統計検定3級「場合の数と確率」出題ポイント解説

統計検定3級「場合の数と確率」分野の頻出論点を整理。順列・組合せ・加法定理・乗法定理・条件付き確率まで、高校数学Aレベルから試験対策に直結する形で体系的に解説します。

※受験料・試験日程・合格基準・出題範囲は改定される場合があります。最新情報は必ず統計検定の公式情報でご確認ください。

頻出論点1: 集合と要素

• 和集合 A∪B: AまたはBに属する要素全体
• 積集合 A∩B: AとBの両方に属する要素
• 補集合 Aᶜ: 全体集合Uのうち、Aに属さない要素
• ド・モルガンの法則: (A∪B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ、(A∩B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
• 包除原理: |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|

頻出論点2: 場合の数（樹形図・和の法則・積の法則）

• 樹形図: すべての場合を枝分かれで書き出す。3級レベルでは確実な手法
• 和の法則: AとBが同時に起こらないとき、AまたはBの場合の数 = AとBの和
• 積の法則: Aの後にBが起こるとき、A→Bの場合の数 = AとBの積

例: コインを3回投げる→2×2×2=8通り（積の法則）。1〜10からの抽選で偶数または5の倍数→5 + 2 − 1 = 6通り（包除原理）。

頻出論点3: 順列 nPr

• 順列: n個のものからr個選んで並べる。nPr = n! ÷ (n−r)!
• n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1（階乗）。0! = 1と定義
• 円順列: n個を円形に並べる = (n−1)! 通り
• じゅず順列: 裏返し同一視 = (n−1)! ÷ 2
• 同じものを含む順列: n!÷(p! × q! × ...)。例: AABBC → 5!÷(2!×2!×1!) = 30通り

頻出論点4: 組合せ nCr

• 組合せ: n個からr個選ぶ（順序問わず）。nCr = n! ÷ (r! × (n−r)!)
• 性質: nCr = nC(n−r)。例: 10C3 = 10C7
• nC0 = nCn = 1
• 例: 5人から3人選ぶ = 5C3 = 10通り
• 重複組合せ: n種類からr個選ぶ（同じものを何度でも） = (n+r−1)Cr

頻出論点5: 確率の定義

• 試行: サイコロを振る等の繰り返せる行為
• 標本空間 Ω: 起こりうるすべての結果の集合
• 事象: 標本空間の部分集合
• 確率 P(A) = Aの場合の数 ÷ 標本空間の場合の数（同様に確からしいとき）
• 0 ≦ P(A) ≦ 1、P(Ω) = 1、P(∅) = 0
• 余事象: P(Aᶜ) = 1 − P(A)。「少なくとも〜」型の問題で必須

頻出論点6: 加法定理・乗法定理

• 加法定理: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
• AとBが排反（同時に起こらない）なら P(A∪B) = P(A) + P(B)
• 独立: P(A∩B) = P(A) × P(B)。例: 2枚のコインの結果
• 従属: 独立でない場合（袋から玉を取り出し戻さない等）

頻出論点7: 条件付き確率

• P(B|A) = P(A∩B) ÷ P(A)。「Aが起こったという条件のもとでBが起こる確率」
• 乗法定理（一般形）: P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
• 独立なら P(B|A) = P(B)
• 2×2のクロス集計表から条件付き確率を計算する問題が頻出

例: 全体100人で男性60人・女性40人、男性のうち喫煙者15人。男性であるという条件で喫煙者の確率は 15/60 = 0.25。

頻出論点8: 反復試行と期待値

• 反復試行: 同じ独立試行をn回繰り返す。1回の成功率pなら、n回中r回成功する確率 = nCr × pʳ × (1−p)ⁿ⁻ʳ（二項分布の基礎）
• 期待値 E(X) = Σ(値 × 確率)。長期平均の意味
• 例: サイコロ1個の期待値 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5
• 離散一様分布: すべての値が等確率（例: 公平なサイコロ）

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• データの記述と要約の出題ポイント
• 確率変数と確率分布の出題ポイント
• 統計的推測の基礎・データの読み取りの出題ポイント