数検準1級「積分法（数III）」の出題ポイント

数検準1級（実用数学技能検定準1級）の山場が「積分法（数III）」です。不定積分・定積分の基本から、置換積分・部分積分の技法、そして面積・体積・曲線の長さといった応用まで出題されます。∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C（n≠-1）・∫e^x dx = e^x + C など基本公式を正確に扱えるかが得点を分けます。

※出題範囲・基準は改定される場合があります。最新情報は必ず日本数学検定協会 公式情報でご確認ください。

不定積分・定積分の基本

微分の逆演算が不定積分です。積分定数 C を忘れないよう注意します。

定積分：∫[a→b] f(x) dx = F(b) - F(a)（F は f の原始関数）。上端・下端の代入順を間違えないことが重要です。

置換積分・部分積分

• 置換積分：t = g(x) と置き、dt = g'(x)dx で変数を入れ替えます。例：∫2x e^(x^2) dx は t=x^2 として ∫e^t dt = e^(x^2) + C。
• 部分積分：∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x) dx。例：∫x e^x dx = x e^x - ∫e^x dx = x e^x - e^x + C。
• logx や x·sinx のような積の積分には部分積分が有効です。微分して簡単になる方を f(x) に選ぶのがコツです。

面積・体積

• 面積：曲線 y=f(x) と x軸、x=a, x=b で囲まれた面積は S = ∫[a→b] |f(x)| dx。2曲線間は ∫[a→b] {上の関数 - 下の関数} dx。
• 回転体の体積：y=f(x) を x軸の周りに1回転してできる立体の体積は V = π∫[a→b] {f(x)}^2 dx。
• y軸回転の場合は V = π∫[c→d] {g(y)}^2 dy（x = g(y) で表す）。

曲線の長さ

• y=f(x) の弧長：L = ∫[a→b] √(1 + (f'(x))^2) dx。
• 媒介変数表示：x=x(t), y=y(t) のとき L = ∫[α→β] √((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt。
• 速度の大きさを時間で積分すると道のりになる、という物理的解釈とも対応します。

用語の確認は用語集、学習の進め方は勉強法ガイドを参考に。積分が固まったら次は複素数平面の章へ進みましょう。