1+C=3 → C=2 → y=x^2+2。検算: y'=2x, y(1)=3。

130. 問130．初期値問題 y'+y=0, y(0)=5 の解を求めよ。

     • ア．y=5e^x
     • イ．y=e^(-5x)
     • ウ．y=5e^(-x)
     • エ．y=-5e^(-x)

     正解：ウ．y=5e^(-x)

     解説：y=Ce^(-x)。y(0)=C=5 → y=5e^(-x)。検算: y'+y=-5e^(-x)+5e^(-x)=0, y(0)=5。

131. 問131．初期値問題 y''=0, y(0)=1, y'(0)=2 の解を求めよ。

     • ア．y=x+2
     • イ．y=2x+2
     • ウ．y=x^2+1
     • エ．y=2x+1

     正解：エ．y=2x+1

     解説：y''=0 → y=Ax+B。y'(0)=A=2, y(0)=B=1 → y=2x+1。検算: y''=0, y(0)=1, y'(0)=2。

132. 問132．初期値問題 y''+y=0, y(0)=1, y'(0)=0 の解を求めよ。

     • ア．y=cos x
     • イ．y=sin x
     • ウ．y=cos x+sin x
     • エ．y=cos2x

     正解：ア．y=cos x

     解説：y=C1cos x+C2sin x。y(0)=C1=1, y'(0)=C2=0 → y=cos x。検算: y''=-cos x, y''+y=0, y(0)=1,y'(0)=0。

133. 問133．初期値問題 y''+y=0, y(0)=0, y'(0)=1 の解を求めよ。

     • ア．y=cos x
     • イ．y=sin x
     • ウ．y=sin x+cos x
     • エ．y=tan x

     正解：イ．y=sin x

     解説：y=C1cos x+C2sin x。y(0)=C1=0, y'(0)=C2=1 → y=sin x。検算: y''+y=0, y(0)=0,y'(0)=1。

134. 問134．初期値問題 y''-y=0, y(0)=2, y'(0)=0 の解を求めよ。

     • ア．y=2e^x
     • イ．y=e^x-e^(-x)
     • ウ．y=e^x+e^(-x)
     • エ．y=2cos x

     正解：ウ．y=e^x+e^(-x)

     解説：y=C1e^x+C2e^(-x)。y(0)=C1+C2=2, y'(0)=C1-C2=0 → C1=C2=1 → y=e^x+e^(-x)。検算: y''=y, y(0)=2,y'(0)=0。

135. 問135．微分方程式 dy/dx = x/y の一般解を求めよ。

     • ア．y^2+x^2=C
     • イ．y=x+C
     • ウ．xy=C
     • エ．y^2-x^2=C

     正解：エ．y^2-x^2=C

     解説：y dy=x dx → y^2/2=x^2/2+C → y^2-x^2=C'。検算: 微分して 2yy'-2x=0 → y'=x/y。成立。

136. 問136．微分方程式 dy/dx = -x/y の一般解を求めよ。

     • ア．x^2+y^2=C
     • イ．y^2-x^2=C
     • ウ．y=-x+C
     • エ．y/x=C

     正解：ア．x^2+y^2=C

     解説：y dy=-x dx → y^2/2=-x^2/2+C → x^2+y^2=C'。検算: 2x+2yy'=0 → y'=-x/y。成立（同心円）。

137. 問137．微分方程式 dy/dx = e^(x-y) の一般解を求めよ。

     • ア．y=e^x+C
     • イ．y=log(e^x+C)
     • ウ．y=e^(x-y)+C
     • エ．y=log(e^x)+C

     正解：イ．y=log(e^x+C)

     解説：e^y dy=e^x dx → e^y=e^x+C → y=log(e^x+C)。検算: y'=e^x/(e^x+C)=e^x/e^y=e^(x-y)。成立。

138. 問138．1階線形 dy/dx + 2xy = 2x の一般解を求めよ。

     • ア．y=1+Ce^(x^2)
     • イ．y=x+Ce^(-x^2)
     • ウ．y=1+Ce^(-x^2)
     • エ．y=2x+Ce^(-x^2)

     正解：ウ．y=1+Ce^(-x^2)

     解説：積分因子 e^(x^2)。(e^(x^2)y)'=2x e^(x^2) → e^(x^2)y=e^(x^2)+C → y=1+Ce^(-x^2)。検算: y'+2xy=-2xCe^(-x^2)+2x(1+Ce^(-x^2))=2x。

139. 問139．1階線形 dy/dx - 2y = e^(2x) の一般解を求めよ。

     • ア．y=(x+C)e^(-2x)
     • イ．y=e^(2x)+Ce^(-2x)
     • ウ．y=xe^(2x)+C
     • エ．y=(x+C)e^(2x)

     正解：エ．y=(x+C)e^(2x)

     解説：積分因子 e^(-2x)。(e^(-2x)y)'=1 → e^(-2x)y=x+C → y=(x+C)e^(2x)。検算: y'-2y=(e^(2x)+2(x+C)e^(2x))-2(x+C)e^(2x)=e^(2x)。

140. 問140．非同次 y'' - 2y' + y = e^x の特殊解の形（重解との共鳴）は次のどれか。

     • ア．y=x^2e^x/2
     • イ．y=xe^x/2
     • ウ．y=e^x/2
     • エ．y=x^2e^x

     正解：ア．y=x^2e^x/2

     解説：特性重解 t=1 で e^x が同次解。共鳴2重なので y=Ax^2e^x。代入で 2Ae^x=e^x → A=1/2, y=x^2e^x/2。検算: 共鳴2重。

141. 問141．非同次 y'' + y = cos2x の特殊解を求めよ。

     • ア．y=cos2x/3
     • イ．y=-cos2x/3
     • ウ．y=-cos2x
     • エ．y=cos2x/5

     正解：イ．y=-cos2x/3

     解説：y=A cos2x と仮定。-4A cos2x+A cos2x=-3A cos2x=cos2x → A=-1/3。y=-cos2x/3。検算: -3·(-1/3)cos2x=cos2x。

142. 問142．非同次 y'' - 4y = e^x の特殊解を求めよ。

     • ア．y=e^x/3
     • イ．y=e^x/5
     • ウ．y=-e^x/3
     • エ．y=-e^x/5

     正解：ウ．y=-e^x/3

     解説：y=Ae^x と仮定すると y''=Ae^x。Ae^x−4Ae^x=−3Ae^x=e^x → A=−1/3。y=−e^x/3。検算: (−e^x/3)−4·(−e^x/3)=e^x で成立。

143. 問143．次は正しいか。「y''+y=0 の一般解は y=C1e^x+C2e^(-x) である」

     正解：×（誤り）

     解説：誤り。正しくは、特性方程式 t^2+1=0 の根は ±i なので一般解は y=C1cos x+C2sin x。e^(±x) は y''-y=0 の解。

144. 問144．次は正しいか。「dy/dx=ky（kは定数）の解は指数関数 y=Ce^(kx) で表される」

     正解：○（正しい）

     解説：正しい。変数分離 dy/y=k dx より log|y|=kx+C, y=Ce^(kx)。検算: y'=kCe^(kx)=ky。

145. 問145．次は正しいか。「特性方程式が重解 t=2 を持つとき、2階定数係数同次の一般解は y=(C1+C2x)e^(2x) である」

     正解：○（正しい）

     解説：正しい。重解 t=r では基本解 e^(rx) と x e^(rx) をとり y=(C1+C2x)e^(rx)。検算: x e^(2x) も方程式を満たす。

146. 問146．次は正しいか。「y'=y^2 の解は y=Ce^x である」

     正解：×（誤り）

     解説：誤り。正しくは、変数分離 dy/y^2=dx より -1/y=x+C, y=-1/(x+C)。指数関数にはならない。

147. 問147．次は正しいか。「1階線形 y'+P(x)y=Q(x) の積分因子は e^(∫P dx) である」

     正解：○（正しい）

     解説：正しい。両辺に e^(∫P dx) を掛けると左辺が (e^(∫P dx) y)' になり積分できる。標準解法。

148. 問148．非同次 y'' - 3y' + 2y = 4x の特殊解を求めよ。

     • ア．y=2x-3
     • イ．y=4x+3
     • ウ．y=2x+6
     • エ．y=2x+3

     正解：エ．y=2x+3

     解説：y=ax+b と仮定。y'=a,y''=0。0-3a+2(ax+b)=2ax+(2b-3a)=4x → a=2, 2b-3a=0→b=3。y=2x+3。検算: -3·2+2(2x+3)=4x。

149. 問149．微分方程式 dy/dx = (1-y) の一般解を求めよ。

     • ア．y=1-Ce^(-x)
     • イ．y=1+Ce^x
     • ウ．y=Ce^(-x)-1
     • エ．y=1-Ce^x

     正解：ア．y=1-Ce^(-x)

     解説：変数分離 dy/(1-y)=dx → -log|1-y|=x+C → 1-y=Ce^(-x) → y=1-Ce^(-x)。検算: y'=Ce^(-x)=1-y。成立。

150. 問150．2階同次 y'' - y' - 6y = 0 の一般解を求めよ。

     • ア．y=C1e^(-3x)+C2e^(2x)
     • イ．y=C1e^(3x)+C2e^(-2x)
     • ウ．y=(C1+C2x)e^(3x)
     • エ．y=C1cos x+C2sin x

     正解：イ．y=C1e^(3x)+C2e^(-2x)

     解説：t^2-t-6=(t-3)(t+2)=0 → t=3,-2。y=C1e^(3x)+C2e^(-2x)。検算: 基本解代入で0。

151. 問151．複素数 z=1+i の絶対値 |z| を求めよ。

     • ア．√3
     • イ．2
     • ウ．1
     • エ．√2

     正解：エ．√2

     解説：|1+i|=√(1^2+1^2)=√2。検算: z·z̄=(1+i)(1−i)=1−i^2=2、|z|=√2 と一致。

152. 問152．複素数 z=3+4i の絶対値 |z| を求めよ。

     • ア．7
     • イ．12
     • ウ．5
     • エ．25

     正解：ウ．5

     解説：|3+4i|=√(3^2+4^2)=√25=5。検算: z·z̄=(3+4i)(3−4i)=9+16=25、√25=5。

153. 問153．複素数 z=2−3i の共役複素数 z̄ を求めよ。

     • ア．−2+3i
     • イ．−2−3i
     • ウ．2+3i
     • エ．3+2i

     正解：ウ．2+3i

     解説：共役は虚部の符号を反転して 2+3i。検算: z+z̄=4(実数)、z−z̄=−6i(純虚数)で整合。

154. 問154．(1+i)(2−i) を計算せよ。

     • ア．1+3i
     • イ．2−i
     • ウ．3+i
     • エ．3−i

     正解：ウ．3+i

     解説：(1+i)(2−i)=2−i+2i−i^2=2+i+1=3+i。検算: 絶対値 √2·√5=√10、|3+i|=√10 で一致。

155. 問155．複素数 (3+2i)+(1−5i) を計算せよ。

     • ア．4−7i
     • イ．4+7i
     • ウ．2−3i
     • エ．4−3i

     正解：エ．4−3i

     解説：実部 3+1=4、虚部 2−5=−3 で 4−3i。検算: 実虚を分けて加算、4−3i。

156. 問156．1/(1+i) を a+bi の形にせよ。

     • ア．1/2+(1/2)i
     • イ．1−i
     • ウ．1/2−(1/2)i
     • エ．2−2i

     正解：ウ．1/2−(1/2)i

     解説：分母分子に共役 1−i を掛け (1−i)/((1+i)(1−i))=(1−i)/2=1/2−(1/2)i。検算: (1+i)(1/2−i/2)=1/2−i/2+i/2−i^2/2=1/2+1/2=1。

157. 問157．複素数 z=−1+√3 i の絶対値 |z| を求めよ。

     • ア．√2
     • イ．√3
     • ウ．4
     • エ．2

     正解：エ．2

     解説：|z|=√((−1)^2+(√3)^2)=√(1+3)=2。検算: z·z̄=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4、√4=2。

158. 問158．複素数 z=−1+√3 i の偏角 arg z（0≦arg z<2π）を求めよ。

     • ア．π/3
     • イ．5π/6
     • ウ．2π/3
     • エ．4π/3

     正解：ウ．2π/3

     解説：実部−1・虚部√3>0 で第2象限、tanθ=√3/(−1)。θ=π−π/3=2π/3。検算: cos(2π/3)=−1/2,sin=√3/2、2(−1/2+√3/2 i)=−1+√3i。

159. 問159．複素数 z=1−i の偏角 arg z（−π<arg z≦π）を求めよ。

     • ア．−π/4
     • イ．3π/4
     • ウ．π/4
     • エ．−3π/4

     正解：ア．−π/4

     解説：実部1>0・虚部−1<0 で第4象限。arg z=−π/4。検算: √2(cos(−π/4)+isin(−π/4))=√2(√2/2−√2/2 i)=1−i。

160. 問160．複素数 z=√3+i を極形式 r(cosθ+isinθ) で表したときの r を求めよ。

     • ア．√2
     • イ．2
     • ウ．4
     • エ．√3

     正解：イ．2

     解説：r=√((√3)^2+1^2)=√4=2。検算: z·z̄=(√3+i)(√3−i)=3+1=4、√4=2。

161. 問161．複素数 z=√3+i の偏角 arg z（0≦arg z<2π）を求めよ。

     • ア．π/3
     • イ．π/4
     • ウ．π/6
     • エ．5π/6

     正解：ウ．π/6

     解説：第1象限、tanθ=1/√3 より θ=π/6。検算: 2(cos(π/6)+isin(π/6))=2(√3/2+i/2)=√3+i。

162. 問162．ド・モアブルの定理を用いて (cos(π/6)+isin(π/6))^3 を求めよ。

     • ア．i
     • イ．1
     • ウ．−1
     • エ．−i

     正解：ア．i

     解説：(cosθ+isinθ)^3=cos3θ+isin3θ。3·π/6=π/2 で cos(π/2)+isin(π/2)=i。検算: 累乗で偏角3倍・絶対値1のまま、i。

163. 問163．(1+i)^4 を計算せよ。

     • ア．−4
     • イ．4
     • ウ．4i
     • エ．−4i

     正解：ア．−4

     解説：(1+i)^2=2i、(2i)^2=4i^2=−4。検算: 極形式 √2·e^(iπ/4) を4乗で (√2)^4·e^(iπ)=4·(−1)=−4。

164. 問164．(1+i)^8 を計算せよ。

     • ア．16
     • イ．−16
     • ウ．16i
     • エ．256

     正解：ア．16

     解説：(1+i)^2=2i、((1+i)^2)^4=(2i)^4=16·i^4=16。検算: 極形式 (√2)^8·e^(i·8·π/4)=16·e^(i2π)=16。

165. 問165．i^2026 を計算せよ。

     • ア．1
     • イ．i
     • ウ．−1
     • エ．−i

     正解：ウ．−1

     解説：i は周期4。2026=4·506+2 より i^2026=i^2=−1。検算: i^2024=(i^4)^506=1、×i^2=−1。

166. 問166．i^2027 を計算せよ。

     • ア．1
     • イ．−i
     • ウ．i
     • エ．−1

     正解：イ．−i

     解説：2027=4·506+3 より i^2027=i^3=−i。検算: i^2026=−1、×i=−i。

167. 問167．1 の3乗根（x^3=1 の解）のうち、1 でないものの1つは ω=(−1+√3 i)/2 である。ω^3 を求めよ。

     • ア．ω
     • イ．1
     • ウ．−1
     • エ．i

     正解：イ．1

     解説：ω=e^(i2π/3) より ω^3=e^(i2π)=1。検算: 1の3乗根なので定義より x^3=1、ω^3=1。

168. 問168．1 の3乗根 ω=(−1+√3 i)/2 について、1+ω+ω^2 の値を求めよ。

     • ア．1
     • イ．0
     • ウ．−1
     • エ．3

     正解：イ．0

     解説：x^3−1=(x−1)(x^2+x+1)、ω は x^2+x+1=0 の解なので 1+ω+ω^2=0。検算: ω^2=ω̄=(−1−√3i)/2、1+(−1+√3i)/2+(−1−√3i)/2=1−1=0。

169. 問169．x^2=i を満たす複素数 x の1つを求めよ。

     • ア．(√2/2)(1+i)
     • イ．1+i
     • ウ．i
     • エ．(1+i)/2

     正解：ア．(√2/2)(1+i)

     解説：i=e^(iπ/2) の平方根は e^(iπ/4)=cos45°+isin45°=(√2/2)(1+i)。検算: ((√2/2)(1+i))^2=(1/2)(1+i)^2=(1/2)(2i)=i。

170. 問170．オイラーの公式により e^(iπ) の値を求めよ。

     • ア．−1
     • イ．1
     • ウ．i
     • エ．0

     正解：ア．−1

     解説：e^(iπ)=cosπ+isinπ=−1+0i=−1。検算: e^(iπ)+1=0(オイラーの等式)で整合。

171. 問171．オイラーの公式により e^(iπ/2) の値を求めよ。

     • ア．i
     • イ．−1
     • ウ．1
     • エ．−i

     正解：ア．i

     解説：e^(iπ/2)=cos(π/2)+isin(π/2)=0+i=i。検算: (e^(iπ/2))^2=e^(iπ)=−1、i^2=−1 と一致。

172. 問172．無限等比級数 Σ[n=0,∞] (1/3)^n の和を求めよ。

     • ア．1/2
     • イ．2
     • ウ．3
     • エ．3/2

     正解：エ．3/2

     解説：初項1・公比1/3(|r|<1)。和=1/(1−1/3)=1/(2/3)=3/2。検算: 1+1/3+1/9+…→3/2。

173. 問173．無限等比級数 Σ[n=1,∞] (1/2)^n の和を求めよ。

     • ア．3/2
     • イ．2
     • ウ．1/2
     • エ．1

     正解：エ．1

     解説：初項1/2・公比1/2。和=(1/2)/(1−1/2)=(1/2)/(1/2)=1。検算: 1/2+1/4+1/8+…→1。

174. 問174．無限等比級数 Σ[n=0,∞] (−1/2)^n の和を求めよ。

     • ア．3/2
     • イ．2
     • ウ．1/3
     • エ．2/3

     正解：エ．2/3

     解説：初項1・公比−1/2(|r|<1)。和=1/(1−(−1/2))=1/(3/2)=2/3。検算: 1−1/2+1/4−…→2/3。

175. 問175．無限等比級数 Σ[n=0,∞] (2/3)^n の和を求めよ。

     • ア．2
     • イ．3
     • ウ．3/2
     • エ．5/3

     正解：イ．3

     解説：初項1・公比2/3。和=1/(1−2/3)=1/(1/3)=3。検算: 1+2/3+4/9+…→3。

176. 問176．等比級数 Σ[n=0,∞] r^n が収束するための公比 r の条件はどれか。

     • ア．r>0
     • イ．|r|≦1
     • ウ．|r|<1
     • エ．|r|>1

     正解：ウ．|r|<1

     解説：無限等比級数は |r|<1 のとき収束し和は 1/(1−r)。検算: r=1で発散(項が1のまま)、|r|≧1で発散。

177. 問177．無限等比級数 Σ[n=0,∞] 3·(1/4)^n の和を求めよ。

     • ア．16/3
     • イ．3
     • ウ．12
     • エ．4

     正解：エ．4

     解説：初項3・公比1/4。和=3/(1−1/4)=3/(3/4)=4。検算: 3+3/4+3/16+…→4。

178. 問178．複素等比級数 Σ[n=0,∞] (i/2)^n の和を求めよ。

     • ア．(4+2i)/5
     • イ．2/(2+i)
     • ウ．1+i
     • エ．(4−2i)/5

     正解：ア．(4+2i)/5

     解説：公比 i/2、|i/2|=1/2<1 で収束。和=1/(1−i/2)=2/(2−i)=2(2+i)/5=(4+2i)/5。検算: (2−i)((4+2i)/5)=(8+4i−4i−2i^2)/5=(8+2)/5=2、和×(1−i/2)=1。

179. 問179．級数 Σ[n=1,∞] 1/n は収束するか。

     正解：×（誤り）

     解説：誤り。正しくは、調和級数 Σ1/n は発散する(部分和が log n のように無限大に発散)。

180. 問180．級数 Σ[n=1,∞] 1/n^2 は収束する。

     正解：○（正しい）

     解説：正しい。p級数 Σ1/n^p は p>1 で収束。p=2>1 より収束し和は π^2/6。

181. 問181．ダランベールの比判定法で Σ a_n の lim|a_(n+1)/a_n|=L が L<1 のとき級数はどうなるか。

     • ア．絶対収束する
     • イ．発散する
     • ウ．判定できない
     • エ．条件収束のみ

     正解：ア．絶対収束する

     解説：比の極限 L<1 のとき絶対収束する。検算: L>1 で発散、L=1 で判定不能。

182. 問182．ダランベールの比判定法で lim|a_(n+1)/a_n|=L が L>1 のとき級数はどうなるか。

     • ア．発散する
     • イ．絶対収束する
     • ウ．必ず収束する
     • エ．和は0

     正解：ア．発散する

     解説：L>1 のとき一般項が0に収束せず発散する。検算: 比が1超で項が増大、発散。

183. 問183．級数 Σ[n=0,∞] 1/n! にダランベール比判定を適用すると lim|a_(n+1)/a_n| はいくつか。

     • ア．e
     • イ．1
     • ウ．0
     • エ．∞

     正解：ウ．0

     解説：a_(n+1)/a_n=n!/(n+1)!=1/(n+1)→0。検算: 極限0<1で収束、和はe。

184. 問184．べき級数 Σ[n=0,∞] x^n/n! の和(関数)は何か。

     • ア．e^x
     • イ．1/(1−x)
     • ウ．sin x
     • エ．ln(1+x)

     正解：ア．e^x

     解説：これは e^x のテイラー展開。検算: 各項を微分しても同形(d/dx Σx^n/n!=Σx^(n−1)/(n−1)!)で e^x の性質を満たす。

185. 問185．e^x のマクローリン展開 Σ a_n x^n における x^3 の係数 a_3 を求めよ。

     • ア．1/3
     • イ．1/6
     • ウ．1/2
     • エ．1

     正解：イ．1/6

     解説：e^x=Σx^n/n! より x^3 の係数は 1/3!=1/6。検算: f'''(0)/3!、f'''(x)=e^x、f'''(0)=1、1/6。

186. 問186．sin x のマクローリン展開における x^3 の係数を求めよ。

     • ア．1/6
     • イ．−1/6
     • ウ．−1/2
     • エ．1/3

     正解：イ．−1/6

     解説：sin x=x−x^3/3!+x^5/5!−… より x^3 の係数は −1/6。検算: f'''(0)/3!、(sin)'''=−cos、−cos0=−1、−1/6。

187. 問187．cos x のマクローリン展開における x^2 の係数を求めよ。

     • ア．1/2
     • イ．−1/2
     • ウ．−1/6
     • エ．1

     正解：イ．−1/2

     解説：cos x=1−x^2/2!+x^4/4!−… より x^2 の係数は −1/2。検算: f''(0)/2!、(cos)''=−cos、−cos0=−1、−1/2。

188. 問188．1/(1−x) のマクローリン展開 Σ a_n x^n における x^n の係数 a_n を求めよ。

     • ア．1
     • イ．1/n!
     • ウ．n
     • エ．1/n

     正解：ア．1

     解説：1/(1−x)=Σ x^n(|x|<1)より a_n=1。検算: 等比級数の和の公式そのもの、全係数1。

189. 問189．べき級数 Σ[n=0,∞] x^n の収束半径 R を求めよ。

     • ア．∞
     • イ．0
     • ウ．1
     • エ．2

     正解：ウ．1

     解説：等比級数で |x|<1 のとき収束。収束半径 R=1。検算: 比判定 |x^(n+1)/x^n|=|x|<1 ⇔ |x|<1。

190. 問190．べき級数 Σ[n=0,∞] x^n/n! の収束半径 R を求めよ。

     • ア．∞
     • イ．0
     • ウ．1
     • エ．e

     正解：ア．∞

     解説：比 |x|/(n+1)→0<1 が任意の x で成立し全平面で収束。R=∞。検算: e^x は全実数で定義。

191. 問191．べき級数 Σ[n=0,∞] n! x^n の収束半径 R を求めよ。

     • ア．0
     • イ．1
     • ウ．∞
     • エ．1/2

     正解：ア．0

     解説：比 |a_(n+1)/a_n|·|x|=(n+1)|x|→∞(x≠0)。x=0以外で発散、R=0。検算: 階乗の増大が指数より速い。

192. 問192．べき級数 Σ[n=1,∞] x^n/n の収束半径 R を求めよ。

     • ア．1
     • イ．0
     • ウ．∞
     • エ．2

     正解：ア．1

     解説：比 |a_(n+1)/a_n|=n/(n+1)→1 より R=1。検算: x=1で調和級数発散、x=−1で交代級数収束、半径1。

193. 問193．べき級数 Σ[n=0,∞] (x^n)/(2^n) の収束半径 R を求めよ。

     • ア．1
     • イ．2
     • ウ．1/2
     • エ．∞

     正解：イ．2

     解説：公比 x/2、|x/2|<1 ⇔ |x|<2 で収束。R=2。検算: 比 |a_(n+1)/a_n|=1/2、R=1/(1/2)=2。

194. 問194．べき級数 Σ[n=0,∞] (3^n)x^n の収束半径 R を求めよ。

     • ア．3
     • イ．∞
     • ウ．1
     • エ．1/3

     正解：エ．1/3

     解説：公比 3x、|3x|<1 ⇔ |x|<1/3。R=1/3。検算: 比 |a_(n+1)/a_n|=3、R=1/3。

195. 問195．複素数 z=4i の絶対値 |z| を求めよ。

     • ア．2
     • イ．16
     • ウ．4
     • エ．4i

     正解：ウ．4

     解説：純虚数 4i は |0+4i|=√(0+16)=4。検算: z·z̄=(4i)(−4i)=−16i^2=16、√16=4。

196. 問196．複素数 z=4i の偏角 arg z（0≦arg z<2π）を求めよ。

     • ア．0
     • イ．3π/2
     • ウ．π
     • エ．π/2

     正解：エ．π/2

     解説：正の虚軸上なので arg=π/2。検算: 4(cos(π/2)+isin(π/2))=4(0+i)=4i。

197. 問197．複素数 z=−5 の偏角 arg z（0≦arg z<2π）を求めよ。

     • ア．0
     • イ．π
     • ウ．π/2
     • エ．3π/2

     正解：イ．π

     解説：負の実軸上なので arg=π。検算: 5(cosπ+isinπ)=5(−1+0i)=−5。

198. 問198．(2+3i)−(5−i) を計算せよ。

     • ア．7+2i
     • イ．−3+4i
     • ウ．−3+2i
     • エ．3+4i

     正解：イ．−3+4i

     解説：実部 2−5=−3、虚部 3−(−1)=4 で −3+4i。検算: 逆に (−3+4i)+(5−i)=2+3i で戻る。

199. 問199．(2+i)^2 を計算せよ。

     • ア．3+4i
     • イ．5+4i
     • ウ．4+4i
     • エ．3+2i

     正解：ア．3+4i

     解説：(2+i)^2=4+4i+i^2=4+4i−1=3+4i。検算: |2+i|^2=5、|3+4i|=5 で絶対値整合。

200. 問200．複素数 z=2(cos(π/3)+isin(π/3)) を直交形式 a+bi で表せ。

     • ア．1−√3 i
     • イ．√3+i
     • ウ．2+2i
     • エ．1+√3 i

     正解：エ．1+√3 i

     解説：cos(π/3)=1/2,sin(π/3)=√3/2 より 2(1/2+(√3/2)i)=1+√3 i。検算: |1+√3i|=√(1+3)=2=r。

201. 問201．(cosθ+isinθ)(cosφ+isinφ) を簡単にせよ。

     • ア．cosθcosφ+isinθsinφ
     • イ．cos(θ−φ)+isin(θ−φ)
     • ウ．cos(θ+φ)+isin(θ+φ)
     • エ．cos(θφ)+isin(θφ)

     正解：ウ．cos(θ+φ)+isin(θ+φ)

     解説：極形式の積は偏角の和: cos(θ+φ)+isin(θ+φ)。検算: 三角関数の加法定理で展開すると一致。

202. 問202．極形式の商 [r1(cosα+isinα)]/[r2(cosβ+isinβ)] の偏角を求めよ。

     • ア．αβ
     • イ．α+β
     • ウ．α−β
     • エ．β−α(の絶対値のみ)

     正解：ウ．α−β

     解説：商では偏角は引き算 α−β、絶対値は r1/r2。検算: 積の逆操作で偏角は差。

203. 問203．x^2=−9 を満たす複素数 x をすべて求めよ。

     • ア．x=±3i
     • イ．x=±3
     • ウ．x=3i のみ
     • エ．x=±9i

     正解：ア．x=±3i

     解説：x^2=−9 ⇔ x=±3i。検算: (3i)^2=9i^2=−9、(−3i)^2=−9。

204. 問204．x^2−2x+5=0 を解け。

     • ア．2±i
     • イ．1±2i
     • ウ．−1±2i
     • エ．1±4i

     正解：イ．1±2i

     解説：x=(2±√(4−20))/2=(2±√(−16))/2=(2±4i)/2=1±2i。検算: (1+2i)+(1−2i)=2=和、(1+2i)(1−2i)=1+4=5=積、係数一致。

205. 問205．1 の4乗根（x^4=1 の解）をすべて求めよ。

     • ア．1, i のみ
     • イ．1, −1
     • ウ．i, −i
     • エ．1, i, −1, −i

     正解：エ．1, i, −1, −i

     解説：x^4=1 の解は 1,i,−1,−i(単位円上を90°刻み)。検算: i^4=1,(−1)^4=1,(−i)^4=1。

206. 問206．オイラーの公式から e^(−iπ/2) の値を求めよ。

     • ア．i
     • イ．1
     • ウ．−i
     • エ．−1

     正解：ウ．−i

     解説：e^(−iπ/2)=cos(−π/2)+isin(−π/2)=0−i=−i。検算: e^(iπ/2)=i の共役で−i。

207. 問207．e^(iθ) と e^(−iθ) を用いて cosθ を表すと？

     • ア．(e^(iθ)−e^(−iθ))/2
     • イ．(e^(iθ)+e^(−iθ))/2
     • ウ．(e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i)
     • エ．e^(iθ)·e^(−iθ)

     正解：イ．(e^(iθ)+e^(−iθ))/2

     解説：オイラーの公式の和: e^(iθ)+e^(−iθ)=2cosθ より cosθ=(e^(iθ)+e^(−iθ))/2。検算: 加えると虚部が打ち消し2cosθ。

208. 問208．e^(iθ) と e^(−iθ) を用いて sinθ を表すと？

     • ア．(e^(iθ)+e^(−iθ))/(2i)
     • イ．(e^(iθ)+e^(−iθ))/2
     • ウ．(e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i)
     • エ．(e^(iθ)−e^(−iθ))/2

     正解：ウ．(e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i)

     解説：差: e^(iθ)−e^(−iθ)=2isinθ より sinθ=(e^(iθ)−e^(−iθ))/(2i)。検算: 引くと実部消え 2isinθ。

209. 問209．|e^(iθ)| の値を求めよ（θは実数）。

     • ア．0
     • イ．θ
     • ウ．e^θ
     • エ．1

     正解：エ．1

     解説：|cosθ+isinθ|=√(cos^2θ+sin^2θ)=1。検算: e^(iθ)·e^(−iθ)=e^0=1、|e^(iθ)|^2=1。

210. 問210．複素数 z に対し z·z̄ を簡単にせよ。

     • ア．|z|
     • イ．|z|^2
     • ウ．z^2
     • エ．2a

     正解：イ．|z|^2

     解説：z=a+bi のとき z·z̄=(a+bi)(a−bi)=a^2+b^2=|z|^2。検算: 1+i なら (1+i)(1−i)=2=|1+i|^2。

211. 問211．(√3+i)^6 を計算せよ。

     • ア．64
     • イ．−64
     • ウ．64i
     • エ．−64i

     正解：イ．−64

     解説：√3+i=2e^(iπ/6)。6乗で 2^6·e^(iπ)=64·(−1)=−64。検算: 偏角6·π/6=π、絶対値64、−64。

212. 問212．(1−i)^2 を計算せよ。

     • ア．−2
     • イ．2i
     • ウ．−2i
     • エ．2

     正解：ウ．−2i

     解説：(1−i)^2=1−2i+i^2=1−2i−1=−2i。検算: |1−i|^2=2、|−2i|=2 で整合。

213. 問213．複素数の累乗根: x^3=8 の実数解でない解の絶対値はいくつか。

     • ア．8
     • イ．2
     • ウ．√2
     • エ．4

     正解：イ．2

     解説：x^3=8 の解は絶対値 |x|=8^(1/3)=2(3解すべて)。検算: 2e^(i2π/3) など、絶対値はすべて2。

214. 問214．無限等比級数 Σ[n=0,∞] (0.9)^n の和を求めよ。

     • ア．∞
     • イ．9
     • ウ．1
     • エ．10

     正解：エ．10

     解説：公比0.9<1。和=1/(1−0.9)=1/0.1=10。検算: 1+0.9+0.81+…→10。

215. 問215．循環小数 0.333… を無限等比級数の和として求めよ。

     • ア．2/3
     • イ．3/10
     • ウ．1/9
     • エ．1/3

     正解：エ．1/3

     解説：0.3+0.03+…=初項0.3公比0.1、和=0.3/(1−0.1)=0.3/0.9=1/3。検算: 1/3=0.333…で一致。

216. 問216．級数 Σ[n=1,∞] 1/(n(n+1)) の和を求めよ。

     • ア．1/2
     • イ．1
     • ウ．2
     • エ．∞

     正解：イ．1

     解説：1/(n(n+1))=1/n−1/(n+1) の望遠鏡和。部分和 1−1/(N+1)→1。検算: 1/2+1/6+1/12+…→1。

217. 問217．ln(1+x) のマクローリン展開における x の係数（1次の係数）を求めよ。

     • ア．−1
     • イ．1
     • ウ．1/2
     • エ．0

     正解：イ．1

     解説：ln(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−… より x の係数は 1。検算: f'(0)、(ln(1+x))'=1/(1+x)、x=0で1。

218. 問218．ln(1+x) のマクローリン展開における x^2 の係数を求めよ。

     • ア．−1/2
     • イ．1/2
     • ウ．1
     • エ．−1

     正解：ア．−1/2

     解説：ln(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−… より x^2 の係数は −1/2。検算: f''(0)/2!、f''=−1/(1+x)^2、−1/2。

219. 問219．e^x のマクローリン展開における x^2 の係数を求めよ。

     • ア．2
     • イ．1
     • ウ．1/6
     • エ．1/2

     正解：エ．1/2

     解説：e^x=Σx^n/n! より x^2 の係数は 1/2!=1/2。検算: f''(0)/2!=1/2。

220. 問220．sin x のマクローリン展開における x^5 の係数を求めよ。

     • ア．1/5
     • イ．−1/120
     • ウ．1/24
     • エ．1/120

     正解：エ．1/120

     解説：sin x=x−x^3/3!+x^5/5!−… より x^5 の係数は 1/120(=1/5!)。検算: 5!=120、係数1/120。

221. 問221．べき級数 Σ[n=0,∞] x^n/3^n が収束する x の範囲（収束半径）の R を求めよ。

     • ア．∞
     • イ．1/3
     • ウ．1
     • エ．3

     正解：エ．3

     解説：公比 x/3、|x/3|<1 ⇔ |x|<3。R=3。検算: 比 |a_(n+1)/a_n|=1/3、R=3。

222. 問222．べき級数 Σ[n=1,∞] x^n/n^2 の収束半径 R を求めよ。

     • ア．∞
     • イ．0
     • ウ．1
     • エ．2

     正解：ウ．1

     解説：比 |a_(n+1)/a_n|=n^2/(n+1)^2→1 より R=1。検算: x=±1でΣ1/n^2収束だが半径は1。

223. 問223．複素数 z̄ が z の共役のとき、z+z̄ は常に実数である。

     正解：○（正しい）

     解説：正しい。z=a+bi なら z+z̄=(a+bi)+(a−bi)=2a で虚部が消え実数。

224. 問224．|z|=0 となるのは z=0 のときに限る。

     正解：○（正しい）

     解説：正しい。|z|=√(a^2+b^2)=0 ⇔ a=b=0 ⇔ z=0。検算: 平方和が0は両方0のみ。

225. 問225．複素数 z=1+i について z^2=2i である。

     正解：○（正しい）

     解説：正しい。(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i−1=2i。検算: |1+i|^2=2、|2i|=2 で整合。

226. 問226．サイコロ1個を1回振るときの出目 X の期待値 E[X] を求めよ。

     • ア．7/2
     • イ．3
     • ウ．21
     • エ．7

     正解：ア．7/2

     解説：E[X]=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=7/2=3.5。検算: 対称性より(1+6)/2=3.5で一致。

227. 問227．サイコロ1個を1回振るときの出目 X の分散 V[X] を求めよ。

     • ア．35/12
     • イ．7/2
     • ウ．91/6
     • エ．35/6

     正解：ア．35/12

     解説：E[X^2]=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6。V[X]=91/6−(7/2)^2=91/6−147/12=35/12。検算: 35/12≒2.917で離散一様分布(n=6)の(n^2−1)/12=35/12と一致。

228. 問228．二項分布 B(10,0.2) に従う X の期待値 E[X] を求めよ。

     • ア．1.6
     • イ．0.2
     • ウ．5
     • エ．2

     正解：エ．2

     解説：E[X]=np=10·0.2=2。検算: 分散np(1−p)=1.6と整合的にE[X]=2。

229. 問229．二項分布 B(10,0.2) に従う X の分散 V[X] を求めよ。

     • ア．2
     • イ．0.8
     • ウ．1.6
     • エ．1.265

     正解：ウ．1.6

     解説：V[X]=np(1−p)=10·0.2·0.8=1.6。検算: 標準偏差√1.6≒1.265で妥当。

230. 問230．二項分布 B(100,0.5) に従う X の標準偏差を求めよ。

     • ア．25
     • イ．50
     • ウ．5
     • エ．2.5

     正解：ウ．5

     解説：V[X]=np(1−p)=100·0.5·0.5=25。標準偏差=√25=5。検算: 5^2=25=V[X]で一致。

231. 問231．ポアソン分布 Po(λ)=Po(3) に従う X の期待値 E[X] を求めよ。

     • ア．3
     • イ．9
     • ウ．√3
     • エ．1.5

     正解：ア．3

     解説：ポアソン分布は E[X]=λ=3。検算: 分散もλ=3で平均=分散の性質と整合。

232. 問232．ポアソン分布 Po(4) に従う X の分散 V[X] を求めよ。

     • ア．2
     • イ．16
     • ウ．4
     • エ．8

     正解：ウ．4

     解説：ポアソン分布は V[X]=λ=4。検算: 平均E[X]=λ=4とも一致(平均=分散)。

233. 問233．ポアソン分布 Po(2) に従う X が X=0 となる確率 P(X=0) を求めよ。e^(−2)≒0.1353 とする。

     • ア．0.2707
     • イ．0.0902
     • ウ．0.6767
     • エ．0.1353

     正解：エ．0.1353

     解説：P(X=0)=e^(−λ)λ^0/0!=e^(−2)≒0.1353。検算: λ^0/0!=1なのでe^(−2)そのもの。

234. 問234．ポアソン分布 Po(2) に従う X が X=1 となる確率 P(X=1) を求めよ。e^(−2)≒0.1353 とする。

     • ア．0.1353
     • イ．0.5413
     • ウ．0.0902
     • エ．0.2707

     正解：エ．0.2707

     解説：P(X=1)=e^(−2)·2^1/1!=0.1353·2=0.2707。検算: P(X=0)=0.1353の2倍で妥当。

235. 問235．標準正規分布 N(0,1) に従う Z について P(Z≦0) を求めよ。

     • ア．0
     • イ．1
     • ウ．0.25
     • エ．0.5

     正解：エ．0.5

     解説：標準正規分布は0について対称なのでP(Z≦0)=0.5。検算: 全確率1の半分=0.5。

236. 問236．正規分布 N(50,100) に従う X を標準化した値 Z は X=60 のときいくらか。

     • ア．0.5
     • イ．2
     • ウ．1
     • エ．10

     正解：ウ．1

     解説：標準偏差σ=√100=10。Z=(60−50)/10=1。検算: σ=10より1σ上方で Z=1。

237. 問237．正規分布 N(100,25) に従う X を標準化した値 Z は X=90 のときいくらか。

     • ア．−2
     • イ．2
     • ウ．−10
     • エ．−0.4

     正解：ア．−2

     解説：σ=√25=5。Z=(90−100)/5=−2。検算: 90は平均より2σ(=10)下なのでZ=−2。

238. 問238．標準正規分布 N(0,1) で P(Z≦1.96)=0.975 とするとき、P(Z>1.96) を求めよ。

     • ア．0.95
     • イ．0.05
     • ウ．0.975
     • エ．0.025

     正解：エ．0.025

     解説：P(Z>1.96)=1−0.975=0.025。検算: 上側と下側で0.975+0.025=1。

239. 問239．標準正規分布で P(Z≦1.96)=0.975 とするとき、P(−1.96≦Z≦1.96) を求めよ。

     • ア．0.975
     • イ．0.90
     • ウ．0.95
     • エ．0.99

     正解：ウ．0.95

     解説：対称性よりP(−1.96≦Z≦1.96)=2·0.975−1=0.95。検算: 両側0.025ずつ除くと1−0.05=0.95。

240. 問240．標準正規分布で Φ(1)=0.8413 とするとき、P(−1≦Z≦1) を求めよ。

     • ア．0.8413
     • イ．0.3174
     • ウ．0.6826
     • エ．0.9544

     正解：ウ．0.6826

     解説：P(−1≦Z≦1)=2Φ(1)−1=2·0.8413−1=0.6826。検算: 約68%で1σ範囲の経験則と一致。

241. 問241．指数分布 Exp(λ)(平均1/λ)で λ=2 のとき期待値 E[X] を求めよ。

     • ア．2
     • イ．0.25
     • ウ．1
     • エ．0.5

     正解：エ．0.5

     解説：指数分布の期待値E[X]=1/λ=1/2=0.5。検算: 分散1/λ^2=0.25, 標準偏差0.5でE[X]と一致。

242. 問242．指数分布 Exp(λ) で λ=2 のとき分散 V[X] を求めよ。

     • ア．0.5
     • イ．4
     • ウ．2
     • エ．0.25

     正解：エ．0.25

     解説：V[X]=1/λ^2=1/4=0.25。検算: 標準偏差√0.25=0.5=E[X]で指数分布の性質と一致。

243. 問243．確率密度関数 f(x)=cx (0≦x≦2, それ以外0) が正規化されるとき定数 c を求めよ。

     • ア．1/4
     • イ．1
     • ウ．1/2
     • エ．2

     正解：ウ．1/2

     解説：∫(0→2)cx dx=c[x^2/2]=c·2=2c=1 より c=1/2。検算: ∫(0→2)(1/2)x dx=(1/2)·2=1で正規化OK。

244. 問244．f(x)=1/2·x (0≦x≦2) を密度とする X の期待値 E[X]=∫xf(x)dx を求めよ。

     • ア．1
     • イ．2/3
     • ウ．2
     • エ．4/3

     正解：エ．4/3

     解説：E[X]=∫(0→2)x·(x/2)dx=(1/2)[x^3/3](0→2)=(1/2)(8/3)=4/3。検算: 右に偏った三角分布で平均>1は妥当。

245. 問245．区間[0,a]の連続一様分布の期待値が3のとき a を求めよ。

     • ア．3
     • イ．12
     • ウ．6
     • エ．1.5

     正解：ウ．6

     解説：一様分布U(0,a)の期待値はa/2=3より a=6。検算: U(0,6)の平均は(0+6)/2=3で一致。

246. 問246．区間[0,6]の連続一様分布の分散 V[X] を求めよ。

     • ア．3
     • イ．12
     • ウ．36
     • エ．6

     正解：ア．3

     解説：U(a,b)の分散は(b−a)^2/12=36/12=3。検算: (6−0)^2/12=3で公式と一致。

247. 問247．確率変数 X,Y が独立で V[X]=4, V[Y]=9 のとき V[X+Y] を求めよ。

     • ア．6
     • イ．36
     • ウ．5
     • エ．13

     正解：エ．13

     解説：独立ならV[X+Y]=V[X]+V[Y]=4+9=13。検算: 共分散0なので加法のみ。

248. 問248．確率変数 X,Y が独立で V[X]=4, V[Y]=9 のとき V[X−Y] を求めよ。

     • ア．−5
     • イ．5
     • ウ．13
     • エ．−13

     正解：ウ．13

     解説：独立ならV[X−Y]=V[X]+V[Y]=4+9=13。検算: 差でも分散は加算(係数の2乗は正)。

249. 問249．E[X]=2, V[X]=3 のとき E[X^2] を求めよ。

     • ア．5
     • イ．11
     • ウ．1
     • エ．7

     正解：エ．7

     解説：V[X]=E[X^2]−(E[X])^2 より E[X^2]=V[X]+(E[X])^2=3+4=7。検算: 7−4=3=V[X]で一致。

250. 問250．確率変数 X に対し Y=3X+2 とするとき E[Y] を E[X]=4 を用いて求めよ。

     • ア．12
     • イ．4
     • ウ．18
     • エ．14

     正解：エ．14

     解説：E[3X+2]=3E[X]+2=3·4+2=14。検算: 線形性で係数3倍+2。

251. 問251．確率変数 X に対し Y=3X+2 とするとき V[Y] を V[X]=5 を用いて求めよ。

     • ア．15
     • イ．17
     • ウ．47
     • エ．45

     正解：エ．45

     解説：V[aX+b]=a^2V[X]=9·5=45。検算: 定数2は分散に影響せず、係数3の2乗倍。

252. 問252．Cov(X,Y)=6, V[X]=4, V[Y]=9 のとき相関係数 ρ を求めよ。

     • ア．0.5
     • イ．6
     • ウ．0.25
     • エ．1

     正解：エ．1

     解説：ρ=Cov/(√V[X]·√V[Y])=6/(2·3)=1。検算: 6/6=1で完全相関。

253. 問253．Cov(X,Y)=−4, σ_X=2, σ_Y=4 のとき相関係数 ρ を求めよ。

     • ア．−0.5
     • イ．0.5
     • ウ．−4
     • エ．−2

     正解：ア．−0.5

     解説：ρ=Cov/(σ_X σ_Y)=−4/(2·4)=−0.5。検算: −4/8=−0.5で範囲[−1,1]内。

254. 問254．母分散 σ^2=36 の母集団から大きさ n=9 の標本を取るとき標本平均の分散を求めよ。

     • ア．36
     • イ．6
     • ウ．4
     • エ．2

     正解：ウ．4

     解説：標本平均の分散=σ^2/n=36/9=4。検算: 標準誤差√4=2=6/3で一致。

255. 問255．母標準偏差 σ=10 の母集団から大きさ n=25 の標本を取るとき標本平均の標準誤差を求めよ。

     • ア．10
     • イ．0.4
     • ウ．4
     • エ．2

     正解：エ．2

     解説：標準誤差=σ/√n=10/√25=10/5=2。検算: 分散σ^2/n=100/25=4, √4=2で一致。

256. 問256．データ {2,4,6,8,10} の標本平均を求めよ。

     • ア．5
     • イ．30
     • ウ．7
     • エ．6

     正解：エ．6

     解説：平均=(2+4+6+8+10)/5=30/5=6。検算: 中央値6とも一致(対称データ)。

257. 問257．データ {2,4,6,8,10} の不偏分散(n−1で割る)を求めよ。

     • ア．8
     • イ．40
     • ウ．6
     • エ．10

     正解：エ．10

     解説：平均6, 偏差平方和=16+4+0+4+16=40。不偏分散=40/(5−1)=10。検算: 標本分散40/5=8より不偏分散10は大きく妥当。

258. 問258．データ {2,4,6,8,10} の標本分散(nで割る)を求めよ。

     • ア．10
     • イ．40
     • ウ．16
     • エ．8

     正解：エ．8

     解説：偏差平方和=40, 標本分散=40/5=8。検算: 標準偏差√8≒2.83でデータ幅8に対し妥当。

259. 問259．独立同分布な X_1,…,X_4 が各 E[X_i]=5 のとき、和 S=X_1+…+X_4 の期待値 E[S] を求めよ。

     • ア．5
     • イ．9
     • ウ．25
     • エ．20

     正解：エ．20

     解説：E[S]=4·5=20。検算: 期待値は線形なので個別の和。

260. 問260．独立同分布な X_1,…,X_4 が各 V[X_i]=3 のとき、和 S=X_1+…+X_4 の分散 V[S] を求めよ。

     • ア．3
     • イ．7
     • ウ．12
     • エ．36

     正解：ウ．12

     解説：独立よりV[S]=4·3=12。検算: 共分散0なので分散は単純加算。

261. 問261．ベルヌーイ試行(成功確率 p=0.3)の1回の試行 X の分散 V[X] を求めよ。

     • ア．0.3
     • イ．0.7
     • ウ．0.21
     • エ．0.09

     正解：ウ．0.21

     解説：V[X]=p(1−p)=0.3·0.7=0.21。検算: B(1,0.3)の分散np(1−p)=0.21で一致。

262. 問262．幾何分布(初成功までの試行回数, p=0.25)の期待値 E[X] を求めよ。

     • ア．4
     • イ．0.25
     • ウ．2
     • エ．16

     正解：ア．4

     解説：幾何分布(試行回数版)の期待値E[X]=1/p=1/0.25=4。検算: 平均4回で1回成功はp=0.25と整合。

263. 問263．袋に赤3個白2個の玉。1個取り出すとき赤である確率を求めよ。

     • ア．2/5
     • イ．1/5
     • ウ．3/5
     • エ．3/2

     正解：ウ．3/5

     解説：P(赤)=3/(3+2)=3/5=0.6。検算: 白の確率2/5=0.4と合わせて1。

264. 問264．事象AとBが独立で P(A)=0.4, P(B)=0.5 のとき P(A∩B) を求めよ。

     • ア．0.2
     • イ．0.9
     • ウ．0.7
     • エ．0.1

     正解：ア．0.2

     解説：独立ならP(A∩B)=P(A)P(B)=0.4·0.5=0.2。検算: 0.2≦min(0.4,0.5)で妥当。

265. 問265．P(A)=0.3, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.1 のとき P(A∪B) を求めよ。

     • ア．0.8
     • イ．0.9
     • ウ．0.7
     • エ．0.6

     正解：ウ．0.7

     解説：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0.3+0.5−0.1=0.7。検算: 0.7≦1で妥当。

266. 問266．P(A)=0.6, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.2 のとき条件付き確率 P(B|A) を求めよ。

     • ア．1/3
     • イ．1/2
     • ウ．2/3
     • エ．1/5

     正解：ア．1/3

     解説：P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0.2/0.6=1/3。検算: 1/3≒0.333で範囲内。

267. 問267．P(A)=0.5, P(A∩B)=0.2 のとき条件付き確率 P(B|A) を求めよ。

     • ア．0.4
     • イ．0.1
     • ウ．0.7
     • エ．0.25

     正解：ア．0.4

     解説：P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0.2/0.5=0.4。検算: 0.4≦1で妥当。

268. 問268．病気の有病率1%、検査の感度(陽性|病気)=0.9、偽陽性率(陽性|健康)=0.1とする。検査陽性のときに病気である確率(ベイズ)を求めよ。

     • ア．0.0833
     • イ．0.9
     • ウ．0.5
     • エ．0.108

     正解：ア．0.0833

     解説：P(陽性)=0.01·0.9+0.99·0.1=0.009+0.099=0.108。P(病|陽)=0.009/0.108=1/12≒0.0833。検算: 0.009/0.108を約分すると1/12。

269. 問269．袋A(赤2白1)と袋B(赤1白3)があり、等確率で袋を選んで1個取る。赤が出たとき袋Aだった確率(ベイズ)を求めよ。

     • ア．8/11
     • イ．2/3
     • ウ．1/2
     • エ．3/11

     正解：ア．8/11

     解説：P(赤)=0.5·(2/3)+0.5·(1/4)=1/3+1/8=11/24。P(A|赤)=(1/3)/(11/24)=8/11。検算: (8/24)/(11/24)=8/11。

270. 問270．標準正規分布で Φ(1.645)=0.95 とするとき、母平均の信頼度90%区間に用いる両側の z 値はおよそいくらか。

     • ア．1.645
     • イ．1.96
     • ウ．2.576
     • エ．1.282

     正解：ア．1.645

     解説：信頼度90%は両側に5%ずつ残すのでz=1.645(片側0.95点)。検算: 1−0.90=0.10を2分し片側0.05、Φ^(−1)(0.95)=1.645。

271. 問271．母標準偏差 σ=20 既知、標本数 n=100、標本平均 50。信頼度95%(z=1.96)の母平均区間の幅の半分(誤差限界)を求めよ。

     • ア．1.96
     • イ．3.92
     • ウ．7.84
     • エ．2

     正解：イ．3.92

     解説：誤差限界=z·σ/√n=1.96·20/10=1.96·2=3.92。検算: σ/√n=20/10=2, ×1.96=3.92。

272. 問272．母標準偏差 σ=15 既知、n=25、標本平均 100。信頼度95%(z=1.96)の母平均の下側信頼限界を求めよ。

     • ア．94.12
     • イ．105.88
     • ウ．97
     • エ．103

     正解：ア．94.12

     解説：誤差限界=1.96·15/√25=1.96·3=5.88。下限=100−5.88=94.12。検算: σ/√n=15/5=3, ×1.96=5.88。

273. 問273．二項分布 B(5,0.5) に従う X が X=5 となる確率 P(X=5) を求めよ。

     • ア．1/16
     • イ．1/32
     • ウ．5/32
     • エ．1/5

     正解：イ．1/32

     解説：P(X=5)=C(5,5)(0.5)^5=1·(1/32)=1/32。検算: 全5回成功で(1/2)^5=1/32。

274. 問274．二項分布 B(4,0.5) に従う X が X=2 となる確率 P(X=2) を求めよ。

     • ア．1/4
     • イ．3/8
     • ウ．3/16
     • エ．1/2

     正解：イ．3/8

     解説：P(X=2)=C(4,2)(0.5)^4=6/16=3/8。検算: C(4,2)=6, (1/2)^4=1/16, 6/16=3/8。

275. 問275．二項分布 B(3,1/3) に従う X が X=0 となる確率 P(X=0) を求めよ。

     • ア．8/27
     • イ．1/27
     • ウ．2/3
     • エ．4/9

     正解：ア．8/27

     解説：P(X=0)=(2/3)^3=8/27。検算: 全3回失敗(失敗確率2/3)、(2/3)^3=8/27。

276. 問276．標準正規分布で Φ(2.576)=0.995 とするとき、信頼度99%の母平均区間に用いる両側 z 値はおよそいくらか。

     • ア．1.96
     • イ．1.645
     • ウ．2.576
     • エ．3.29

     正解：ウ．2.576

     解説：信頼度99%は両側計1%、片側0.5%なので上側0.995点 z=2.576。検算: Φ^(−1)(0.995)=2.576。

277. 問277．離散確率変数 X が値 0,1,2 をそれぞれ確率 0.5,0.3,0.2 でとるとき E[X] を求めよ。

     • ア．0.5
     • イ．1
     • ウ．0.7
     • エ．1.4

     正解：ウ．0.7

     解説：E[X]=0·0.5+1·0.3+2·0.2=0.3+0.4=0.7。検算: 確率和0.5+0.3+0.2=1で正当。

278. 問278．離散確率変数 X が値 0,1,2 をそれぞれ確率 0.5,0.3,0.2 でとるとき E[X^2] を求めよ。

     • ア．0.7
     • イ．1.1
     • ウ．1.4
     • エ．0.49

     正解：イ．1.1

     解説：E[X^2]=0·0.5+1·0.3+4·0.2=0.3+0.8=1.1。検算: 各値の2乗0,1,4に確率を掛けて合計。

279. 問279．離散確率変数 X が値 0,1,2 を確率 0.5,0.3,0.2 でとる。E[X]=0.7, E[X^2]=1.1 のとき V[X] を求めよ。

     • ア．0.49
     • イ．1.1
     • ウ．0.61
     • エ．0.7

     正解：ウ．0.61

     解説：V[X]=E[X^2]−(E[X])^2=1.1−0.49=0.61。検算: 1.1−0.7^2=1.1−0.49=0.61。

280. 問280．f(x)=2x (0≦x≦1, それ以外0) を密度とする X の期待値 E[X] を求めよ。

     • ア．1/2
     • イ．2/3
     • ウ．1/3
     • エ．1

     正解：イ．2/3

     解説：E[X]=∫(0→1)x·2x dx=2[x^3/3](0→1)=2/3。検算: ∫(0→1)2x dx=1で正規化済、右偏りで平均>0.5は妥当。

281. 問281．f(x)=2x (0≦x≦1) を密度とする X の E[X^2] を求めよ。

     • ア．1/2
     • イ．2/3
     • ウ．1/3
     • エ．1/4

     正解：ア．1/2

     解説：E[X^2]=∫(0→1)x^2·2x dx=2[x^4/4](0→1)=1/2。検算: 2·(1/4)=1/2。

282. 問282．f(x)=2x (0≦x≦1) を密度とする X の分散 V[X] を求めよ。E[X]=2/3, E[X^2]=1/2。

     • ア．1/9
     • イ．1/18
     • ウ．1/6
     • エ．1/3

     正解：イ．1/18

     解説：V[X]=1/2−(2/3)^2=1/2−4/9=9/18−8/18=1/18。検算: 1/2=9/18, 4/9=8/18, 差1/18。

283. 問283．超幾何分布的状況: 赤4白6の10個から2個同時に取るとき2個とも赤の確率を求めよ。

     • ア．2/15
     • イ．1/5
     • ウ．4/45
     • エ．6/15

     正解：ア．2/15

     解説：P=C(4,2)/C(10,2)=6/45=2/15。検算: C(4,2)=6, C(10,2)=45, 6/45=2/15。

284. 問284．赤4白6の10個から2個同時に取るとき赤白1個ずつの確率を求めよ。

     • ア．8/15
     • イ．2/15
     • ウ．4/15
     • エ．1/2

     正解：ア．8/15

     解説：P=C(4,1)C(6,1)/C(10,2)=24/45=8/15。検算: 4·6=24, /45=8/15。

285. 問285．確率変数の和 X+Y で Cov(X,Y)=3, V[X]=5, V[Y]=2 のとき V[X+Y] を求めよ。

     • ア．7
     • イ．13
     • ウ．10
     • エ．16

     正解：イ．13

     解説：V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2Cov(X,Y)=5+2+6=13。検算: 共分散正なので独立時(=7)より大きい13は妥当。

286. 問286．確率変数の差 X−Y で Cov(X,Y)=3, V[X]=5, V[Y]=2 のとき V[X−Y] を求めよ。

     • ア．13
     • イ．7
     • ウ．1
     • エ．−1

     正解：ウ．1

     解説：V[X−Y]=V[X]+V[Y]−2Cov(X,Y)=5+2−6=1。検算: 共分散正なので差の分散は小さくなり1。

287. 問287．標準正規分布で Φ(0.5)=0.6915 とするとき P(Z>0.5) を求めよ。

     • ア．0.6915
     • イ．0.3085
     • ウ．0.5
     • エ．0.1915

     正解：イ．0.3085

     解説：P(Z>0.5)=1−0.6915=0.3085。検算: 上側+下側0.6915=1。

288. 問288．標準正規分布で Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772 とするとき P(1≦Z≦2) を求めよ。

     • ア．0.1359
     • イ．0.8185
     • ウ．0.9772
     • エ．0.0228

     正解：ア．0.1359

     解説：P(1≦Z≦2)=Φ(2)−Φ(1)=0.9772−0.8413=0.1359。検算: 両者の差で0<0.1359<1。

289. 問289．正規分布 N(60,16) に従う X について P(X≦68) を求めよ。Φ(2)=0.9772 とする。

     • ア．0.8413
     • イ．0.9772
     • ウ．0.5
     • エ．0.0228

     正解：イ．0.9772

     解説：σ=√16=4, Z=(68−60)/4=2。P=Φ(2)=0.9772。検算: 68は平均+2σで上側0.0228残し0.9772。

290. 問290．正規分布 N(60,16) に従う X について P(X>64) を求めよ。Φ(1)=0.8413 とする。

     • ア．0.8413
     • イ．0.1587
     • ウ．0.5
     • エ．0.3413

     正解：イ．0.1587

     解説：Z=(64−60)/4=1, P(X>64)=1−Φ(1)=1−0.8413=0.1587。検算: +1σ上側で約15.87%。

291. 問291．二項分布 B(n,p) で E[X]=6, V[X]=4.8 のとき p を求めよ。

     • ア．0.8
     • イ．0.2
     • ウ．0.5
     • エ．0.3

     正解：イ．0.2

     解説：V[X]/E[X]=np(1−p)/(np)=1−p=4.8/6=0.8 より p=0.2。検算: 1−p=0.8でnp=6→n=30, np(1−p)=4.8で一致。

292. 問292．二項分布 B(n,p) で E[X]=6, V[X]=4.8, p=0.2 のとき n を求めよ。

     • ア．24
     • イ．30
     • ウ．12
     • エ．36

     正解：イ．30

     解説：np=6, p=0.2 より n=6/0.2=30。検算: np(1−p)=30·0.2·0.8=4.8で一致。

293. 問293．確率変数 X の積率母関数的性質は使わず、E[X]=3, E[X^2]=13 のとき標準偏差を求めよ。

     • ア．4
     • イ．2
     • ウ．√13
     • エ．3

     正解：イ．2

     解説：V[X]=13−9=4, 標準偏差=√4=2。検算: 2^2=4=V[X]で一致。

294. 問294．標本 n=4 のデータ {3,5,7,9} の不偏分散を求めよ。

     • ア．5
     • イ．20/3
     • ウ．20
     • エ．6

     正解：イ．20/3

     解説：平均=24/4=6, 偏差平方和=9+1+1+9=20, 不偏分散=20/(4−1)=20/3≒6.67。検算: 標本分散20/4=5より不偏分散は大きく20/3で妥当。

295. 問295．ポアソン分布 Po(λ) の標準偏差が2のとき λ を求めよ。

     • ア．2
     • イ．4
     • ウ．√2
     • エ．16

     正解：イ．4

     解説：分散=λ=標準偏差^2=4 より λ=4。検算: λ=4なら標準偏差√4=2で一致。

296. 問296．指数分布で平均が4のとき率パラメータ λ を求めよ。

     • ア．4
     • イ．0.25
     • ウ．0.5
     • エ．2

     正解：イ．0.25

     解説：平均=1/λ=4 より λ=1/4=0.25。検算: 1/0.25=4で平均一致。

297. 問297．標準正規分布の確率変数 Z について Z^2 の期待値 E[Z^2] を求めよ。

     • ア．0
     • イ．1
     • ウ．2
     • エ．0.5

     正解：イ．1

     解説：E[Z^2]=V[Z]+(E[Z])^2=1+0=1。検算: 標準正規はV[Z]=1, E[Z]=0なのでE[Z^2]=1。

298. 問298．コインを4回投げて表が出る回数 X(B(4,0.5))の期待値 E[X] を求めよ。

     • ア．1
     • イ．2
     • ウ．4
     • エ．0.5

     正解：イ．2

     解説：E[X]=np=4·0.5=2。検算: 対称分布の中心が2で妥当。

299. 問299．コインを4回投げて表が出る回数 X(B(4,0.5))の分散 V[X] を求めよ。

     • ア．2
     • イ．0.5
     • ウ．1
     • エ．4

     正解：ウ．1

     解説：V[X]=np(1−p)=4·0.5·0.5=1。検算: 標準偏差√1=1で妥当。

300. 問300．母比率の推定で標本数 n=400, 標本比率 p̂=0.5 のとき標準誤差 √(p̂(1−p̂)/n) を求めよ。

     • ア．0.05
     • イ．0.025
     • ウ．0.5
     • エ．0.0025

     正解：イ．0.025

     解説：√(0.5·0.5/400)=√(0.25/400)=√0.000625=0.025。検算: 0.025^2=0.000625で一致。

301. 問301．定積分 ∫[0,1] (3x^2+2x) dx を求めよ。

     • ア．2
     • イ．3
     • ウ．1
     • エ．5/2

     正解：ア．2

     解説：原始関数 x^3+x^2。[x^3+x^2]_0^1=(1+1)−0=2。検算: ∫3x^2=1,∫2x=1で和2。

302. 問302．定積分 ∫[0,π/2] sin x dx を求めよ。

     • ア．0
     • イ．1
     • ウ．2
     • エ．1/2

     正解：イ．1

     解説：∫sin x=−cos x。[−cos x]_0^{π/2}=−0−(−1)=1。検算: d/dx(−cos x)=sin x。

303. 問303．定積分 ∫[1,e] (1/x) dx を求めよ。

     • ア．e
     • イ．e−1
     • ウ．1
     • エ．0

     正解：ウ．1

     解説：∫1/x=log x。[log x]_1^e=log e−log 1=1−0=1。検算: d/dx log x=1/x。

304. 問304．置換積分 ∫[0,1] 2x·e^(x^2) dx を求めよ。

     • ア．e
     • イ．1
     • ウ．e^2−1
     • エ．e−1

     正解：エ．e−1

     解説：t=x^2でdt=2x dx。∫[0,1]e^t dt=e−1。検算: d/dx e^(x^2)=2x e^(x^2)。

305. 問305．定積分 ∫[0,∞] e^(-x) dx を求めよ。

     • ア．1
     • イ．0
     • ウ．∞
     • エ．1/e

     正解：ア．1

     解説：[−e^(-x)]_0^∞=0−(−1)=1。検算: x→∞でe^(-x)→0、x=0で1。

306. 問306．重積分 ∫∫_D x dxdy （D: 0≤x≤1, 0≤y≤2）を求めよ。

     • ア．2
     • イ．1
     • ウ．1/2
     • エ．4

     正解：イ．1

     解説：∫[0,2]dy ∫[0,1]x dx=2·(1/2)=1。検算: 内側1/2、外側y長さ2倍。

307. 問307．定積分 ∫[0,2] (x^3) dx を求めよ。

     • ア．8
     • イ．2
     • ウ．4
     • エ．16

     正解：ウ．4

     解説：[x^4/4]_0^2=16/4=4。検算: d/dx(x^4/4)=x^3。

308. 問308．部分積分 ∫[0,1] x·e^x dx を求めよ。

     • ア．e
     • イ．e−1
     • ウ．e+1
     • エ．1

     正解：エ．1

     解説：∫x e^x=x e^x−e^x。[x e^x−e^x]_0^1=(e−e)−(0−1)=1。検算: d/dx(x e^x−e^x)=x e^x。

309. 問309．定積分 ∫[0,π] cos x dx を求めよ。

     • ア．0
     • イ．2
     • ウ．−2
     • エ．π

     正解：ア．0

     解説：[sin x]_0^π=0−0=0。検算: sin π=0, sin 0=0。

310. 問310．広義積分 ∫[1,∞] (1/x^2) dx を求めよ。

     • ア．∞
     • イ．1
     • ウ．1/2
     • エ．2

     正解：イ．1

     解説：[−1/x]_1^∞=0−(−1)=1。検算: d/dx(−1/x)=1/x^2。

311. 問311．定積分 ∫[0,1] √x dx を求めよ。

     • ア．3/2
     • イ．1/2
     • ウ．2/3
     • エ．1

     正解：ウ．2/3

     解説：∫x^(1/2)=(2/3)x^(3/2)。[(2/3)x^(3/2)]_0^1=2/3。検算: d/dx(2/3 x^(3/2))=x^(1/2)。

312. 問312．重積分 ∫∫_D dxdy （D: 0≤x≤3, 0≤y≤2）を求めよ。

     • ア．5
     • イ．12
     • ウ．9
     • エ．6

     正解：エ．6

     解説：面積=3×2=6。検算: ∫[0,3]dx·∫[0,2]dy=3·2=6。

313. 問313．定積分 ∫[0,1] (1/(1+x^2)) dx を求めよ。

     • ア．π/4
     • イ．π/2
     • ウ．π
     • エ．1

     正解：ア．π/4

     解説：∫1/(1+x^2)=arctan x。[arctan x]_0^1=π/4−0=π/4。検算: tan(π/4)=1。

314. 問314．y=x^2 と x軸で囲まれる 0≤x≤2 の面積を求めよ。

     • ア．4
     • イ．8/3
     • ウ．2
     • エ．16/3

     正解：イ．8/3

     解説：∫[0,2]x^2 dx=[x^3/3]_0^2=8/3。検算: d/dx(x^3/3)=x^2。

315. 問315．定積分 ∫[0,1] e^(2x) dx を求めよ。

     • ア．e^2−1
     • イ．e^2
     • ウ．(e^2−1)/2
     • エ．2(e^2−1)

     正解：ウ．(e^2−1)/2

     解説：[(1/2)e^(2x)]_0^1=(1/2)(e^2−1)。検算: d/dx((1/2)e^(2x))=e^(2x)。

316. 問316．曲線 y=x^2 を 0≤x≤1 でx軸まわりに回転した体積を求めよ。

     • ア．π/3
     • イ．2π/5
     • ウ．π
     • エ．π/5

     正解：エ．π/5

     解説：V=π∫[0,1](x^2)^2 dx=π∫x^4=π/5。検算: ∫x^4=1/5。

317. 問317．累次積分 ∫[0,1]∫[0,x] dy dx を求めよ。

     • ア．1/2
     • イ．1
     • ウ．1/3
     • エ．2

     正解：ア．1/2

     解説：内側∫[0,x]dy=x。∫[0,1]x dx=1/2。検算: 三角形領域の面積1/2。

318. 問318．ガンマ関数 Γ(1) の値を求めよ。

     • ア．0
     • イ．1
     • ウ．∞
     • エ．π

     正解：イ．1

     解説：Γ(1)=∫[0,∞]e^(-t)dt=1。検算: 既知の値Γ(n)=(n−1)!でΓ(1)=0!=1。

319. 問319．定積分 ∫[1,2] (2x+1) dx を求めよ。

     • ア．3
     • イ．5
     • ウ．4
     • エ．6

     正解：ウ．4

     解説：[x^2+x]_1^2=(4+2)−(1+1)=4。検算: 各項∫2x=3,∫1=1で和4。

320. 問320．極座標変換で ∫∫_D dxdy （D: x^2+y^2≤4）を求めよ。

     • ア．2π
     • イ．8π
     • ウ．π
     • エ．4π

     正解：エ．4π

     解説：半径2の円の面積=π·2^2=4π。検算: ∫[0,2π]∫[0,2]r dr dθ=2π·2=4π。

321. 問321．定積分 ∫[0,π/4] sec^2 x dx を求めよ。

     • ア．1
     • イ．0
     • ウ．√2
     • エ．π/4

     正解：ア．1

     解説：∫sec^2 x=tan x。[tan x]_0^{π/4}=1−0=1。検算: tan(π/4)=1。

322. 問322．部分積分 ∫[1,e] log x dx を求めよ。

     • ア．e
     • イ．1
     • ウ．e−1
     • エ．0

     正解：イ．1

     解説：∫log x=x log x−x。[x log x−x]_1^e=(e−e)−(0−1)=1。検算: d/dx(x log x−x)=log x。

323. 問323．定積分 ∫[0,1] (4x^3−2x) dx を求めよ。

     • ア．1
     • イ．2
     • ウ．0
     • エ．−1

     正解：ウ．0

     解説：[x^4−x^2]_0^1=(1−1)−0=0。検算: ∫4x^3=1,∫2x=1で差0。

324. 問324．広義積分 ∫[0,1] (1/√x) dx を求めよ。

     • ア．1
     • イ．∞
     • ウ．1/2
     • エ．2

     正解：エ．2

     解説：∫x^(-1/2)=2√x。[2√x]_0^1=2−0=2。検算: d/dx(2√x)=1/√x。

325. 問325．累次積分 ∫[0,1]∫[0,2] (x+y) dy dx を求めよ。

     • ア．3
     • イ．2
     • ウ．4
     • エ．1

     正解：ア．3

     解説：内側∫[0,2](x+y)dy=2x+2。∫[0,1](2x+2)dx=1+2=3。検算: ∫2x=1,∫2=2。

326. 問326．定積分 ∫[0,2] |x−1| dx を求めよ。

     • ア．2
     • イ．1
     • ウ．0
     • エ．1/2

     正解：イ．1

     解説：対称な2つの三角形=2·(1/2·1·1)=1。検算: ∫[0,1](1−x)+∫[1,2](x−1)=1/2+1/2=1。

327. 問327．定積分 ∫[0,1] x/(x^2+1) dx を求めよ。

     • ア．log2
     • イ．(1/2)log3
     • ウ．(1/2)log2
     • エ．1/2

     正解：ウ．(1/2)log2

     解説：(1/2)log(x^2+1)。[(1/2)log(x^2+1)]_0^1=(1/2)log2。検算: d/dx((1/2)log(x^2+1))=x/(x^2+1)。

328. 問328．y=sin x を 0≤x≤π でx軸まわりに回転した体積を求めよ。

     • ア．π^2
     • イ．π/2
     • ウ．2π
     • エ．π^2/2

     正解：エ．π^2/2

     解説：V=π∫[0,π]sin^2 x dx=π·(π/2)=π^2/2。検算: ∫[0,π]sin^2 x=π/2。

329. 問329．ガンマ関数 Γ(1/2) の値を求めよ。

     • ア．√π
     • イ．π
     • ウ．√(π/2)
     • エ．2√π

     正解：ア．√π

     解説：Γ(1/2)=√π（既知）。検算: ガウス積分∫[0,∞]e^(-t)t^(-1/2)dt=√π。

330. 問330．定積分 ∫[0,1] (2x+3)^2 dx を求めよ。

     • ア．98/3
     • イ．49/3
     • ウ．49/6
     • エ．125/6

     正解：イ．49/3

     解説：u=2x+3で[(2x+3)^3/6]_0^1=(125−27)/6=98/6=49/3。検算: u:3→5,∫u^2 du/2=(125−27)/6。

331. 問331．重積分 ∫∫_D xy dxdy （D: 0≤x≤1, 0≤y≤1）を求めよ。

     • ア．1/2
     • イ．1
     • ウ．1/4
     • エ．1/3

     正解：ウ．1/4

     解説：∫[0,1]x dx·∫[0,1]y dy=(1/2)(1/2)=1/4。検算: 変数分離で各1/2の積。

332. 問332．定積分 ∫[0,π/2] cos^2 x dx を求めよ。

     • ア．π/2
     • イ．1
     • ウ．π
     • エ．π/4

     正解：エ．π/4

     解説：∫cos^2 x=(x/2+sin2x/4)。[…]_0^{π/2}=π/4。検算: 平均1/2×区間π/2=π/4。

333. 問333．広義積分 ∫[0,∞] x·e^(-x) dx を求めよ。

     • ア．1
     • イ．2
     • ウ．0
     • エ．1/2

     正解：ア．1

     解説：=Γ(2)=1!=1。検算: 部分積分[−x e^(-x)−e^(-x)]_0^∞=0−(−1)=1。

334. 問334．定積分 ∫[1,3] (1/x) dx を求めよ。

     • ア．log2
     • イ．log3
     • ウ．1
     • エ．log(1/3)

     正解：イ．log3

     解説：[log x]_1^3=log3−log1=log3。検算: d/dx log x=1/x。

335. 問335．曲線 y=√x を 0≤x≤4 でx軸まわりに回転した体積を求めよ。

     • ア．4π
     • イ．16π
     • ウ．8π
     • エ．2π

     正解：ウ．8π

     解説：V=π∫[0,4]x dx=π·8=8π。検算: ∫[0,4]x=8。

336. 問336．定積分 ∫[0,1] (3x^2−2x+1) dx を求めよ。

     • ア．2
     • イ．0
     • ウ．3
     • エ．1

     正解：エ．1

     解説：[x^3−x^2+x]_0^1=1−1+1=1。検算: ∫3x^2=1,−∫2x=−1,∫1=1で和1。

337. 問337．累次積分 ∫[0,1]∫[0,1] (x^2+y^2) dy dx を求めよ。

     • ア．2/3
     • イ．1/3
     • ウ．1
     • エ．4/3

     正解：ア．2/3

     解説：内側∫[0,1](x^2+y^2)dy=x^2+1/3。∫[0,1](x^2+1/3)dx=1/3+1/3=2/3。検算: 対称性で2·1/3。

338. 問338．定積分 ∫[0,1] e^(-2x) dx を求めよ。

     • ア．1−e^(-2)
     • イ．(1−e^(-2))/2
     • ウ．(1−e^2)/2
     • エ．e^(-2)/2

     正解：イ．(1−e^(-2))/2

     解説：[−(1/2)e^(-2x)]_0^1=−(1/2)e^(-2)+1/2=(1−e^(-2))/2。検算: d/dx(−(1/2)e^(-2x))=e^(-2x)。

339. 問339．極座標変換で ∫∫_D e^(-(x^2+y^2)) dxdy （D: 全平面）を求めよ。

     • ア．2π
     • イ．√π
     • ウ．π
     • エ．π/2

     正解：ウ．π

     解説：∫[0,2π]dθ∫[0,∞]e^(-r^2)r dr=2π·(1/2)=π。検算: ∫r e^(-r^2)dr=1/2。

340. 問340．定積分 ∫[0,π/2] sin x cos x dx を求めよ。

     • ア．1
     • イ．1/4
     • ウ．0
     • エ．1/2

     正解：エ．1/2

     解説：=(1/2)∫sin2x=[−(1/4)cos2x]_0^{π/2}=(1/4)(1+1)=1/2。検算: t=sin xで∫[0,1]t dt=1/2。

341. 問341．ガンマ関数 Γ(3) の値を求めよ。

     • ア．2
     • イ．6
     • ウ．3
     • エ．1

     正解：ア．2

     解説：Γ(3)=2!=2。検算: Γ(n)=(n−1)!でn=3→2!=2。

342. 問342．定積分 ∫[0,2] (x^2−x) dx を求めよ。

     • ア．1/3
     • イ．2/3
     • ウ．4/3
     • エ．2

     正解：イ．2/3

     解説：[x^3/3−x^2/2]_0^2=8/3−2=2/3。検算: ∫x^2=8/3,∫x=2で差2/3。

343. 問343．重積分 ∫∫_D (x+y) dxdy （D: 0≤x≤1, 0≤y≤1）を求めよ。

     • ア．1/2
     • イ．2
     • ウ．1
     • エ．3/2

     正解：ウ．1

     解説：∫∫x+∫∫y=(1/2)(1)+(1)(1/2)=1。検算: 対称性で2·1/2=1。

344. 問344．広義積分 ∫[2,∞] (1/x^3) dx を求めよ。

     • ア．1/4
     • イ．1/2
     • ウ．1/16
     • エ．1/8

     正解：エ．1/8

     解説：[−1/(2x^2)]_2^∞=0−(−1/8)=1/8。検算: d/dx(−1/(2x^2))=1/x^3。

345. 問345．定積分 ∫[0,1] (1−x)^3 dx を求めよ。

     • ア．1/4
     • イ．1/2
     • ウ．1/3
     • エ．1

     正解：ア．1/4

     解説：[−(1−x)^4/4]_0^1=0−(−1/4)=1/4。検算: u=1−x,∫[0,1]u^3 du=1/4。

346. 問346．曲線 y=x と y=x^2 で囲まれる面積を求めよ。

     • ア．1/3
     • イ．1/6
     • ウ．1/2
     • エ．1/12

     正解：イ．1/6

     解説：∫[0,1](x−x^2)dx=1/2−1/3=1/6。検算: 交点x=0,1で上がx。

347. 問347．定積分 ∫[0,π] sin^2 x dx を求めよ。

     • ア．π
     • イ．π/4
     • ウ．π/2
     • エ．2π

     正解：ウ．π/2

     解説：平均1/2×区間π=π/2。検算: ∫(1−cos2x)/2 dx=[x/2−sin2x/4]_0^π=π/2。

348. 問348．置換積分 ∫[0,1] x√(1−x^2) dx を求めよ。

     • ア．2/3
     • イ．1/2
     • ウ．1
     • エ．1/3

     正解：エ．1/3

     解説：t=1−x^2,−(1/2)∫[1,0]√t dt=(1/2)·(2/3)=1/3。検算: [−(1/3)(1−x^2)^(3/2)]_0^1=1/3。

349. 問349．累次積分 ∫[0,2]∫[0,3] xy dy dx を求めよ。

     • ア．9
     • イ．18
     • ウ．6
     • エ．12

     正解：ア．9

     解説：∫[0,2]x dx·∫[0,3]y dy=2·(9/2)=9。検算: 内側∫y=9/2、外側∫x=2。

350. 問350．定積分 ∫[0,1] (5x^4) dx を求めよ。

     • ア．5
     • イ．1
     • ウ．1/5
     • エ．4

     正解：イ．1

     解説：[x^5]_0^1=1。検算: d/dx x^5=5x^4。

351. 問351．極座標で ∫∫_D r dr dθ （0≤θ≤π/2, 0≤r≤1）を求めよ。

     • ア．π/2
     • イ．π
     • ウ．π/4
     • エ．1/2

     正解：ウ．π/4

     解説：∫[0,π/2]dθ∫[0,1]r dr=(π/2)(1/2)=π/4。検算: 四分円の面積π/4。

352. 問352．置換積分で ∫[0,1] 2x(x^2+1)^2 dx を求めよ。

     • ア．8/3
     • イ．1
     • ウ．3
     • エ．7/3

     正解：エ．7/3

     解説：t=x^2+1,∫[1,2]t^2 dt=(8−1)/3=7/3。検算: [(x^2+1)^3/3]_0^1=(8−1)/3=7/3。

353. 問353．ガンマ関数 Γ(4) の値を求めよ。

     • ア．6
     • イ．24
     • ウ．4
     • エ．2

     正解：ア．6

     解説：Γ(4)=3!=6。検算: Γ(n)=(n−1)!でn=4→3!=6。

354. 問354．定積分 ∫[0,π/2] sin^3 x dx を求めよ。

     • ア．1/3
     • イ．2/3
     • ウ．π/4
     • エ．3/8

     正解：イ．2/3

     解説：=∫sin x(1−cos^2 x)。t=cos x,∫[0,1](1−t^2)dt=1−1/3=2/3。検算: ウォリス公式で2/3。

355. 問355．重積分 ∫∫_D y dxdy （D: 三角形 0≤x≤1, 0≤y≤x）を求めよ。

     • ア．1/3
     • イ．1/2
     • ウ．1/6
     • エ．1/4

     正解：ウ．1/6

     解説：∫[0,1]∫[0,x]y dy dx=∫[0,1](x^2/2)dx=1/6。検算: ∫x^2/2=1/6。

356. 問356．定積分 ∫[1,2] (x+1/x) dx を求めよ。

     • ア．2+log2
     • イ．3/2
     • ウ．1+log2
     • エ．3/2+log2

     正解：エ．3/2+log2

     解説：[x^2/2+log x]_1^2=(2+log2)−(1/2+0)=3/2+log2。検算: ∫x=3/2,∫1/x=log2。

357. 問357．広義積分 ∫[0,∞] e^(-3x) dx を求めよ。

     • ア．1/3
     • イ．3
     • ウ．1
     • エ．1/9

     正解：ア．1/3

     解説：[−(1/3)e^(-3x)]_0^∞=0−(−1/3)=1/3。検算: d/dx(−(1/3)e^(-3x))=e^(-3x)。

358. 問358．定積分 ∫[0,1] (e^x+e^(-x)) dx を求めよ。

     • ア．e+1/e
     • イ．e−1/e
     • ウ．2e
     • エ．e−1

     正解：イ．e−1/e

     解説：[e^x−e^(-x)]_0^1=(e−1/e)−0=e−1/e。検算: d/dx(e^x−e^(-x))=e^x+e^(-x)。

359. 問359．y=x^2 と y=4 で囲まれる面積を求めよ。

     • ア．16/3
     • イ．8
     • ウ．32/3
     • エ．64/3

     正解：ウ．32/3

     解説：∫[-2,2](4−x^2)dx=2∫[0,2](4−x^2)=2(8−8/3)=32/3。検算: 上が4、交点±2。

360. 問360．定積分 ∫[0,1] 1/(1+x^2) dx の2倍を求めよ。

     • ア．π/4
     • イ．π
     • ウ．1
     • エ．π/2

     正解：エ．π/2

     解説：2·(π/4)=π/2。検算: ∫[0,1]1/(1+x^2)=arctan1=π/4。

361. 問361．累次積分 ∫[0,1]∫[x,1] dy dx を求めよ。

     • ア．1/2
     • イ．1
     • ウ．1/3
     • エ．2

     正解：ア．1/2

     解説：内側∫[x,1]dy=1−x。∫[0,1](1−x)dx=1−1/2=1/2。検算: 三角形面積1/2。

362. 問362．定積分 ∫[0,2] e^x dx を求めよ。

     • ア．e^2
     • イ．e^2−1
     • ウ．e−1
     • エ．2e

     正解：イ．e^2−1

     解説：[e^x]_0^2=e^2−1。検算: d/dx e^x=e^x。

363. 問363．極座標で半径3の円板上 ∫∫_D dxdy を求めよ。

     • ア．6π
     • イ．3π
     • ウ．9π
     • エ．18π

     正解：ウ．9π

     解説：面積=π·3^2=9π。検算: ∫[0,2π]∫[0,3]r dr dθ=2π·(9/2)=9π。

364. 問364．定積分 ∫[0,1] (6x^5+1) dx を求めよ。

     • ア．1
     • イ．3
     • ウ．6
     • エ．2

     正解：エ．2

     解説：[x^6+x]_0^1=1+1=2。検算: ∫6x^5=1,∫1=1で和2。

365. 問365．部分積分 ∫[0,π] x sin x dx を求めよ。

     • ア．π
     • イ．2π
     • ウ．0
     • エ．π/2

     正解：ア．π

     解説：∫x sin x=−x cos x+sin x。[…]_0^π=(π+0)−0=π。検算: d/dx(−x cos x+sin x)=x sin x。

366. 問366．広義積分 ∫[0,∞] x^2 e^(-x) dx を求めよ。

     • ア．1
     • イ．2
     • ウ．6
     • エ．3

     正解：イ．2

     解説：=Γ(3)=2!=2。検算: 部分積分を繰り返すと2。

367. 問367．定積分 ∫[0,1] (2−x)^2 dx を求めよ。

     • ア．8/3
     • イ．1
     • ウ．7/3
     • エ．3

     正解：ウ．7/3

     解説：u=2−x,∫[1,2]u^2 du=(8−1)/3=7/3。検算: [−(2−x)^3/3]_0^1=(−1+8)/3=7/3。

368. 問368．重積分 ∫∫_D (x^2) dxdy （D: 0≤x≤1, 0≤y≤2）を求めよ。

     • ア．1/3
     • イ．1
     • ウ．4/3
     • エ．2/3

     正解：エ．2/3

     解説：∫[0,2]dy∫[0,1]x^2 dx=2·(1/3)=2/3。検算: 内側1/3、外側2倍。

369. 問369．定積分 ∫[1,e^2] (1/x) dx を求めよ。

     • ア．2
     • イ．1
     • ウ．e^2
     • エ．e

     正解：ア．2

     解説：[log x]_1^{e^2}=log(e^2)−0=2。検算: log(e^2)=2。

370. 問370．曲線 y=e^x を 0≤x≤1 でx軸まわりに回転した体積を求めよ。

     • ア．π(e^2−1)
     • イ．π(e^2−1)/2
     • ウ．π(e−1)
     • エ．πe^2/2

     正解：イ．π(e^2−1)/2

     解説：V=π∫[0,1]e^(2x)dx=π(e^2−1)/2。検算: ∫e^(2x)=(e^2−1)/2。

371. 問371．定積分 ∫[0,π/3] sec^2 x dx を求めよ。

     • ア．1
     • イ．√3/2
     • ウ．√3
     • エ．2

     正解：ウ．√3

     解説：[tan x]_0^{π/3}=√3−0=√3。検算: tan(π/3)=√3。

372. 問372．ガンマ関数 Γ(3/2) の値を求めよ。

     • ア．√π
     • イ．√π/4
     • ウ．2√π
     • エ．√π/2

     正解：エ．√π/2

     解説：Γ(3/2)=(1/2)Γ(1/2)=√π/2。検算: Γ(x+1)=xΓ(x)でΓ(3/2)=(1/2)√π。

373. 問373．定積分 ∫[-1,1] x^3 dx を求めよ。

     • ア．0
     • イ．1/2
     • ウ．2
     • エ．1

     正解：ア．0

     解説：奇関数なので0。検算: [x^4/4]_{-1}^1=1/4−1/4=0。

374. 問374．累次積分 ∫[0,1]∫[0,1] e^(x+y) dy dx を求めよ。

     • ア．e−1
     • イ．(e−1)^2
     • ウ．e^2−1
     • エ．2(e−1)

     正解：イ．(e−1)^2

     解説：=(∫[0,1]e^x dx)^2=(e−1)^2。検算: 変数分離で各(e−1)。

375. 問375．定積分 ∫[0,4] √x dx を求めよ。

     • ア．8/3
     • イ．8
     • ウ．16/3
     • エ．32/3

     正解：ウ．16/3

     解説：[(2/3)x^(3/2)]_0^4=(2/3)·8=16/3。検算: 4^(3/2)=8。

376. 問376．2次正方行列 A=[[3,1],[2,4]] の行列式 det(A) を求めよ。

     • ア．10
     • イ．14
     • ウ．8
     • エ．12

     正解：ア．10

     解説：det(A)=3·4−1·2=12−2=10。たすき掛けで計算。検算: トレース7, 固有値の積=det=10 と整合(λ^2−7λ+10=(λ−2)(λ−5))。

377. 問377．2次正方行列 A=[[5,2],[3,4]] の行列式 det(A) を求めよ。

     • ア．20
     • イ．14
     • ウ．26
     • エ．11

     正解：イ．14

     解説：det(A)=5·4−2·3=20−6=14。検算: 固有方程式 λ^2−9λ+14=(λ−2)(λ−7), 積=14 と一致。

378. 問378．3次正方行列 A=[[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]] の行列式 det(A) を求めよ。

     • ア．0
     • イ．−1
     • ウ．1
     • エ．5

     正解：ウ．1

     解説：サラスで 1(0−24)−2(0−20)+3(0−5)=−24+40−15=1。検算: 第1列で余因子展開 1·(1·0−4·6)−0+5·(2·4−3·1)=−24+5·5=−24+25=1 と一致。

379. 問379．行列の積 [[1,2],[3,4]]·[[0,1],[1,0]] を求めよ。

     • ア．[[1,2],[4,3]]
     • イ．[[1,2],[3,4]]
     • ウ．[[2,1],[3,4]]
     • エ．[[2,1],[4,3]]

     正解：エ．[[2,1],[4,3]]

     解説：右からの列交換になる。1行: (1·0+2·1, 1·1+2·0)=(2,1)。2行: (3·0+4·1,3·1+4·0)=(4,3)。よって[[2,1],[4,3]]。検算: 各成分を再計算し一致。

380. 問380．行列 A=[[2,0],[0,3]] の3乗 A^3 を求めよ。

     • ア．[[8,0],[0,27]]
     • イ．[[6,0],[0,9]]
     • ウ．[[8,0],[0,9]]
     • エ．[[6,0],[0,27]]

     正解：ア．[[8,0],[0,27]]

     解説：対角行列のべき乗は各対角成分のべき乗。2^3=8, 3^3=27。よって[[8,0],[0,27]]。検算: A^2=[[4,0],[0,9]], A^2·A=[[8,0],[0,27]] と一致。

381. 問381．2次正方行列 A=[[4,7],[2,6]] の逆行列を求めよ。

     • ア．(1/10)[[6,7],[2,4]]
     • イ．(1/10)[[6,−7],[−2,4]]
     • ウ．(1/10)[[−6,7],[2,−4]]
     • エ．(1/10)[[4,7],[2,6]]

     正解：イ．(1/10)[[6,−7],[−2,4]]

     解説：A=[[a,b],[c,d]] の逆行列は、行列式 ad−bc≠0 のとき (1/(ad−bc))[[d,−b],[−c,a]]（行列式で割り、対角成分を入れ替え、残りの成分の符号を変える）。ここでは det=4·6−7·2=10 なので A^(-1)=(1/10)[[6,−7],[−2,4]]。検算: A·A^(-1)=(1/10)[[24−14,−28+28],[12−12,−14+24]]=[[1,0],[0,1]]。[[6,7],[2,4]] は符号の変え忘れ、[[−6,7],[2,−4]] は符号を変える成分の取り違え、[[4,7],[2,6]] は A を行列式で割っただけのもの。

     根拠： 京都大学OCW ILAS教材作成チーム「2次の正則行列と特異行列」（2015年3月） 3ページ 命題（正則⇔ad−bc≠0、A^(-1)=1/(ad−bc)(d −b; −c a)）・5ページ「2次の逆行列（覚え方）」（割って→入れ替え→符号を変える）

382. 問382．行列 A=[[1,2],[2,4]] の階数(rank)を求めよ。

     • ア．0
     • イ．2
     • ウ．1
     • エ．3

     正解：ウ．1

     解説：第2行=第1行×2なので行は1次従属。det=1·4−2·2=0。独立な行は1本。rank=1。検算: 0でない小行列の最大次数は1次(成分1)なので rank=1 と一致。

383. 問383．行列 A=[[2,1],[1,2]] の固有値をすべて求めよ。

     • ア．λ=−1, 3
     • イ．λ=2, 2
     • ウ．λ=0, 4
     • エ．λ=1, 3

     正解：エ．λ=1, 3

     解説：det(A−λI)=(2−λ)^2−1=λ^2−4λ+3=(λ−1)(λ−3)=0。λ=1,3。検算: 和=4=トレース, 積=3=det と一致。

384. 問384．行列 A=[[3,0],[0,5]] のトレース tr(A) を求めよ。

     • ア．8
     • イ．15
     • ウ．2
     • エ．0

     正解：ア．8

     解説：トレースは対角成分の和。3+5=8。検算: 固有値3,5の和=8=トレース と一致。

385. 問385．連立方程式 2x+y=5, x+3y=10 をクラメルの公式で解いたとき x の値を求めよ。

     • ア．2
     • イ．1
     • ウ．3
     • エ．5

     正解：イ．1

     解説：係数行列式 D=2·3−1·1=5。D_x=det[[5,1],[10,3]]=15−10=5。x=D_x/D=5/5=1。検算: 元式に x=1,y=3 代入: 2+3=5, 1+9=10 成立。

386. 問386．ベクトル a=(1,2,2) のノルム |a| を求めよ。

     • ア．9
     • イ．√5
     • ウ．3
     • エ．2√2

     正解：ウ．3

     解説：|a|=√(1^2+2^2+2^2)=√(1+4+4)=√9=3。検算: 9の平方根は3, 整数で確認。

387. 問387．ベクトル a=(1,2,3), b=(4,5,6) の内積 a·b を求めよ。

     • ア．36
     • イ．30
     • ウ．28
     • エ．32

     正解：エ．32

     解説：a·b=1·4+2·5+3·6=4+10+18=32。検算: 各項を再加算 4+10=14, 14+18=32 と一致。

388. 問388．行列 A=[[2,1],[0,3]] に対しケイリー・ハミルトンの定理が与える等式 A^2−5A+7I=O は成り立つか。

     正解：×（誤り）

     解説：誤り。固有方程式は λ^2−5λ+6=0 なので、ケイリー・ハミルトンの定理より A^2−5A+6I=O が成り立つ。+7I では成立しない。検算: tr=5, det=6 より λ^2−5λ+6。

389. 問389．行列 A=[[6,2],[2,3]] の行列式 det(A) を求めよ。

     • ア．14
     • イ．18
     • ウ．22
     • エ．10

     正解：ア．14

     解説：det=6·3−2·2=18−4=14。検算: 固有方程式 λ^2−9λ+14, 積14 と一致。

390. 問390．3次の行列式 det[[2,0,1],[1,3,2],[0,1,1]] を求めよ。

     • ア．5
     • イ．3
     • ウ．7
     • エ．1

     正解：イ．3

     解説：第1列展開: 2·(3·1−2·1)−1·(0·1−1·1)+0=2·1−1·(−1)=2+1=3。検算: サラスの方法で 6+0+1−(0+4+0)=7−4=3 と一致。

391. 問391．行列 A=[[1,1],[0,1]] の n乗 A^n の(1,2)成分を求めよ。

     • ア．2n
     • イ．n^2
     • ウ．n
     • エ．1

     正解：ウ．n

     解説：A^n=[[1,n],[0,1]]。(1,2)成分はn。検算: A^2=[[1,2],[0,1]], A^3=[[1,3],[0,1]] と帰納的に一致。

392. 問392．行列 A=[[0,−1],[1,0]] の固有値をすべて求めよ。

     • ア．λ=1, −1
     • イ．λ=±1
     • ウ．λ=0, 1
     • エ．λ=±i

     正解：エ．λ=±i

     解説：det(A−λI)=λ^2+1=0。λ=±i。検算: トレース0=固有値の和(i+(−i)=0), det=1=積(i·(−i)=1) と一致。

393. 問393．単位行列 I (2次) とゼロ行列 O について A+O=A は任意の2次行列で成り立つ。

     正解：○（正しい）

     解説：ゼロ行列を加えても各成分は不変なので A+O=A は常に成立。検算: 成分ごとに a_ij+0=a_ij と一致。

394. 問394．行列 A=[[2,4],[1,2]] は逆行列を持つか。

     正解：×（誤り）

     解説：誤り。正しくは、det(A)=2·2−4·1=4−4=0 なので A は正則でなく逆行列を持たない。検算: 第2行×2=第1行で1次従属、rank=1<2 で非正則と一致。

395. 問395．行列 A=[[4,2],[1,3]] の固有値をすべて求めよ。

     • ア．λ=2, 5
     • イ．λ=1, 6
     • ウ．λ=3, 4
     • エ．λ=2, 4

     正解：ア．λ=2, 5

     解説：det(A−λI)=(4−λ)(3−λ)−2=λ^2−7λ+10=(λ−2)(λ−5)=0。λ=2,5。検算: 和7=トレース, 積10=det(=12−2=10) と一致。

396. 問396．連立方程式 3x+2y=7, x−y=−1 を解いたときの y の値を求めよ。

     • ア．1
     • イ．2
     • ウ．3
     • エ．−1

     正解：イ．2

     解説：D=3·(−1)−2·1=−5。D_y=det[[3,7],[1,−1]]=−3−7=−10。y=−10/−5=2。検算: x−y=−1→x=1, 3·1+2·2=7 成立。

397. 問397．行列の積 [[1,0,2],[0,3,1]]·[[2],[1],[0]] を求めよ。

     • ア．[[4],[3]]
     • イ．[[2],[4]]
     • ウ．[[2],[3]]
     • エ．[[2],[1]]

     正解：ウ．[[2],[3]]

     解説：(2×3)·(3×1)=(2×1)。1行: 1·2+0·1+2·0=2。2行: 0·2+3·1+1·0=3。よって[[2],[3]]。検算: 各内積を再計算し一致。

398. 問398．ベクトル a=(2,−1,2) と b=(1,2,2) の内積 a·b を求めよ。

     • ア．−4
     • イ．8
     • ウ．0
     • エ．4

     正解：エ．4

     解説：a·b=2·1+(−1)·2+2·2=2−2+4=4。検算: 順に 2−2=0, 0+4=4 と一致。

399. 問399．行列 A=[[1,2,1],[2,4,2],[3,6,3]] の階数(rank)を求めよ。

     • ア．1
     • イ．2
     • ウ．3
     • エ．0

     正解：ア．1

     解説：全行が(1,2,1)の定数倍(2倍,3倍)で互いに比例。独立行は1本。rank=1。検算: 任意の2次小行列式が0(例 det[[1,2],[2,4]]=0)で rank=1 と一致。

400. 問400．行列 A=[[5,4],[2,3]] のトレースと行列式の組を求めよ。

     • ア．tr=8, det=15
     • イ．tr=8, det=7
     • ウ．tr=7, det=8
     • エ．tr=10, det=7

     正解：イ．tr=8, det=7

     解説：tr=5+3=8。det=5·3−4·2=15−8=7。検算: 固有方程式 λ^2−8λ+7=(λ−1)(λ−7), 和8積7 と一致。

401. 問401．行列 A=[[2,1],[1,2]] を対角化したとき得られる対角行列 D を求めよ(固有値を昇順に並べる)。

     • ア．[[3,0],[0,1]]
     • イ．[[2,0],[0,2]]
     • ウ．[[1,0],[0,3]]
     • エ．[[0,0],[0,4]]

     正解：ウ．[[1,0],[0,3]]

     解説：固有値はλ=1,3(λ^2−4λ+3)。対角化により D=diag(1,3)。検算: tr(D)=4=tr(A), det(D)=3=det(A) と一致。

402. 問402．行列 A=[[7,0],[0,7]] のとき A^2 を求めよ。

     • ア．[[7,0],[0,49]]
     • イ．[[14,0],[0,14]]
     • ウ．[[49,0],[0,7]]
     • エ．[[49,0],[0,49]]

     正解：エ．[[49,0],[0,49]]

     解説：A=7I なので A^2=49I=[[49,0],[0,49]]。検算: 対角成分 7·7=49, 非対角0 と一致。

403. 問403．3次正方行列 A=[[1,0,0],[0,2,0],[0,0,3]] の行列式を求めよ。

     • ア．6
     • イ．5
     • ウ．9
     • エ．0

     正解：ア．6

     解説：対角行列の行列式は対角成分の積。1·2·3=6。検算: 固有値1,2,3の積=6 と一致。

404. 問404．行列 A=[[3,4],[0,3]] の固有値をすべて求めよ。

     • ア．λ=3, 4
     • イ．λ=3 (重解)
     • ウ．λ=0, 3
     • エ．λ=3, 7

     正解：イ．λ=3 (重解)

     解説：上三角行列の固有値は対角成分。重複してλ=3(重解)。検算: 固有方程式(3−λ)^2=0→λ=3(重複)と一致。

405. 問405．ベクトル a=(1,0,0), b=(1,1,0) は直交するか。

     正解：×（誤り）

     解説：誤り。a·b=1·1+0·1+0·0=1≠0 なので直交しない。内積が0でないため直交ではない。検算: 成分積の和=1。

406. 問406．連立方程式 x+y+z=6, 2y+z=5, 3z=9 を解いたときの x の値を求めよ。

     • ア．1
     • イ．3
     • ウ．2
     • エ．4

     正解：ウ．2

     解説：後退代入: z=3, 2y+3=5→y=1, x+1+3=6→x=2。検算: x+y+z=2+1+3=6 成立。

407. 問407．行列 A=[[2,3],[1,4]] に対し A^2 を求めよ。

     • ア．[[7,15],[6,19]]
     • イ．[[7,18],[6,16]]
     • ウ．[[4,9],[1,16]]
     • エ．[[7,18],[6,19]]

     正解：エ．[[7,18],[6,19]]

     解説：A^2: (1,1)=2·2+3·1=7, (1,2)=2·3+3·4=18, (2,1)=1·2+4·1=6, (2,2)=1·3+4·4=19。[[7,18],[6,19]]。検算: tr(A^2)=26=固有値の二乗和。固有値λ^2−6λ+5→1,5, 1+25=26 と一致。

408. 問408．行列 A=[[1,2],[3,4]] のトレース tr(A) を求めよ。

     • ア．5
     • イ．10
     • ウ．3
     • エ．4

     正解：ア．5

     解説：対角成分の和 1+4=5。検算: 固有方程式 λ^2−5λ−2, 和5 と一致。

409. 問409．行列式の性質: 2つの行を入れ替えても行列式の符号は変化しない。

     正解：×（誤り）

     解説：誤り。行(または列)の入れ替えは行列式の符号を反転させる(−1倍)。符号が変化しないというのは誤り。

410. 問410．行列 A=[[1,−2],[3,k]] が正則でない(逆行列を持たない)ような k の値を求めよ。

     • ア．6
     • イ．−6
     • ウ．−2
     • エ．3

     正解：イ．−6

     解説：det=1·k−(−2)·3=k+6=0 のとき非正則。よってk=−6。検算: k=−6 で det=−6+6=0、第1行×(−3)=第2行で従属、一致。

411. 問411．行列 A=[[0,2],[2,0]] の固有値をすべて求めよ。

     • ア．λ=2, 2
     • イ．λ=0, 4
     • ウ．λ=2, −2
     • エ．λ=±√2

     正解：ウ．λ=2, −2

     解説：det(A−λI)=λ^2−4=0。λ=±2。検算: トレース0=和(2+(−2)), det=−4=積(2·(−2)) と一致。

412. 問412．行列の積 [[2,1],[0,1]]·[[1,3],[2,0]] を求めよ。

     • ア．[[4,3],[2,0]]
     • イ．[[4,6],[2,3]]
     • ウ．[[2,3],[2,0]]
     • エ．[[4,6],[2,0]]

     正解：エ．[[4,6],[2,0]]

     解説：(1,1)=2·1+1·2=4, (1,2)=2·3+1·0=6, (2,1)=0+2=2, (2,2)=0+0=0。[[4,6],[2,0]]。検算: 各内積再確認、一致。

413. 問413．ベクトル a=(3,4) のノルム |a| を求めよ。

     • ア．5
     • イ．7
     • ウ．√7
     • エ．25

     正解：ア．5

     解説：|a|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。検算: 3-4-5 の直角三角形比、整数5 で一致。

414. 問414．3次の行列式 det[[1,2,0],[0,1,3],[2,0,1]] を求めよ。

     • ア．7
     • イ．13
     • ウ．11
     • エ．1

     正解：イ．13

     解説：第1行展開: 1·(1·1−3·0)−2·(0·1−3·2)+0=1+12=13。検算: サラスの方法で 1+12+0−(0+0+0)=13 と一致。

415. 問415．行列 A=[[2,0,0],[1,2,0],[0,1,2]] の固有値(重複度込み)を求めよ。

     • ア．λ=2, 2, 1
     • イ．λ=2, 1, 0
     • ウ．λ=2 (重複度3)
     • エ．λ=6 (単根)

     正解：ウ．λ=2 (重複度3)

     解説：下三角なので固有値は対角成分2,2,2(三重解)。検算: 固有方程式(2−λ)^3=0→λ=2(重複度3)と一致。

416. 問416．ベクトル a=(1,1), b=(2,2) は1次独立か。

     正解：×（誤り）

     解説：誤り。det[[1,2],[1,2]]=1·2−2·1=0 で、b=2a と平行。よって1次従属であり1次独立ではない。検算: 行列式0→従属。

417. 問417．行列 A=[[1,2],[2,1]] の逆行列を求めよ。

     • ア．(1/3)[[−1,−2],[−2,−1]]
     • イ．(1/3)[[1,2],[2,1]]
     • ウ．(1/3)[[1,−2],[−2,1]]
     • エ．(1/3)[[−1,2],[2,−1]]

     正解：エ．(1/3)[[−1,2],[2,−1]]

     解説：det=1−4=−3。A^(-1)=(1/−3)[[1,−2],[−2,1]]=(1/3)[[−1,2],[2,−1]]。検算: A·A^(-1)=(1/3)[[−1+4,2−2],[−2+2,4−1]]=(1/3)[[3,0],[0,3]]=I と一致。

418. 問418．連立方程式 4x+3y=18, 2x+y=8 を解いたときの x の値を求めよ。

     • ア．3
     • イ．4
     • ウ．2
     • エ．6

     正解：ア．3

     解説：D=4·1−3·2=−2。D_x=det[[18,3],[8,1]]=18−24=−6。x=−6/−2=3。検算: 2·3+y=8→y=2, 4·3+3·2=18 成立。

419. 問419．行列 A=[[1,0],[0,−1]] のとき A^2 を求めよ。

     • ア．[[1,0],[0,−1]]
     • イ．[[1,0],[0,1]]
     • ウ．[[−1,0],[0,1]]
     • エ．[[1,0],[0,2]]

     正解：イ．[[1,0],[0,1]]

     解説：A^2=diag(1^2,(−1)^2)=diag(1,1)=I=[[1,0],[0,1]]。検算: 1·1=1, (−1)·(−1)=1 で単位行列、一致。

420. 問420．行列 A=[[3,1],[0,2]] の行列式を余因子展開で求めよ。

     • ア．3
     • イ．5
     • ウ．6
     • エ．7

     正解：ウ．6

     解説：上三角なので対角積 3·2=6。検算: 一般式 3·2−1·0=6 と一致。

421. 問421．行列 A=[[2,2],[2,2]] の固有値をすべて求めよ。

     • ア．λ=2, −2
     • イ．λ=2, 2
     • ウ．λ=4, 4
     • エ．λ=0, 4

     正解：エ．λ=0, 4

     解説：det(A−λI)=(2−λ)^2−4=λ^2−4λ=λ(λ−4)=0。λ=0,4。検算: 和4=トレース, 積0=det(=4−4=0) と一致。

422. 問422．ベクトル a=(2,3) と b=(−3,2) の内積 a·b を求めよ。

     • ア．0
     • イ．12
     • ウ．−12
     • エ．6

     正解：ア．0

     解説：a·b=2·(−3)+3·2=−6+6=0。内積0より直交。検算: 各項 −6, +6 の和0 と一致。

423. 問423．行列 A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]] の階数(rank)を求めよ。

     • ア．2
     • イ．1
     • ウ．3
     • エ．0

     正解：イ．1

     解説：全行が同一(1,1,1)で独立行は1本。rank=1。検算: 任意の2次小行列式が0(全成分1)で rank=1 と一致。

424. 問424．ケイリー・ハミルトンの定理によれば、n次正方行列 A はその固有多項式に代入するとゼロ行列になる。

     正解：○（正しい）

     解説：ケイリー・ハミルトンの定理: 固有多項式 φ(λ)=det(λI−A) に対し φ(A)=O が成り立つ。検算: 2次 A=[[2,1],[0,3]] で A^2−5A+6I=O を成分計算し成立、定理と一致。

425. 問425．行列 A=[[5,−2],[−2,8]] のトレースを求めよ。

     • ア．3
     • イ．36
     • ウ．13
     • エ．−4

     正解：ウ．13

     解説：対角成分の和 5+8=13。検算: 固有値の和=トレースで一致(固有方程式 λ^2−13λ+36)。

426. 問426．行列 A=[[1,2],[0,1]] の逆行列を求めよ。

     • ア．[[−1,2],[0,−1]]
     • イ．[[1,2],[0,1]]
     • ウ．[[1,0],[−2,1]]
     • エ．[[1,−2],[0,1]]

     正解：エ．[[1,−2],[0,1]]

     解説：det=1。A^(-1)=[[1,−2],[0,1]]。検算: A·A^(-1)=[[1,−2+2],[0,1]]=[[1,0],[0,1]]=I と一致。

427. 問427．3次の行列式 det[[3,1,0],[1,3,1],[0,1,3]] を求めよ。

     • ア．21
     • イ．27
     • ウ．18
     • エ．24

     正解：ア．21

     解説：第1行展開: 3·(3·3−1·1)−1·(1·3−1·0)+0=3·8−1·3=24−3=21。検算: 三重対角の漸化式 D3=3D2−D1, D1=3,D2=8 →3·8−3=21 と一致。

428. 問428．行列 A=[[6,−2],[−2,6]] の固有値をすべて求めよ。

     • ア．λ=6, 6
     • イ．λ=4, 8
     • ウ．λ=2, 10
     • エ．λ=4, 6

     正解：イ．λ=4, 8

     解説：対称行列。固有値=6±2=4,8(対角6, 非対角−2の循環型)。det(A−λI)=(6−λ)^2−4=0→λ=6±2。λ=4,8。検算: 和12=トレース, 積32=det(36−4) と一致。

429. 問429．行列の積 [[1,2],[3,4]]·[[2,0],[1,2]] の(1,1)成分を求めよ。

     • ア．8
     • イ．2
     • ウ．4
     • エ．6

     正解：ウ．4

     解説：(1,1)=1·2+2·1=2+2=4。検算: 第1行(1,2)と第1列(2,1)の内積=4 と一致。

430. 問430．ベクトル a=(1,2,2,4) のノルム |a| を求めよ。

     • ア．25
     • イ．7
     • ウ．√21
     • エ．5

     正解：エ．5

     解説：|a|=√(1+4+4+16)=√25=5。検算: 1+4=5, +4=9, +16=25, √25=5 と一致。

431. 問431．行列 A=[[2,1],[0,2]] は対角化可能か。

     正解：×（誤り）

     解説：誤り。正しくは、固有値2(重複度2)だが、A−2I=[[0,1],[0,0]]の階数1で固有ベクトル空間は1次元しかなく、独立な固有ベクトルが2本取れないため対角化不可能。検算: ジョルダンブロックの非自明型で対角化不可と一致。

432. 問432．連立方程式 x+2y=4, 3x+4y=10 をクラメルで解いたときの y の値を求めよ。

     • ア．1
     • イ．2
     • ウ．3
     • エ．4

     正解：ア．1

     解説：D=1·4−2·3=−2。D_y=det[[1,4],[3,10]]=10−12=−2。y=−2/−2=1。検算: x+2·1=4→x=2, 3·2+4·1=10 成立。

433. 問433．行列 A=[[4,0,0],[0,4,0],[0,0,4]] のとき A^2 のトレースを求めよ。

     • ア．12
     • イ．48
     • ウ．64
     • エ．16

     正解：イ．48

     解説：A=4I, A^2=16I, トレース=16·3=48。検算: 各対角成分4^2=16, 3個で48 と一致。

434. 問434．行列 A=[[1,2],[2,4]] の固有値をすべて求めよ。

     • ア．λ=2, 3
     • イ．λ=1, 4
     • ウ．λ=0, 5
     • エ．λ=5, 5

     正解：ウ．λ=0, 5

     解説：det(A−λI)=(1−λ)(4−λ)−4=λ^2−5λ=λ(λ−5)=0。λ=0,5。検算: 和5=トレース, 積0=det(4−4=0, rank1のため0固有値) と一致。

435. 問435．行列 A=[[2,−1],[−1,2]] の行列式を求めよ。

     • ア．2
     • イ．5
     • ウ．4
     • エ．3

     正解：エ．3

     解説：det=2·2−(−1)·(−1)=4−1=3。検算: 固有値は1と3で、その積1×3=3が行列式と一致する。

436. 問436．行列 A=[[3,2],[2,3]] を対角化したときの対角行列(固有値昇順)を求めよ。

     • ア．[[1,0],[0,5]]
     • イ．[[3,0],[0,3]]
     • ウ．[[5,0],[0,1]]
     • エ．[[1,0],[0,3]]

     正解：ア．[[1,0],[0,5]]

     解説：固有値=3±2=1,5。D=diag(1,5)。検算: tr=6=tr(A), det=5=det(A)(9−4) と一致。

437. 問437．ベクトル a=(1,2,3), b=(2,4,6) は1次独立か。

     正解：×（誤り）

     解説：誤り。正しくは、b=2a で一方が他方の定数倍なので1次従属(従属)である。検算: a,bを並べた行列のrankは1で2未満、独立でないと一致。

438. 問438．行列の積 [[1,1],[1,1]]^2 を求めよ。

     • ア．[[1,1],[1,1]]
     • イ．[[2,2],[2,2]]
     • ウ．[[2,2],[2,4]]
     • エ．[[4,4],[4,4]]

     正解：イ．[[2,2],[2,2]]

     解説：(1,1)=1·1+1·1=2, 全成分が2。[[2,2],[2,2]]。検算: 各内積1·1+1·1=2で全成分一致。固有値0,2→A^2固有値0,4, tr(A^2)=4=2+2 と一致。

439. 問439．行列 A=[[2,0,1],[0,3,0],[1,0,2]] の行列式を求めよ。

     • ア．6
     • イ．12
     • ウ．9
     • エ．3

     正解：ウ．9

     解説：第2行で展開: 3·det[[2,1],[1,2]]=3·(4−1)=3·3=9。検算: サラス 2·3·2+0+0−(1·3·1+0+0)=12−3=9 と一致。

440. 問440．行列 A=[[5,4],[1,2]] の固有値をすべて求めよ。

     • ア．λ=1, 5
     • イ．λ=2, 5
     • ウ．λ=3, 4
     • エ．λ=1, 6

     正解：エ．λ=1, 6

     解説：det(A−λI)=(5−λ)(2−λ)−4=λ^2−7λ+6=(λ−1)(λ−6)=0。λ=1,6。検算: 和7=トレース, 積6=det(10−4) と一致。

441. 問441．ベクトル a=(2,2,1) のノルム |a| を求めよ。

     • ア．3
     • イ．√5
     • ウ．9
     • エ．5

     正解：ア．3

     解説：|a|=√(4+4+1)=√9=3。検算: 4+4=8, +1=9, √9=3 と一致。

442. 問442．行列 A=[[1,3],[2,2]] の行列式を求めよ。

     • ア．4
     • イ．−4
     • ウ．2
     • エ．−2

     正解：イ．−4

     解説：det=1·2−3·2=2−6=−4。検算: 固有方程式 λ^2−3λ−4=(λ−4)(λ+1), 積=−4=det と一致。

443. 問443．連立方程式 5x+2y=16, 3x+4y=18 を解いたときの x の値を求めよ。

     • ア．4
     • イ．3
     • ウ．2
     • エ．1

     正解：ウ．2

     解説：D=5·4−2·3=14。D_x=det[[16,2],[18,4]]=64−36=28。x=28/14=2。検算: 5·2+2y=16→y=3, 3·2+4·3=18 成立。

444. 問444．行列 A=[[2,1],[1,2]] の逆行列を求めよ。

     • ア．(1/3)[[−2,1],[1,−2]]
     • イ．(1/3)[[2,1],[1,2]]
     • ウ．(1/3)[[1,−2],[−2,1]]
     • エ．(1/3)[[2,−1],[−1,2]]

     正解：エ．(1/3)[[2,−1],[−1,2]]

     解説：det=4−1=3。A^(-1)=(1/3)[[2,−1],[−1,2]]。検算: A·A^(-1)=(1/3)[[4−1,−2+2],[2−2,−1+4]]=(1/3)[[3,0],[0,3]]=I と一致。

445. 問445．行列 A=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] の行列式を求めよ。

     • ア．0
     • イ．1
     • ウ．−3
     • エ．6

     正解：ア．0

     解説：各行が等差で1次従属(行2−行1=行3−行2=(3,3,3))。det=0。検算: サラス 45+84+96−(105+48+72)=225−225=0 と一致。

446. 問446．行列 A=[[2,0],[0,2]] の固有値をすべて求めよ。

     • ア．λ=0, 2
     • イ．λ=2 (重複度2)
     • ウ．λ=2, 4
     • エ．λ=±2

     正解：イ．λ=2 (重複度2)

     解説：スカラー行列2Iなので固有値は2(重複度2)。検算: (2−λ)^2=0→λ=2(重根)と一致。

447. 問447．行列 A=[[1,4],[1,1]] のトレースと行列式の組を求めよ。

     • ア．tr=3, det=−3
     • イ．tr=2, det=3
     • ウ．tr=2, det=−3
     • エ．tr=2, det=−4

     正解：ウ．tr=2, det=−3

     解説：tr=1+1=2。det=1·1−4·1=−3。検算: 固有方程式 λ^2−2λ−3=(λ−3)(λ+1), 和2積−3 と一致。

448. 問448．ベクトル a=(1,0,1) と b=(0,1,0) は直交するか。

     正解：○（正しい）

     解説：a·b=1·0+0·1+1·0=0。内積0より直交する。検算: 全項0で和0、直交条件と一致。

449. 問449．行列 A=[[3,−1],[2,0]] のケイリー・ハミルトンによる関係式 A^2−3A+2I=O は成り立つか。

     正解：○（正しい）

     解説：tr=3, det=3·0−(−1)·2=2。固有多項式 λ^2−3λ+2。よって A^2−3A+2I=O。検算: A^2=[[3·3+(−1)·2,3·(−1)],[2·3,2·(−1)]]=[[7,−3],[6,−2]], 3A=[[9,−3],[6,0]], A^2−3A+2I=[[7−9+2,−3+3],[0,−2+2]]=O と一致。

450. 問450．行列 A=[[4,2],[3,−1]] の行列式を求めよ。

     • ア．10
     • イ．−4
     • ウ．2
     • エ．−10

     正解：エ．−10

     解説：det=4·(−1)−2·3=−4−6=−10。検算: 固有方程式 λ^2−3λ−10=(λ−5)(λ+2), 積−10=det と一致。

451. 問451．絶対誤差とは真の値と近似値の差の絶対値であり、相対誤差はそれを真の値の絶対値で割ったものである。

     正解：○（正しい）

     解説：絶対誤差 |x-x̃|、相対誤差 |x-x̃|/|x| である。絶対誤差だけでは精度の良し悪しを判断できない（1万に対する誤差1と、1に対する誤差1では意味が違う）ため、相対誤差を併用する。

452. 問452．打ち切り誤差とは、コンピュータが数を有限桁で表すことによって生じる誤差のことである。

     正解：×（誤り）

     解説：それは丸め誤差の説明である。打ち切り誤差は、無限級数や反復計算を途中で止めることによって生じる誤差をいう。テイラー展開を有限項で打ち切るときの誤差が代表例である。

453. 問453．桁落ちは、値の近い2つの数の引き算で有効数字が失われる現象である。

     正解：○（正しい）

     解説：例えば 1.23456 - 1.23455 = 0.00001 では有効数字が6桁から1桁に落ちる。二次方程式の解の公式で -b+√(b^2-4ac) を計算するときに起こりやすく、有理化して分子を変形するなどの回避策がとられる。

454. 問454．情報落ちとは、絶対値が大きく異なる2数の加減算で小さい方の情報が失われる現象である。

     正解：○（正しい）

     解説：1.0×10^10 に 1.0 を足しても有限桁では変化が表れない。多数の項を足すときは絶対値の小さい方から加える、補正付きの加算法を使うなどで軽減する。

455. 問455．二分法は、f(a) と f(b) が同符号であることを前提に区間 [a,b] の中に解を追い込む方法である。

     正解：×（誤り）

     解説：前提は「異符号」である。f が連続で f(a)f(b) < 0 なら中間値の定理より [a,b] に解があり、区間を半分ずつ狭めていける。同符号では解の存在が保証されない。

456. 問456．二分法は反復1回ごとに解の存在範囲が半分になるので、収束は必ず保証されるが速さは1次である。

     正解：○（正しい）

     解説：誤差が (b-a)/2^n で減るので確実だが遅い。ニュートン法は条件が整えば2次収束で速い代わりに、初期値が悪いと発散することがある。確実さと速さのトレードオフである。

457. 問457．ニュートン法の反復式は x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) である。

     正解：○（正しい）

     解説：曲線上の点 (x_n, f(x_n)) における接線が x 軸と交わる点を次の近似値とする。f'(x_n) が 0 に近いと接線がほぼ水平になり、次の値が大きく飛んで発散しやすい。

458. 問458．ニュートン法は、重根の場合でも2次収束する。

     正解：×（誤り）

     解説：重根では収束が1次に落ちる。2次収束するのは単根の近くで初期値を十分近くに取ったときで、そのとき有効数字はおよそ倍々に増える。重根に対しては修正ニュートン法を使う。

459. 問459．台形公式による数値積分の誤差は区間幅 h の1乗に比例する。

     正解：×（誤り）

     解説：台形公式の誤差は h^2 に比例する（2次精度）。シンプソンの公式は h^4 に比例する（4次精度）ので、同じ分割数ならシンプソンの方が精度が高い。

460. 問460．シンプソンの公式では、区間の分割数を偶数にする必要がある。

     正解：○（正しい）

     解説：隣り合う2区間を1組にして2次関数で近似するため、分割数は偶数でなければならない。係数は両端が1、奇数番が4、偶数番が2の順に並び、h/3 を掛ける。

461. 問461．ラグランジュ補間では、n+1 個の点を通る n 次以下の多項式がただ1つ定まる。

     正解：○（正しい）

     解説：相異なる n+1 個の点に対して補間多項式は一意である。ただし等間隔の点で次数を上げすぎると端で激しく振動する（ルンゲ現象）ので、区間を分けたスプライン補間が使われる。

462. 問462．ガウスの消去法では、対角成分が0に近い場合でもそのまま計算して差し支えない。

     正解：×（誤り）

     解説：対角成分（ピボット）が0に近いと、その値で割ったときに誤差が拡大する。行を入れ替えて絶対値の大きい成分をピボットにする「部分ピボット選択」を行うのが定石である。

463. 問463．ヤコビ法やガウス・ザイデル法は、連立一次方程式を反復によって解く方法である。

     正解：○（正しい）

     解説：係数行列が対角優位などの条件を満たすとき収束する。ガウス・ザイデル法は更新済みの値をただちに使うので、ヤコビ法より一般に収束が速い。大規模で疎な連立方程式に向く。

464. 問464．オイラー法は常微分方程式の数値解法で、刻み幅 h に対して4次精度である。

     正解：×（誤り）

     解説：オイラー法は1次精度（大域誤差が h に比例）である。4次精度なのは4次のルンゲ・クッタ法で、1ステップに4回の関数評価を行う代わりに大域誤差が h^4 に比例する。

465. 問465．最小二乗法は、残差の絶対値の和を最小にするように係数を定める方法である。

     正解：×（誤り）

     解説：最小にするのは残差の「2乗和」である。2乗和は微分可能なので正規方程式を解けば係数が求まり、計算が容易になる。絶対値の和を最小にする方法は最小絶対偏差法という別の手法である。

466. 問466．アルゴリズムの計算量を表す O 記法では、入力サイズが十分大きいときの増え方の目安を示す。

     正解：○（正しい）

     解説：定数倍や低次の項を無視して増加の傾向だけを表す。O(n) は入力に比例、O(n^2) は2乗に比例、O(log n) は入力が倍になっても手数が1回増える程度である。

467. 問467．ソート済みの配列に対する二分探索の計算量は O(n) である。

     正解：×（誤り）

     解説：正しくは O(log n) である。探索範囲を毎回半分にするので、要素が100万個でも20回程度の比較で見つかる。O(n) は先頭から順に調べる線形探索の計算量である。

468. 問468．ユークリッドの互除法は、2つの自然数の最大公約数を割り算の繰り返しで求める方法である。

     正解：○（正しい）

     解説：gcd(a,b) = gcd(b, a mod b) を余りが0になるまで繰り返す。計算量は O(log(min(a,b))) と非常に速く、拡張版を使えば ax+by = gcd(a,b) を満たす整数 x, y も求められる。

469. 問469．クイックソートの平均計算量は O(n log n) だが、最悪計算量は O(n^2) である。

     正解：○（正しい）

     解説：基準値（ピボット）の選び方が偏ると分割が片寄り O(n^2) になる。マージソートは最悪でも O(n log n) だが追加の作業領域を必要とする。比較に基づくソートの下限は O(n log n) である。

470. 問470．モンテカルロ法による数値積分では、標本数 N を4倍にすると誤差はおよそ4分の1になる。

     正解：×（誤り）

     解説：誤差は 1/√N に比例するので、N を4倍にすると誤差はおよそ半分になる。収束は遅いが、次元が高くなっても誤差の減り方が変わらないため、多重積分で有利になる。

471. 問471．浮動小数点数の演算では、結合法則 (a+b)+c = a+(b+c) が常に成り立つとは限らない。

     正解：○（正しい）

     解説：丸め誤差と情報落ちのため、加える順序によって結果が変わりうる。大量の数を足すときは絶対値の小さいものから加える、補償付き加算を使うなどの工夫がいる。

472. 問472．反復法において、収束判定は「反復回数が決めた上限に達したこと」だけで行えばよい。

     正解：×（誤り）

     解説：回数の上限は無限ループを防ぐ安全策にすぎない。収束判定は |x_{n+1}-x_n| や |f(x_n)| が許容誤差より小さくなったかで行い、両方を組み合わせるのが実務的である。

473. 問473．条件数が大きい連立一次方程式は、係数のわずかな変化で解が大きく変わる。

     正解：○（正しい）

     解説：そのような問題を悪条件（ill-conditioned）という。行列式が0に近い場合に起こりやすく、桁数を増やしても精度が上がりにくい。定式化そのものを見直す必要がある。

474. 問474．再帰的に定義されたアルゴリズムは、必ず反復（ループ）による実装より計算量が小さくなる。

     正解：×（誤り）

     解説：計算量は書き方ではなくアルゴリズムで決まる。素朴な再帰でフィボナッチ数を求めると同じ計算を何度も繰り返して指数時間になる。値を覚えておく（メモ化する）と線形時間になる。

475. 問475．数値微分で前進差分 (f(x+h)-f(x))/h を用いるとき、h を小さくすればするほど精度が上がる。

     正解：×（誤り）

     解説：h を小さくすると打ち切り誤差は減るが、分子の引き算で桁落ちが起きて丸め誤差が増える。両者の和が最小になる適当な h が存在する。中心差分 (f(x+h)-f(x-h))/(2h) の方が精度は高い。

476. 問476．f(x) = x^2 - 2 に対して初期値 x_0 = 2 でニュートン法を1回適用したときの x_1 はどれか。

     • ア．1.5
     • イ．1.25
     • ウ．1.4142
     • エ．1.75

     正解：ア．1.5

     解説：f'(x) = 2x なので x_1 = 2 - (4-2)/4 = 2 - 0.5 = 1.5。もう1回適用すると 1.41666… となり、√2 = 1.41421… に急速に近づく（2次収束）。

477. 問477．台形公式で ∫[0,2] x^2 dx を区間2分割（h=1）で近似した値はどれか。

     • ア．3.00
     • イ．2.00
     • ウ．2.67
     • エ．4.00

     正解：ア．3.00

     解説：台形公式は h/2·{f(0)+2f(1)+f(2)} = 1/2·(0+2+4) = 3。真の値は 8/3 ≒ 2.667 なので誤差は 0.333。同じ分割でシンプソンの公式を使うと 1/3·(0+4·1+4) = 8/3 で厳密に一致する。

478. 問478．要素数 1,048,576（＝2^20）のソート済み配列に対する二分探索で、最悪の場合に必要な比較回数はおよそいくつか。

     • ア．20回
     • イ．1,024回
     • ウ．1,000,000回
     • エ．400回

     正解：ア．20回

     解説：二分探索は毎回範囲を半分にするので log_2(2^20) = 20 回程度で終わる。計算量は O(log n)。線形探索なら最悪 1,048,576 回の比較が必要になる。

479. 問479．ユークリッドの互除法で 1071 と 1029 の最大公約数を求めた値はどれか。

     • ア．21
     • イ．3
     • ウ．42
     • エ．7

     正解：ア．21

     解説：1071 = 1029×1 + 42、1029 = 42×24 + 21、42 = 21×2 + 0 なので最大公約数は 21。余りが0になった直前の除数が答えになる。

480. 問480．誤差が刻み幅 h の4乗に比例する数値積分法はどれか。

     • ア．シンプソンの公式
     • イ．台形公式
     • ウ．中点公式
     • エ．長方形公式（左端）

     正解：ア．シンプソンの公式

     解説：シンプソンの公式は4次精度で誤差が h^4 に比例する。台形公式と中点公式は h^2、左端の長方形公式は h に比例する。

481. 問481．浮動小数点計算で「桁落ち」が最も起こりやすい計算はどれか。

     • ア．絶対値が大きく異なる2数の加算
     • イ．値のごく近い2数の減算
     • ウ．2数の乗算
     • エ．2数の除算

     正解：イ．値のごく近い2数の減算

     解説：近い値どうしの引き算は上位桁が打ち消し合って有効数字が失われる。絶対値が大きく異なる2数の加算で起こるのは情報落ちである。乗除算では有効数字はほぼ保たれる。

482. 問482．二分法で区間 [1,2]（幅1）から出発して誤差を 2^{-10} 未満にするために必要な反復回数はどれか。

     • ア．5回
     • イ．10回
     • ウ．100回
     • エ．1024回

     正解：イ．10回

     解説：n 回の反復で区間幅は 2^{-n} になる。区間の中点を近似値とすれば誤差は幅の半分 2^{-(n+1)} 以下なので、n=10 で誤差は 2^{-11} 以下となり 2^{-10} 未満を満たす。二分法は1回で1ビットずつ精度が上がる。

483. 問483．4次のルンゲ・クッタ法について、正しい説明はどれか。

     • ア．連立一次方程式の反復解法である
     • イ．常微分方程式の初期値問題を解く方法である
     • ウ．非線形方程式の根を求める方法である
     • エ．行列の固有値を求める方法である

     正解：イ．常微分方程式の初期値問題を解く方法である

     解説：1ステップで4回の関数評価を行い、大域誤差が h^4 に比例する常微分方程式の解法である。オイラー法（1次精度）より格段に精度が高く、実務で広く使われる。

484. 問484．最小二乗法で n 個の点に直線 y = ax + b を当てはめるとき、最小化する量はどれか。

     • ア．Σ|y_i - ax_i - b|
     • イ．Σ(y_i - ax_i - b)^2
     • ウ．Σ(y_i - ax_i - b)
     • エ．max|y_i - ax_i - b|

     正解：イ．Σ(y_i - ax_i - b)^2

     解説：残差の2乗和を最小にする。単純な和は正負が打ち消し合うので使えない。絶対値の和を最小にするのは最小絶対偏差法、最大値を最小にするのはミニマックス近似で、いずれも別の基準である。

485. 問485．計算量が O(n log n) であるアルゴリズムはどれか。

     • ア．線形探索
     • イ．マージソート
     • ウ．バブルソート
     • エ．二分探索

     正解：イ．マージソート

     解説：マージソートは最悪でも O(n log n)。バブルソートは O(n^2)、線形探索は O(n)、二分探索は O(log n) である。比較に基づくソートの計算量の下限が O(n log n) である。

486. 問486．ガウスの消去法で「部分ピボット選択」を行う主な理由はどれか。

     • ア．計算回数を減らすため
     • イ．解の個数を増やすため
     • ウ．0に近い数で割ることによる誤差の拡大を避けるため
     • エ．行列を対称にするため

     正解：ウ．0に近い数で割ることによる誤差の拡大を避けるため

     解説：各段で絶対値が最大の成分を行の入れ替えでピボットに持ってくる。0に近い値で割ると誤差が急激に拡大するため、精度を保つ目的で行う。計算回数はむしろ少し増える。

487. 問487．反復法 x_{n+1} = g(x_n) が解 α の近くで収束するための条件として適切なものはどれか。

     • ア．g(α) = 0 であること
     • イ．g'(α) = 0 であること
     • ウ．|g'(α)| < 1 であること
     • エ．g が単調増加であること

     正解：ウ．|g'(α)| < 1 であること

     解説：解の近くで |g'(α)| < 1 なら誤差が毎回 |g'(α)| 倍に縮んで収束する（縮小写像）。特に g'(α) = 0 なら2次収束になり、ニュートン法はこの場合にあたる。

488. 問488．モンテカルロ法で標本数を100倍にしたとき、誤差はおよそ何分の1になるか。

     • ア．100分の1
     • イ．50分の1
     • ウ．10分の1
     • エ．変わらない

     正解：ウ．10分の1

     解説：誤差は 1/√N に比例するので、N を100倍にすると誤差は √100 = 10 分の1になる。収束は遅いが、次元が上がっても誤差の減り方が変わらないのが利点である。

489. 問489．等間隔の点で補間多項式の次数を上げすぎたときに、区間の端で近似が激しく振動する現象はどれか。

     • ア．ギブス現象
     • イ．エイリアシング
     • ウ．ルンゲ現象
     • エ．オーバーフロー

     正解：ウ．ルンゲ現象

     解説：ルンゲ現象という。対策としてチェビシェフ点のように端を密にとる、あるいは区間を分けて低次の多項式をつなぐスプライン補間を使う。ギブス現象はフーリエ級数の不連続点で起こる別の現象である。

490. 問490．1次の前進差分 (f(x+h)-f(x))/h による数値微分で、h を極端に小さくすると精度が悪化する主な原因はどれか。

     • ア．打ち切り誤差が増えるため
     • イ．オーバーフローが起こるため
     • ウ．分子の引き算による桁落ちが大きくなるため
     • エ．関数の評価回数が増えるため

     正解：ウ．分子の引き算による桁落ちが大きくなるため

     解説：h を小さくすると打ち切り誤差（h に比例）は減るが、f(x+h) と f(x) が近づいて桁落ちが起こり、それを小さな h で割るので誤差が拡大する。両者が釣り合う h が最適になる。

491. 問491．行列 A に対する反復法で、係数行列が「対角優位」であることが意味するものはどれか。

     • ア．行列式が1である
     • イ．対角成分がすべて正である
     • ウ．対角成分がすべて等しい
     • エ．各行で対角成分の絶対値が他の成分の絶対値の和より大きい

     正解：エ．各行で対角成分の絶対値が他の成分の絶対値の和より大きい

     解説：各行で |a_ii| > Σ_{j≠i}|a_ij| が成り立つことをいう。この条件が満たされればヤコビ法・ガウス・ザイデル法は必ず収束する（十分条件）。

492. 問492．「悪条件（ill-conditioned）な問題」の説明として正しいものはどれか。

     • ア．計算時間が長い問題
     • イ．解が存在しない問題
     • ウ．アルゴリズムが複雑な問題
     • エ．入力のわずかな変化で解が大きく変わる問題

     正解：エ．入力のわずかな変化で解が大きく変わる問題

     解説：問題そのものの性質であり、良いアルゴリズムを使っても本質的には改善しない。条件数という指標で測る。計算時間の長さや解の非存在とは別の概念である。

493. 問493．素朴な再帰でフィボナッチ数 F(n) を計算したときの計算量はどれか。

     • ア．O(n)
     • イ．O(n^2)
     • ウ．O(log n)
     • エ．O(2^n)

     正解：エ．O(2^n)

     解説：F(n-1) と F(n-2) を独立に計算するため、同じ値を何度も計算して指数時間になる。一度計算した値を保存する（メモ化する）か、下から順に積み上げれば O(n) になる。

494. 問494．10進数 0.1 を2進数の浮動小数点数で表したときに起こることとして正しいものはどれか。

     • ア．有限桁で正確に表せる
     • イ．整数として扱われる
     • ウ．オーバーフローが起こる
     • エ．無限小数になるため丸め誤差が生じる

     正解：エ．無限小数になるため丸め誤差が生じる

     解説：0.1 は2進数では 0.000110011… と循環する無限小数になるため、有限桁では正確に表せず丸め誤差が生じる。0.1 を10回足しても 1.0 と厳密には一致しないのはこのためである。

495. 問495．二分法とニュートン法を比べたときの説明として正しいものはどれか。

     • ア．ニュートン法は導関数を必要としない
     • イ．どちらも収束が保証され、速さも同じである
     • ウ．二分法の方が収束が速い
     • エ．二分法は収束が保証されるが遅く、ニュートン法は速いが初期値によっては発散する

     正解：エ．二分法は収束が保証されるが遅く、ニュートン法は速いが初期値によっては発散する

     解説：二分法は f(a)f(b) < 0 なら必ず収束する代わりに1次収束で遅い。ニュートン法は単根の近くで2次収束するが、導関数が必要で、初期値が悪いと発散したり別の解に飛んだりする。