数検準2級「場合の数と確率」の出題ポイント

数検準2級（実用数学技能検定準2級）の数学Aで頻出なのが「場合の数と確率」です。1次（計算技能）検定では順列nPr・組合せnCr・円順列・余事象・独立反復試行・条件付き確率・期待値が問われます。数え上げの考え方と公式を具体例で整理しましょう。

※出題範囲・基準は改定される場合があります。最新情報は必ず日本数学検定協会 公式情報でご確認ください。

順列と組合せ

並べるなら順列、選ぶだけなら組合せ。順序を区別するかどうかが分かれ目です。

• 順列：nPr = n!/(n-r)! 。異なる n 個から r 個を取り出して並べる総数。例：5P3 = 5×4×3 = 60。
• 組合せ：nCr = n!/(r!(n-r)!) = nPr/r! 。順序を区別せず r 個を選ぶ総数。例：5C3 = 10。
• 性質：nCr = nC(n-r)。例：7C5 = 7C2 = 21。
• 円順列：異なる n 個を円形に並べる総数は (n-1)!。回転して同じものを1通りと数えます。例：4人の円順列は 3! = 6通り。

確率の基本と余事象

確率は (該当する場合の数)/(全体の場合の数) で求めます。同様に確からしいことが前提です。

• 基本：例えばサイコロで偶数の出る確率は 3/6 = 1/2。
• 余事象：「少なくとも〜」は余事象が早い。P(A) = 1 - P(Aでない)。
• 例：サイコロを2回投げて少なくとも1回6が出る確率は 1 - (5/6)^2 = 1 - 25/36 = 11/36。

独立試行と反復試行

互いに影響しない試行を繰り返すときは、反復試行の公式が使えます。

• 反復試行：1回で確率 p の事象が、n 回中ちょうど r 回起こる確率は nCr × p^r × (1-p)^(n-r)。
• 例：1回で確率 1/3 の事象が、4回中ちょうど2回起こる確率は 4C2 × (1/3)^2 × (2/3)^2 = 6 × (1/9) × (4/9) = 24/81 = 8/27。

条件付き確率と期待値

• 条件付き確率：事象 A が起こったもとで B が起こる確率は P_A(B) = P(A∩B)/P(A)。
• 乗法定理：P(A∩B) = P(A) × P_A(B)。
• 期待値：値 x_1, x_2, …, x_n をとる確率がそれぞれ p_1, p_2, …, p_n のとき、期待値 E = x_1 p_1 + x_2 p_2 + … + x_n p_n。
• 例：サイコロの出目の期待値は (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2。

用語の確認は用語集、学習の進め方は勉強法ガイドを参考に。次は整数の性質・図形の性質・データの分析の章へ進みましょう。