数検準2級「2次関数」の出題ポイント

数検準2級（実用数学技能検定準2級）の数学Iの中心テーマが「2次関数」です。1次（計算技能）検定では平方完成・頂点・最大最小・判別式・2次方程式と2次不等式が頻出。グラフの平行移動とあわせて、公式を確実に使いこなせるようにしましょう。

※出題範囲・基準は改定される場合があります。最新情報は必ず日本数学検定協会 公式情報でご確認ください。

平方完成と頂点

2次関数を y = a(x-p)^2 + q の形に変形（平方完成）すると、頂点が一目でわかります。

• 平方完成：y = ax^2+bx+c = a(x + b/(2a))^2 + c - b^2/(4a)。
• 頂点：座標は (-b/(2a), c - b^2/(4a))。a>0なら下に凸（頂点が最小）、a<0なら上に凸（頂点が最大）。
• 例：y = x^2-4x+1 = (x-2)^2-3。頂点は (2, -3)、軸は x=2。

最大・最小

定義域の指定がある場合は、軸と定義域の位置関係で最大最小が決まります。

• 定義域なし：a>0なら頂点で最小値 q（最大なし）、a<0なら頂点で最大値 q（最小なし）。
• 定義域あり：軸が定義域の内か外かで場合分け。例：y=(x-2)^2-3、0≦x≦1 では軸 x=2 が範囲外なので、x=1 で最小 -2、x=0 で最大 1。

判別式と2次方程式

2次方程式 ax^2+bx+c=0 の実数解の個数は判別式で判定します。

• 解の公式：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)。
• 例：x^2-4x+1=0 は D = 16-4 = 12 > 0 で異なる2実数解 x = 2±√3。

2次不等式

2次不等式は、対応する2次方程式の解とグラフの位置で解きます（a>0の場合）。

• 解が α<β のとき：(x-α)(x-β)>0 の解は x<α または x>β。(x-α)(x-β)<0 の解は α<x<β。
• 例：x^2-x-6>0 → (x-3)(x+2)>0 → x<-2 または x>3。
• D<0の場合：a>0なら ax^2+bx+c>0 はすべての実数で成立、ax^2+bx+c<0 は解なし。

用語の確認は用語集、学習の進め方は勉強法ガイドを参考に。次は図形と計量（三角比）の章へ進みましょう。